Caso 9

Objetivo

Desarrollar ejercicios para encontrar la probabilidad de eventos de un espacio muestral.

Descripción

Construir ejercicios de probabilidad conforme a partir de datos conforme la teoría de probabilidad.

A partir de un conjunto de datos generados estimar y determinar las probabilidades.

Marco teórico

Para cuando los espacios muestrales tienen un espacio finito o un número de elementos finito, la probabilidad de ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento estadístico se evalúa utilizando un conjunto de números reales denominados pesos o probabilidades, que van de 0 a 1.[@walpole2012].

Para todo punto en el espacio muestral se asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es 1. [@walpole2012].

Si se tiene certeza para creer que al llevar a cabo el experimento es bastante probable que ocurra cierto punto muestral, le tendríamos que asignar a éste una probabilidad cercana a uno. Por el contrario, si se cree que no hay probabilidades de que ocurra cierto punto muestral, se tendría que asignar a éste una probabilidad cercana a cero.

En un espacio muestral en donde todos los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de ocurrencia, por lo tanto, se les asignan probabilidades iguales.

A los puntos fuera del espacio muestral, es decir, a los eventos simples que no tienen posibilidades de ocurrir, se les asigna una probabilidad de cero.

Entonces: La probabilidad de un evento A debe estar entre cero y uno

\[ 0 \le P(A) \le 1 \]

La probabilidad de todo el espacio muestral S debe ser uno \[ P(S) = 1 \]

La probabilidad de que no ocurra un evento es cero

\[ p(\phi) = 0 \]

Ejemplo: lanzar un dado. La probabilidad de que caiga un 1, un 2, un 3 un 4 un 5 un 6 es la misma para cada elemento. Siendo S el espacio muestral, cual es la probabilidad de que al lanzar un dado a una mesa, el valor del mismo cara arriba sea un 5?, y ¿cuál es la probabilidad de que sea un 7?

¿Cuántas veces está el 5 en el espacio muestral S?. Una sola vez.

¿Cuántas veces está el 7 en el espacio muestral S?. Ninguna

Entonces dividir el número de ocurrencias del 5 entre el número total de elementos N.

\[ prob = \frac{n}{N} \]

En términos porcentuales sería:

\[ prob = \frac{n}{N} \times 100 \]

{r} dado <- c(1,2,3,4,5,6) N <- length(dado) # N filtro <- subset(dado, dado == 5) filtro n <- length(filtro) # n paste(“La probabilidad de que al lanzar el dado sea cinco es :”, n , ” de entre”, N , ” elementos que existen en el espacio muestral. Representa: “, round(n/N * 100,2),”%“)

Desarrollo

Cargar librerías

Se cargan librerías necesarias para distintos ejercicios

{r message=FALSE, warning=FALSE} library(gtools) # Comnaciones ypermutaciones library(dplyr) # Procesar datos mutate, select … library(fdth) # Tablas de frecuencias

Ejercicios

Lanzar dos dados:

¿Que probabilidad existe de que al lanzar los dos dados de que salga 10 la suma de los valores de los dos dados?.

Crear el espacio muestral de los dados

A partir de un vector dado del 1 al 6 que son los valores del dado generar permutaciones en donde se puedan repetir los valores del dado.

Poner nombre con la función names() nombres de columnas al conjunto de datos lanzar_dados.

Con la función cbind() se agrega una columna al conjunto de datos.

Con apply() se hace la suma de cada renglón del conjunto de datos lanzar_dados.

