Caso 3. Regresión Lineal Múltiple con datos Adverstising. Programación Python
Kevin Govanni Rodriguez Parra
2022-09-29
1 Objetivo
Crear y evaluar un modelo de regresión lineal múltiple para predecir las ventas con datos simulados de una empresa dependiendo de las inversiones realizadas en publicidad
2 Descripción
Cargar librerías y datos
Limpiar datos si es necesario
Explorar datos
Partir los datos en datos de entrenamiento y datos de validación 70% y 30%
Crear modelo de regresión con los datos de entrenamiento
Evaluar modelo antes de predicciones con los estadísticos. R Square ajustado y Coeficientes
El modelo se acepta si presenta un valor de R Square ajustado por encima del 70%
Predicciones
Evaluar predicciones con respecto a datos reales
Determinar el estadístico rmse para evaluar con respecto a otros modelos
Interpretar el caso
3 Fundamento teórico
En la mayoría de los problemas de investigación en los que se aplica el análisis de regresión se necesita más de una variable independiente para el modelo de regresión.
La complejidad de la mayoría de mecanismos científicos es tal que, con el fin de predecir una respuesta importante, se requiere un modelo de regresión múltiple. Cuando un modelo es lineal en los coeficientes se denomina modelo de regresión lineal múltiple.
Para el caso de k variables independientes, el modelo que da \(x_1,x_2,x_3...,x_k\), y \(y\) como la variable dependiente.
\(x_1, x_2, x_3,...,x_k\) son las variable s que afectan a la variable dependiente en el modelo de regresión lineal múltiple.
Muchos problemas de investigación y de la industria, requieren la estimación de las relaciones existentes entre el patrón de variabilidad de una variable aleatoria y los valores de una o más variables aleatorias. [@urrutiamosquera2011]
Al generar un modelo de regresión lineal múltiple es importante identificar los estadísticos de R2, que se denomina coeficiente de determinación y es una medida de la proporción de la variabilidad explicada por el modelo ajustado.
De igual forma, el valor de R2 ajustado (R Square Adjusted) o coeficiente de determinación ajustado, es una variación de R2 que proporciona un ajuste para los grados de libertad [@walpole2012].
El estadístico R Ajustado está diseñado para proporcionar un estadístico que castigue un modelo sobreajustado, de manera que se puede esperar que favorezca al modelo [@walpole2012].
Una variable Y puede predecirse conforme y de acuerdo con la siguiente fórmula de la regresión múltiple.
\[ Y = b_0 + b_1{x_1} + b_2{x_2} + b_3{x_3}+ .....b_k{x_k} \]
4 Desarrollo
Para trabajar con código Python, se deben cargan las librerías de Python previamente instaladas con la función py_install() de la librería reticulate de R.
La función repl_python() se utilizar para ejecutar ventana de comando o shell de Python.
Se recomienda instalar estos paquetes de Python
py_install(packages = “pandas”)
py_install(packages = “matplotlib”)
py_install(packages = “numpy”)
py_install(packages = “sklearn”) en R cloud
py_install(“scikit-learn”) R Studio local
py_install(packages = “statsmodels.api”)
py_install(packages = “seaborn”)
En terminal de Python se puede actualizar con conda create -n py3.8 python=3.8 scikit-learn pandas numpy matplotlib
4.1 Cargar librerías
library(reticulate)import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm # Estadísticas R Adjused
import seaborn as sns # Gráficos
from sklearn import linear_model
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # Polinomial
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import metrics
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
import warnings
warnings.simplefilter("ignore", FutureWarning)4.2 Cargar datos
datos = pd.read_csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Analisis-Inteligente-de-datos/main/datos/Advertising_Web.csv")
