Estimación de la varianza
Orlando Moscote Flórez
19/2/2022
Más aplicaciones estadísticas en:
https://rpubs.com/orlandoan
0. Datos
Los datos corresponden al precio de la acción de Ecopetrol en la bolsa de Bogotá durante 837 días.
Los datos se pueden bajar desde:
https://1drv.ms/x/s!Aj-hHTVbsx01h4pY_pxKbPHRE1YA3A?e=BbqIqy
Para más detalles puede obtener el libro “Introducción al riesgo financiero” que puede obtenerse en https://1drv.ms/b/s!Aj-hHTVbsx01h4JmNiA9O57JQuANWg?e=l4IFbm
eco<-diff(log(ecopetrol))
n<-length(eco);n## [1] 836head(eco)## [1] -0.046091107 -0.023867481 -0.019512814 -0.060932551 0.006263068
## [6] 0.026695630tail(eco)## [1] -0.001657001 0.001657001 0.022914260 -0.006493529 0.000000000
## [6] -0.0114661371. Volatilidad
En finanzas la volatilidad se mide mediante la desviación estándar de los rendimientos del activo y es el indicador del riesgo de una inversión en un activo financiero. Se dice que un activo con una desviación estándar muy grande es muy volátil y, por lo tanto, muy riesgoso; por el contrario, se dice que un activo financiero con una desviación estándar pequeña es poco riesgoso.
Una característica muy común en las series de tiempos financieras es la presencia de heteroscedasticidad, es decir la varianza no es constante a través del tiempo. A periodos de baja volatilidad (calma en el mercado) suelen seguir periodos de de alta volatilidad, es decir gran turbulencia en el mercado.
Generalmente interesa tener una estimación de la varianza para el día t o t+1. La estimación de la volatilidad puede realizarse de varias formas, que se detallan a continuación.
2. Volatilidad histórica.
Puede ser estimada mediante la desviación estándar de los rendimientos históricos. Esto supone que la varianza es constante a través del tiempo.
\[\begin{equation*} \sigma=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(r_{i}-\mu)^{2}}{n}} \end{equation*}\]
Para los rendimientos diarios de la acción de Ecopetrol la varianza y volatilidad histórica son las siguientes
vari1<-var(eco);vari1 ## [1] 0.0004370011vol1<-sd(eco);vol1## [1] 0.020904572. Varianza como promedio de los rendimientos al cuadrado.
En la práctica financiera se ha recomendado utilizar como estimación de la varianza el promedio de los cuadrados de los rendimientos, se supone que, en la práctica, la media de los rendimientos diarios es muy pequeña, cerca a cero:
\[\begin{equation*} \sigma=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}r_{i}^{2}}{n}} \end{equation*}\]
vari2<-sum(eco^2)/n;vari2## [1] 0.000437926vol2<-sqrt(vari2);vol2## [1] 0.020926683. Varianza mediante ventanas móviles.
En la gran mayoría de las series financieras, y particularmente las de rendimiento, la varianza no es constante en el tiempo. Un método sencillo para estimar la varianza es mediante ventanas móviles. El problema radica en definir el tamaño de las ventanas a utilizar, ya que en la medida en que el tamaño sea grande, la serie de volatilidades obtenidas tiende a ser más suave, pero no necesariamente refleja el comportamiento más reciente de la serie. Si el tamaño de la ventana es pequeña, las observaciones más recientes predominan en el comportamiento de la volatilidad.
Mediante este método la varianza se puede estimar:
\[\begin{equation*} \sigma_{t}^{2}=\sum_{i=t-k+1}^{t}\dfrac{r_{i}^{2}}{k} \end{equation*}\]
\(k:\) es el tamaño de la ventana
k=20
b3<-runsd(eco,k,center=runmean(eco,k))
plot(b3,type="l",lwd=2,xlab="Fecha")
vari3<-b3[n]^2;vari3## [1] 0.0001543867vol3<-b3[n];vol3## [1] 0.012425244. Varianza mediante suavizamiento exponencial.
