Caso 3. Regresión Lineal Múltiple Advertising Python
Emilio Martínez Aguilar
2022-09-28
Objetivo
Crear y evaluar un modelo de regresión lineal múltiple para predecir las ventas con datos simulados de una empresa dependiendo de las inversiones realizadas en publicidad
Descripción
Cargar librerías y datos
Limpiar datos si es necesario
Explorar datos
Partir los datos en datos de entrenamiento y datos de validación 70% y 30%
Crear modelo de regresión con los datos de entrenamiento
Evaluar modelo antes de predicciones con los estadísticos. R Square ajustado y Coeficientes
El modelo se acepta si presenta un valor de R Square ajustado por encima del 70%
Predicciones
Evaluar predicciones con respecto a datos reales
Determinar el estadístico rmse para evaluar con respecto a otros modelos
Interpretar el caso
Fundamento teórico
En la mayoría de los problemas de investigación en los que se aplica el análisis de regresión se necesita más de una variable independiente para el modelo de regresión.
La complejidad de la mayoría de mecanismos científicos es tal que, con el fin de predecir una respuesta importante, se requiere un modelo de regresión múltiple. Cuando un modelo es lineal en los coeficientes se denomina modelo de regresión lineal múltiple.
Para el caso de k variables independientes, el modelo que da \(x_1,x_2,x_3...,x_k\), y \(y\) como la variable dependiente.
\(x_1, x_2, x_3,...,x_k\) son las variable s que afectan a la variable dependiente en el modelo de regresión lineal múltiple.
Muchos problemas de investigación y de la industria, requieren la estimación de las relaciones existentes entre el patrón de variabilidad de una variable aleatoria y los valores de una o más variables aleatorias. [@urrutiamosquera2011]
Al generar un modelo de regresión lineal múltiple es importante identificar los estadísticos de R2, que se denomina coeficiente de determinación y es una medida de la proporción de la variabilidad explicada por el modelo ajustado.
De igual forma, el valor de R2 ajustado (R Square Adjusted) o coeficiente de determinación ajustado, es una variación de R2 que proporciona un ajuste para los grados de libertad [@walpole2012].
El estadístico R Ajustado está diseñado para proporcionar un estadístico que castigue un modelo sobreajustado, de manera que se puede esperar que favorezca al modelo [@walpole2012].
Una variable Y puede predecirse conforme y de acuerdo con la siguiente fórmula de la regresión múltiple.
\[ Y = b_0 + b_1{x_1} + b_2{x_2} + b_3{x_3}+ .....b_k{x_k} \]
Desarrollo
Para trabajar con código Python, se deben cargan las librerías de Python previamente instaladas con la función py_install() de la librería reticulate de R.
La función repl_python() se utilizar para ejecutar ventana de comando o shell de Python.
Se recomienda instalar estos paquetes de Python
py_install(packages = “pandas”)
py_install(packages = “matplotlib”)
py_install(packages = “numpy”)
py_install(packages = “sklearn”) en R cloud
py_install(“scikit-learn”) R Studio local
py_install(packages = “statsmodels.api”)
py_install(packages = “seaborn”)
En terminal de Python se puede actualizar con conda create -n py3.8 python=3.8 scikit-learn pandas numpy matplotlib
Cargar librerías
library(reticulate)import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm # Estadísticas R Adjused
import seaborn as sns # Gráficos
from sklearn import linear_model
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # Polinomial
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import metrics
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_scoreCargar datos
datos = pd.read_csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Analisis-Inteligente-de-datos/main/datos/Advertising_Web.csv")
datos## Unnamed: 0 X TV Radio Newspaper Web Sales
## 0 1 1 230.1 37.8 69.2 306.634752 22.1
## 1 2 2 44.5 39.3 45.1 302.653070 10.4
## 2 3 3 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3
## 3 4 4 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5
## 4 5 5 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9
## .. ... ... ... ... ... ... ...
## 195 196 196 38.2 3.7 13.8 248.841073 7.6
## 196 197 197 94.2 4.9 8.1 118.041856 9.7
## 197 198 198 177.0 9.3 6.4 213.274671 12.8
## 198 199 199 283.6 42.0 66.2 237.498063 25.5
## 199 200 200 232.1 8.6 8.7 151.990733 13.4
##
## [200 rows x 7 columns]Explorar datos
print("Observaciones y variables: ", datos.shape)## Observaciones y variables: (200, 7)print("Columnas y tipo de dato")
# datos.columns## Columnas y tipo de datodatos.dtypes## Unnamed: 0 int64
## X int64
## TV float64
## Radio float64
## Newspaper float64
## Web float64
## Sales float64
## dtype: objectSe describen las variables independientes: TV, Radio Newpaper y la variable dependiente Sales.
Valor de etiqueta o variable objetivo deendiente(ventas): que significa el volumen de ventas del producto correspondiente
Las variables independientes: (TV, Radio, Periódico, WEB):
TV: para un solo producto en un mercado determinado, el costo de la publicidad en TV (en miles) Radio: costos de publicidad invertidos en medios de difusión Periódico: costos publicitarios para medios periodísticos.
