Caso 3. Regresión Lineal Múltiple con datos Adverstising. Programación Python
Carlos Daniel Reyes Valenzuela
2022-09-28
Objetivo
Crear y evaluar un modelo de regresión lineal múltiple para predecir las ventas con datos simulados de una empresa dependiendo de las inversiones realizadas en publicidad
Descripción
Cargar librerías y datos
Limpiar datos si es necesario
Explorar datos
Partir los datos en datos de entrenamiento y datos de validación 70% y 30%
Crear modelo de regresión con los datos de entrenamiento
Evaluar modelo antes de predicciones con los estadísticos. R Square ajustado y Coeficientes
El modelo se acepta si presenta un valor de R Square ajustado por encima del 70%
Predicciones
Evaluar predicciones con respecto a datos reales
Determinar el estadístico rmse para evaluar con respecto a otros modelos
Interpretar el caso
Fundamento teórico
En la mayoría de los problemas de investigación en los que se aplica el análisis de regresión se necesita más de una variable independiente para el modelo de regresión.
La complejidad de la mayoría de mecanismos científicos es tal que, con el fin de predecir una respuesta importante, se requiere un modelo de regresión múltiple. Cuando un modelo es lineal en los coeficientes se denomina modelo de regresión lineal múltiple.
Para el caso de k variables independientes, el modelo que da \(x_1,x_2,x_3...,x_k\), y \(y\) como la variable dependiente.
\(x_1, x_2, x_3,...,x_k\) son las variable s que afectan a la variable dependiente en el modelo de regresión lineal múltiple.
Muchos problemas de investigación y de la industria, requieren la estimación de las relaciones existentes entre el patrón de variabilidad de una variable aleatoria y los valores de una o más variables aleatorias. [@urrutiamosquera2011]
Al generar un modelo de regresión lineal múltiple es importante identificar los estadísticos de R2, que se denomina coeficiente de determinación y es una medida de la proporción de la variabilidad explicada por el modelo ajustado.
De igual forma, el valor de R2 ajustado (R Square Adjusted) o coeficiente de determinación ajustado, es una variación de R2 que proporciona un ajuste para los grados de libertad [@walpole2012].
El estadístico R Ajustado está diseñado para proporcionar un estadístico que castigue un modelo sobreajustado, de manera que se puede esperar que favorezca al modelo [@walpole2012].
Una variable Y puede predecirse conforme y de acuerdo con la siguiente fórmula de la regresión múltiple.
\[ Y = b_0 + b_1{x_1} + b_2{x_2} + b_3{x_3}+ .....b_k{x_k} \]
Desarrollo
Para trabajar con código Python, se deben cargan las librerías de Python previamente instaladas con la función py_install() de la librería reticulate de R.
La función repl_python() se utilizar para ejecutar ventana de comando o shell de Python.
Se recomienda instalar estos paquetes de Python
py_install(packages = “pandas”)
py_install(packages = “matplotlib”)
py_install(packages = “numpy”)
py_install(packages = “sklearn”) en R cloud
py_install(“scikit-learn”) R Studio local
py_install(packages = “statsmodels.api”)
py_install(packages = “seaborn”)
En terminal de Python se puede actualizar con conda create -n py3.8 python=3.8 scikit-learn pandas numpy matplotlib
Cargar librerías
library(reticulate)import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm # Estadísticas R Adjused
import seaborn as sns # Gráficos
from sklearn import linear_model
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures # Polinomial
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import metrics
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_scoreCargar datos
datos = pd.read_csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Analisis-Inteligente-de-datos/main/datos/Advertising_Web.csv")
