Caso 3. Regresión Lineal Múltiple con datos Adverstising. Programación Python
Luis Alberto Jimenez Soto
2022-10-19
1 Objetivo
Crear y evaluar un modelo de regresión lineal múltiple para predecir las ventas con datos simulados de una empresa dependiendo de las inversiones realizadas en publicidad
2 Descripción
Cargar librerías y datos
Limpiar datos si es necesario
Explorar datos
Partir los datos en datos de entrenamiento y datos de validación 70% y 30%
Crear modelo de regresión con los datos de entrenamiento
Evaluar modelo antes de predicciones con los estadísticos. R Square ajustado y Coeficientes
El modelo se acepta si presenta un valor de R Square ajustado por encima del 70%
Predicciones
Evaluar predicciones con respecto a datos reales
Determinar el estadístico rmse para evaluar con respecto a otros modelos
Interpretar el caso
3 Fundamento teórico
En la mayoría de los problemas de investigación en los que se aplica el análisis de regresión se necesita más de una variable independiente para el modelo de regresión.
La complejidad de la mayoría de mecanismos científicos es tal que, con el fin de predecir una respuesta importante, se requiere un modelo de regresión múltiple. Cuando un modelo es lineal en los coeficientes se denomina modelo de regresión lineal múltiple.
Para el caso de k variables independientes, el modelo que da \(x_1,x_2,x_3...,x_k\), y \(y\) como la variable dependiente.
\(x_1, x_2, x_3,...,x_k\) son las variable s que afectan a la variable dependiente en el modelo de regresión lineal múltiple.
Muchos problemas de investigación y de la industria, requieren la estimación de las relaciones existentes entre el patrón de variabilidad de una variable aleatoria y los valores de una o más variables aleatorias. [@urrutiamosquera2011]
Al generar un modelo de regresión lineal múltiple es importante identificar los estadísticos de R2, que se denomina coeficiente de determinación y es una medida de la proporción de la variabilidad explicada por el modelo ajustado.
De igual forma, el valor de R2 ajustado (R Square Adjusted) o coeficiente de determinación ajustado, es una variación de R2 que proporciona un ajuste para los grados de libertad [@walpole2012].
El estadístico R Ajustado está diseñado para proporcionar un estadístico que castigue un modelo sobreajustado, de manera que se puede esperar que favorezca al modelo [@walpole2012].
Una variable Y puede predecirse conforme y de acuerdo con la siguiente fórmula de la regresión múltiple.
\[ Y = b_0 + b_1{x_1} + b_2{x_2} + b_3{x_3}+ .....b_k{x_k} \]
4 Desarrollo
Para trabajar con código Python, se deben cargan las librerías de Python previamente instaladas con la función py_install() de la librería reticulate de R.
La función repl_python() se utilizar para ejecutar ventana de comando o shell de Python.
Se recomienda instalar estos paquetes de Python
py_install(packages = “pandas”)
py_install(packages = “matplotlib”)
py_install(packages = “numpy”)
py_install(packages = “sklearn”) en R cloud
py_install(“scikit-learn”) R Studio local
py_install(packages = “statsmodels.api”)
py_install(packages = “seaborn”)
En terminal de Python se puede actualizar con conda create -n py3.8 python=3.8 scikit-learn pandas numpy matplotlib
4.1 Cargar librerías
library(reticulate)import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm # Estadísticas R Adjused
import seaborn as sns # Gráficos
from sklearn import linear_model
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # Polinomial
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import metrics
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score4.2 Cargar datos
datos = pd.read_csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Analisis-Inteligente-de-datos/main/datos/Advertising_Web.csv")