Una forma de tener en cuenta las variaciones que presenta la serie a través del tiempo es utilizar el método de suavizamiento exponencial a los datos históricos, el cual asigna una mayor ponderación a las observaciones más recientes. Este método parte del supuesto de que la media de los rendimientos es igual a cero.
Este método fue propuesto por J. P. Morgan (1995) en su documento RiskMetrics.
La varianza de los rendimientos históricos puede obtenerse como el promedio ponderado de las volatilidades pasadas de la forma:
\[\begin{equation*} \sigma_{t}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}r_{t-i}^{2} \end{equation*}\]
Donde \(\alpha_{i}\longrightarrow 0\) cuando \(i\longrightarrow n\) y \(\sum _{i=1}^{n}\alpha_{i}=1\).
Se supone que las ponderaciones decaen exponencialmente a una tasa constante, es decir, $ =$ para $ 0<<1 $, con lo cual se obtiene, aproximadamente:
\[\begin{equation*} \sigma_{t}^{2}=(1-\lambda)\sum_{i=1}^{n}\lambda^{i-1}r_{t-i}^{2} \end{equation*}\]
Rezagando la anterior ecuación y multiplicando por \(\lambda\) , se obtiene:
\[\begin{equation*} \lambda \sigma_{t-1}^{2}=(1-\lambda)\sum_{i=1}^{n}\lambda^{i}r_{t-i-1}^{2} \end{equation*}\]
Restando las dos ecuaciones anteriores, se tiene:
\[\begin{equation*} \sigma_{t}^{2}=\lambda \sigma_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_{t-1}^{2} \end{equation*}\]
Según esta última ecuación, la volatilidad para un determinado periodo depende de la volatilidad y del rendimiento del periodo inmediatamente anterior y depende solo del parámetro \(\lambda\), que indica la ponderación asignada. En se recomienda que tome valores entre 0.9 y 0.94.
expo3<-emaTA(eco^2, lambda = 0.94)
ebo3<-expo3[n]
plot(expo3,type="l",xlab="fecha")
La estimación sería:
vari4<-0.94*ebo3+(1-0.94)*eco[n]^2;vari4## [1] 0.0001242916vol4<-sqrt(vari4);vol4## [1] 0.011148625. Varianza mediante el modelo ARCH(1).
El método ARCH (heteroscedasticidad condicional autorregresiva) permite modelar la varianza condicional en lugar de la varianza incondicional. Engel (1982) propuso modelar la varianza en función de los errores aleatorios, \(\varepsilon_{t}\) del pasado, o sea que la varianza \(\sigma^{2}\) no se trata como una constante en el tiempo (homoscedasticidad), sino que depende de los errores aleatorios en el pasado.
El modelo AR(1) tiene la forma:
\[\begin{equation*} a_{t}=\sigma_{t}\varepsilon_{t}, \qquad \sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}a_{t-1}^{2} , \qquad r_{t}=\mu+a_{t} \end{equation*}\]
geco1=garchFit(~garch(1,0),data=eco) ##arch(1)##
## Series Initialization:
## ARMA Model: arma
## Formula Mean: ~ arma(0, 0)
## GARCH Model: garch
## Formula Variance: ~ garch(1, 0)
## ARMA Order: 0 0
## Max ARMA Order: 0
## GARCH Order: 1 0
## Max GARCH Order: 1
## Maximum Order: 1
## Conditional Dist: norm
## h.start: 2
## llh.start: 1
## Length of Series: 836
## Recursion Init: mci
## Series Scale: 0.02090457
##
## Parameter Initialization:
## Initial Parameters: $params
## Limits of Transformations: $U, $V
## Which Parameters are Fixed? $includes
## Parameter Matrix:
## U V params includes
## mu -0.57555428 0.5755543 0.05755543 TRUE
## omega 0.00000100 100.0000000 0.10000000 TRUE
## alpha1 0.00000001 1.0000000 0.10000000 TRUE
## gamma1 -0.99999999 1.0000000 0.10000000 FALSE
## delta 0.00000000 2.0000000 2.00000000 FALSE
## skew 0.10000000 10.0000000 1.00000000 FALSE
## shape 1.00000000 10.0000000 4.00000000 FALSE
## Index List of Parameters to be Optimized:
## mu omega alpha1
## 1 2 3
## Persistence: 0.1
##