datos## Unnamed: 0 X TV Radio Newspaper Web Sales
## 0 1 1 230.1 37.8 69.2 306.634752 22.1
## 1 2 2 44.5 39.3 45.1 302.653070 10.4
## 2 3 3 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3
## 3 4 4 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5
## 4 5 5 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9
## .. ... ... ... ... ... ... ...
## 195 196 196 38.2 3.7 13.8 248.841073 7.6
## 196 197 197 94.2 4.9 8.1 118.041856 9.7
## 197 198 198 177.0 9.3 6.4 213.274671 12.8
## 198 199 199 283.6 42.0 66.2 237.498063 25.5
## 199 200 200 232.1 8.6 8.7 151.990733 13.4
##
## [200 rows x 7 columns]4.3 Explorar datos
print("Observaciones y variables: ", datos.shape)## Observaciones y variables: (200, 7)print("Columnas y tipo de dato")
# datos.columns## Columnas y tipo de datodatos.dtypes## Unnamed: 0 int64
## X int64
## TV float64
## Radio float64
## Newspaper float64
## Web float64
## Sales float64
## dtype: objectSe describen las variables independientes: TV, Radio Newpaper y la variable dependiente Sales.
Valor de etiqueta o variable objetivo deendiente(ventas): que significa el volumen de ventas del producto correspondiente
Las variables independientes: (TV, Radio, Periódico, WEB):
TV: para un solo producto en un mercado determinado, el costo de la publicidad en TV (en miles) Radio: costos de publicidad invertidos en medios de difusión Periódico: costos publicitarios para medios periodísticos.
datos[['TV','Radio', 'Newspaper', 'Web', 'Sales', ]].describe()## TV Radio Newspaper Web Sales
## count 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000
## mean 147.042500 23.264000 30.554000 159.587355 14.022500
## std 85.854236 14.846809 21.778621 76.815266 5.217457
## min 0.700000 0.000000 0.300000 4.308085 1.600000
## 25% 74.375000 9.975000 12.750000 99.048767 10.375000
## 50% 149.750000 22.900000 25.750000 156.862154 12.900000
## 75% 218.825000 36.525000 45.100000 212.311848 17.400000
## max 296.400000 49.600000 114.000000 358.247042 27.0000004.3.1 Dispersión de la variables con respecto a Sales.
sns.pairplot(datos, x_vars=['TV','Radio','Newspaper', 'Web'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8,kind = 'reg')
plt.savefig("pairplot.jpg")
plt.show()
Se observa la relación lineal entre las variables independientes con respecto a ventas, de tal forma que es posible estimar visualmente que la variable Newspaper tal vez tenga poco impacto en las ventas esto por la alta dispersión de los datos. Sin embargo participará en el modelo de regresión lineal múltiple.
Se observa también que la variable Web tiene poca correlación lineal con la variable Sales
4.4 Limpiar datos
4.4.1 Identificar variables independientes y dependiente
Quitar las primeras columnas y dejar TV Radio NewsPaper Web y Sales
print("Variables independientes ")## Variables independientesX_independientes = datos.iloc[:,2:6]
