Caso 9. Teoría de probabilidad kevin yair galvan 17/septiembre/2022 1 Objetivo Desarrollar ejercicios para encontrar la probabilidad de eventos de un espacio muestral.

2 Descripción Construir ejercicios de probabilidad conforme a partir de datos conforme la teoría de probabilidad.

A partir de un conjunto de datos generados estimar y determinar las probabilidades.

3 Marco teórico Para cuando los espacios muestrales tienen un espacio finito o un número de elementos finito, la probabilidad de ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento estadístico se evalúa utilizando un conjunto de números reales denominados pesos o probabilidades, que van de 0 a 1.(Walpole, Myers, and Myers 2012).

Para todo punto en el espacio muestral se asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es 1. (Walpole, Myers, and Myers 2012).

Si se tiene certeza para creer que al llevar a cabo el experimento es bastante probable que ocurra cierto punto muestral, le tendríamos que asignar a éste una probabilidad cercana a uno. Por el contrario, si se cree que no hay probabilidades de que ocurra cierto punto muestral, se tendría que asignar a éste una probabilidad cercana a cero.

En un espacio muestral en donde todos los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de ocurrencia, por lo tanto, se les asignan probabilidades iguales.

A los puntos fuera del espacio muestral, es decir, a los eventos simples que no tienen posibilidades de ocurrir, se les asigna una probabilidad de cero.

Entonces: La probabilidad de un evento A debe estar entre cero y uno

0≤P(A)≤1

La probabilidad de todo el espacio muestral S debe ser uno P(S)=1

La probabilidad de que no ocurra un evento es cero

p(ϕ)=0

Ejemplo: lanzar un dado. La probabilidad de que caiga un 1, un 2, un 3 un 4 un 5 un 6 es la misma para cada elemento. Siendo S el espacio muestral, cual es la probabilidad de que al lanzar un dado a una mesa, el valor del mismo cara arriba sea un 5?, y ¿cuál es la probabilidad de que sea un 7?

¿Cuántas veces está el 5 en el espacio muestral S?. Una sola vez.

¿Cuántas veces está el 7 en el espacio muestral S?. Ninguna

Entonces dividir el número de ocurrencias del 5 entre el número total de elementos N.

prob=nN

En términos porcentuales sería:

prob=nN×100

[1] 5

[1] “La probabilidad de que al lanzar el dado sea cinco es : 1 de entre 6 elementos que existen en el espacio muestral. Representa: 16.67 %”

4 Desarrollo 4.1 Cargar librerías Se cargan librerías necesarias para distintos ejercicios

4.2 Ejercicios 4.2.1 Lanzar dos dados:

¿Que probabilidad existe de que al lanzar los dos dados de que salga 10 la suma de los valores de los dos dados?.

4.2.1.1 Crear el espacio muestral de los dados A partir de un vector dado del 1 al 6 que son los valores del dado generar permutaciones en donde se puedan repetir los valores del dado.

Poner nombre con la función names() nombres de columnas al conjunto de datos lanzar_dados.

Con la función cbind() se agrega una columna al conjunto de datos.

Con apply() se hace la suma de cada renglón del conjunto de datos lanzar_dados.

dado1 dado2 suma

1 1 1 2

2 1 2 3

3 1 3 4

4 1 4 5

5 1 5 6

6 1 6 7

7 2 1 3

8 2 2 4

9 2 3 5

10 2 4 6

11 2 5 7

12 2 6 8

13 3 1 4

14 3 2 5

15 3 3 6

16 3 4 7

17 3 5 8

18 3 6 9

19 4 1 5

20 4 2 6

21 4 3 7

22 4 4 8

23 4 5 9

24 4 6 10

25 5 1 6

26 5 2 7

27 5 3 8

28 5 4 9

29 5 5 10

30 5 6 11

31 6 1 7

32 6 2 8

33 6 3 9

34 6 4 10

35 6 5 11

36 6 6 12

4.2.1.2 Probabilidad de dos dados Encontrar en cuantas ocasiones la suma de los dos dados es diez, se hace con la función subset()

dado1 dado2 suma

24 4 6 10

29 5 5 10

34 6 4 10

[1] 3

[1] “Existen 3 alternativas de que la suma de lanzamiento de dos dados sea 10 de un total de 36 lo que representa 8.33 % probable”

4.2.2 Juego de Black Jack Se reparten dos barajas de tipo inglesa y el jugador debe sumar los valores numéricos de las dos barajas.

La pregunta es: ¿qué probabilidad existe de que al recibir dos cartas de una baraja de 52 cartas modalidad inglesa la suma de las dos cartas sea 20?