datos## Unnamed: 0 X TV Radio Newspaper Web Sales
## 0 1 1 230.1 37.8 69.2 306.634752 22.1
## 1 2 2 44.5 39.3 45.1 302.653070 10.4
## 2 3 3 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3
## 3 4 4 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5
## 4 5 5 180.8 10.8 58.4 195.660076 12.9
## .. ... ... ... ... ... ... ...
## 195 196 196 38.2 3.7 13.8 248.841073 7.6
## 196 197 197 94.2 4.9 8.1 118.041856 9.7
## 197 198 198 177.0 9.3 6.4 213.274671 12.8
## 198 199 199 283.6 42.0 66.2 237.498063 25.5
## 199 200 200 232.1 8.6 8.7 151.990733 13.4
##
## [200 rows x 7 columns]Explorar datos
print("Observaciones y variables: ", datos.shape)## Observaciones y variables: (200, 7)print("Columnas y tipo de dato")
# datos.columns## Columnas y tipo de datodatos.dtypes## Unnamed: 0 int64
## X int64
## TV float64
## Radio float64
## Newspaper float64
## Web float64
## Sales float64
## dtype: objectSe describen las variables independientes: TV, Radio Newpaper y la variable dependiente Sales.
Valor de etiqueta o variable objetivo deendiente(ventas): que significa el volumen de ventas del producto correspondiente
Las variables independientes: (TV, Radio, Periódico, WEB):
TV: para un solo producto en un mercado determinado, el costo de la publicidad en TV (en miles) Radio: costos de publicidad invertidos en medios de difusión Periódico: costos publicitarios para medios periodísticos.
datos[['TV','Radio', 'Newspaper', 'Web', 'Sales', ]].describe()## TV Radio Newspaper Web Sales
## count 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000 200.000000
## mean 147.042500 23.264000 30.554000 159.587355 14.022500
## std 85.854236 14.846809 21.778621 76.815266 5.217457
## min 0.700000 0.000000 0.300000 4.308085 1.600000
## 25% 74.375000 9.975000 12.750000 99.048767 10.375000
## 50% 149.750000 22.900000 25.750000 156.862154 12.900000
## 75% 218.825000 36.525000 45.100000 212.311848 17.400000
## max 296.400000 49.600000 114.000000 358.247042 27.000000Dispersión de la variables con respecto a Sales.
sns.pairplot(datos, x_vars=['TV','Radio','Newspaper', 'Web'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8,kind = 'reg')
plt.savefig("pairplot.jpg")
plt.show()## Traceback (most recent call last):
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\backends\backend_qt5.py", line 475, in _draw_idle
## self.draw()
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\backends\backend_agg.py", line 406, in draw
## self.figure.draw(self.renderer)
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\artist.py", line 74, in draw_wrapper
## result = draw(artist, renderer, *args, **kwargs)
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\artist.py", line 51, in draw_wrapper
## return draw(artist, renderer, *args, **kwargs)
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\figure.py", line 2790, in draw
## mimage._draw_list_compositing_images(
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\image.py", line 132, in _draw_list_compositing_images
## a.draw(renderer)
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\artist.py", line 51, in draw_wrapper
## return draw(artist, renderer, *args, **kwargs)
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\_api\deprecation.py", line 431, in wrapper
## return func(*inner_args, **inner_kwargs)
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\axes\_base.py", line 2881, in draw
## self._update_title_position(renderer)
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\axes\_base.py", line 2810, in _update_title_position
## if (ax.xaxis.get_ticks_position() in ['top', 'unknown']
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\axis.py", line 2234, in get_ticks_position
## self._get_ticks_position()]
## File "C:\Users\carli\ANACON~1\lib\site-packages\matplotlib\axis.py", line 1938, in _get_ticks_position
## major = self.majorTicks[0]
## IndexError: list index out of range
Se observa la relación lineal entre las variables independientes con respecto a ventas, de tal forma que es posible estimar visualmente que la variable Newspaper tal vez tenga poco impacto en las ventas esto por la alta dispersión de los datos. Sin embargo participará en el modelo de regresión lineal múltiple.