datos[['TV','Radio', 'Newspaper', 'Web', 'Sales', ]].describe()## TV Radio Newspaper Web Sales
## count 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000
## mean 147.042500 23.264000 30.554000 159.587355 14.022500
## std 85.854236 14.846809 21.778621 76.815266 5.217457
## min 0.700000 0.000000 0.300000 4.308085 1.600000
## 25% 74.375000 9.975000 12.750000 99.048767 10.375000
## 50% 149.750000 22.900000 25.750000 156.862154 12.900000
## 75% 218.825000 36.525000 45.100000 212.311848 17.400000
## max 296.400000 49.600000 114.000000 358.247042 27.000000Dispersión de la variables con respecto a Sales.
sns.pairplot(datos, x_vars=['TV','Radio','Newspaper', 'Web'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8,kind = 'reg')
plt.savefig("pairplot.jpg")
plt.show()
Se observa la relación lineal entre las variables independientes con respecto a ventas, de tal forma que es posible estimar visualmente que la variable Newspaper tal vez tenga poco impacto en las ventas esto por la alta dispersión de los datos. Sin embargo participará en el modelo de regresión lineal múltiple.
Se observa también que la variable Web tiene poca correlación lineal con la variable Sales
Limpiar datos
Identificar variables independientes y dependiente
Quitar las primeras columnas y dejar TV Radio NewsPaper Web y Sales
print("Variables independientes ")## Variables independientesX_independientes = datos.iloc[:,2:6]
X_independientes## TV Radio Newspaper Web
## 0 230.1 37.8 69.2 306.634752
## 1 44.5 39.3 45.1 302.653070
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076
## .. ... ... ... ...
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073
## 196 94.2 4.9 8.1 118.041856
## 197 177.0 9.3 6.4 213.274671
## 198 283.6 42.0 66.2 237.498063
## 199 232.1 8.6 8.7 151.990733
##
## [200 rows x 4 columns]print ("Variable dependiente")## Variable dependienteY_dependiente = datos.iloc[:, 6:7]
Y_dependiente## Sales
## 0 22.1
## 1 10.4
## 2 9.3
## 3 18.5
## 4 12.9
## .. ...
## 195 7.6
## 196 9.7
## 197 12.8
## 198 25.5
## 199 13.4
##
## [200 rows x 1 columns]Datos de entrenamiento y datos de validación
Se utiliza semilla 1280 (random_state=1280)
X_entrena,X_valida,Y_entrena,Y_valida = train_test_split(X_independientes, Y_dependiente,train_size=.70, random_state=1280)Datos de entrenamiento
print("Estructura de datos de entrenamiento... ", X_entrena.shape)## Estructura de datos de entrenamiento... (140, 4)print(X_entrena)## TV Radio Newspaper Web
## 64 131.1 42.8 28.9 124.382228
## 23 228.3 16.9 26.2 51.170073
## 153 171.3 39.7 37.7 155.016224
## 141 193.7 35.4 75.6 152.284937
## 67 139.3 14.5 10.2 207.661990
## .. ... ... ... ...
## 173 168.4 7.1 12.8 218.180829
## 49 66.9 11.7 36.8 205.253501
## 178 276.7 2.3 23.7 137.323772
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893
## 189 18.7 12.1 23.4 222.906951
##
## [140 rows x 4 columns]print(X_entrena[['TV']], X_entrena[['Radio']], X_entrena[['Newspaper']])## TV
## 64 131.1
## 23 228.3
## 153 171.3
## 141 193.7
## 67 139.3
## .. ...
## 173 168.4
## 49 66.9
## 178 276.7
## 3 151.5
## 189 18.7
##
## [140 rows x 1 columns] Radio
## 64 42.8
## 23 16.9
## 153 39.7
## 141 35.4
## 67 14.5
## .. ...
## 173 7.1
## 49 11.7
## 178 2.3
## 3 41.3
## 189 12.1
##
## [140 rows x 1 columns] Newspaper
## 64 28.9
## 23 26.2
## 153 37.7
## 141 75.6
## 67 10.2
## .. ...
## 173 12.8
## 49 36.8
## 178 23.7
## 3 58.5
## 189 23.4
##
## [140 rows x 1 columns]Modelo de Regresión lineal múltiple
Se construye el modelo de regresión lineal mútiple
modelo_rm = LinearRegression()
modelo_rm.fit(X_entrena,Y_entrena)
LinearRegression()In a Jupyter environment, please rerun this cell to show the HTML representation or trust the notebook.