X_independientes## TV Radio Newspaper Web
## 0 230.1 37.8 69.2 306.634752
## 1 44.5 39.3 45.1 302.653070
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076
## .. ... ... ... ...
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073
## 196 94.2 4.9 8.1 118.041856
## 197 177.0 9.3 6.4 213.274671
## 198 283.6 42.0 66.2 237.498063
## 199 232.1 8.6 8.7 151.990733
##
## [200 rows x 4 columns]print ("Variable dependiente")## Variable dependienteY_dependiente = datos.iloc[:, 6:7]
Y_dependiente## Sales
## 0 22.1
## 1 10.4
## 2 9.3
## 3 18.5
## 4 12.9
## .. ...
## 195 7.6
## 196 9.7
## 197 12.8
## 198 25.5
## 199 13.4
##
## [200 rows x 1 columns]4.5 Datos de entrenamiento y datos de validación
Se utiliza semilla 2022 (random_state=2022)
X_entrena,X_valida,Y_entrena,Y_valida = train_test_split(X_independientes, Y_dependiente,train_size=.70, random_state=1307)4.5.1 Datos de entrenamiento
print("Estructura de datos de entrenamiento... ", X_entrena.shape)## Estructura de datos de entrenamiento... (140, 4)print(X_entrena)## TV Radio Newspaper Web
## 68 237.4 27.5 11.0 291.548597
## 50 199.8 3.1 34.6 151.990733
## 97 184.9 21.0 22.0 253.300721
## 110 225.8 8.2 56.5 95.185762
## 109 255.4 26.9 5.5 273.454125
## .. ... ... ... ...
## 59 210.7 29.5 9.3 138.895554
## 134 36.9 38.6 65.6 81.246748
## 178 276.7 2.3 23.7 137.323772
## 81 239.8 4.1 36.9 169.946395
## 122 224.0 2.4 15.6 89.515821
##
## [140 rows x 4 columns]print(X_entrena[['TV']], X_entrena[['Radio']], X_entrena[['Newspaper']])## TV
## 68 237.4
## 50 199.8
## 97 184.9
## 110 225.8
## 109 255.4
## .. ...
## 59 210.7
## 134 36.9
## 178 276.7
## 81 239.8
## 122 224.0
##
## [140 rows x 1 columns] Radio
## 68 27.5
## 50 3.1
## 97 21.0
## 110 8.2
## 109 26.9
## .. ...
## 59 29.5
## 134 38.6
## 178 2.3
## 81 4.1
## 122 2.4
##
## [140 rows x 1 columns] Newspaper
## 68 11.0
## 50 34.6
## 97 22.0
## 110 56.5
## 109 5.5
## .. ...
## 59 9.3
## 134 65.6
## 178 23.7
## 81 36.9
## 122 15.6
##
## [140 rows x 1 columns]4.6 Modelo de Regresión lineal múltiple
Se construye el modelo de regresión lineal mútiple
modelo_rm = LinearRegression()
modelo_rm.fit(X_entrena,Y_entrena)
## LinearRegression()4.6.1 Evaluación del modelo antes de predicciones
Se presentan los coeficientes, la intersección \(\beta_0\) y los coeficientes para cada variable independiente, \(\beta_1, \beta_2,\beta_3, \text{ y } \beta_4\)
print ("Intercepción o b0") ## Intercepción o b0b0 = modelo_rm.intercept_
print (b0)## [2.33912502]print ("Coeficientes: b1, b2, b3 y b4")
# print (modelo_rm.coef_)## Coeficientes: b1, b2, b3 y b4b1 = modelo_rm.coef_[0, 0:1]
b2 = modelo_rm.coef_[0, 1:2]
b3 = modelo_rm.coef_[0, 2:3]
b4 = modelo_rm.coef_[0, 3:4]
print (b1, b2, b3, b4)## [0.04574633] [0.19261671] [-0.00106449] [0.00335234]\[ Prediccion:\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {x_1} + b_2\cdot{x_2} + b_3\cdot{x_3}+b_3\cdot{x_4} \]
\[ \text{Prediccion Sales} :\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {TV} + b_2\cdot{Radio} + b_3\cdot{Newspaper}+b_3\cdot{Web} \]
4.6.2 R Square y R Square ajustado a a partir del modelo
Sobrepasa el 80% de tal forma que el el modelo SE ACEPTA por este criterio.