##
## --- START OF TRACE ---
## Selected Algorithm: nlminb
##
## R coded nlminb Solver:
##
## 0: 2567.8503: 0.0575554 0.100000 0.100000
## 1: 1189.5881: 0.0575346 1.05072 0.410064
## 2: 1186.0300: 0.0571372 1.10573 0.222669
## 3: 1180.1918: 0.0358362 1.05848 0.106221
## 4: 1172.2269: 0.0239291 0.734400 0.176453
## 5: 1168.9010: 0.0262900 0.765810 0.318710
## 6: 1168.6978: 0.0487792 0.758403 0.313159
## 7: 1168.6258: 0.0410432 0.737461 0.312677
## 8: 1168.6012: 0.0414501 0.748994 0.301094
## 9: 1168.6009: 0.0418063 0.749163 0.299830
## 10: 1168.6009: 0.0418003 0.749144 0.299799
## 11: 1168.6009: 0.0418008 0.749142 0.299802
##
## Final Estimate of the Negative LLH:
## LLH: -2064.869 norm LLH: -2.469939
## mu omega alpha1
## 0.0008738283 0.0003273759 0.2998018873
##
## R-optimhess Difference Approximated Hessian Matrix:
## mu omega alpha1
## mu -2270350.4000 845332.6 -542.4808
## omega 845332.5600 -2729976822.0 -513188.0410
## alpha1 -542.4808 -513188.0 -274.6033
## attr(,"time")
## Time difference of 0.03984714 secs
##
## --- END OF TRACE ---
##
##
## Time to Estimate Parameters:
## Time difference of 0.4033489 secscoef(geco1)## mu omega alpha1
## 0.0008738283 0.0003273759 0.2998018873summary(geco1)##
## Title:
## GARCH Modelling
##
## Call:
## garchFit(formula = ~garch(1, 0), data = eco)
##
## Mean and Variance Equation:
## data ~ garch(1, 0)
## <environment: 0x000002e843e4aa30>
## [data = eco]
##
## Conditional Distribution:
## norm
##
## Coefficient(s):
## mu omega alpha1
## 0.00087383 0.00032738 0.29980189
##
## Std. Errors:
## based on Hessian
##
## Error Analysis:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## mu 8.738e-04 6.641e-04 1.316 0.188
## omega 3.274e-04 2.377e-05 13.771 < 2e-16 ***
## alpha1 2.998e-01 7.497e-02 3.999 6.36e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Log Likelihood:
## 2064.869 normalized: 2.469939
##
## Description:
## Wed Sep 28 16:42:33 2022 by user: Pavilion
##
##
## Standardised Residuals Tests:
## Statistic p-Value
## Jarque-Bera Test R Chi^2 393.8119 0
## Shapiro-Wilk Test R W 0.9605698 3.222416e-14
## Ljung-Box Test R Q(10) 14.9783 0.132855
## Ljung-Box Test R Q(15) 26.75892 0.0307631
## Ljung-Box Test R Q(20) 28.6543 0.09479273
## Ljung-Box Test R^2 Q(10) 24.31128 0.006815673
## Ljung-Box Test R^2 Q(15) 30.64718 0.009790294
## Ljung-Box Test R^2 Q(20) 35.09898 0.01958338
## LM Arch Test R TR^2 14.41551 0.2749649
##
## Information Criterion Statistics:
## AIC BIC SIC HQIC
## -4.932702 -4.915733 -4.932727 -4.926197h4<-predict(geco1,n.ahead=1,plot=TRUE)
h4## meanForecast meanError standardDeviation lowerInterval upperInterval
## 1 0.0008738283 0.01931394 0.01931394 -0.03698079 0.03872845vole1<-volatility(geco1, type ="h")##varianza
vole1[n]## [1] 0.0003276049eco[n]## [1] -0.01146614pre1<-0.0003273760+0.2998019544*( -0.01146614- 0.0008738286)^2
pre1## [1] 0.0003730283Con lo cual el modelo queda como:
\(r_{t}=0.0008738286 +a_{t}\)
\(\sigma_{t}^{2}=0.0003273760 + 0.2998019544 a_{t-1}^{2}\)
Si se desea estimar la varianza para el día \(t+1\) hay que tener en cuenta que para el día \(t\) el rendimiento fue -0.01146614
La varianza estimada para el día \(t+1\) será:
\(\sigma_{t+1}^{2}=0.0003273760 + 0.2998019544(-0.01146614-0.0008738286)^{2}\)
\(\sigma_{t+1}^{2}= 0.0003730283\)
\(\sigma_{t+1}=0.01931394\)
6. Varianza mediante el modelo GARCH(1,1)
El modelo ARCH generalmente requiere de muchos parámetros para describir adecuadamente la volatilidad. En 1986, Bollerslev propuso una generalización del modelo ARCH, llamado GARCH.
