a) (3 puntos) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

Esta es claramente una variable aleatoria de categorización cualitativa dicotómica en cada caso separado, ya que, presentan la cualidad de “funcional” o “con falla”, los cuales son 2 posibles cualidades. Luego, como la evaluación es independiente entre equipos y tenemos solo 2 eventos posibles por equipo con una probabilidad fija entre cada uno, podemos considerar una distribución binomial, donde que el telefono sea funcional se considerara como exito (p = 0.8) y que tenga fallas como fracaso (1-p = 0.2).

b) (4 puntos) Determine la función de probabilidad de masa.

\[f(x)=\frac{n!}{x!*(n-x)!}*p^x*(1-p)^{n-x}\] luego con los datos correpondientes nos queda: \[f(x)=\frac{3!}{x!*(3-x)!}*0.8^x*0.2^{3-x}\]

c) (3 puntos) Grafique la distribución.

rango = seq(0,3)
distribucion = dbinom(rango, 3, prob = 0.8)
datos = data.frame(rango, distribucion)

p = ggplot(data=datos, aes(x=rango,y=distribucion))
p = p + geom_bar(stat="identity", fill="lightblue3")
p = p + theme_bw() + ggtitle("Distribución binomial")
p = p + xlab("Rango") + ylab("Probabilidad")
p = p + scale_x_continuous(breaks = c(0,1,2,3))
plot(p)

a) (2 puntos) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

Para empezar sabemos la variable sería el número de personas que tiene el gen, lo que es una variable cuantitativa discreta, ya que, no podemos tener, por ejemplo, 1.5 personas. Sabemos además que la evaluaciones son independientes entre personas; finalmente como las preguntas hacen alusion a la cantidad de ensayos antes de un r exito, donde el exito será que una persona tenga el gen por cruel que suene, se ve claramente como es una distribución binomial negativa.

b) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más evaluaciones deban ser efectuadas para detectar a dos personas portadoras del gen?

Queriendo saber P(X >= 4), teniendo un r=2 y un p=0.1, entonces el número de evaluaciones sería de x + r(fallos más exitos), es decir, 4 = x + 2, luego x = 2 la probabilidad de que hayan 4 o más evaluaciones es de:

print(pnbinom(2,2,0.1,lower.tail = FALSE) + dnbinom(2,2,0.1))  # Con lower.tail en false no se incluye el x=2 en si, por lo que se suma aparte

## [1] 0.972

c) (3 puntos) ¿Cuál es el número esperado de evaluaciones que debo realizar para detectar dos personas portadoras del gen?

Para la media o valor esperado de una distribución binomial negativa se tiene la formula \(\frac{r(1-p)}{p}\), por lo que con r=2 y p=0.1, el número esperado será el resultado de esta fórmula (número de fracasos esperados) más el número de exitos(2), quedando un total de:

n_fracasos = (2*(1-0.1))/0.1
n_evaluaciones = n_fracasos + 2
print(n_evaluaciones)

## [1] 20

evaluaciones esperadas a realizar para obtener 2 personas portadoras del gen.

d) (2 puntos) Grafique la distribución.

Considerando un r=2, que es lo que se uso durante los ejercicios, el gráfico nos queda:

rango = seq(0,60)
distribucion = dnbinom(rango, 2,0.1)
datos = data.frame(rango, distribucion)

p = ggplot(data=datos, aes(x=rango,y=distribucion))
p = p + geom_bar(stat="identity", fill="lightblue3")
p = p + theme_bw() + ggtitle("Distribución binomial negativa")
p = p + xlab("Rango") + ylab("Probabilidad")
p = p + scale_x_continuous(breaks = c(0,8,9,20,60))
plot(p)

a) (2 puntos) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

Siendo x el número de hombres que tengan el marcador corresponde a un variable aleatoria cuantitativa discreta (volvemos al ejemplo de que no se pueden tener 1.5 hombres), luego, como estamos tomando una muestra sin repetición para una variable discreta se ve claramente como esta corresponde a una distribución hipergeometrica.

b) (3 puntos) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este cromosoma, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 hombre tenga el marcador?

Teniendo N=800, M= 30% -> M=240, n=10, la probabilidad de que un hombre tenga el marcador es de:

print(dhyper(1,240,800-240,10))

## [1] 0.1200794

c) (3 puntos) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este cromosoma, ¿cuál es la probabilidad de que más de 1 tenga el marcador?

Tomando valores similares a los de antes (N=800, M=240, n=10), la probabilidad de que más de uno tenga el marcador es de:

print(phyper(1,240,800-240,10,lower.tail = FALSE))

## [1] 0.8523523

d) (2 puntos) Grafique la distribución

rango = seq(0,10)
distribucion = dhyper(rango, 240,800-240,10)
datos = data.frame(rango, distribucion)

p = ggplot(data=datos, aes(x=rango,y=distribucion))
p = p + geom_bar(stat="identity", fill="lightblue3")
p = p + theme_bw() + ggtitle("Distribución hipergeométrica")
p = p + xlab("Rango") + ylab("Probabilidad")
p = p + scale_x_continuous(breaks = c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10))
plot(p)

a) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora?

print(dpois(5, 8))

## [1] 0.09160366

b) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres llamadas o menos en una hora?

print(ppois(3, 8))

## [1] 0.04238011