Se observa también que la variable Web tiene poca correlación lineal con la variable Sales
Limpiar datos
Identificar variables independientes y dependiente
Quitar las primeras columnas y dejar TV Radio NewsPaper Web y Sales
print("Variables independientes ")## Variables independientesX_independientes = datos.iloc[:,2:6]
X_independientes## TV Radio Newspaper Web
## 0 230.1 37.8 69.2 306.634752
## 1 44.5 39.3 45.1 302.653070
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893
## 4 180.8 10.8 58.4 195.660076
## .. ... ... ... ...
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073
## 196 94.2 4.9 8.1 118.041856
## 197 177.0 9.3 6.4 213.274671
## 198 283.6 42.0 66.2 237.498063
## 199 232.1 8.6 8.7 151.990733
##
## [200 rows x 4 columns]print ("Variable dependiente")## Variable dependienteY_dependiente = datos.iloc[:, 6:7]
Y_dependiente## Sales
## 0 22.1
## 1 10.4
## 2 9.3
## 3 18.5
## 4 12.9
## .. ...
## 195 7.6
## 196 9.7
## 197 12.8
## 198 25.5
## 199 13.4
##
## [200 rows x 1 columns]Datos de entrenamiento y datos de validación
Se utiliza semilla 2022 (random_state=2022)
X_entrena,X_valida,Y_entrena,Y_valida = train_test_split(X_independientes, Y_dependiente,train_size=.70, random_state=1301)Datos de entrenamiento
print("Estructura de datos de entrenamiento... ", X_entrena.shape)## Estructura de datos de entrenamiento... (140, 4)print(X_entrena)## TV Radio Newspaper Web
## 50 199.8 3.1 34.6 151.990733
## 93 250.9 36.5 72.3 202.102158
## 124 229.5 32.3 74.2 88.080721
## 134 36.9 38.6 65.6 81.246748
## 143 104.6 5.7 34.4 336.571095
## .. ... ... ... ...
## 177 170.2 7.8 35.2 104.917344
## 81 239.8 4.1 36.9 169.946395
## 180 156.6 2.6 8.3 122.116470
## 110 225.8 8.2 56.5 95.185762
## 171 164.5 20.9 47.4 96.180391
##
## [140 rows x 4 columns]print(X_entrena[['TV']], X_entrena[['Radio']], X_entrena[['Newspaper']])## TV
## 50 199.8
## 93 250.9
## 124 229.5
## 134 36.9
## 143 104.6
## .. ...
## 177 170.2
## 81 239.8
## 180 156.6
## 110 225.8
## 171 164.5
##
## [140 rows x 1 columns] Radio
## 50 3.1
## 93 36.5
## 124 32.3
## 134 38.6
## 143 5.7
## .. ...
## 177 7.8
## 81 4.1
## 180 2.6
## 110 8.2
## 171 20.9
##
## [140 rows x 1 columns] Newspaper
## 50 34.6
## 93 72.3
## 124 74.2
## 134 65.6
## 143 34.4
## .. ...
## 177 35.2
## 81 36.9
## 180 8.3
## 110 56.5
## 171 47.4
##
## [140 rows x 1 columns]Modelo de Regresión lineal múltiple
Se construye el modelo de regresión lineal mútiple
modelo_rm = LinearRegression()
modelo_rm.fit(X_entrena,Y_entrena)
## LinearRegression()Evaluación del modelo antes de predicciones
Se presentan los coeficientes, la intersección \(\beta_0\) y los coeficientes para cada variable independiente, \(\beta_1, \beta_2,\beta_3, \text{ y } \beta_4\)
print ("Intercepción o b0") ## Intercepción o b0b0 = modelo_rm.intercept_
print (b0)## [2.68452662]print ("Coeficientes: b1, b2, b3 y b4")
# print (modelo_rm.coef_)## Coeficientes: b1, b2, b3 y b4b1 = modelo_rm.coef_[0, 0:1]
b2 = modelo_rm.coef_[0, 1:2]
b3 = modelo_rm.coef_[0, 2:3]
b4 = modelo_rm.coef_[0, 3:4]
print (b1, b2, b3, b4)## [0.04382797] [0.20335189] [-0.00694368] [0.00224905]\[ Prediccion:\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {x_1} + b_2\cdot{x_2} + b_3\cdot{x_3}+b_3\cdot{x_4} \]
\[ \text{Prediccion Sales} :\text { Y} = b_0 + b_1\cdot {TV} + b_2\cdot{Radio} + b_3\cdot{Newspaper}+b_3\cdot{Web} \]
R Square y R Square ajustado a a partir del modelo
Sobrepasa el 80% de tal forma que el el modelo SE ACEPTA por este criterio.