El As vale 1 punto

Los valores numérico valen lo que indica la carta

Los monos (J, Q y K ) valen 10 puntos

4.2.2.1 Simular las cartas … Reutilizar código que existe en “https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/main/funciones/misfunciones.R”

4.2.2.2 Espacio muestral sin sumas El espacio muestral de todas las cartas almacenada en una variable llamada S.casos.

C1 C2

1 10 10

2 10 2

3 10 3

4 10 4

5 10 5

6 10 6

7 10 7

8 10 8

9 10 9

10 10 A

11 10 J

12 10 K

13 10 Q

14 2 10

15 2 2

16 2 3

17 2 4

18 2 5

19 2 6

20 2 7

21 2 8

22 2 9

23 2 A

24 2 J

25 2 K

26 2 Q

27 3 10

28 3 2

29 3 3

30 3 4

31 3 5

32 3 6

33 3 7

34 3 8

35 3 9

36 3 A

37 3 J

38 3 K

39 3 Q

40 4 10

41 4 2

42 4 3

43 4 4

44 4 5

45 4 6

46 4 7

47 4 8

48 4 9

49 4 A

50 4 J

51 4 K

52 4 Q

53 5 10

54 5 2

55 5 3

56 5 4

57 5 5

58 5 6

59 5 7

60 5 8

61 5 9

62 5 A

63 5 J

64 5 K

65 5 Q

66 6 10

67 6 2

68 6 3

69 6 4

70 6 5

71 6 6

72 6 7

73 6 8

74 6 9

75 6 A

76 6 J

77 6 K

78 6 Q

79 7 10

80 7 2

81 7 3

82 7 4

83 7 5

84 7 6

85 7 7

86 7 8

87 7 9

88 7 A

89 7 J

90 7 K

91 7 Q

92 8 10

93 8 2

94 8 3

95 8 4

96 8 5

97 8 6

98 8 7

99 8 8

100 8 9

101 8 A

102 8 J

103 8 K

104 8 Q

105 9 10

106 9 2

107 9 3

108 9 4

109 9 5

110 9 6

111 9 7

112 9 8

113 9 9

114 9 A

115 9 J

116 9 K

117 9 Q

118 A 10

119 A 2

120 A 3

121 A 4

122 A 5

123 A 6

124 A 7

125 A 8

126 A 9

127 A A

128 A J

129 A K

130 A Q

131 J 10

132 J 2

133 J 3

134 J 4

135 J 5

136 J 6

137 J 7

138 J 8

139 J 9

140 J A

141 J J

142 J K

143 J Q

144 K 10

145 K 2

146 K 3

147 K 4

148 K 5

149 K 6

150 K 7

151 K 8

152 K 9

153 K A

154 K J

155 K K

156 K Q

157 Q 10

158 Q 2

159 Q 3

160 Q 4

161 Q 5

162 Q 6

163 Q 7

164 Q 8

165 Q 9

166 Q A

167 Q J

168 Q K

169 Q Q

Total de casos del espacio muestral:

[1] 169

4.2.2.3 Espacio muestral con sumas Determinar columna para suma de las dos cartas

C1 C2 valor1 valor2 suma

1 10 10 10 10 20

2 10 2 10 2 12

3 10 3 10 3 13

4 10 4 10 4 14

5 10 5 10 5 15

6 10 6 10 6 16

7 10 7 10 7 17

8 10 8 10 8 18

9 10 9 10 9 19

10 10 A 10 1 11

11 10 J 10 10 20

12 10 K 10 10 20

13 10 Q 10 10 20

14 2 10 2 10 12

15 2 2 2 2 4

16 2 3 2 3 5

17 2 4 2 4 6

18 2 5 2 5 7

19 2 6 2 6 8

20 2 7 2 7 9

21 2 8 2 8 10

22 2 9 2 9 11

23 2 A 2 1 3

24 2 J 2 10 12

25 2 K 2 10 12

26 2 Q 2 10 12

27 3 10 3 10 13

28 3 2 3 2 5

29 3 3 3 3 6

30 3 4 3 4 7

31 3 5 3 5 8

32 3 6 3 6 9

33 3 7 3 7 10

34 3 8 3 8 11

35 3 9 3 9 12

36 3 A 3 1 4

37 3 J 3 10 13

38 3 K 3 10 13

39 3 Q 3 10 13

40 4 10 4 10 14

41 4 2 4 2 6

42 4 3 4 3 7

43 4 4 4 4 8

44 4 5 4 5 9

45 4 6 4 6 10

46 4 7 4 7 11

47 4 8 4 8 12

48 4 9 4 9 13

49 4 A 4 1 5

50 4 J 4 10 14

51 4 K 4 10 14

52 4 Q 4 10 14

53 5 10 5 10 15

54 5 2 5 2 7

55 5 3 5 3 8

56 5 4 5 4 9

57 5 5 5 5 10

58 5 6 5 6 11

59 5 7 5 7 12

60 5 8 5 8 13

61 5 9 5 9 14

62 5 A 5 1 6

63 5 J 5 10 15

64 5 K 5 10 15

65 5 Q 5 10 15

66 6 10 6 10 16

67 6 2 6 2 8

68 6 3 6 3 9

69 6 4 6 4 10

70 6 5 6 5 11

71 6 6 6 6 12

72 6 7 6 7 13

73 6 8 6 8 14

74 6 9 6 9 15

75 6 A 6 1 7

76 6 J 6 10 16

77 6 K 6 10 16

78 6 Q 6 10 16

79 7 10 7 10 17

80 7 2 7 2 9

81 7 3 7 3 10

82 7 4 7 4 11

83 7 5 7 5 12

84 7 6 7 6 13

85 7 7 7 7 14

86 7 8 7 8 15

87 7 9 7 9 16

88 7 A 7 1 8

89 7 J 7 10 17

90 7 K 7 10 17

91 7 Q 7 10 17

92 8 10 8 10 18

93 8 2 8 2 10

94 8 3 8 3 11

95 8 4 8 4 12

96 8 5 8 5 13

97 8 6 8 6 14

98 8 7 8 7 15

99 8 8 8 8 16

100 8 9 8 9 17

101 8 A 8 1 9

102 8 J 8 10 18

103 8 K 8 10 18

104 8 Q 8 10 18

105 9 10 9 10 19

106 9 2 9 2 11

107 9 3 9 3 12

108 9 4 9 4 13

109 9 5 9 5 14

110 9 6 9 6 15

111 9 7 9 7 16

112 9 8 9 8 17

113 9 9 9 9 18

114 9 A 9 1 10

115 9 J 9 10 19

116 9 K 9 10 19

117 9 Q 9 10 19

118 A 10 1 10 11

119 A 2 1 2 3

120 A 3 1 3 4

121 A 4 1 4 5

122 A 5 1 5 6

123 A 6 1 6 7

124 A 7 1 7 8

125 A 8 1 8 9

126 A 9 1 9 10

127 A A 1 1 2

128 A J 1 10 11

129 A K 1 10 11

130 A Q 1 10 11

131 J 10 10 10 20

132 J 2 10 2 12

133 J 3 10 3 13

134 J 4 10 4 14

135 J 5 10 5 15

136 J 6 10 6 16

137 J 7 10 7 17

138 J 8 10 8 18

139 J 9 10 9 19

140 J A 10 1 11

141 J J 10 10 20

142 J K 10 10 20

143 J Q 10 10 20

144 K 10 10 10 20

145 K 2 10 2 12

146 K 3 10 3 13

147 K 4 10 4 14

148 K 5 10 5 15

149 K 6 10 6 16

150 K 7 10 7 17

151 K 8 10 8 18

152 K 9 10 9 19

153 K A 10 1 11

154 K J 10 10 20

155 K K 10 10 20

156 K Q 10 10 20

157 Q 10 10 10 20

158 Q 2 10 2 12

159 Q 3 10 3 13

160 Q 4 10 4 14

161 Q 5 10 5 15

162 Q 6 10 6 16

163 Q 7 10 7 17

164 Q 8 10 8 18

165 Q 9 10 9 19

166 Q A 10 1 11

167 Q J 10 10 20

168 Q K 10 10 20

169 Q Q 10 10 20

Nuevamente la pregunta es: ¿qué probabilidad existe de que al recibir dos cartas de una baraja de 52 cartas modalidad inglesa la suma de las dos cartas sea 20?

C1 C2 valor1 valor2 suma

1 10 10 10 10 20

11 10 J 10 10 20

12 10 K 10 10 20

13 10 Q 10 10 20

131 J 10 10 10 20

141 J J 10 10 20

142 J K 10 10 20

143 J Q 10 10 20

144 K 10 10 10 20

154 K J 10 10 20

155 K K 10 10 20

156 K Q 10 10 20

157 Q 10 10 10 20

167 Q J 10 10 20

168 Q K 10 10 20

169 Q Q 10 10 20

[1] “De las 169 alternativas, existe 16 posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea 20 ,que representa el 9.47 %”

4.2.3 Ruleta La ruleta tiene 39 números en colores negro y rojo ¿que probabilidad existe de que al dar vuelta se detenga en un valor en específico?