print(modelo_rm.score(X_entrena, Y_entrena))## 0.90423646719844344.7 Predicciones
Se hacen predicciones con los datos de validación
predicciones = modelo_rm.predict(X_valida)
print(predicciones[:-1])## [[19.27571869]
## [15.2090618 ]
## [23.21285977]
## [11.27128655]
## [12.07939392]
## [10.41332542]
## [12.15023253]
## [15.56099442]
## [ 4.77051792]
## [24.89026939]
## [13.58080183]
## [10.59227088]
## [ 8.05552055]
## [10.55688443]
## [15.51634973]
## [19.60788392]
## [10.12145442]
## [16.37194415]
## [12.33167356]
## [14.79842951]
## [ 4.47943771]
## [17.32410208]
## [13.04845993]
## [21.57474727]
## [12.05923672]
## [ 5.28047617]
## [12.37171515]
## [13.16718761]
## [13.63855962]
## [11.94180906]
## [17.90906548]
## [ 8.83777515]
## [ 7.51125206]
## [21.44794114]
## [20.90592824]
## [13.89003902]
## [14.56165862]
## [10.7124019 ]
## [ 5.13469279]
## [ 5.62338199]
## [14.67466008]
## [17.02833336]
## [15.55749703]
## [19.19403402]
## [15.15158542]
## [16.02783092]
## [ 8.81283205]
## [ 8.30207574]
## [ 7.97655874]
## [21.64279334]
## [ 6.24759375]
## [10.89174639]
## [14.37964881]
## [20.04721617]
## [ 3.62078027]
## [ 9.52881592]
## [16.64339159]
## [18.78799473]
## [20.99571268]]print(predicciones.shape)## (60, 1)4.8 Evaluar predicciones
Crear un data.frame llamado comparaciones a partir de la creación de un diccionario con los valores reales del conjunto de entrenamiento y las predicciones calculadas.
Se usa el type() para conocer el tipo de estructura de datos
Se usa el assign() para agregar columnas al df comparaciones
Se usa flatten().tolist() para convertir a una lista de una dimensión.
Al final se tiene un data.frame llamado comparaciones en donde las últimas columnas tienen los valores reales de ‘Sales’ y las predicciones en la variable ‘Predicho’.
print(type(X_valida))
# print(X_valida)## <class 'pandas.core.frame.DataFrame'>print(type(predicciones))
# print(predicciones)
## <class 'numpy.ndarray'>comparaciones = pd.DataFrame(X_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Sales_Real = Y_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Predicho = predicciones.flatten().tolist())
print(comparaciones)## TV Radio Newspaper Web Sales_Real Predicho
## 124 229.5 32.3 74.2 88.080721 19.7 19.275719
## 156 93.9 43.5 50.5 74.361939 15.3 15.209062
## 61 261.3 42.7 54.7 224.832039 24.2 23.212860
## 136 25.6 39.0 9.3 77.230797 9.5 11.271287
## 148 38.0 40.3 11.9 75.207978 10.9 12.079394
## 12 23.8 35.1 65.9 87.921085 9.2 10.413325
## 5 8.7 48.9 75.0 22.072395 7.2 12.150233
## 131 265.2 2.9 43.0 172.156659 12.7 15.560994
## 192 17.2 4.1 31.6 265.028644 5.9 4.770518
## 175 276.9 48.9 41.8 151.990733 27.0 24.890269
## 112 175.7 15.4 2.4 71.682551 14.1 13.580802
## 71 109.8 14.3 31.7 151.990733 12.4 10.592271
## 34 95.7 1.4 7.4 321.174609 9.5 8.055521
## 158 11.7 36.9 45.2 185.866079 7.3 10.556884
## 87 110.7 40.6 63.2 107.430521 16.0 15.516350
## 139 184.9 43.9 1.7 106.253829 20.7 19.607884
## 149 44.7 25.8 20.6 235.622449 10.1 10.121454
## 194 149.7 35.6 6.0 99.579981 17.3 16.371944
## 179 165.6 10.0 17.6 151.990733 12.6 12.331674
## 146 240.1 7.3 8.7 23.496943 13.2 14.798430
## 91 28.6 1.5 33.0 172.467947 7.3 4.479438
## 41 177.0 33.4 38.7 147.859324 17.1 17.324102
## 16 67.8 36.6 114.0 202.638903 12.5 13.048460
## 55 198.9 49.4 60.0 204.418927 23.7 21.574747
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3 12.059237