print(modelo_rm.score(X_entrena, Y_entrena))## 0.9076976566733773Predicciones
Se hacen predicciones con los datos de validación
predicciones = modelo_rm.predict(X_valida)
print(predicciones[:-1])## [[ 8.86811739]
## [14.17901973]
## [16.8624395 ]
## [14.80101468]
## [22.70340625]
## [10.27700159]
## [ 5.43827527]
## [16.34320614]
## [12.57895221]
## [21.26070953]
## [15.47563218]
## [15.67799585]
## [ 5.57498921]
## [21.17369442]
## [17.3080183 ]
## [ 6.64647078]
## [11.18985781]
## [ 4.40178124]
## [ 6.94136191]
## [13.75779438]
## [ 8.01878349]
## [12.13458121]
## [ 6.30351334]
## [12.40234797]
## [19.2027051 ]
## [19.94017593]
## [ 6.19544523]
## [17.89653416]
## [23.88207604]
## [14.43763845]
## [17.46730274]
## [18.35219014]
## [18.60206702]
## [ 9.58993552]
## [20.07072229]
## [13.88190692]
## [12.93035034]
## [12.762907 ]
## [ 8.05686865]
## [12.04224258]
## [11.07390653]
## [18.55344268]
## [16.83712554]
## [16.2501735 ]
## [15.28202969]
## [16.0820687 ]
## [18.36206023]
## [ 7.13434488]
## [ 8.20193209]
## [ 9.66197893]
## [10.60543385]
## [13.80317826]
## [ 7.86280009]
## [24.8159878 ]
## [20.56337257]
## [ 9.67898274]
## [11.91077494]
## [ 8.94583781]
## [10.52648938]]print(predicciones.shape)## (60, 1)Evaluar predicciones
Crear un data.frame llamado comparaciones a partir de la creación de un diccionario con los valores reales del conjunto de entrenamiento y las predicciones calculadas.
Se usa el type() para conocer el tipo de estructura de datos
Se usa el assign() para agregar columnas al df comparaciones
Se usa flatten().tolist() para convertir a una lista de una dimensión.
Al final se tiene un data.frame llamado comparaciones en donde las últimas columnas tienen los valores reales de ‘Sales’ y las predicciones en la variable ‘Predicho’.