[1] “1 Rojo” “2 Rojo” “3 Rojo” “4 Rojo” “5 Rojo” “6 Rojo”

[7] “7 Rojo” “8 Rojo” “9 Rojo” “10 Rojo” “11 Rojo” “12 Rojo”

[13] “13 Rojo” “14 Rojo” “15 Rojo” “16 Rojo” “17 Rojo” “18 Rojo”

[19] “19 Rojo” “20 Rojo” “21 Rojo” “22 Rojo” “23 Rojo” “24 Rojo”

[25] “25 Rojo” “26 Rojo” “27 Rojo” “28 Rojo” “29 Rojo” “30 Rojo”

[31] “31 Rojo” “32 Rojo” “33 Rojo” “34 Rojo” “35 Rojo” “36 Rojo”

[37] “1 Negro” “2 Negro” “3 Negro” “4 Negro” “5 Negro” “6 Negro”

[43] “7 Negro” “8 Negro” “9 Negro” “10 Negro” “11 Negro” “12 Negro”

[49] “13 Negro” “14 Negro” “15 Negro” “16 Negro” “17 Negro” “18 Negro”

[55] “19 Negro” “20 Negro” “21 Negro” “22 Negro” “23 Negro” “24 Negro”

[61] “25 Negro” “26 Negro” “27 Negro” “28 Negro” “29 Negro” “30 Negro”

[67] “31 Negro” “32 Negro” “33 Negro” “34 Negro” “35 Negro” “36 Negro”

¿Cuál es la la probabilidad de que al darle vuelta la ruleta se detenga en un valor específico es por ejemplo en la casilla “20 Negro.”

[1] “La probabilidad de que caiga un valor en la ruleta de 72 alternativas es: 1.39 %”

4.2.4 Dominó El juego de dominó consiste en que de una cantidad de 28 fichas se reparten siete de ellas a cada jugador.

Uno de los variantes del dominó es contar los puntos de cada ficha, siendo los puntos la cantidad de puntos negros que tiene cada ficha.

Para este ejercicio se pide:

¿Cual es la probabilidad de que la suma de puntos de las siete fichas repartidas sea manor a 15 puntos?

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las siete fichas sea mayor a 60 puntos?

¿Cual es la probabilidad de que al repartir siete fichas de dominó la suma total esté 30 y 40 puntos?. Siendo los puntos los puntos negros de cada ficha?.

¿Cual será el rango o intervalo de clase conforme a la suma de puntos existe mayor probabilidad de obtener esos puntos?

4.2.4.1 Espacio muestral del dominó Primero se construye el espacio muestral a partir de funciones ya preparadas que se encuentran en la dirección https://github.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/blob/main/funciones/funciones.domino.r

Se muestra sólo las primeras 20 observaciones y las últimas 20 de todas las posibles combinaciones de siete fichas en siete fichas.

El campo suma es la cantidad de puntos de las siete fichas.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma

1 00 01 02 03 04 05 06 21

2 00 01 02 03 04 05 11 17

3 00 01 02 03 04 05 12 18

4 00 01 02 03 04 05 13 19

5 00 01 02 03 04 05 14 20

6 00 01 02 03 04 05 15 21

7 00 01 02 03 04 05 16 22

8 00 01 02 03 04 05 22 19

9 00 01 02 03 04 05 23 20

10 00 01 02 03 04 05 24 21

11 00 01 02 03 04 05 25 22

12 00 01 02 03 04 05 26 23

13 00 01 02 03 04 05 33 21

14 00 01 02 03 04 05 34 22

15 00 01 02 03 04 05 35 23

16 00 01 02 03 04 05 36 24

17 00 01 02 03 04 05 44 23

18 00 01 02 03 04 05 45 24

19 00 01 02 03 04 05 46 25

20 00 01 02 03 04 05 55 25

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma

1184021 34 35 44 45 46 55 66 64

1184022 34 35 44 45 46 56 66 65

1184023 34 35 44 45 55 56 66 65

1184024 34 35 44 46 55 56 66 66

1184025 34 35 45 46 55 56 66 67

1184026 34 36 44 45 46 55 56 64

1184027 34 36 44 45 46 55 66 65

1184028 34 36 44 45 46 56 66 66

1184029 34 36 44 45 55 56 66 66

1184030 34 36 44 46 55 56 66 67

1184031 34 36 45 46 55 56 66 68

1184032 34 44 45 46 55 56 66 67

1184033 35 36 44 45 46 55 56 65

1184034 35 36 44 45 46 55 66 66

1184035 35 36 44 45 46 56 66 67

1184036 35 36 44 45 55 56 66 67

1184037 35 36 44 46 55 56 66 68

1184038 35 36 45 46 55 56 66 69

1184039 35 44 45 46 55 56 66 68

1184040 36 44 45 46 55 56 66 69

Se determina la cantidad de combinaciones posibles en grupos de siete fichas de dominó