On GitHub, the HTML representation is unable to render, please try loading this page with nbviewer.org.
LinearRegression()
Evaluación del modelo antes de predicciones
Se presentan los coeficientes, la intersección \(\beta_0\) y los coeficientes para cada variable independiente, \(\beta_1, \beta_2,\beta_3, \text{ y } \beta_4\)
print ("Intercepción o b0") ## Intercepción o b0b0 = modelo_rm.intercept_
print (b0)## [2.3017274]print ("Coeficientes: b1, b2, b3 y b4")
# print (modelo_rm.coef_)## Coeficientes: b1, b2, b3 y b4b1 = modelo_rm.coef_[0, 0:1]
b2 = modelo_rm.coef_[0, 1:2]
b3 = modelo_rm.coef_[0, 2:3]
b4 = modelo_rm.coef_[0, 3:4]
print (b1, b2, b3, b4)## [0.04502439] [0.18182572] [0.00821787] [0.00368824]\[ Prediccion:\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {x_1} + b_2\cdot{x_2} + b_3\cdot{x_3}+b_3\cdot{x_4} \]
\[ \text{Prediccion Sales} :\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {TV} + b_2\cdot{Radio} + b_3\cdot{Newspaper}+b_3\cdot{Web} \]
R Square y R Square ajustado a a partir del modelo
Sobrepasa el 80% de tal forma que el el modelo SE ACEPTA por este criterio.
print(modelo_rm.score(X_entrena, Y_entrena))## 0.887590751347877Predicciones
Se hacen predicciones con los datos de validación
predicciones = modelo_rm.predict(X_valida)
print(predicciones[:-1])## [[ 9.55723431]
## [12.22096155]
## [18.75777207]
## [17.74093239]
## [22.67903345]
## [13.23346367]
## [11.58367739]
## [22.7844508 ]
## [10.62122293]
## [14.77458399]
## [20.94992544]
## [ 8.24858906]
## [11.95793495]
## [13.94551018]
## [20.75351685]
## [17.1563593 ]
## [19.29232912]
## [19.15642422]
## [19.44242535]
## [21.21665167]
## [ 7.5524368 ]
## [23.30141628]
## [14.94766425]
## [20.05523426]
## [ 5.05880741]
## [ 9.44816783]
## [17.11356987]
## [12.28246619]
## [20.69413996]
## [ 6.26821687]
## [14.15794284]
## [15.12820418]
## [13.60742097]
## [12.70617782]
## [19.72037125]
## [16.71849409]
## [ 8.11050021]
## [23.08575043]
## [21.43804181]
## [13.69342166]
## [13.77165263]
## [17.27021586]
## [10.69785161]
## [17.06691391]
## [15.73054687]
## [ 6.69859652]
## [21.84767203]
## [10.07156777]
## [14.37706798]
## [13.96959623]
## [10.05622915]
## [14.42757802]
## [11.95725093]
## [18.24664493]
## [ 8.52085517]
## [21.1916941 ]
## [12.17401015]
## [18.07041045]
## [20.66284756]]print(predicciones.shape)## (60, 1)Evaluar predicciones
Crear un data.frame llamado comparaciones a partir de la creación de un diccionario con los valores reales del conjunto de entrenamiento y las predicciones calculadas.
Se usa el type() para conocer el tipo de estructura de datos
Se usa el assign() para agregar columnas al df comparaciones
Se usa flatten().tolist() para convertir a una lista de una dimensión.
Al final se tiene un data.frame llamado comparaciones en donde las últimas columnas tienen los valores reales de ‘Sales’ y las predicciones en la variable ‘Predicho’.