print(type(X_valida))
# print(X_valida)## <class 'pandas.core.frame.DataFrame'>print(type(predicciones))
# print(predicciones)## <class 'numpy.ndarray'>comparaciones = pd.DataFrame(X_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Sales_Real = Y_valida)
comparaciones = comparaciones.assign(Predicho = predicciones.flatten().tolist())
print(comparaciones)## TV Radio Newspaper Web Sales_Real Predicho
## 46 89.7 9.9 35.7 216.504015 10.6 8.868117
## 160 172.5 18.1 30.7 207.496801 14.4 14.179020
## 99 135.2 41.7 45.9 40.600350 17.2 16.862439
## 162 188.4 18.1 25.6 158.461520 14.9 14.801015
## 128 220.3 49.0 3.2 187.437060 24.7 22.703406
## 149 44.7 25.8 20.6 235.622449 10.1 10.277002
## 155 4.1 11.6 5.7 113.270712 3.2 5.438275
## 152 197.6 23.3 14.2 159.522559 16.6 16.343206
## 57 136.2 19.2 16.6 60.454355 13.2 12.578952
## 69 216.8 43.9 27.2 149.396103 22.3 21.260710
## 97 184.9 21.0 22.0 253.300721 15.5 15.475632
## 48 227.2 15.8 49.9 75.269182 14.8 15.677996
## 195 38.2 3.7 13.8 248.841073 7.6 5.574989
## 185 205.0 45.1 19.6 208.692690 22.6 21.173694
## 187 191.1 28.7 18.2 239.275713 17.3 17.308018
## 22 13.2 15.9 49.6 219.882776 5.6 6.646471
## 166 17.9 37.6 21.6 99.936953 8.0 11.189858
## 91 28.6 1.5 33.0 172.467947 7.3 4.401781
## 127 80.2 0.0 9.2 358.247042 8.8 6.941362
## 43 206.9 8.4 26.4 213.609610 12.9 13.757794
## 196 94.2 4.9 8.1 118.041856 9.7 8.018783
## 67 139.3 14.5 10.2 207.661990 13.4 12.134581
## 189 18.7 12.1 23.4 222.906951 6.7 6.303513
## 2 17.2 45.9 69.3 49.498908 9.3 12.402348
## 133 219.8 33.5 45.1 171.478018 19.6 19.202705
## 176 248.4 30.2 20.3 163.852044 20.2 19.940176
## 182 56.2 5.7 29.7 42.199287 8.7 6.195445
## 3 151.5 41.3 58.5 257.816893 18.5 17.896534
## 183 287.6 43.0 71.8 154.309725 26.2 23.882076
## 135 48.3 47.0 8.5 61.227323 11.6 14.437638
## 163 163.5 36.8 7.4 82.228794 18.0 17.467303
## 153 171.3 39.7 37.7 155.016224 19.0 18.352190
## 33 265.6 20.0 0.3 94.207255 17.4 18.602067
## 151 121.0 8.4 48.7 103.255212 11.6 9.589936
## 53 182.6 46.2 58.7 176.050052 21.2 20.070722
## 77 120.5 28.5 14.2 97.455125 14.2 13.881907
## 167 206.8 5.2 19.4 115.371957 12.2 12.930350
## 16 67.8 36.6 114.0 202.638903 12.5 12.762907
## 65 69.0 9.3 0.9 205.993485 9.3 8.056869
## 116 139.2 14.3 25.6 234.183118 12.2 12.042243
## 130 0.7 39.6 8.7 162.902591 1.6 11.073907
## 14 204.1 32.9 46.0 245.774960 19.0 18.553443
## 62 239.3 15.5 27.3 312.209555 15.7 16.837126
## 95 163.3 31.6 52.9 155.594877 16.9 16.250173
## 154 187.8 21.1 9.5 63.071208 15.6 15.282030
## 113 209.6 20.6 10.7 42.883796 15.9 16.082069
## 188 286.0 13.9 3.7 151.990733 15.9 18.362060
## 107 90.4 0.3 23.2 261.380879 8.7 7.134345
## 49 66.9 11.7 36.8 205.253501 9.7 8.201932
## 140 73.4 17.0 12.9 174.772137 10.9 9.661979
## 12 23.8 35.1 65.9 87.921085 9.2 10.605434
## 161 85.7 35.8 49.3 188.933530 13.3 13.803178
## 172 19.6 20.1 17.0 155.583662 7.6 7.862800
## 175 276.9 48.9 41.8 151.990733 27.0 24.815988
## 39 228.0 37.7 32.0 196.483269 21.5 20.563373
## 145 140.3 1.9 9.0 231.883385 10.3 9.678983
## 173 168.4 7.1 12.8 218.180829 11.7 11.910775
## 78 5.4 29.9 9.4 4.308085 5.3 8.945838
## 71 109.8 14.3 31.7 151.990733 12.4 10.526489
## 136 25.6 39.0 9.3 77.230797 9.5 11.846366RMSE
rmse Root Mean Stándard Error (Root-mean-square deviation), este valor normalmente se compara contra otro modelo y el que esté mas cerca de cero es mejor.