{r} dado <- c(1,2,3,4,5,6) lanzar_dados <- data.frame(permutations(n=6, r = 2, v = dado, repeats.allowed = TRUE)) names(lanzar_dados) <- c(“dado1”, “dado2”) lanzar_dados <- cbind(lanzar_dados, suma = apply(X = lanzar_dados, MARGIN = 1, FUN = sum)) lanzar_dados

Probabilidad de dos dados

Encontrar en cuantas ocasiones la suma de los dos dados es diez, se hace con la función subset()

{r} sumados <- 10 # Puede ser cualquier valor N <- nrow(lanzar_dados) # Cantidad de obervaciones filtro <- subset(lanzar_dados, suma == sumados) filtro n <- nrow(filtro) # Cantidad de eventos que cumplen una condición n paste(“Existen”, n, ” alternativas de que la suma de lanzamiento de dos dados sea “, sumados,” de un total de “,N,” lo que representa “, round(n/N * 100,2),”%“,”probable “)

Juego de Black Jack

Se reparten dos barajas de tipo inglesa y el jugador debe sumar los valores numéricos de las dos barajas.

La pregunta es: ¿qué probabilidad existe de que al recibir dos cartas de una baraja de 52 cartas modalidad inglesa la suma de las dos cartas sea 20?

  • El As vale 1 punto

  • Los valores numérico valen lo que indica la carta

  • Los monos (J, Q y K ) valen 10 puntos

Espacio muestral sin sumas

El espacio muestral de todas las cartas almacenada en una variable llamada S.casos.

{r} S.casos <- data.frame(permutations(13,2,baraja, repeats.allowed = TRUE)) names(S.casos) <- c(“C1”, “C2”) S.casos

Total de casos del espacio muestral:

{r} N <- nrow(S.casos) # El número de opciones N

Espacio muestral con sumas

Determinar columna para suma de las dos cartas

{r message=FALSE, warning=FALSE} S.casos <- f.sumar.cartas(S.casos) S.casos

Nuevamente la pregunta es: ¿qué probabilidad existe de que al recibir dos cartas de una baraja de 52 cartas modalidad inglesa la suma de las dos cartas sea 20?

{r} sumados <- 20 filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) n <- nrow(filtro) filtro

{r} paste(“De las”, N, “alternativas,”, ” existe “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa el “, round(n/N * 100, 2),”%“)

Ruleta

La ruleta tiene 39 números en colores negro y rojo ¿que probabilidad existe de que al dar vuelta se detenga en un valor en específico?

{r} numeros <- 1:36 colores <- c(“Negro”, “Rojo”) S.ruleta <- c(paste(as.character(1:36), “Rojo”), paste(as.character(1:36), “Negro”)) S.ruleta

¿Cuál es la la probabilidad de que al darle vuelta la ruleta se detenga en un valor específico es por ejemplo en la casilla “20 Negro”.

{r} N <- length(S.ruleta) n <- 1 paste (“La probabilidad de que caiga un valor en la ruleta de”, N , ” alternativas es: “, round(n/N * 100, 2),”%“)

Dominó

El juego de dominó consiste en que de una cantidad de 28 fichas se reparten siete de ellas a cada jugador.

Uno de los variantes del dominó es contar los puntos de cada ficha, siendo los puntos la cantidad de puntos negros que tiene cada ficha.

Para este ejercicio se pide:

¿Cual es la probabilidad de que la suma de puntos de las siete fichas repartidas sea manor a 15 puntos?

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las siete fichas sea mayor a 60 puntos?

¿Cual es la probabilidad de que al repartir siete fichas de dominó la suma total esté 30 y 40 puntos?. Siendo los puntos los puntos negros de cada ficha?.

¿Cual será el rango o intervalo de clase conforme a la suma de puntos existe mayor probabilidad de obtener esos puntos?

Espacio muestral del dominó

Primero se construye el espacio muestral a partir de funciones ya preparadas que se encuentran en la dirección https://github.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/blob/main/funciones/funciones.domino.r

{r} #source(“funciones/funciones.domino.r”) source(“https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/funciones.domino.r”)

Se muestra sólo las primeras 20 observaciones y las últimas 20 de todas las posibles combinaciones de siete fichas en siete fichas.

El campo suma es la cantidad de puntos de las siete fichas.