print(type(X_valida))
# print(X_valida)## <class 'pandas.core.frame.DataFrame'>print(type(predicciones))
# print(predicciones)
## <class 'numpy.ndarray'>comparaciones = pd.DataFrame(X_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Sales_Real = Y_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Predicho = predicciones.flatten().tolist())
print(comparaciones)## TV Radio Newspaper Web Sales_Real Predicho
## 79 116.0 7.7 23.1 120.053504 11.0 9.557234
## 7 120.2 19.6 11.6 229.971459 13.2 12.220962
## 14 204.1 32.9 46.0 245.774960 19.0 18.757772
## 59 210.7 29.5 9.3 138.895554 18.4 17.740932
## 36 266.9 43.8 5.0 96.316829 25.4 22.679033
## 115 75.1 35.0 52.7 204.276714 12.6 13.233464
## 86 76.3 27.5 16.0 193.830894 12.0 11.583677
## 17 281.4 39.6 55.8 41.755313 24.4 22.784451
## 12 23.8 35.1 65.9 87.921085 9.2 10.621223
## 110 225.8 8.2 56.5 95.185762 13.4 14.774584
## 111 241.7 38.0 23.2 180.511528 21.8 20.949925
## 129 59.6 12.0 43.1 197.196554 9.7 8.248589
## 6 57.5 32.8 23.5 246.811598 11.8 11.957935
## 181 218.5 5.4 27.4 162.387486 12.2 13.945510
## 15 195.4 47.7 52.9 148.095134 22.4 20.753517
## 187 191.1 28.7 18.2 239.275713 17.3 17.156359
## 133 219.8 33.5 45.1 171.478018 19.6 19.292329
## 68 237.4 27.5 11.0 291.548597 18.9 19.156424
## 124 229.5 32.3 74.2 88.080721 19.7 19.442425
## 42 293.6 27.7 1.8 174.716820 20.7 21.216652
## 172 19.6 20.1 17.0 155.583662 7.6 7.552437
## 101 296.4 36.3 100.9 61.005251 23.8 23.301416
## 199 232.1 8.6 8.7 151.990733 13.4 14.947664
## 53 182.6 46.2 58.7 176.050052 21.2 20.055234
## 192 17.2 4.1 31.6 265.028644 5.9 5.058807
## 140 73.4 17.0 12.9 174.772137 10.9 9.448168
## 102 280.2 10.1 21.4 49.808451 14.8 17.113570
## 5 8.7 48.9 75.0 22.072395 7.2 12.282466
## 54 262.7 28.8 15.9 324.615179 20.2 20.694140
## 182 56.2 5.7 29.7 42.199287 8.7 6.268217
## 120 141.3 26.8 46.2 65.525461 15.5 14.157943
## 156 93.9 43.5 50.5 74.361939 15.3 15.128204
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9 13.607421
## 50 199.8 3.1 34.6 151.990733 11.4 12.706178
## 104 238.2 34.3 5.3 112.155489 20.7 19.720371
## 163 163.5 36.8 7.4 82.228794 18.0 16.718494
## 34 95.7 1.4 7.4 321.174609 9.5 8.110500
## 147 243.2 49.0 44.3 151.990733 25.4 23.085750
## 30 292.9 28.3 43.2 121.464347 21.4 21.438042
## 16 67.8 36.6 114.0 202.638903 12.5 13.693422
## 161 85.7 35.8 49.3 188.933530 13.3 13.771653
## 62 239.3 15.5 27.3 312.209555 15.7 17.270216
## 164 117.2 14.7 5.4 109.008763 11.9 10.697852
## 74 213.4 24.6 13.1 156.284261 17.0 17.066914
## 113 209.6 20.6 10.7 42.883796 15.9 15.730547
## 10 66.1 5.8 24.2 45.359029 8.6 6.698597
## 128 220.3 49.0 3.2 187.437060 24.7 21.847672
## 18 69.2 20.5 18.3 210.489910 11.3 10.071568
## 160 172.5 18.1 30.7 207.496801 14.4 14.377068
## 100 222.4 4.3 49.8 125.627143 11.7 13.969596
## 186 139.5 2.1 26.6 236.744035 10.3 10.056229
## 19 147.3 23.9 19.1 268.735384 14.6 14.427578
## 31 112.9 17.4 38.6 295.883989 11.9 11.957251
## 33 265.6 20.0 0.3 94.207255 17.4 18.246645
## 132 8.4 27.2 2.1 238.055219 5.7 8.520855
## 47 239.9 41.5 18.5 105.962913 23.2 21.191694
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3 12.174010
## 150 280.7 13.9 37.0 81.040617 16.1 18.070410
## 185 205.0 45.1 19.6 208.692690 22.6 20.662848
## 85 193.2 18.4 65.7 223.578793 15.2 15.710560RMSE
rmse Root Mean Stándard Error (Root-mean-square deviation), este valor normalmente se compara contra otro modelo y el que esté mas cerca de cero es mejor.