datos## Unnamed: 0 X TV Radio Newspaper Web Sales
## 0 1 1 230.1 37.8 69.2 306.634752 22.1
## 1 2 2 44.5 39.3 45.1 302.653070 10.4
## 2 3 3 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3
## 3 4 4 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5
## 4 5 5 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9
## .. ... ... ... ... ... ... ...
## 195 196 196 38.2 3.7 13.8 248.841073 7.6
## 196 197 197 94.2 4.9 8.1 118.041856 9.7
## 197 198 198 177.0 9.3 6.4 213.274671 12.8
## 198 199 199 283.6 42.0 66.2 237.498063 25.5
## 199 200 200 232.1 8.6 8.7 151.990733 13.4
##
## [200 rows x 7 columns]4.3 Explorar datos
print("Observaciones y variables: ", datos.shape)## Observaciones y variables: (200, 7)print("Columnas y tipo de dato")
# datos.columns## Columnas y tipo de datodatos.dtypes## Unnamed: 0 int64
## X int64
## TV float64
## Radio float64
## Newspaper float64
## Web float64
## Sales float64
## dtype: objectSe describen las variables independientes: TV, Radio Newpaper y la variable dependiente Sales.
Valor de etiqueta o variable objetivo deendiente(ventas): que significa el volumen de ventas del producto correspondiente
Las variables independientes: (TV, Radio, Periódico, WEB):
TV: para un solo producto en un mercado determinado, el costo de la publicidad en TV (en miles) Radio: costos de publicidad invertidos en medios de difusión Periódico: costos publicitarios para medios periodísticos.
datos[['TV','Radio', 'Newspaper', 'Web', 'Sales', ]].describe()## TV Radio Newspaper Web Sales
## count 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000
## mean 147.042500 23.264000 30.554000 159.587355 14.022500
## std 85.854236 14.846809 21.778621 76.815266 5.217457
## min 0.700000 0.000000 0.300000 4.308085 1.600000
## 25% 74.375000 9.975000 12.750000 99.048767 10.375000
## 50% 149.750000 22.900000 25.750000 156.862154 12.900000
## 75% 218.825000 36.525000 45.100000 212.311848 17.400000
## max 296.400000 49.600000 114.000000 358.247042 27.0000004.3.1 Dispersión de la variables con respecto a Sales.
sns.pairplot(datos, x_vars=['TV','Radio','Newspaper', 'Web'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8,kind = 'reg')
plt.savefig("pairplot.jpg")
plt.show()
Se observa la relación lineal entre las variables independientes con respecto a ventas, de tal forma que es posible estimar visualmente que la variable Newspaper tal vez tenga poco impacto en las ventas esto por la alta dispersión de los datos. Sin embargo participará en el modelo de regresión lineal múltiple.
Se observa también que la variable Web tiene poca correlación lineal con la variable Sales
4.4 Limpiar datos
4.4.1 Identificar variables independientes y dependiente
Quitar las primeras columnas y dejar TV Radio NewsPaper Web y Sales
print("Variables independientes ")## Variables independientesX_independientes = datos.iloc[:,2:6]
X_independientes## TV Radio Newspaper Web
## 0 230.1 37.8 69.2 306.634752
## 1 44.5 39.3 45.1 302.653070
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076
## .. ... ... ... ...
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073
## 196 94.2 4.9 8.1 118.041856
## 197 177.0 9.3 6.4 213.274671
## 198 283.6 42.0 66.2 237.498063
## 199 232.1 8.6 8.7 151.990733
##
## [200 rows x 4 columns]print ("Variable dependiente")## Variable dependienteY_dependiente = datos.iloc[:, 6:7]
Y_dependiente## Sales
## 0 22.1
## 1 10.4
## 2 9.3
## 3 18.5
## 4 12.9
## .. ...
## 195 7.6
## 196 9.7
## 197 12.8
## 198 25.5
## 199 13.4
##
## [200 rows x 1 columns]4.5 Datos de entrenamiento y datos de validación
Se utiliza semilla 1271 (random_state=1271)
X_entrena,X_valida,Y_entrena,Y_valida = train_test_split(X_independientes, Y_dependiente,train_size=.70, random_state=1271)4.5.1 Datos de entrenamiento
print("Estructura de datos de entrenamiento... ", X_entrena.shape)## Estructura de datos de entrenamiento... (140, 4)print(X_entrena)## TV Radio Newspaper Web