La raiz del Error Cuadrático Medio (rmse) es una métrica que dice qué tan lejos están los valores predichos de los valores observados o reales en un análisis de regresión, en promedio. Se calcula como:
\[ rmse = \sqrt{\frac{\sum(predicho_i - real_i)^{2}}{n}} \]
RMSE es una forma útil de ver qué tan bien un modelo de regresión puede ajustarse a un conjunto de datos.
Cuanto mayor sea el rmse, mayor será la diferencia entre los valores predichos y reales, lo que significa que peor se ajusta un modelo de regresión a los datos. Por el contrario, cuanto más pequeño sea el rmse, mejor podrá un modelo ajustar los datos.
print('Mean Squared Error: MSE', metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones))## Mean Squared Error: MSE 3.725153799166355print('Root Mean Squared Error RMSE:', np.sqrt(metrics.mean_squared_error(Y_valida, predicciones)))## Root Mean Squared Error RMSE: 1.9300657499594036Graficar prediciones contra valores reales
Pendiente … …
Predicciones con datos nuevos
Se hacen predicciones con datos nuevos. Pendiente … …
Interpretación
Con este modelo y con estos datos interprete lo siguiente:
¿Cuál es el contexto de los datos?una empresa ficticia registra sus ventas en base al modo de publicidad que tiene, y tomaremos en cuenta las ventas en contra de los medios, en este caso: tv, radio, periodicos y web. Al Crear y evaluar un modelo de regresión lineal múltiple se podrán predecir las ventas dependiendo de las inversiones realizadas en publicidad.
¿Cuántas observaciones se analizan y cuáles son las variables de interés? Se observa que el modelo arrojó resultados favorables y aceptables, en base a las ventas y a las variables tv, radio, periodicos, web. Nos interesa el resultado de R Square y de RMSE.
¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?dependiente: ventas, independiente: tv, radio, periodicos, web.
¿Cuál es el porcentaje de datos de entrenamiento y datos de validación ? se tiene que el 70% son de entrenamiento y el 30% de validación.
¿Son los coeficientes confiables al menos al 90% para hacer predicciones?, si, representa un 0.9076 es decir un 90%.
¿Cuál nivel de confianza para cada coeficiente? Los coeficientes TV y Radio presentan niveles de confianza por encima del 99.9%; Newspaper y WEB presentan por otra parte un nivel de confianza del 95%.
¿Que valor tiene el estadístico el R Square ajustado y que representa o qué significa? resultó en un valor de 0.9076, R Square representa la prediccion de los datos, con eso se pueden predecir futuros resultados y cúanta varianza explica el modelo utilizado.
¿Cuál es el valor de RMSE y qué significaría este valor? resultó un valor de 1.9300, representa una forma útil de verificar qué tan bien un modelo de regresión puede ajustarse a un conjunto de datos. Proporciona además una mejor forma de encontrar la estimación, en caso de que los errores sean aleatorios o parciales.
¿Puede haber otro modelo más óptimo para estos datos? se tendría que comparar con otros resultados realizados en este mismo modelo para generar una conclusion, sobre si es óptimo o no lo es.
¿Que tan confiables son las predicciones con datos nuevos con este modelo y con estos datos? Son igual aceptables, pero comparadas con los resultados generados en R, este queda mejor
Comparado con el modelo elaborado en lenguaje R ¿cual tiene menor rmse y qué significa? Este modelo de Python es el que presenta un menor RMSE, siendo de 1.9300657499594036, en comparación con el de R que arrojó 2.04446, singifica que Python en este caso es mejor para calcular encontrando una estimación y tambien una forma útil de verificar qué tan bien un modelo de regresión puede ajustarse a un conjunto de datos.