Sea \(a_{t}=r_{t}-\mu_{t}\), el rendimiento corregido por la media. Entonces se dice que \(a_{t}\) sigue un modelo \(GARCH (m,s)\) si: \[\begin{equation*} a_{t}=\sigma_{t}\varepsilon_{t} \qquad \sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}a_{t-i}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\beta_{j}\sigma_{t-j}^{2} \qquad r_{t}=\mu+a_{t} \end{equation*}\]
Siendo \(\left\lbrace \varepsilon_{t} \right\rbrace\) una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media 0 y varianza 1.
geco2=garchFit(~garch(1,1),data=eco) ##arch(1)##
## Series Initialization:
## ARMA Model: arma
## Formula Mean: ~ arma(0, 0)
## GARCH Model: garch
## Formula Variance: ~ garch(1, 1)
## ARMA Order: 0 0
## Max ARMA Order: 0
## GARCH Order: 1 1
## Max GARCH Order: 1
## Maximum Order: 1
## Conditional Dist: norm
## h.start: 2
## llh.start: 1
## Length of Series: 836
## Recursion Init: mci
## Series Scale: 0.02090457
##
## Parameter Initialization:
## Initial Parameters: $params
## Limits of Transformations: $U, $V
## Which Parameters are Fixed? $includes
## Parameter Matrix:
## U V params includes
## mu -0.57555428 0.5755543 0.05755543 TRUE
## omega 0.00000100 100.0000000 0.10000000 TRUE
## alpha1 0.00000001 1.0000000 0.10000000 TRUE
## gamma1 -0.99999999 1.0000000 0.10000000 FALSE
## beta1 0.00000001 1.0000000 0.80000000 TRUE
## delta 0.00000000 2.0000000 2.00000000 FALSE
## skew 0.10000000 10.0000000 1.00000000 FALSE
## shape 1.00000000 10.0000000 4.00000000 FALSE
## Index List of Parameters to be Optimized:
## mu omega alpha1 beta1
## 1 2 3 5
## Persistence: 0.9
##
##
## --- START OF TRACE ---
## Selected Algorithm: nlminb
##
## R coded nlminb Solver:
##
## 0: 1142.2248: 0.0575554 0.100000 0.100000 0.800000
## 1: 1141.0789: 0.0575546 0.0911419 0.102497 0.798458
## 2: 1140.0396: 0.0575536 0.0880878 0.109845 0.803332
## 3: 1139.1649: 0.0575524 0.0790094 0.111955 0.802872
## 4: 1138.4883: 0.0575510 0.0780470 0.118583 0.809369
## 5: 1137.7495: 0.0575494 0.0687374 0.118714 0.808743
## 6: 1136.9774: 0.0575471 0.0669227 0.123828 0.816334
## 7: 1136.2780: 0.0575443 0.0578185 0.123691 0.818376
## 8: 1135.5345: 0.0575406 0.0552538 0.126506 0.826895
## 9: 1134.8715: 0.0575361 0.0470984 0.124981 0.831165
## 10: 1134.1985: 0.0575304 0.0443698 0.125154 0.840087
## 11: 1133.5953: 0.0575237 0.0376396 0.121963 0.845707
## 12: 1133.0073: 0.0575153 0.0352782 0.119846 0.854482
## 13: 1132.4883: 0.0575053 0.0300782 0.115143 0.860637
## 14: 1132.0032: 0.0574921 0.0284863 0.111140 0.868912
## 15: 1131.5944: 0.0574746 0.0248566 0.105067 0.874988
## 16: 1131.2424: 0.0574459 0.0242049 