## 147 243.2 49.0 44.3 151.990733
## 46 89.7 9.9 35.7 216.504015
## 78 5.4 29.9 9.4 4.308085
## 112 175.7 15.4 2.4 71.682551
## 52 216.4 41.7 39.6 161.802512
## .. ... ... ... ...
## 125 87.2 11.8 25.9 121.090982
## 36 266.9 43.8 5.0 96.316829
## 174 222.4 3.4 13.1 144.525662
## 27 240.1 16.7 22.9 228.157437
## 56 7.3 28.1 41.4 121.328525
##
## [140 rows x 4 columns]print(X_entrena[['TV']], X_entrena[['Radio']], X_entrena[['Newspaper']])## TV
## 147 243.2
## 46 89.7
## 78 5.4
## 112 175.7
## 52 216.4
## .. ...
## 125 87.2
## 36 266.9
## 174 222.4
## 27 240.1
## 56 7.3
##
## [140 rows x 1 columns] Radio
## 147 49.0
## 46 9.9
## 78 29.9
## 112 15.4
## 52 41.7
## .. ...
## 125 11.8
## 36 43.8
## 174 3.4
## 27 16.7
## 56 28.1
##
## [140 rows x 1 columns] Newspaper
## 147 44.3
## 46 35.7
## 78 9.4
## 112 2.4
## 52 39.6
## .. ...
## 125 25.9
## 36 5.0
## 174 13.1
## 27 22.9
## 56 41.4
##
## [140 rows x 1 columns]4.6 Modelo de Regresión lineal múltiple
Se construye el modelo de regresión lineal mútiple
modelo_rm = LinearRegression()
modelo_rm.fit(X_entrena,Y_entrena)
LinearRegression()In a Jupyter environment, please rerun this cell to show the HTML representation or trust the notebook.
On GitHub, the HTML representation is unable to render, please try loading this page with nbviewer.org.
LinearRegression()
4.6.1 Evaluación del modelo antes de predicciones
Se presentan los coeficientes, la intersección \(\beta_0\) y los coeficientes para cada variable independiente, \(\beta_1, \beta_2,\beta_3, \text{ y } \beta_4\)
print ("Intercepción o b0") ## Intercepción o b0b0 = modelo_rm.intercept_
print (b0)## [2.06227541]print ("Coeficientes: b1, b2, b3 y b4")
# print (modelo_rm.coef_)## Coeficientes: b1, b2, b3 y b4b1 = modelo_rm.coef_[0, 0:1]
b2 = modelo_rm.coef_[0, 1:2]
b3 = modelo_rm.coef_[0, 2:3]
b4 = modelo_rm.coef_[0, 3:4]
print (b1, b2, b3, b4)## [0.04698624] [0.19038058] [0.00303892] [0.00317879]\[ Prediccion:\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {x_1} + b_2\cdot{x_2} + b_3\cdot{x_3}+b_3\cdot{x_4} \]
\[ \text{Prediccion Sales} :\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {TV} + b_2\cdot{Radio} + b_3\cdot{Newspaper}+b_3\cdot{Web} \]
4.6.2 R Square y R Square ajustado a a partir del modelo
Sobrepasa el 80% de tal forma que el el modelo SE ACEPTA por este criterio.
print(modelo_rm.score(X_entrena, Y_entrena))## 0.89993848144908874.7 Predicciones
Se hacen predicciones con los datos de validación
predicciones = modelo_rm.predict(X_valida)
print(predicciones[:-1])## [[12.36325125]
## [12.07874848]
## [ 9.85004968]
## [ 6.44652764]
## [16.24894357]
## [14.52855633]
## [ 7.45041086]
## [18.71085801]
## [ 3.32890371]
## [21.7297055 ]
## [14.8685119 ]
## [14.83457941]
## [17.95049177]
## [18.26765311]
## [ 5.39450874]
## [15.14568476]
## [12.73424603]
## [12.28363373]
## [17.33239228]
## [ 8.9205073 ]
## [12.35972578]
## [20.99282688]
## [ 8.64242593]
## [17.10605279]
## [17.99573001]
## [14.14217238]
## [18.61680614]
## [13.19470644]
## [18.04073107]
## [18.27645825]
## [12.84678343]
## [13.65501964]
## [ 6.99732226]
## [14.70716275]
## [ 7.43301819]
## [17.49779961]
## [21.00357149]
## [ 8.19739765]
## [13.50290565]
## [15.55338613]
## [19.44974767]
## [16.9950344 ]
## [14.52122068]
## [12.20776321]
## [13.50005777]
## [ 4.09415401]
## [14.94188326]
## [13.41293249]
## [ 9.23663311]
## [13.06376616]
## [20.67430994]
## [ 6.49000167]
## [ 8.74968338]
## [11.54756197]
## [13.95628542]
## [ 8.66422877]
## [21.16415664]
## [ 9.66741782]
## [24.99254831]]print(predicciones.shape)## (60, 1)4.8 Evaluar predicciones
Crear un data.frame llamado comparaciones a partir de la creación de un diccionario con los valores reales del conjunto de entrenamiento y las predicciones calculadas.
