Caso 3. Regresión Lineal Múltiple con datos Adverstising. Programación Python
Alfredo Flores Garcia
2022-09-29
1 Objetivo
Crear y evaluar un modelo de regresión lineal múltiple para predecir las ventas con datos simulados de una empresa dependiendo de las inversiones realizadas en publicidad
2 Descripción
Cargar librerías y datos
Limpiar datos si es necesario
Explorar datos
Partir los datos en datos de entrenamiento y datos de validación 70% y 30%
Crear modelo de regresión con los datos de entrenamiento
Evaluar modelo antes de predicciones con los estadísticos. R Square ajustado y Coeficientes
El modelo se acepta si presenta un valor de R Square ajustado por encima del 70%
Predicciones
Evaluar predicciones con respecto a datos reales
Determinar el estadístico rmse para evaluar con respecto a otros modelos
Interpretar el caso
3 Fundamento teórico
En la mayoría de los problemas de investigación en los que se aplica el análisis de regresión se necesita más de una variable independiente para el modelo de regresión.
La complejidad de la mayoría de mecanismos científicos es tal que, con el fin de predecir una respuesta importante, se requiere un modelo de regresión múltiple. Cuando un modelo es lineal en los coeficientes se denomina modelo de regresión lineal múltiple.
Para el caso de k variables independientes, el modelo que da \(x_1,x_2,x_3...,x_k\), y \(y\) como la variable dependiente.
\(x_1, x_2, x_3,...,x_k\) son las variable s que afectan a la variable dependiente en el modelo de regresión lineal múltiple.
Muchos problemas de investigación y de la industria, requieren la estimación de las relaciones existentes entre el patrón de variabilidad de una variable aleatoria y los valores de una o más variables aleatorias. [@urrutiamosquera2011]
Al generar un modelo de regresión lineal múltiple es importante identificar los estadísticos de R2, que se denomina coeficiente de determinación y es una medida de la proporción de la variabilidad explicada por el modelo ajustado.
De igual forma, el valor de R2 ajustado (R Square Adjusted) o coeficiente de determinación ajustado, es una variación de R2 que proporciona un ajuste para los grados de libertad [@walpole2012].
El estadístico R Ajustado está diseñado para proporcionar un estadístico que castigue un modelo sobreajustado, de manera que se puede esperar que favorezca al modelo [@walpole2012].
Una variable Y puede predecirse conforme y de acuerdo con la siguiente fórmula de la regresión múltiple.
\[ Y = b_0 + b_1{x_1} + b_2{x_2} + b_3{x_3}+ .....b_k{x_k} \]
4 Desarrollo
Para trabajar con código Python, se deben cargan las librerías de Python previamente instaladas con la función py_install() de la librería reticulate de R.
La función repl_python() se utilizar para ejecutar ventana de comando o shell de Python.
Se recomienda instalar estos paquetes de Python
py_install(packages = “pandas”)
py_install(packages = “matplotlib”)
py_install(packages = “numpy”)
py_install(packages = “sklearn”) en R cloud
py_install(“scikit-learn”) R Studio local
py_install(packages = “statsmodels.api”)
py_install(packages = “seaborn”)
En terminal de Python se puede actualizar con conda create -n py3.8 python=3.8 scikit-learn pandas numpy matplotlib
4.1 Cargar librerías
library(reticulate)import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm # Estadísticas R Adjused
import seaborn as sns # Gráficos
from sklearn import linear_model
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # Polinomial
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import metrics
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score4.2 Cargar datos
datos = pd.read_csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Analisis-Inteligente-de-datos/main/datos/Advertising_Web.csv")
datos## Unnamed: 0 X TV Radio Newspaper Web Sales
## 0 1 1 230.1 37.8 69.2 306.634752 22.1
## 1 2 2 44.5 39.3 45.1 302.653070 10.4
## 2 3 3 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3
## 3 4 4 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5
## 4 5 5 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9
## .. ... ... ... ... ... ... ...
## 195 196 196 38.2 3.7 13.8 248.841073 7.6
## 196 197 197 94.2 4.9 8.1 118.041856 9.7
## 197 198 198 177.0 9.3 6.4 213.274671 12.8
## 198 199 199 283.6 42.0 66.2 237.498063 25.5
## 199 200 200 232.1 8.6 8.7 151.990733 13.4
##
## [200 rows x 7 columns]4.3 Explorar datos
print("Observaciones y variables: ", datos.shape)## Observaciones y variables: (200, 7)print("Columnas y tipo de dato")