0.0996824 0.882566
## 17: 1130.9689: 0.0573880 0.0211063 0.0933644 0.888611
## 18: 1130.8134: 0.0571972 0.0183415 0.0913517 0.896636
## 19: 1130.6832: 0.0570372 0.0198266 0.0830315 0.899449
## 20: 1130.6453: 0.0568521 0.0179172 0.0845199 0.901127
## 21: 1130.6443: 0.0568515 0.0178707 0.0843872 0.901092
## 22: 1130.6434: 0.0568507 0.0179750 0.0843292 0.901174
## 23: 1130.6427: 0.0568500 0.0179227 0.0841964 0.901151
## 24: 1130.6418: 0.0568473 0.0180147 0.0841517 0.901242
## 25: 1130.6410: 0.0568445 0.0179621 0.0840256 0.901237
## 26: 1130.6403: 0.0568406 0.0180398 0.0839812 0.901330
## 27: 1130.6396: 0.0568367 0.0179860 0.0838654 0.901333
## 28: 1130.6389: 0.0568321 0.0180527 0.0838235 0.901426
## 29: 1130.6382: 0.0568274 0.0179982 0.0837172 0.901435
## 30: 1130.6376: 0.0568222 0.0180565 0.0836789 0.901525
## 31: 1130.6370: 0.0568169 0.0180018 0.0835809 0.901537
## 32: 1130.6364: 0.0568114 0.0180539 0.0835462 0.901626
## 33: 1130.6358: 0.0568057 0.0179995 0.0834554 0.901639
## 34: 1130.6353: 0.0567998 0.0180468 0.0834241 0.901725
## 35: 1130.6348: 0.0567938 0.0179931 0.0833394 0.901739
## 36: 1130.6343: 0.0567876 0.0180366 0.0833112 0.901822
## 37: 1130.6338: 0.0567814 0.0179840 0.0832319 0.901836
## 38: 1130.6333: 0.0567750 0.0180245 0.0832062 0.901916
## 39: 1130.6328: 0.0567685 0.0179731 0.0831317 0.901929
## 40: 1130.6324: 0.0567619 0.0180112 0.0831083 0.902006
## 41: 1130.6320: 0.0567552 0.0179611 0.0830380 0.902019
## 42: 1130.6315: 0.0567484 0.0179971 0.0830166 0.902093
## 43: 1130.6311: 0.0567416 0.0179485 0.0829501 0.902106
## 44: 1130.6307: 0.0567346 0.0179828 0.0829304 0.902176
## 45: 1130.6303: 0.0567277 0.0179357 0.0828673 0.902188
## 46: 1130.6300: 0.0567206 0.0179684 0.0828492 0.902256
## 47: 1130.6296: 0.0567135 0.0179228 0.0827892 0.902267
## 48: 1130.6292: 0.0567063 0.0179542 0.0827724 0.902332
## 49: 1130.6289: 0.0566991 0.0179101 0.0827153 0.902342
## 50: 1130.6285: 0.0566918 0.0179402 0.0826997 0.902405
## 51: 1130.6282: 0.0566845 0.0178977 0.0826452 0.902414
## 52: 1130.6279: 0.0566771 0.0179267 0.0826308 0.902474
## 53: 1130.6276: 0.0566697 0.0178856 0.0825787 0.902483
## 54: 1130.6273: 0.0566622 0.0179135 0.0825653 0.902541
## 55: 1130.6269: 0.0566547 0.0178738 0.0825155 0.902549
## 56: 1130.6267: 0.0566472 0.0179008 0.0825029 0.902604
## 57: 1130.6264: 0.0566396 0.0178624 0.0824553 0.902612
## 58: 1130.6261: 0.0566320 0.0178885 0.0824436 0.902665
## 59: 1130.6258: 0.0566244 0.0178515 0.0823980 0.902672
## 60: 1130.6255: 0.0566167 0.0178767 0.0823870 0.902723
## 61: 1130.6252: 0.0566090 0.0178409 0.0823432 0.902729
## 62: 1130.6250: 0.0566013 