3.1 Maximum and Minimum Values
1. 定義：絕對極大值 (absolute maximum) 和絕對極小值 (absolute
minimum)
假設 \(c \in \rm
Dom \,\it f\)
\((1)\,若\, f(c)\ge f(x) \, \forall x \in
D\)，稱 \(\, f(c)\,\)為\(\,f\,\)的絕對極大值
\((2)\,若\, f(c)\le f(x) \, \forall x \in
D\)，稱 \(\,f(c) \,\)為\(\,f\,\)的絕對極小值
\((3)\,f\,的絕對極大值和絕對極小值稱\,f\,的極值
\,\rm (extreme \, values)\)
2. 定義：局部極大值 (local maximum) 和局部極小值 (local
minimum)
假設 \(c \in \rm
Dom \,\it f\)，滿足 \(\exists \, c \in
(a,b)\)
\((1)\,若\, f(c)\ge f(x) \, \forall x \in
(a,b)\)，稱 \(\, f(c)\,\)為\(\,f\,\)的局部極大值(或相對極大值 relative
maximum)
\((2)\,若\, f(c)\le f(x) \, \forall x \in
(a,b)\)，稱 \(\,f(c) \,\)為\(\,f\,\)的局部極小值(或相對極小值 relative
minimum)
3. 極值定理 (Extreme Value Theorem)
若 \(f\)
在 \([a, b]\) 上連續，則\(f\) 在 \([a,
b]\) 上一定有絕對極大值與絕對極小值
4. 費馬定理 (Fermat’s Theorem)
若 \(\,f\,\) 在 \(\,c\,\)有局部極大值或局部極小值，而且\(\,f'(c)\,\)存在，則\(\,f'(c)\,=0\)
5. 定義：臨界數 (critical number) (or 臨界點 critical point)
\(c \in \rm Dom
\,\it f\)，若\(\,f'(c)\,=0\,\)或\(\,f'(c)\,\)不存在，則\(\,c\,\)稱為\(\,f\,\)的臨界數
6. 定理：
若 \(\,f\,\) 在 \(\,c\,\)有局部極大值或局部極小值，則\(\,c\,\)為\(\,f\,\)的臨界數
7. 閉區間方法 (Closed Interval Method)：
求連續函數\(\,f\,\) 在\(\,[a,
b]\,\)上之絕對極值的方法
\((1)求\,f\,在\,(a,
b)\,上臨界數的函數值\)
\((2)求\,f(a)\,及\,f(b)\,\)
\((3)在\,(1)\,和\,(2)\,中的最大值為絕對極大值；最小值為絕對極小值\)
3.2 The Mean Value Theorem
1. Rolle定理 (Rolle’s Theorem)
假設函數\(\,f\,\) 滿足下列條件：
\((1)\,f\,在\,[a,
b]\,上連續\)
\((2)\,f\,在\,(a,
b)\,上可微\)
\((3)\,f(a)\,=\,f(b)\,\)
\(則\,\exists \, c \in
(a,b)\,使得\,f'(c)=0\)
2. 均值定理 (Mean Value Theorem)
假設函數\(\,f\,\) 滿足下列條件：
\((1)\,f\,在\,[a,
b]\,上連續\)
\((2)\,f\,在\,(a,
b)\,上可微\)
\(則\,\exists \, c \in
(a,b)\,使得\)
\[f'(c)=\frac
{f(b)-f(a)}{b-a}\]
或
\[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\]
3. 定理
\(若\,
f'(x)=0\,\,\forall \, x \in (a,b)\)，則\(\,f(x)\,\)在\(\,(a,b)\,\)為常數
4. 推論
\(若\,
f'(x)=g'(x)\,\,\forall \, c \in (a,b)\)，則\(\,f(x)-g(x)\,\)在\(\,(a,b)\,\)為常數
3.3 What Derivatives Tell Us about the Shape of a Graph
1. 遞增/遞減檢定法 (Increasing/Decreasing Test)
\((1)若在區間\,I\,上\,f'(x)>0\,，則\,f\,在區間\,I\,上為遞增\)
\((2)若在區間\,I\,上\,f'(x)<0\,，則\,f\,在區間\,I\,上為遞減\)
2. 一階導數檢定法 (The First Derivative Test)
\(假設\,c\,為連續函數\,f\,的臨界數\)
\((1)若在包含\,c\,的區間\,f'(x)\,從正變負，則\,f(c)\,為局部極大值\)
\((2)若在包含\,c\,的區間\,f'(x)\,從負變正，則\,f(c)\,為局部極小值\)
\((3)若在點\,c\,的左邊和右邊\,f'(x)\,皆為正或負，則\,f(c)\,不是局部極值\)
3. 凹向上 (concave upward) 和凹向下 (concave downward) 定義
\((1)若\,f\,在區間\,I\,上遞增，則\,f\,在區間\,I\,上為凹向上\)
\((1)若\,f\,在區間\,I\,上遞減，則\,f\,在區間\,I\,上為凹向下\)
4. 凹性檢定法 (Concavity Test)
\((1)若在區間\,I\,上\,f''(x)>0\,，則\,f\,之圖形在區間\,I\,上為凹向上\)
