Resolución enunciado

Diferencia entre permutación y combinación

La gran diferencia a mi parecer es que en las permutaciones importa el orden mientras que en las combinaciones no. Para dar un ejemplo de lo antes mencionado se puede ver como en una constraseña por ejemplo si importaría el orden ya que no se puede dejar acceder a alguien que puso 1234 cuando la contraseña es 4321 a pesar de contar con los mismos elementos (permutación); por otro lado en un bingo no tendría igual importancia el orden ya que si necesitara los números 2 27 4 12 y salieran en el orden 27 12 4 2 igual sería el ganador (combinación).

Ecuaciones de permutaciones y combinaciones

Si se toman r de n elementos…

Permutaciones:

Sin orden:

\[ \frac{n!}{(n-r)!} \]

Con orden:

\[ n^r \]

Combinaciones:

Sin orden:

\[ \frac{n!}{(n-r)!*r!} \]

Con orden:

\[ \frac{n^r}{r!} \]

Funciones de permutación y combinatoria en R

Para ennumerar las posibles combinaciones de un vector se puede usar la función combinations; para enumerar las posibles permutaciones tenemos la función permutations.

Sea v un vector que represente un espacio muestral, n el largo de este vector y r el largo de los vectores que representarán las muestras, las funciones permutations y combinations podrán ser usadas de la siguiente forma:

combinations(n, r, v = 1:n, set = TRUE, repeats.allowed = FALSE)

permutations(n, r, v = 1:n, set = TRUE, repeats.allowed = FALSE)

Donde set indica si los repetidos deben eliminarse del espacio muestral y repeats.alloed indica si la muestra tiene repetición (es falso por defecto)

Hay que tener en cuenta que si n > 45 hay que aumentar el limite de recursión de R.

Resolución de ejercicios como tal

Calculos

Sin repetición

  nrow(permutations(12, 3, letters[1:12]))

## [1] 1320

Con repetición

  nrow(permutations(12, 3, letters[1:12], repeats.allowed = TRUE))

## [1] 1728

Sin repetición

  combinations(4, 3, letters[1:4])

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] "a"  "b"  "c" 
## [2,] "a"  "b"  "d" 
## [3,] "a"  "c"  "d" 
## [4,] "b"  "c"  "d"

Con repetición

  combinations(4, 3, letters[1:4], repeats.allowed = TRUE)

##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,] "a"  "a"  "a" 
##  [2,] "a"  "a"  "b" 
##  [3,] "a"  "a"  "c" 
##  [4,] "a"  "a"  "d" 
##  [5,] "a"  "b"  "b" 
##  [6,] "a"  "b"  "c" 
##  [7,] "a"  "b"  "d" 
##  [8,] "a"  "c"  "c" 
##  [9,] "a"  "c"  "d" 
## [10,] "a"  "d"  "d" 
## [11,] "b"  "b"  "b" 
## [12,] "b"  "b"  "c" 
## [13,] "b"  "b"  "d" 
## [14,] "b"  "c"  "c" 
## [15,] "b"  "c"  "d" 
## [16,] "b"  "d"  "d" 
## [17,] "c"  "c"  "c" 
## [18,] "c"  "c"  "d" 
## [19,] "c"  "d"  "d" 
## [20,] "d"  "d"  "d"

Sin repeticiòn

  nrow(permutations(34, 3, v=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34)))

## [1] 35904

Ejercicio bencinera

  bencinera<-data.frame(
    "funcionarios" = c("Janet","Tomás","Georgina","Pedro"), 
    "servicio" = c(0.2, 0.6, 0.15, 0.05), 
    "no_limpia" = c(1/20, 1/10, 1/10, 1/20)
  )

La formula a utilizar cuando vemos la probabilidad de que algo haya ocurrido dependiendo de otro evento se calcula de la siguiente manera:

\[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

Pero como sabemos en este caso el evento de que no limpio ya esta dividido por la probabilidad de que cada persona haya atendido por lo que nos queda en este caso:

\[ P(A|B)=P(A\cap B)=P(A)*P(B) \]
Probabilidad de que haya sido atendido por Pedro:
```
  bencinera[4,2]*bencinera[4,3]
```
```
## [1] 0.0025
```

Probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina:

  bencinera[1,2]*bencinera[1,3] + bencinera[3,2]*bencinera[3,3]

## [1] 0.025

Probabilidad de que haya sido atendido por Janet, Georgina, Tómas o Pedro:
```
  bencinera[1,2]*bencinera[1,3] + bencinera[2,2]*bencinera[2,3] + bencinera[3,2]*bencinera[3,3] + bencinera[4,2]*bencinera[4,3]
```
```
## [1] 0.0875
```
Se puede observar que aunque sumemos las probabilidades de los 4 empleados no nos da 1, pero esto es normal, ya que, lo que estamos calculando es la probabilidad de que un cliente atendido haya reclamado, es decir, que no le hayan limpiado su parabrisas (si le sumaramos los casos en que sí debería darnos 1).

Ejercicio propuesta consitucional

En un principio cabe recalcar que en esta no importa el orden, es sin repetición y es dependiente, ya que, tenemos que calcular la probabilidad de que la segunda persona rechace siendo que la primera ya lo hizo

Para la primera persona es sencillo ya que simplemente se dividirían las 8 personas que votan esta opción entre las 20 del espacio muestral

  prob_primera=8/20

Para la segunda ya se redujo el espacio muestral y también hay una persona menos con esa misma opción

  prob_segunda=7/19

Luego como el resultado de la primera no incide directamente en el de la segunda son independientes por lo que la intersección será la multiplicación de las probabilidades

  prob_primera*prob_segunda

## [1] 0.1473684

Ejercicio dependencia

PA<-0.5
PB<-0.3
PAB<-0.15
PNA<-1-PA
PNB<-1-PB

PAB/PB          # a)

## [1] 0.5

(PA*PNB)/PNB    # b)

## [1] 0.5

PAB/PA          # c)

## [1] 0.3

(PNA*PB)/PNA    # d)

## [1] 0.3

Lo anterior demuestra que A y B son independientes