Ejercicios 02 | Estadística computacional

Enunciado

1. Instale el paquete “gtools” con la sentencia: install.packages(′gtools′), 
incluya la librería “gtools” (library(gtools)).

• Para lograr esto se debe acceder a la barra de acceso rápido de la herramienta RStudio a la sección “Tools”, esta desplegará una lista de opciones entre las cuales estará la opción “Install Packages” a la cuál debemos acceder para luego señalar cuál es la librería que queremos añadir. Una vez hecho esto seguimos con los demás puntos del enunciado.

2. Explique brevemente la diferencia entre permutación y combinación y exprese las
ecuaciones para calcular permutaciones y combinaciones.

• Si bien la combinación y la permutación pueden parecer similares a simple vista, tienen un factor que las diferencia de gran manera y este factor es el orden, ya que, la permutación tiene en cuenta el orden en ocurren los eventos y la combinación no, es por esto que es más probable que operar una permutación de como resultado una mayor cantidad de resultados, por ejemplo:

  Supongamos el lanzamiento de una moneda 2 veces, esto para una combinatoria tiene las siguientes posibilidades:

  Cara = C Sello = S
  CC 
  CS
  SS

  Es decir 3 posibles eventos, resultado distinto del que daría una permutación, el cuál sería algo así:

  Cara = C Sello = S
  CC
  CS
  SC
  SS

  El resultado final es 4 posibles eventos ya que en una permutación, en este caso CS es distinto de SC. Sus ecuaciones son:

• Permutaciones:

  1. Con repetición: \(n^{r}\)
  2. Sin repetición: \(\frac{n!}{(n-r)!}\)

• Combinaciones:

  1. Con repetición: \(\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}\)
  2. Sin repetición: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

3. Busque en la ayuda de R las funciones combinations y permutations explique brevemente cómo funcionan.

• Primeramente cabe destacar que la syntaxis de estas dos funciones son iguales, es decir, para ocuparlas debemos escribir en la herramienta algo así:

  combinations/permutations(n,r,k,repeats.allowed=T/F)

  Donde:
  n = Casos posibles
  r = Tamaño muestra
  k = Casos
  repats.allowed=T/F donde T aplica para admitir repeticiones(por ejemplo en el caso
  anterior CC) y F no admite repeticiones

  Al ejecutar esas funciones y acceder a la sección “Environment” de RStudio y clickear el pequeño cuadrado cuadricualado podemos ver una tabla de todos los posibles resultados. Para poder saber cuantos son los posibles resultados basta con aplicar la siguiente función:

  nrow(nombre de variable a la que se le asignó la combinación/permutación)

• A continuación una prueba con el ejemplo del punto 2.

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

  # COMBINACIÓN
  
  cmbn=combinations(n=2, r=2, v=c('Cara','Sello'), repeats.allowed=T)
  nrow(cmbn) # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 3

  # PERMUTACIÓN
  
  prmtn=permutations(n=2,r=2, v=c('Cara','Sello'),repeats.allowed=T)
  nrow(prmtn) # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 4

4. Calcule:
a) La cantidad de permutaciones posibles con n = 12 y r = 3 con y sin repetición.
b) Las combinaciones de largo tres con las letras a, b, c y d con y sin repetición.
c) La cantidad de permutaciones y combinaciones con n = 34 y r = 5 sin repetición.

• a )

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

  prmtn_a=permutations(n=12,r=3, v=c('A','B','C','D','E','F','G','H','I','J','K','L'),repeats.allowed=F)
  nrow(prmtn_a) # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 1320

• b )

  Resultado con repetición:

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

  cmbn_a=combinations(n=4,r=3, v=c('A','B','C','D'),repeats.allowed=T)
  nrow(cmbn_a) # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 20

  Resultado sin repetición:

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

  cmbn_a=combinations(n=4,r=3, v=c('A','B','C','D'),repeats.allowed=F)
  nrow(cmbn_a) # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 4

• c )

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

     # Permutaciones:
     prmtn_c=permutations(n=34,r=5,repeats.allowed=F)
     nrow(prmtn_c) # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 33390720