## 60 53.5 2.0 21.4 39.217153 8.1 5.280476
## 7 120.2 19.6 11.6 229.971459 13.2 12.371715
## 167 206.8 5.2 19.4 115.371957 12.2 13.167188
## 174 222.4 3.4 13.1 144.525662 11.5 13.638560
## 177 170.2 7.8 35.2 104.917344 11.7 11.941809
## 169 284.3 10.6 6.4 157.900110 15.0 17.909065
## 13 97.5 7.6 7.2 173.658035 9.7 8.837775
## 32 97.2 1.5 30.0 139.781089 9.6 7.511252
## 93 250.9 36.5 72.3 202.102158 22.2 21.447941
## 15 195.4 47.7 52.9 148.095134 22.4 20.905928
## 181 218.5 5.4 27.4 162.387486 12.2 13.890039
## 19 147.3 23.9 19.1 268.735384 14.6 14.561659
## 166 17.9 37.6 21.6 99.936953 8.0 10.712402
## 155 4.1 11.6 5.7 113.270712 3.2 5.134693
## 106 25.0 11.0 29.7 15.938208 7.2 5.623382
## 123 123.1 34.6 12.4 15.757191 15.2 14.674660
## 35 290.7 4.1 8.5 181.983424 12.8 17.028333
## 25 262.9 3.5 19.5 160.562859 12.0 15.557497
## 92 217.7 33.5 59.0 150.962754 19.4 19.194034
## 114 78.2 46.8 34.5 76.770428 14.6 15.151585
## 113 209.6 20.6 10.7 42.883796 15.9 16.027831
## 29 70.6 16.0 40.8 61.324362 10.5 8.812832
## 49 66.9 11.7 36.8 205.253501 9.7 8.302076
## 65 69.0 9.3 0.9 205.993485 9.3 7.976559
## 47 239.9 41.5 18.5 105.962913 23.2 21.642793
## 189 18.7 12.1 23.4 222.906951 6.7 6.247594
## 164 117.2 14.7 5.4 109.008763 11.9 10.891746
## 160 172.5 18.1 30.7 207.496801 14.4 14.379649
## 176 248.4 30.2 20.3 163.852044 20.2 20.047216
## 8 8.6 2.1 1.0 144.617385 4.8 3.620780
## 73 129.4 5.7 31.3 61.306191 11.0 9.528816
## 99 135.2 41.7 45.9 40.600350 17.2 16.643392
## 14 204.1 32.9 46.0 245.774960 19.0 18.787995
## 84 213.5 43.0 33.8 191.868374 21.7 20.995713
## 132 8.4 27.2 2.1 238.055219 5.7 8.7583754.8.1 RMSE
rmse Root Mean Stándard Error (Root-mean-square deviation), este valor normalmente se compara contra otro modelo y el que esté mas cerca de cero es mejor.
La raiz del Error Cuadrático Medio (rmse) es una métrica que dice qué tan lejos están los valores predichos de los valores observados o reales en un análisis de regresión, en promedio. Se calcula como:
\[ rmse = \sqrt{\frac{\sum(predicho_i - real_i)^{2}}{n}} \]
RMSE es una forma útil de ver qué tan bien un modelo de regresión puede ajustarse a un conjunto de datos.
Cuanto mayor sea el rmse, mayor será la diferencia entre los valores predichos y reales, lo que significa que peor se ajusta un modelo de regresión a los datos. Por el contrario, cuanto más pequeño sea el rmse, mejor podrá un modelo ajustar los datos.
print('Mean Squared Error: MSE', metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones))## Mean Squared Error: MSE 3.1555335591264333print('Root Mean Squared Error RMSE:', np.sqrt(metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones)))## Root Mean Squared Error RMSE: 1.77638215458454574.9 Graficar prediciones contra valores reales
Pendiente … …
4.10 Predicciones con datos nuevos
Se hacen predicciones con datos nuevos. Pendiente … …
5 Interpretación
Use statsmodels para obtener la confianza por coeficientes.
