Taller 01

L’os rentador (Procyon lotor; mapache boreal, en castellà) va ser avistat a Mallorca el 2006 per primera vegada. Ens han proporcionat la següent estimació sobre la quantitat d’exemplars existents en una determinada regió:

# Introduïm les dades
n = c(1, 5, 10, 12, 14, 16, 17)
e = c(35, 42, 47, 57, 71, 100, 122)

# Les mostrem
cbind(n, e)
##       n   e
## [1,]  1  35
## [2,]  5  42
## [3,] 10  47
## [4,] 12  57
## [5,] 14  71
## [6,] 16 100
## [7,] 17 122

on n és el nombre d’anys que han passat des del 2005, i e és la quantitat d’exemplars.

[2 punts] Quin és el millor model lineal de \(e\) en funció de \(n\)?

model=lm(e~n)
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = e ~ n)
## 
## Residuals:
##       1       2       3       4       5       6       7 
##  13.576   1.515 -17.311 -16.841 -12.371   7.098  24.333 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)   16.659     14.765   1.128   0.3104  
## n              4.765      1.229   3.879   0.0117 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 17.69 on 5 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7505, Adjusted R-squared:  0.7007 
## F-statistic: 15.04 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.01166
a=4.765
b=16.659
a
## [1] 4.765
b
## [1] 16.659

podem observar que el model lineal es e(n)=4.765 + 16.659

Calcula els valors dels paràmetres a, b més adequats. Reflecteix el càlcul en l’informe Rmd.

Què indica cada constant? Reflecteix aquesta interpretació en un informe Rmd.

a=4.765 nos indica la pendiente de la función,es decir el incremento de y dividido el incremento de x(en un segmento de la función lineal) b=16.659 nos indica el punto en que la función se cruza con el eje y.

Traça amb R una gràfica lineal on també aparegui el model demanat.

plot(n,e,main="model lineal", xlab="nº anys", ylab="nº exemplars")
abline(model,col="purple")

[2 punts] Quin és el millor model exponencial de \(e\) en funció de \(n\)?

Calcula els valors dels paràmetres alpha, beta més adequats. Reflecteix el càlcul en l’informe Rmd.

model=lm(log10(e)~n)
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = log10(e) ~ n)
## 
## Residuals:
##        1        2        3        4        5        6        7 
##  0.06070  0.01345 -0.09574 -0.07518 -0.04301  0.04251  0.09727 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 1.451760   0.066548  21.815 3.76e-06 ***
## n           0.031608   0.005537   5.708  0.00231 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.07975 on 5 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.867,  Adjusted R-squared:  0.8403 
## F-statistic: 32.58 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.002305
a=0.0316
b=1.452
a
## [1] 0.0316
b
## [1] 1.452
alpha=10^a
beta=10^b
alpha
## [1] 1.075474
beta
## [1] 28.31392

El nostre model exponencial es e(n)=28.314*1.075^n

Traça amb R una gràfica semi-log on també aparegui el model demanat.

plot(n,e,main="model exponencial semi-log",xlab="nº anys",ylab="nº exemplars",log="y")

Traça amb R una gràfica lineal on també aparegui el model demanat.

plot(n,e,main="model exponencial",ylab="nº exemplars",xlab="nº anys")
curve(beta*alpha^x,col="red",add=TRUE)

[2 punts] Quin és el millor model potencial de \(e\) en funció de \(n\)?

Calcula els valors dels paràmetres alpha, beta més adequats. Reflecteix el càlcul en l’informe Rmd.

model=lm(log10(e)~log10(n))
summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = log10(e) ~ log10(n))
## 
## Residuals:
##        1        2        3        4        5        6        7 
##  0.07931 -0.09208 -0.15115 -0.09576 -0.02438  0.10357  0.18049 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   1.4648     0.1247   11.74 7.87e-05 ***
## log10(n)      0.3585     0.1254    2.86   0.0354 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1347 on 5 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6206, Adjusted R-squared:  0.5447 
## F-statistic: 8.179 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.03541
omega=1.465
k=10^omega
z=0.3585
k
## [1] 29.17427
z
## [1] 0.3585

El nostre model exponencial es e(n)=29.1743*n^0.3585

Traça amb R una gràfica log-log on també aparegui el model demanat.

plot(n,e,xlab="model exponencial log-log",log="xy")
abline(model,col="red")

Traça amb R una gràfica lineal on també aparegui el model demanat.

plot(n,e,main="model potencial")
curve(alpha*x^beta,col="red",add=TRUE)

[2 punts] Model malthusià pur (I).

Quin és aquest model? És a dir, quins són els paràmetres \(x_0, q\) de la successió que satisfà que \(x_1 = 35\), que \(x_{17} = 122\) i que \(x_{n+1} = x_n \cdot q\)?

x1=35
x17=122
q=(x17/x1)^(1/16)
q
## [1] 1.081168
x0=x1/q
x0
## [1] 32.37239

Elmodel mathusia sera 32.37*1.08^n

Segons aquest model, quants exemplars trobarem l’any 2024? I l’any 2004?

x2024=x0*q^19
x2024=32.37*1.08^19
x2024=139.6692
x2004=29.972222222222

[2 punts] Comparació entre models

Dels tres primers models (lineal, exponencial, potencial): Quin és el millor? Per què?

El model que millor s’ajusta és l’exponencial ja que la funció és la que més s’adapta a les dades tinguent un R al quadrat més alt,és a dir amb major precisió

Compara el segon model (dependència exponencial) amb el quart model (model malthusià). Per què els coeficients són semblants però diferents?

Perque els dos són models exponencials,el model malthusià s’intenta adaptar a partir de la primera i la darrera dada de n,en canvi la dependència exponencial es el model creat per R que millor s’ajusta a les dades donades,per això la dependència exponencial es més precisa que el model malthusià.

```