Se usa el type() para conocer el tipo de estructura de datos
Se usa el assign() para agregar columnas al df comparaciones
Se usa flatten().tolist() para convertir a una lista de una dimensión.
Al final se tiene un data.frame llamado comparaciones en donde las últimas columnas tienen los valores reales de ‘Sales’ y las predicciones en la variable ‘Predicho’.
print(type(X_valida))
# print(X_valida)## <class 'pandas.core.frame.DataFrame'>print(type(predicciones))
# print(predicciones)## <class 'numpy.ndarray'>comparaciones = pd.DataFrame(X_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Sales_Real = Y_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Predicho = predicciones.flatten().tolist())
print(comparaciones)## TV Radio Newspaper Web Sales_Real Predicho
## 9 199.8 2.6 21.2 111.272264 10.6 12.363251
## 5 8.7 48.9 75.0 22.072395 7.2 12.078748
## 186 139.5 2.1 26.6 236.744035 10.3 9.850050
## 119 19.4 16.0 22.3 112.892609 6.6 6.446528
## 23 228.3 16.9 26.2 51.170073 15.5 16.248944
## 103 187.9 17.2 17.9 97.088630 14.7 14.528556
## 32 97.2 1.5 30.0 139.781089 9.6 7.450411
## 184 253.8 21.3 30.0 181.579051 17.6 18.710858
## 8 8.6 2.1 1.0 144.617385 4.8 3.328904
## 30 292.9 28.3 43.2 121.464347 21.4 21.729706
## 45 175.1 22.5 31.5 62.809264 14.9 14.868512
## 146 240.1 7.3 8.7 23.496943 13.2 14.834579
## 20 218.4 27.7 53.4 59.960554 18.0 17.950492
## 150 280.7 13.9 37.0 81.040617 16.1 18.267653
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073 7.6 5.394509
## 156 93.9 43.5 50.5 74.361939 15.3 15.145685
## 1 44.5 39.3 45.1 302.653070 10.4 12.734246
## 179 165.6 10.0 17.6 151.990733 12.6 12.283634
## 62 239.3 15.5 27.3 312.209555 15.7 17.332392
## 66 31.5 24.6 2.2 216.471397 9.5 8.920507
## 57 136.2 19.2 16.6 60.454355 13.2 12.359726
## 84 213.5 43.0 33.8 191.868374 21.7 20.992827
## 191 75.5 10.8 6.0 301.481194 9.9 8.642426
## 35 290.7 4.1 8.5 181.983424 12.8 17.106053
## 105 137.9 46.4 59.0 138.762632 19.2 17.995730
## 43 206.9 8.4 26.4 213.609610 12.9 14.142172
## 141 193.7 35.4 75.6 152.284937 19.2 18.616806
## 167 206.8 5.2 19.4 115.371957 12.2 13.194706
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5 18.040731
## 153 171.3 39.7 37.7 155.016224 19.0 18.276458
## 197 177.0 9.3 6.4 213.274671 12.8 12.846783
## 161 85.7 35.8 49.3 188.933530 13.3 13.655020
## 127 80.2 0.0 9.2 358.247042 8.8 6.997322
## 110 225.8 8.2 56.5 95.185762 13.4 14.707163
## 121 18.8 21.7 50.4 63.854924 7.0 7.433018
## 168 215.4 23.6 57.6 203.431267 17.1 17.497800
## 185 205.0 45.1 19.6 208.692690 22.6 21.003571
## 49 66.9 11.7 36.8 205.253501 9.7 8.197398
## 77 120.5 28.5 14.2 97.455125 14.2 13.502906
## 85 193.2 18.4 65.7 223.578793 15.2 15.553386
## 133 219.8 33.5 45.1 171.478018 19.6 19.449748
## 89 109.8 47.8 51.4 162.727890 16.7 16.995034
## 123 123.1 34.6 12.4 15.757191 15.2 14.521221
## 7 120.2 19.6 11.6 229.971459 13.2 12.207763
## 135 48.3 47.0 8.5 61.227323 11.6 13.500058
## 76 27.5 1.6 20.7 117.101925 6.9 4.094154
## 162 188.4 18.1 25.6 158.461520 14.9 14.941883
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9 13.412932
## 143 104.6 5.7 34.4 336.571095 10.4 9.236633
## 115 75.1 35.0 52.7 204.276714 12.6 13.063766
## 39 228.0 37.7 32.0 196.483269 21.5 20.674310
## 10 66.1 5.8 24.2 45.359029 8.6 6.490002
## 51 100.4 9.6 3.6 41.335255 10.7 8.749683
## 86 76.3 27.5 16.0 193.830894 12.0 11.547562
## 181 218.5 5.4 27.4 162.387486 12.2 13.956285
## 13 97.5 7.6 7.2 173.658035 9.7 8.664229
## 69 216.8 43.9 27.2 149.396103 22.3 21.164157
## 38 43.1 26.7 35.1 122.753591 10.1 9.667418
## 175 276.9 48.9 41.8 151.990733 27.0 24.992548
## 99 135.2 41.7 45.9 40.600350 17.2 16.6222314.8.1 RMSE
rmse Root Mean Stándard Error (Root-mean-square deviation), este valor normalmente se compara contra otro modelo y el que esté mas cerca de cero es mejor.