# with statsmodels
x = sm.add_constant(X_entrena) # adding a constant
model = sm.OLS(Y_entrena, x).fit()
predictions = model.predict(x)
print_model = model.summary()
print(print_model)## OLS Regression Results
## ==============================================================================
## Dep. Variable: Sales R-squared: 0.904
## Model: OLS Adj. R-squared: 0.901
## Method: Least Squares F-statistic: 318.7
## Date: jue., 29 sep. 2022 Prob (F-statistic): 1.06e-67
## Time: 19:18:31 Log-Likelihood: -262.73
## No. Observations: 140 AIC: 535.5
## Df Residuals: 135 BIC: 550.2
## Df Model: 4
## Covariance Type: nonrobust
## ==============================================================================
## coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
## ------------------------------------------------------------------------------
## const 2.3391 0.498 4.694 0.000 1.354 3.325
## TV 0.0457 0.002 27.989 0.000 0.043 0.049
## Radio 0.1926 0.010 19.148 0.000 0.173 0.213
## Newspaper -0.0011 0.007 -0.157 0.876 -0.014 0.012
## Web 0.0034 0.002 1.899 0.060 -0.000 0.007
## ==============================================================================
## Omnibus: 64.505 Durbin-Watson: 1.658
## Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 281.948
## Skew: -1.627 Prob(JB): 5.97e-62
## Kurtosis: 9.144 Cond. No. 890.
## ==============================================================================
##
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.Con este modelo y con estos datos interprete lo siguiente:
¿Cuál es el contexto de los datos?
Estos datos muestran una relacion sobre la cantidad de dinero gastada y los resultados de las ventas despues de esta publicidad.
¿Cuántas observaciones se analizan y cuáles son las variables de interés?
TV, Radio, Newspaper, Web, Sales
¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?
Dependiente: **Sales**
Independiente: TV, Radio, Newspaper, Web
¿Cuál es el porcentaje de datos de entrenamiento y datos de validación ?
70% de entrenamiento y 30% de validacion.
¿Son los coeficientes confiables al menos al 90% para hacer predicciones?,
Si, todos menos el de Newspaper son confiables para hacer predicciones.
¿Cuál nivel de confianza para cada coeficiente?
>95%: TV, Radio
94%: Web
<15%: Newspaper
¿Que valor tiene el estadístico el *R Square* ajustado y que representa o qué significa?
Con mi semilla nos da 0.901 y muestra que tan bien se ajustan los datos predichos al los datos reales, mientras mas cerca al 1 mejor y penalizando el uso de coeficientes que no aportan a la prediccion. El resultado nos dice que tiene una muy buena confianza siendo el valor mayor al .90 y al compararlo contra el RMSE podemos ver que tiene poca varianza y no se tiene que dejar de usar ninguna variable para la prediccion, si el valor fuera mas grande se tendria que revisar cual variable esta afectando.
- ¿Cuál es el valor de *RMSE* y qué significaría este valor
1.776382, significa que tanto se separan los valores predichos de los reales podemos ver que no es muy alta, pero con la semilla original sale mas baja. Indicando que es una semilla mas benefica para obtener un buen resultado, y que no haya mucha varianza entre los valores.
¿Puede haber otro modelo más óptimo para estos datos?
Si, es posible que haya un modelo que aumente la precision de prediccion pero creo que este modelo cumple de buena manera al menos para estos datos, y el tamaño de la muestra.
¿Que tan confiables son las predicciones con datos nuevos con este modelo y con estos datos?
Los valores son bastantes cercanos a los predecidos, creo que es un buen modelo y al ver la confiabilidad de los coeficientes y del score de r cuadrado ajustado me aseguraria una prediccion buena.
Comparado con el modelo elaborado en lenguaje R cual tiene menor rmse y qué significa?