{r} #Primeras 20 head(fichas, 20)

#Ultimos 20 tail(fichas, 20)

Se determina la cantidad de combinaciones posibles en grupos de siete fichas de dominó

Cantidad de combinaciones

{r} N <- nrow(fichas) N # Se puede usar fórmua de combinaciones f.n.combinaciones(28,7)

Repartir fichas

Se pueden repartir siete fichas a partir de una simulación.

{r} mis.fichas <- f.repartir.fichas.domino(fichas) mis.fichas

Para describir 1184040 de registros lo mejor es representarlo con un histograma utilizado la variable de interés suma de las fichas.

Histograma de suma de puntos

{r} hist(fichas$suma, main=“Puntos en fichas de dominó”, xlab = “Suma”)

Tabla de frecuencias

Y se puede construir clases por medio de la función fdt() para determinar tablas de frecuencia

{r} tabla <- fdt(x = fichas$suma, start = 15, end =75, h = 5) tabla

Probabilidades de puntos en el dominó

¿Cual es la probabilidad de que la suma de puntos de las siete fichas repartidas sea menor o igual a 15 puntos?

{r} filtro <- filter(fichas, suma <=15) filtro n<-nrow(filtro) paste(“Existe”, n, “eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es menor o igual a 15, de un total de”, N , ” alternativas. Lo que representa una probabilidad del “, round(n/N*100,4),“%”)

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las siete fichas sea mayor a 60 puntos?

{r} filtro <- filter(fichas, suma > 60) head(filtro) n<-nrow(filtro) paste(“Existe”, n, “eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es mayor a 60, de un total de”, N , ” alternativas. Lo que representa una probabilidad del “, round(n/N*100,4),“%”)

¿Cual es la probabilidad de que al repartir siete fichas de dominó la suma total esté 30 y 40 puntos?. Siendo los puntos los puntos negros de cada ficha?.

{r} filtro <- filter(fichas, suma >= 30 & suma <= 40) head(filtro) n<-nrow(filtro) paste(“Existe”, n, “eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 30 y menor o igual a 40, de un total de”, N , ” alternativas. Lo que representa una probabilidad del “, round(n/N*100,4),“%”)

Interpretación

Conteste las preguntas elaborando el desarrollo para justificar la respeusta:

¿Cual será el rango o intervalo de clase conforme a la suma de puntos de las siete fichas repartidas de dominó en donde existe mayor probabilidad de obtener esos puntos?

print ("Describir habiendo analizado la tabla de frecuencia de la suma de puntos de las siete fichas de dominó")
## [1] "Describir habiendo analizado la tabla de frecuencia de la suma de puntos de las siete fichas de dominó"

¿Cómo se determina probabilidad de eventos de un espacio muestral, y que valores puede tener una probabilidad? R=La Probabilidad de que ocurra un evento es un número de elementos finitos que estadísticamente se evalúan utilizando un conjunto de números que van de 0 hasta el 1, usando decimales

¿Para que sirve estimar probabilidades? R=La probabilidad es simplemente qué tan posible es que ocurra un evento determinado. Cuando no estamos seguros del resultado de un evento, podemos hablar de la probabilidad de ciertos resultados: qué tan común es que ocurran. Al análisis de los eventos gobernados por la probabilidad se le llama estadística.

¿Podrá haber probabilidades negativas?, justifique SI o NO ? R=La probabilidad se determina con el número de veces que se encuentre un dato en el espacio muestral / entre el número total de elementos en términos porcentuales multiplicar el resultado por cien Si tiene certeza que es bastante probable que ocurra le tendremos que asignar a este una probabilidad cercana a uno por el contrario, si se cree que no hay probabilidades de que ocurra , se tendría que asignar a éste una probabilidad cercana a cero. La suma de todas las probabilidades debe ser uno. La probabilidad de que no ocurra un evento es cero ya que esta es nula por lo que no puede generarse una probabilidad negativa

Describa y justifique su respuesta sobre que es más probable de estas tres cuestiones:

  • ¿Que salga águila al lanzar una moneda
moneda <- c(1,2)
N <- length(moneda)
filtro <- subset(moneda, moneda == 1)
n <- length(filtro)

paste("La probabilidad de que al lanzar la moneda sea aguila es : ", n , " de entre", N , " elementos que existen en el espacio muestral. Representa: ", round(n/N * 100,2), "%")
## [1] "La probabilidad de que al lanzar la moneda sea aguila es :  1  de entre 2  elementos que existen en el espacio muestral. Representa:  50 %"
  • ¿Que la suma de los puntos de dos cartas repartidas de baraja esté entre 8 y 12.