# datos.columns## Columnas y tipo de datodatos.dtypes## Unnamed: 0 int64
## X int64
## TV float64
## Radio float64
## Newspaper float64
## Web float64
## Sales float64
## dtype: objectSe describen las variables independientes: TV, Radio Newpaper y la variable dependiente Sales.
Valor de etiqueta o variable objetivo deendiente(ventas): que significa el volumen de ventas del producto correspondiente
Las variables independientes: (TV, Radio, Periódico, WEB):
TV: para un solo producto en un mercado determinado, el costo de la publicidad en TV (en miles) Radio: costos de publicidad invertidos en medios de difusión Periódico: costos publicitarios para medios periodísticos.
datos[['TV','Radio', 'Newspaper', 'Web', 'Sales', ]].describe()## TV Radio Newspaper Web Sales
## count 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000
## mean 147.042500 23.264000 30.554000 159.587355 14.022500
## std 85.854236 14.846809 21.778621 76.815266 5.217457
## min 0.700000 0.000000 0.300000 4.308085 1.600000
## 25% 74.375000 9.975000 12.750000 99.048767 10.375000
## 50% 149.750000 22.900000 25.750000 156.862154 12.900000
## 75% 218.825000 36.525000 45.100000 212.311848 17.400000
## max 296.400000 49.600000 114.000000 358.247042 27.0000004.3.1 Dispersión de la variables con respecto a Sales.
sns.pairplot(datos, x_vars=['TV','Radio','Newspaper', 'Web'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8,kind = 'reg')
plt.savefig("pairplot.jpg")
plt.show()
Se observa la relación lineal entre las variables independientes con respecto a ventas, de tal forma que es posible estimar visualmente que la variable Newspaper tal vez tenga poco impacto en las ventas esto por la alta dispersión de los datos. Sin embargo participará en el modelo de regresión lineal múltiple.
Se observa también que la variable Web tiene poca correlación lineal con la variable Sales
4.4 Limpiar datos
4.4.1 Identificar variables independientes y dependiente
Quitar las primeras columnas y dejar TV Radio NewsPaper Web y Sales
print("Variables independientes ")## Variables independientesX_independientes = datos.iloc[:,2:6]
X_independientes## TV Radio Newspaper Web
## 0 230.1 37.8 69.2 306.634752
## 1 44.5 39.3 45.1 302.653070
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076
## .. ... ... ... ...
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073
## 196 94.2 4.9 8.1 118.041856
## 197 177.0 9.3 6.4 213.274671
## 198 283.6 42.0 66.2 237.498063
## 199 232.1 8.6 8.7 151.990733
##
## [200 rows x 4 columns]print ("Variable dependiente")## Variable dependienteY_dependiente = datos.iloc[:, 6:7]
Y_dependiente## Sales
## 0 22.1
## 1 10.4
## 2 9.3
## 3 18.5
## 4 12.9
## .. ...
## 195 7.6
## 196 9.7
## 197 12.8
## 198 25.5
## 199 13.4
##
## [200 rows x 1 columns]4.5 Datos de entrenamiento y datos de validación
Se utiliza semilla 2022 (random_state=2022)
X_entrena,X_valida,Y_entrena,Y_valida = train_test_split(X_independientes, Y_dependiente,train_size=.70, random_state=1264)4.5.1 Datos de entrenamiento
print("Estructura de datos de entrenamiento... ", X_entrena.shape)## Estructura de datos de entrenamiento... (140, 4)print(X_entrena)## TV Radio Newspaper Web