\((2)若在區間\,I\,上\,f''(x)<0\,，則\,f\,之圖形在區間\,I\,上為凹向下\)
5. 定義：反曲點 (inflection point)
\(令\,P\,為\,y =
f(x)\,之圖形上一點。若\,f\,在\,P\,點連續，且在\,P\,點凹凸性改變,
則稱\,P\,點為反曲點\)
6. 二階導數檢定法 (The Second Derivative Test)
\(假設\,f\,在\,c\,點附近連續\)
\((1)若\,f'(c) =
0\,且\,f''(C)>0，則\,f(c)\,為局部極小值\)
\((2)若\,f'(c) =
0\,且\,f''(C)<0，則\,f(c)\,為局部極大值\)
3.4 Limits at Infinity; Horizontal Asymptotes
1. 直觀定義：無限大的極限
令 \(f(x)\) 在 \((a,\infty)\) 的區間有定義，則
\[\lim_{x \to \infty} f(x) =
L \]
當 \(x\)
非常大時，\(f(x)\) 很靠近 \(L\)
2. 直觀定義：負無限大的極限
令 \(f(x)\) 在 \((-\infty,a)\) 的區間有定義，則
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) =
L \]
當 \(x\)
非常小時，\(f(x)\) 很靠近 \(L\)
3. 定義：水平漸近線 (horizontal asymptote)
假設
\[\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad or
\quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L\]
則直線 \(y =
L\) 稱為 \(y = f(x)\)
圖形的水平漸近線
4. 定理
假設 \(r>0, \,
r \in R\)，則
\[\lim_{x \to \infty} \frac {1}{x^r} = 0
\]
假設 \(r>0, \,
r \in R\) 使得 \(x^r\) 對所有
\(x\) 有定義，則
\[\lim_{x \to -\infty} \frac {1}{x^r} = 0
\]
5. 定義
令 \(f(x)\) 在 \((a,\infty)\) 的區間有定義，則
\[\lim_{x \to \infty} f(x) =
L \]
若 \(\forall \,
\epsilon > 0, \, \exists \, N \,\)使得
\[x>N \Rightarrow \,
|f(x)-L|<\epsilon \]
6. 定義
令 \(f(x)\) 在 \((-\infty,a)\) 的區間有定義，則
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) =
L \]
若 \(\forall \,
\epsilon > 0, \, \exists \, N \,\)使得
\[x<N \Rightarrow \,
|f(x)-L|<\epsilon \]
7. 定義
令 \(f(x)\) 在 \((a,\infty)\) 的區間有定義，則
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) =
\infty \]
若 \(\forall \,
M > 0, \, \exists \, N > 0 \,\)使得
\[x>N \Rightarrow \,
f(x)>M \]
3.6 Optimization Problems
1. 最佳化問題 (Optimization Problems)
2. 一階導數檢定法找絕對極值 (First Derivative Test for Absolute
Extreme Values)
假設\(\,c\,\)為連續函數\(\,f\,\) 在區間上的臨界數
\((1)\,若\, f'(x)>0 \,\,\forall \,
x<c \,\) and \(f'(x)<0
\,\,\forall \, x>c \,\)，則\(\,f(c)\,\)為\(\,f\,\)的絕對極大值
\((2)\,若\, f'(x)<0 \,\,\forall \,
x<c \,\) and \(f'(x)>0
\,\,\forall \, x>c \,\)，則\(\,f(c)\,\)為\(\,f\,\)的絕對極小值
3.8 Antiderivatives
1. 定義：反導函數(Antiderivatives)
\(若\,
F'(x)=f(x) \,\,\forall \, x \in I\,\)，則稱\(\,F\,\)為\(\,f\,\)在區間\(\,I\,\)上的反導函數
2. 定理：
若\(\,F\,\)為\(\,f\,\)在區間\(\,I\,\)上的任一反導函數，則\(\,f\,\)在區間\(\,I\,\)上的一般化的反導函數為
\[F(x)+C\]
其中\(C\)為任意常數
Reference :
Essential Calculus, metric edition 2e, (2022) James Stewart, Daniel
K. Clegg, Saleem Watson, Cengage Learning.
Paul’s Online Notes
The LibreTexts libraries Mathematics
Cuemath
Andrew Incognito, Ximera, Ohio State University
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