N <- nrow(S.casos) sumados <- (8) filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) n <- nrow(filtro)

paste(“De”, N, “alternativas,”, ” existen “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa un “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- (9) filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) n <- nrow(filtro) paste(“De”, N, “alternativas,”, ” existen “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa un “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- (10) filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) n <- nrow(filtro) paste(“De”, N, “alternativas,”, ” existen “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa un “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- (11) filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) n <- nrow(filtro) paste(“De”, N, “alternativas,”, ” existen “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa un “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- (12) filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) n <- nrow(filtro) paste(“De”, N, “alternativas,”, ” existen “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa un “, round(n/N * 100, 2),”%“) ```

  • ¿Que la suma de los puntos de las siete fichas de dominó repartidas esté entre 30 y 50 puntos?

filtro <- filter(fichas, suma >= 30 & suma <= 50) head(filtro,20)

Conteste estas preguntas extras:

  • Que es mas probable que salga un 10 rojo en la ruleta o que la suma de dos cartas sea 10?

“La probabilidad de que caiga un valor en la ruleta de 72 alternativas es: 1.39 %”

N <- nrow(S.casos) # El número de opciones sumados <- 10 paste(“De las”, N, “alternativas,”, ” existe “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa el “, round(n/N * 100, 2),”%“)

  • Que es más probable que la suma de dos cartas sea menor a 15 o que la suma de siete fichas sea menor a 50 puntos?

N <- nrow(S.casos) sumados <- 15 n <- nrow(filtro) paste(“De”, N, “alternativas,”, ” existen “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa un “, round(n/N * 100, 2),”%“)

filtro <- filter(fichas, suma <=50) N <- nrow(fichas) n<-nrow(filtro) paste(“Existe”, n, “eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 30 y menor o igual a 40, de un total de”, N , ” alternativas. Lo que representa una probabilidad del “, round(n/N*100,4),“%”)

  • Qué es más probable: que salga en la suma un valor entre 8 y 12 en dos barajas o que salga un valor de suma entre 20 y 30 puntos en siete fichas de dominó?

{r}

sumados <- 8 filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) N <- nrow(S.casos) n <- nrow(filtro) paste(“De las”, N, “alternativas,”, ” existe “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa el “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- 9 filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) N <- nrow(S.casos) n <- nrow(filtro) paste(“De las”, N, “alternativas,”, ” existe “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa el “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- 10 filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) N <- nrow(S.casos) n <- nrow(filtro) paste(“De las”, N, “alternativas,”, ” existe “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa el “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- 11 filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) N <- nrow(S.casos) n <- nrow(filtro) paste(“De las”, N, “alternativas,”, ” existe “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa el “, round(n/N * 100, 2),”%“)

sumados <- 12 filtro <- subset(S.casos, suma == sumados) N <- nrow(S.casos) n <- nrow(filtro) paste(“De las”, N, “alternativas,”, ” existe “, n,” posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea”, sumados, ” ,que representa el “, round(n/N * 100, 2),”%“)

filtro <- filter(fichas, suma >= 20 & suma <= 30) N <- nrow(fichas) n<-nrow(filtro) paste(“Existe”, n, “eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 20 y menor 3o , de un total de”, N , ” alternativas. Lo que representa una probabilidad del “, round(n/N*100,4),“%”)

¿A qué conclusiones llegan respecto a los ejercicios vistos en este caso?. R=La probabilidad mas que nada se logra determinar con el numero muestral obtenido y no hace falta tener todos los datos exactos para obtener un numero de probabilidades