## 123 123.1 34.6 12.4 15.757191
## 60 53.5 2.0 21.4 39.217153
## 68 237.4 27.5 11.0 291.548597
## 198 283.6 42.0 66.2 237.498063
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073
## .. ... ... ... ...
## 179 165.6 10.0 17.6 151.990733
## 32 97.2 1.5 30.0 139.781089
## 170 50.0 11.6 18.4 64.014805
## 194 149.7 35.6 6.0 99.579981
## 30 292.9 28.3 43.2 121.464347
##
## [140 rows x 4 columns]print(X_entrena[['TV']], X_entrena[['Radio']], X_entrena[['Newspaper']])## TV
## 123 123.1
## 60 53.5
## 68 237.4
## 198 283.6
## 195 38.2
## .. ...
## 179 165.6
## 32 97.2
## 170 50.0
## 194 149.7
## 30 292.9
##
## [140 rows x 1 columns] Radio
## 123 34.6
## 60 2.0
## 68 27.5
## 198 42.0
## 195 3.7
## .. ...
## 179 10.0
## 32 1.5
## 170 11.6
## 194 35.6
## 30 28.3
##
## [140 rows x 1 columns] Newspaper
## 123 12.4
## 60 21.4
## 68 11.0
## 198 66.2
## 195 13.8
## .. ...
## 179 17.6
## 32 30.0
## 170 18.4
## 194 6.0
## 30 43.2
##
## [140 rows x 1 columns]4.6 Modelo de Regresión lineal múltiple
Se construye el modelo de regresión lineal mútiple
modelo_rm = LinearRegression()
modelo_rm.fit(X_entrena,Y_entrena)
LinearRegression()In a Jupyter environment, please rerun this cell to show the HTML representation or trust the notebook.
On GitHub, the HTML representation is unable to render, please try loading this page with nbviewer.org.
LinearRegression()
4.6.1 Evaluación del modelo antes de predicciones
Se presentan los coeficientes, la intersección \(\beta_0\) y los coeficientes para cada variable independiente, \(\beta_1, \beta_2,\beta_3, \text{ y } \beta_4\)
print ("Intercepción o b0") ## Intercepción o b0b0 = modelo_rm.intercept_
print (b0)## [2.35040058]print ("Coeficientes: b1, b2, b3 y b4")
# print (modelo_rm.coef_)## Coeficientes: b1, b2, b3 y b4b1 = modelo_rm.coef_[0, 0:1]
b2 = modelo_rm.coef_[0, 1:2]
b3 = modelo_rm.coef_[0, 2:3]
b4 = modelo_rm.coef_[0, 3:4]
print (b1, b2, b3, b4)## [0.04435321] [0.18753887] [0.0005396] [0.00389301]\[ Prediccion:\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {x_1} + b_2\cdot{x_2} + b_3\cdot{x_3}+b_3\cdot{x_4} \]
\[ \text{Prediccion Sales} :\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {TV} + b_2\cdot{Radio} + b_3\cdot{Newspaper}+b_3\cdot{Web} \]
4.6.2 R Square y R Square ajustado a a partir del modelo
Sobrepasa el 80% de tal forma que el el modelo SE ACEPTA por este criterio.
print(modelo_rm.score(X_entrena, Y_entrena))## 0.88032499218871984.7 Predicciones
Se hacen predicciones con los datos de validación
predicciones = modelo_rm.predict(X_valida)
print(predicciones[:-1])## [[16.35015123]
## [15.27600343]
## [13.18810113]
## [12.4039149 ]
## [21.19609681]
## [ 8.43869454]
## [ 9.41423309]
## [23.87468669]
## [ 8.11188743]
## [12.00729513]
## [15.4876 ]
## [15.32671071]
## [ 8.0352642 ]
## [10.09988923]
## [11.89284612]
## [20.79541148]
## [ 6.80050201]
## [17.85051895]
## [ 8.76669741]
## [20.64916741]
## [14.30422145]
## [14.8876671 ]
## [19.6802443 ]
## [13.96607501]
## [10.56354724]
## [ 5.60023236]
## [10.26359425]
## [18.90818351]
## [ 4.00281999]
## [14.22013674]
## [11.6170822 ]
## [20.87611762]
## [18.01722217]
## [ 9.41925713]
## [19.72062897]
## [ 4.33722525]
## [17.49421073]
## [12.02550679]
## [ 8.91634384]
## [21.14958985]
## [11.10553766]
## [22.04223942]
## [11.65508951]
## [ 8.21916392]
## [18.21413501]
## [12.06205139]
## [19.78740147]
## [ 9.76613336]
## [24.41671297]
## [10.51099644]
## [15.87450785]
## [20.3153275 ]
## [10.3370633 ]
## [21.26485642]
## [15.30284143]
## [22.4505974 ]
## [14.98985009]
## [13.31171456]
## [14.73170581]]print(predicciones.shape)## (60, 1)4.8 Evaluar predicciones
Crear un data.frame llamado comparaciones a partir de la creación de un diccionario con los valores reales del conjunto de entrenamiento y las predicciones calculadas.
Se usa el type() para conocer el tipo de estructura de datos
Se usa el assign() para agregar columnas al df comparaciones
Se usa flatten().tolist() para convertir a una lista de una dimensión.