La raiz del Error Cuadrático Medio (rmse) es una métrica que dice qué tan lejos están los valores predichos de los valores observados o reales en un análisis de regresión, en promedio. Se calcula como:
\[ rmse = \sqrt{\frac{\sum(predicho_i - real_i)^{2}}{n}} \]
RMSE es una forma útil de ver qué tan bien un modelo de regresión puede ajustarse a un conjunto de datos.
Cuanto mayor sea el rmse, mayor será la diferencia entre los valores predichos y reales, lo que significa que peor se ajusta un modelo de regresión a los datos. Por el contrario, cuanto más pequeño sea el rmse, mejor podrá un modelo ajustar los datos.
print('Mean Squared Error: MSE', metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones))## Mean Squared Error: MSE 2.3025937240512064print('Root Mean Squared Error RMSE:', np.sqrt(metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones)))## Root Mean Squared Error RMSE: 1.5174299733599592Graficar prediciones contra valores reales
Pendiente … …
Predicciones con datos nuevos
Se hacen predicciones con datos nuevos. Pendiente … …
Interpretación
Pendiente …
Con este modelo y con estos datos interprete lo siguiente:
- ¿Cuál es el contexto de los datos?
Se han reunido una cantidad definida de datos que representan, de manera simulada, las inversiones que se han efectuado y por medio de las cuales es posible predecir el rumbo de las ventas y expedir conclusiones de acuerdo a los valores que se obtengan.
- ¿Cuántas observaciones se analizan y cuáles son las variables de interés?
Se analizan 200 observaciones en este caso. Por otro lado, las variables de interés están conformadas por TV, Radio, Newspaper, Web y Sales.
- ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?
Las variables de interés están nuevamente conformadas por dos campos, las independientes que son TV, Radio, Newspaper y Web. Mientras tanto, la única variable dependiente es Sales. Cabe señalar que, analizandolo a detalle, tiene sentido que una variable como Sales o Ventas sea dependiente de más de una o dos variables independientes, tal como puede llegar a suceder en un caso real.
- ¿Cuál es el porcentaje de datos de entrenamiento y datos de validación ?
Los datos de entrenamiento están en un 70% y los datos de validación en un 30%.
- ¿Son los coeficientes confiables al menos al 90% para hacer predicciones?
Solamente los porcentajes de los coeficientes de TV y Radio incluso sobrepasan el 90% de confiabilidad para hacer predicciones. Sin embargo, los porcentajes que corresponden de Newspaper y Web se quedan por debajo de la métric, lo que quiere decir que eventualmente serán mucho menos confiables que los otros.
- ¿Cuál nivel de confianza para cada coeficiente?
Para el coeficiente de TV y Radio sobrepasan el 99.9% de confiabilidad, mientras tanto, el coeficiente de Newspaper corresponde a un 82% aproximadamente y para Web tenemos cerca de un 37%, bastante alejado de la marca que se ha interpuesto.
- ¿Que valor tiene el estadístico el R Square ajustado y que representa o qué significa?
El valor es de 0.887590751347877. El modelo puede tomarse como valido debido a que el resultado a sobrepasado el 80%. El porcentaje del valor es cerca del 88.75%, esto significa que las variables independientes explican aproximadamente el 88.75% del valor de la variable dependiente (Sales).
- ¿Cuál es el valor de RMSE y qué significaría este valor?
El valor es de 1.5174299733599592. Esta es una cantidad que se refiere a la diferencia que puede haber entre los datos reales y los datos predichos a través del modelo en cuestión. Cabe señalar que el resultado arrojado es mayor que el caso de la semilla “2022”.
- ¿Puede haber otro modelo más óptimo para estos datos?
Generalmente el modelo de regresión lineal múltiple es el óptimo para casi cualquier modelo cientifico debido a la complejidad que representan estos y la prevalencia de más de 2 variables independientes. A diferencia de los demás modelos que se han visto, que solo trabajan con 2 variables independientes, este continua siendo el más práctico para estos datos.
- ¿Que tan confiables son las predicciones con datos nuevos con este modelo y con estos datos?
Podemos basarnos a partir del valor que nos ha arrojado el RMSE, donde a simple vista podemos decir que la cantidad es realmente baja. Sin embargo, la cantidad es mucho más alta que en el anterior modelo realizado con la semilla “2022”, lo que significa que hay mayor margen de errror y no resulta tan confiable de la misma manera.
- Comparado con el modelo elaborado en lenguaje R cual tiene menor rmse y qué significa?
En Python el valor del RMSE es de 1.5174299733599592 y en R el valor es de 1.931155, por lo tanto Python es quien posee un menor RMSE, lo que a su vez significa que tiene una menor variabilidad o dispersión entre los datos reales y los predichos por el modelo de regresión lineal múltiple.