La raiz del Error Cuadrático Medio (rmse) es una métrica que dice qué tan lejos están los valores predichos de los valores observados o reales en un análisis de regresión, en promedio. Se calcula como:
\[ rmse = \sqrt{\frac{\sum(predicho_i - real_i)^{2}}{n}} \]
RMSE es una forma útil de ver qué tan bien un modelo de regresión puede ajustarse a un conjunto de datos.
Cuanto mayor sea el rmse, mayor será la diferencia entre los valores predichos y reales, lo que significa que peor se ajusta un modelo de regresión a los datos. Por el contrario, cuanto más pequeño sea el rmse, mejor podrá un modelo ajustar los datos.
print('Mean Squared Error: MSE', metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones))## Mean Squared Error: MSE 2.1319134743058834print('Root Mean Squared Error RMSE:', np.sqrt(metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones)))## Root Mean Squared Error RMSE: 1.46010735026774094.9 Graficar prediciones contra valores reales
Pendiente … …
4.10 Predicciones con datos nuevos
Se hacen predicciones con datos nuevos. Pendiente … …
5 Interpretación
Con este modelo y con estos datos interprete lo siguiente:
- ¿Cuál es el contexto de los datos?
Una empresa está comparando las ventas de algún producto con respecto a la inversion en anuncios que se tienen en distintos medios.
- ¿Cuántas observaciones se analizan y cuáles son las variables de interés?
Se analizaron 200 observaciones, teniendo como variables de interés: TV, Radio, Newspaper, Web y Sales.
- ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?
Las variables independientes son TV, Radio, Newspaper y Web, la variable dependiente es Sales.
¿Cuál es el porcentaje de datos de entrenamiento y datos de validación ? Los datos que sirvieron de entrenamiento son el 70%, los de validación son el 30%
¿Son los coeficientes confiables al menos al 90% para hacer predicciones?, TV, Radio y Web tienen una confiabilidad mayor al 90%
¿Cuál nivel de confianza para cada coeficiente?
En TV 0.044771 y está por encima del 99.9%, en Radio 0.19369 y también está por encima del 99.9%, en Newspaper 0.002182 y está por debajo del 90% y en Web 0.00382 y está por encima del 90%
- ¿Que valor tiene el estadístico el R Square ajustado y que representa o qué significa?
El valor de R Square ajustado es de 0.8995 y representa qué tan bien se ajusta el modelo a los datos
- ¿Cuál es el valor de RMSE y qué significaría este valor
El valor de RMSE es de 1.797079, significa que las predicciones tendrán una diferencia de 1.79 aproximadamente
- ¿Puede haber otro modelo más óptimo para estos datos?
Si pero requeriría de otras operaciones, como por ejemplo podría ser una regresión lineal múltiple con más de una variable dependiente o más variables independientes.
- ¿Que tan confiables son las predicciones con datos nuevos con este modelo y con estos datos?
Tomando en cuenta los datos de correlación, el R Square y el RMSE, se puede concluir que este modelo, con la semilla 1271, tiene un grado de certeza muy alto, perfecto para su posterior uso en predicciones, simulaciones, etc.
- Comparado con el modelo elaborado en lenguaje R cual tiene menor rmse y qué significa?
En este caso en concreto Python resulta mas optimo, pero no se puede llegar con eso a un resultado concluyente, en este caso Python tiene el menor RMSE con 1.46010735, en cambio R tiene 1.797079,