Al final se tiene un data.frame llamado comparaciones en donde las últimas columnas tienen los valores reales de ‘Sales’ y las predicciones en la variable ‘Predicho’.
print(type(X_valida))
# print(X_valida)## <class 'pandas.core.frame.DataFrame'>print(type(predicciones))
# print(predicciones)## <class 'numpy.ndarray'>comparaciones = pd.DataFrame(X_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Sales_Real = Y_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Predicho = predicciones.flatten().tolist())
print(comparaciones)## TV Radio Newspaper Web Sales_Real Predicho
## 99 135.2 41.7 45.9 40.600350 17.2 16.350151
## 85 193.2 18.4 65.7 223.578793 15.2 15.276003
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9 13.188101
## 50 199.8 3.1 34.6 151.990733 11.4 12.403915
## 47 239.9 41.5 18.5 105.962913 23.2 21.196097
## 56 7.3 28.1 41.4 121.328525 5.5 8.438695
## 73 129.4 5.7 31.3 61.306191 11.0 9.414233
## 98 289.7 42.3 51.2 183.569585 25.4 23.874687
## 34 95.7 1.4 7.4 321.174609 9.5 8.111887
## 173 168.4 7.1 12.8 218.180829 11.7 12.007295
## 97 184.9 21.0 22.0 253.300721 15.5 15.487600
## 87 110.7 40.6 63.2 107.430521 16.0 15.326711
## 129 59.6 12.0 43.1 197.196554 9.7 8.035264
## 149 44.7 25.8 20.6 235.622449 10.1 10.099889
## 148 38.0 40.3 11.9 75.207978 10.9 11.892846
## 69 216.8 43.9 27.2 149.396103 22.3 20.795411
## 22 13.2 15.9 49.6 219.882776 5.6 6.800502
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5 17.850519
## 51 100.4 9.6 3.6 41.335255 10.7 8.766697
## 84 213.5 43.0 33.8 191.868374 21.7 20.649167
## 110 225.8 8.2 56.5 95.185762 13.4 14.304221
## 154 187.8 21.1 9.5 63.071208 15.6 14.887667
## 176 248.4 30.2 20.3 163.852044 20.2 19.680244
## 171 164.5 20.9 47.4 96.180391 14.5 13.966075
## 72 26.8 33.0 19.3 211.990907 8.8 10.563547
## 106 25.0 11.0 29.7 15.938208 7.2 5.600232
## 180 156.6 2.6 8.3 122.116470 10.5 10.263594
## 92 217.7 33.5 59.0 150.962754 19.4 18.908184
## 108 13.1 0.4 25.6 252.391353 5.3 4.002820
## 160 172.5 18.1 30.7 207.496801 14.4 14.220137
## 75 16.9 43.7 89.4 70.234282 8.7 11.617082
## 0 230.1 37.8 69.2 306.634752 22.1 20.876118
## 153 171.3 39.7 37.7 155.016224 19.0 18.017222
## 79 116.0 7.7 23.1 120.053504 11.0 9.419257
## 28 248.8 27.1 22.9 318.644967 18.9 19.720629
## 76 27.5 1.6 20.7 117.101925 6.9 4.337225
## 20 218.4 27.7 53.4 59.960554 18.0 17.494211
## 6 57.5 32.8 23.5 246.811598 11.8 12.025507
## 125 87.2 11.8 25.9 121.090982 10.6 8.916344
## 93 250.9 36.5 72.3 202.102158 22.2 21.149590
## 136 25.6 39.0 9.3 77.230797 9.5 11.105538
## 128 220.3 49.0 3.2 187.437060 24.7 22.042239
## 86 76.3 27.5 16.0 193.830894 12.0 11.655090
## 78 5.4 29.9 9.4 4.308085 5.3 8.219164
## 141 193.7 35.4 75.6 152.284937 19.2 18.214135
## 67 139.3 14.5 10.2 207.661990 13.4 12.062051
## 104 238.2 34.3 5.3 112.155489 20.7 19.787401
## 38 43.1 26.7 35.1 122.753591 10.1 9.766133
## 175 276.9 48.9 41.8 151.990733 27.0 24.416713
## 71 109.8 14.3 31.7 151.990733 12.4 10.510996
## 40 202.5 22.3 31.6 88.212823 16.6 15.874508
## 39 228.0 37.7 32.0 196.483269 21.5 20.315328
## 94 107.4 14.0 10.9 151.990733 11.5 10.337063
## 55 198.9 49.4 60.0 204.418927 23.7 21.264856
## 25 262.9 3.5 19.5 160.562859 12.0 15.302841
## 17 281.4 39.6 55.8 41.755313 24.4 22.450597
## 156 93.9 43.5 50.5 74.361939 15.3 14.989850
## 112 175.7 15.4 2.4 71.682551 14.1 13.311715
## 162 188.4 18.1 25.6 158.461520 14.9 14.731706
## 140 73.4 17.0 12.9 174.772137 10.9 9.4814384.8.1 RMSE
rmse Root Mean Stándard Error (Root-mean-square deviation), este valor normalmente se compara contra otro modelo y el que esté mas cerca de cero es mejor.