0.0178653 0.0823329 0.902778
## 63: 1130.6247: 0.0565936 0.0178308 0.0822910 0.902784
## 64: 1130.6245: 0.0565858 0.0178544 0.0822813 0.902832
## 65: 1130.6242: 0.0565780 0.0178210 0.0822410 0.902837
## 66: 1130.6240: 0.0565702 0.0178440 0.0822320 0.902882
## 67: 1130.6237: 0.0565624 0.0178116 0.0821933 0.902887
## 68: 1130.6235: 0.0565545 0.0178339 0.0821848 0.902931
## 69: 1130.6232: 0.0565467 0.0178026 0.0821476 0.902936
## 70: 1130.6230: 0.0565388 0.0178242 0.0821396 0.902978
## 71: 1130.6228: 0.0565309 0.0177939 0.0821038 0.902982
## 72: 1130.6225: 0.0565230 0.0178150 0.0820964 0.903022
## 73: 1130.6223: 0.0565150 0.0177856 0.0820619 0.903026
## 74: 1130.6221: 0.0565071 0.0178061 0.0820550 0.903065
## 75: 1130.6219: 0.0564991 0.0177776 0.0820218 0.903069
## 76: 1130.6216: 0.0564911 0.0177975 0.0820153 0.903106
## 77: 1130.6214: 0.0564831 0.0177699 0.0819833 0.903109
## 78: 1130.6212: 0.0564751 0.0177893 0.0819772 0.903146
## 79: 1130.6210: 0.0564671 0.0177625 0.0819464 0.903148
## 80: 1130.6208: 0.0564591 0.0177813 0.0819407 0.903183
## 81: 1130.6206: 0.0564511 0.0177554 0.0819109 0.903186
## 82: 1130.6204: 0.0564430 0.0177737 0.0819057 0.903220
## 83: 1130.6202: 0.0564349 0.0177485 0.0818769 0.903222
## 84: 1130.6200: 0.0564269 0.0177664 0.0818722 0.903255
## 85: 1130.6198: 0.0564188 0.0177420 0.0818443 0.903257
## 86: 1130.6196: 0.0564107 0.0177594 0.0818399 0.903288
## 87: 1130.6194: 0.0564026 0.0177356 0.0818130 0.903290
## 88: 1130.6192: 0.0563945 0.0177527 0.0818089 0.903320
## 89: 1130.6190: 0.0563864 0.0177296 0.0817830 0.903322
## 90: 1130.6188: 0.0563783 0.0177462 0.0817792 0.903351
## 91: 1130.5083: 0.0433035 0.0179277 0.0845655 0.900930
## 92: 1130.5017: 0.0421485 0.0181637 0.0808452 0.903121
## 93: 1130.4899: 0.0417422 0.0174274 0.0802901 0.904822
## 94: 1130.4890: 0.0417701 0.0174510 0.0813224 0.904148
## 95: 1130.4889: 0.0417374 0.0172789 0.0813131 0.904190
## 96: 1130.4886: 0.0417048 0.0173244 0.0811772 0.904305
## 97: 1130.4886: 0.0416815 0.0173319 0.0810753 0.904388
## 98: 1130.4886: 0.0416817 0.0173273 0.0810852 0.904389
## 99: 1130.4886: 0.0416825 0.0173291 0.0810838 0.904387
##
## Final Estimate of the Negative LLH:
## LLH: -2102.982 norm LLH: -2.515528
## mu omega alpha1 beta1
## 8.713538e-04 7.572816e-06 8.108378e-02 9.043869e-01
##
## R-optimhess Difference Approximated Hessian Matrix:
## mu omega alpha1 beta1
## mu -2750217.8473 41004852 -3.086367e+03 6.321522e+02
## omega 41004851.9282 -563416279766 -1.157969e+08 -1.571346e+08
## alpha1 -3086.3666 -115796914 -3.578948e+04 -4.275110e+04
## beta1 632.1522 -157134629 -4.275110e+04 -5.589347e+04
## attr(,"time")
## Time difference of 0.04990315 secs
##
## --- END OF TRACE ---
##
##
## Time to Estimate Parameters:
## Time difference of 0.7985871 secscoef(geco2)## mu omega alpha1 beta1
## 8.713538e-04 7.572816e-06 8.108378e-02 9.043869e-01summary(geco2)##
## Title:
## GARCH Modelling
##
## Call:
## garchFit(formula = ~garch(1, 1), data = eco)
##
## Mean and Variance Equation:
## data ~ garch(1, 1)
## <environment: 0x000002e842ca8c28>
## [data = eco]
##
## Conditional Distribution:
## norm
##
## Coefficient(s):
## mu omega alpha1 beta1
## 8.7135e-04 7.5728e-06 8.1084e-02 9.0439e-01
##
## Std. Errors:
## based on Hessian
##
## Error Analysis:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## mu 8.714e-04 6.046e-04 1.441 0.1495
## omega 7.573e-06 2.949e-06 2.568 0.0102 *
## alpha1 8.108e-02 1.847e-02 4.389 1.14e-05 ***
## beta1 9.044e-01 1.841e-02 49.131 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Log Likelihood:
## 2102.982 normalized: 2.515528
##
## Description:
## Wed Sep 28 16:42:35 2022 by user: Pavilion
##
##
## Standardised Residuals Tests:
## Statistic p-Value
## Jarque-Bera Test R Chi^2 396.3712 0
## Shapiro-Wilk Test R W 0.9657314 4.219424e-13
## Ljung-Box Test R Q(10) 9.977368 0.4424811
## Ljung-Box Test R Q(15) 23.20394 0.0799048
## Ljung-Box Test R Q(20) 24.31207 0.2290262
## Ljung-Box Test R^2 Q(10) 2.0048 0.9963032
## Ljung-Box Test R^2 Q(15) 3.241137 0.9993528
## Ljung-Box Test R^2 Q(20) 6.359412 0.9983169
## LM Arch Test R TR^2 2.940654 0.9959487
##
## Information Criterion Statistics:
## AIC BIC SIC HQIC
## -5.021487 -4.998862 -5.021533 -5.012814h5<-predict(geco2,n.ahead=1,plot=TRUE)
h5## meanForecast meanError standardDeviation lowerInterval upperInterval
## 1 0.0008713538 0.01626631 0.01626631 -0.03101002 0.03275273vole2<-volatility(geco2, type ="h")##varianza
vole2[n]## [1] 0.0002705456El modelo GARCH(1,1) queda de la forma;
\(r_{t}=8.713528e-04 +a_{t}\)
\(\sigma_{t}^{2}= 7.572808e-06+ 8.108366e-02a_{t-1}^{2}+ 9.043870e-01\sigma_{t-1}^{2}\)
Si se desea estimar la varianza para el día \(t+1\) hay que tener en cuenta que para el día \(t\) el rendimiento fue -0.01146614
La varianza estimada para el periodo \(t\) es 0.0002705457.
La varianza estimada para el día \(t+1\) será:
\(\sigma_{t+1}^{2}= 7.572808e-06+8.108366e-02(0.0002705457-8.713528e-04)^{2}+9.043870e-01(V)\)
\(\sigma_{t+1}^{2}=0.0002645929\)
\(\sigma_{t+1}=0.01626631\)
paquetes usados:
library(fGarch)
library(caTools)
library(fTrading)
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O.M.F.
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