     # Combinaciones:
     cmbn_c=combinations(n=34,r=5,repeats.allowed=F)
     nrow(cmbn_c) # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 278256

5. Una bencinera tiene 4 funcionarios que deben limpiar el parabrisas de cada cliente que es atendido. Janet da servicio al 20 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Tomás da
servicio al 60 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Georgina da servicio al 15 %
de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Pedro da servicio al 5 % de los clientes y no
limpia 1 de cada 20 parabrisas. Si un cliente reclama.
a) Exprese la ecuación con la que se puede resolver el problema.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Pedro?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina?
d) Calcule la probabilidad de que haya sido atendido por Janet, Georgina, Tomás o Pedro. ¿Qué se puede observar?

• a ) La mejor manera de resolver este problema es a través del Teorema de Bayes, el cuál entrega los resultados de dos eventos relacionado, la ecuación de este se expresa de la siguiente manera:

  \(P[A_{n}/B]=\frac{P[B/A_{n}]\cdot P[A_{n}]}{\sum P[B/A_{i}] \cdot P[A_{i}]}\)

• b ) Si un cliente reclamó esto significa que fue uno de los clientes a los cuales Pedro no le limpió el parabrisas, aplicamos Teorema de Bayes para el caso de que el cliente haya sido atentido por Pedro. La ecuación que responde a la pregunta es:

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

  pedro_r=(0.05*0.05)/((0.2*0.05)+(0.6*0.1)+(0.15*0.1)+(0.05*0.05))
  sprintf("%0.1f%%", pedro_r * 100)# Resultado ↓↓↓

  ## [1] "2.9%"

• c ) Probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina:

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

  JoG_r=((0.2*0.05)+(0.15*0.1))/((0.2*0.05)+(0.6*0.1)+(0.15*0.1)+(0.05*0.05))
  sprintf("%0.1f%%", JoG_r * 100)# Resultado ↓↓↓

  ## [1] "28.6%"

• d ) La probabilidad de que haya sido atendido por alguno de estos 4 es:

  (library(gtools))

  ## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
  ## [7] "methods"   "base"

  jptg=((0.2*0.05)+(0.6*0.1)+(0.15*0.1)+(0.05*0.05))/((0.2*0.05)+(0.6*0.1)+(0.15*0.1)+(0.05*0.05))
  sprintf("%0.1f%%", jptg * 100)# Resultado ↓↓↓

  ## [1] "100.0%"

  Vemos que si o si va a haber sido atendido por alguno de los 4 lo cuál es lógica debido a que 4 son las personas que atienden la bencinera entonces obviamente va a ser atendido por alguno de esos 4.

6. De un grupo de 20 personas se quiere saber la opinión de 2 personas (seleccionadas al azar) acerca del apruebo o rechazo de la nueva constitución. Si se sabe que 12 personas aprueban y 8 rechazan ¿cuál es la probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen?

Esta pregunta se resuelve aplicando probabilidades sin repetición. \(\frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19}\).

```r
(library(gtools))
```

```
## [1] "gtools"    "stats"     "graphics"  "grDevices" "utils"     "datasets" 
## [7] "methods"   "base"
```

```r
rechazo2=(8/20)*(7/19)
sprintf("%0.1f%%", rechazo2 * 100)# Resultado ↓↓↓
```

```
## [1] "14.7%"
```

7. Dado P(A) = 0,50, P(B) = 0,30 y P(A ∩ B) = 0,15 calcule:
a) P(A|B)
b) P(A|B′)
c) P(B|A)
d) P(B|A′)

• a )

  PA=0.50
  PB=0.30
  PAB=0.15
  
  a=(PAB/PB)
  a # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 0.5

• b )

  PA=0.50
  PB=0.30
  PAB=0.15
  
  b=(PA+0.65)/0.65
  b # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 1.769231

• c )

  PA=0.50
  PB=0.30
  PAB=0.15
  
  c=(PAB/PA)
  c # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 0.3

• d )

  PA=0.50
  PB=0.30
  PAB=0.15
  
  d=(PB+0.45)/0.45 
  d # Resultado ↓↓↓

  ## [1] 1.666667