La raiz del Error Cuadrático Medio (rmse) es una métrica que dice qué tan lejos están los valores predichos de los valores observados o reales en un análisis de regresión, en promedio. Se calcula como:
\[ rmse = \sqrt{\frac{\sum(predicho_i - real_i)^{2}}{n}} \]
RMSE es una forma útil de ver qué tan bien un modelo de regresión puede ajustarse a un conjunto de datos.
Cuanto mayor sea el rmse, mayor será la diferencia entre los valores predichos y reales, lo que significa que peor se ajusta un modelo de regresión a los datos. Por el contrario, cuanto más pequeño sea el rmse, mejor podrá un modelo ajustar los datos.
print('Mean Squared Error: MSE', metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones))## Mean Squared Error: MSE 2.1323623658147004print('Root Mean Squared Error RMSE:', np.sqrt(metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones)))## Root Mean Squared Error RMSE: 1.4602610608431294.9 Graficar prediciones contra valores reales
4.10 Predicciones con datos nuevos
Se hacen predicciones con datos nuevos.
5 Interpretación
Con este modelo y con estos datos interprete lo siguiente:
- ¿Cuál es el contexto de los datos?
Los datos tienen enfoque a la analitica de los distintos medios de cada producto, esto con el objetivo de encontrar el mejor medio de marketing
- ¿Cuántas observaciones se analizan y cuáles son las variables de interés?
200 observacione, TV, Radio, Newspaper, Web y Sales son las variables de interes
- ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?
Las variables independientes son TV, Radio, Newspaper y Web, la variable dependiente es Sales.
- ¿Cuál es el porcentaje de datos de entrenamiento y datos de validación ?
un 70% son de entrenamiento y 30% son de validacion.
- ¿Son los coeficientes confiables al menos al 90% para hacer predicciones?,
Todos los coeficientes son aceptables, los menos confiables serian Newspaper y Web.
- ¿Cuál nivel de confianza para cada coeficiente?
Los coeficientes de TV y radio tienen una precisión de predicción superior al 99,9%. Sin embargo, debido a su mayor valor de error, Newspaper y Web no podemos tomarlos con la misma fiabilidad que los otros coeficientes.
- ¿Que valor tiene el estadístico el R Square ajustado y que representa o qué significa?
Con la semilla 1264, nos da un Adjusted R-squared del 0.8803249921887198, lo que significa que es un modelo confiable al ser de un R-square mayor a 0.85
- ¿Cuál es el valor de RMSE y qué significaría este valor
Con la semilla 1264, nos da un RMSE: 1.460261060843129, representa la dispersión o variabilidad que puede llegar a persistir entre los datos reales y los datos que son predichos a partir del modelo utilizado. Dicho esto se puede inquirir en que la cantidad no es demasiado pronunciada y existe una ligera diferencia entre los diferentes valores. Apesar de ello, el valor sigue siendo más alto que en caso anterior, lo que puede afectar a su confiabilidad.
- ¿Puede haber otro modelo más óptimo para estos datos?
A un lado del modelo de Regresion Linear, se pueden probar otro modelo llamado Ridge Regression, que tambien funciona de manera lineal. La diferencia puede apreciarse cuando haya un mayor volumen de datos, probablemente con este volumen no habria tanta diferencia y sea mejor quedarnos con Regresion Lineal de momento.
- ¿Que tan confiables son las predicciones con datos nuevos con este modelo y con estos datos?
En comparacion con la generacion de la semilla 2022, no existe tanta diferencia, personalmente, sí confiaria en el modelo, quizas con un mayor volumen, mejoren los coeficientes.