4.2.4.2 Cantidad de combinaciones ## [1] 1184040 ## [1] 1184040 4.2.4.3 Repartir fichas Se pueden repartir siete fichas a partir de una simulación.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma

369636 01 03 06 16 23 45 55 41

Para describir 1184040 de registros lo mejor es representarlo con un histograma utilizado la variable de interés suma de las fichas.

4.2.4.4 Histograma de suma de puntos

4.2.4.5 Tabla de frecuencias Y se puede construir clases por medio de la función fdt() para determinar tablas de frecuencia

Class limits f rf rf(%) cf cf(%)

[15,20) 255 0.00 0.02 255 0.02

[20,25) 5459 0.00 0.46 5714 0.48

[25,30) 37727 0.03 3.19 43441 3.67

[30,35) 129100 0.11 10.90 172541 14.57

[35,40) 258058 0.22 21.79 430599 36.37

[40,45) 322842 0.27 27.27 753441 63.63

[45,50) 258058 0.22 21.79 1011499 85.43

[50,55) 129100 0.11 10.90 1140599 96.33

[55,60) 37727 0.03 3.19 1178326 99.52

[60,65) 5459 0.00 0.46 1183785 99.98

[65,70) 255 0.00 0.02 1184040 100.00

[70,75) 0 0.00 0.00 1184040 100.00

4.2.4.6 Probabilidades de puntos en el dominó ¿Cual es la probabilidad de que la suma de puntos de las siete fichas repartidas sea menor o igual a 15 puntos?

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma

1 00 01 02 03 04 11 12 15

2 00 01 02 03 11 12 13 15

3 00 01 02 03 11 12 22 15

[1] “Existe 3 eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es menor o igual a 15, de un total de 1184040 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 3e-04 %”

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las siete fichas sea mayor a 60 puntos?

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma

1 00 36 45 46 55 56 66 61

2 01 26 36 46 55 56 66 61

3 01 26 45 46 55 56 66 61

4 01 35 36 46 55 56 66 61

5 01 35 45 46 55 56 66 61

6 01 36 44 46 55 56 66 61

[1] “Existe 3427 eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es mayor a 60, de un total de 1184040 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 0.2894 %”

¿Cual es la probabilidad de que al repartir siete fichas de dominó la suma total esté 30 y 40 puntos?. Siendo los puntos los puntos negros de cada ficha?.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma

1 00 01 02 03 04 26 66 30

2 00 01 02 03 04 35 66 30

3 00 01 02 03 04 36 56 30

4 00 01 02 03 04 36 66 31

5 00 01 02 03 04 44 66 30

6 00 01 02 03 04 45 56 30

[1] “Existe 450520 eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 30 y menor o igual a 40, de un total de 1184040 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 38.0494 %”

5 Interpretación 5.1 Conteste las preguntas elaborando el desarrollo para justificar la respeusta: ¿Cual será el rango o intervalo de clase conforme a la suma de puntos de las siete fichas repartidas de dominó en donde existe mayor probabilidad de obtener esos puntos?

[1] “Describir habiendo analizado la tabla de frecuencia de la suma de puntos de las siete fichas de dominó”

¿Cómo se determina probabilidad de eventos de un espacio muestral, y que valores puede tener una probabilidad?

¿Para que sirve estimar probabilidades?

¿Podrá haber probabilidades negativas?, justifique SI o NO ?

Describa y justifique su respuesta sobre que es más probable de estas tres cuestiones:

¿Que salga águila al lanzar una moneda

¿Que la suma de los puntos de dos cartas repartidas de baraja esté entre 8 y 12.

¿Que la suma de los puntos de las siete fichas de dominó repartidas esté entre 30 y 50 puntos?

Conteste estas preguntas extras:

Que es mas probable que salga un 10 rojo en la ruleta o que la suma de dos cartas sea 10?

Que es más probable que la suma de dos cartas sea menor a 15 o que la suma de siete fichas sea menor a 50 puntos?

Qué es más probable: que salga en la suma un valor entre 8 y 12 en dos barajas o que salga un valor de suma entre 20 y 30 puntos en siete fichas de dominó?

¿A qué conclusiones llegan respecto a los ejercicios vistos en este caso?.

Bibliografía Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

R Markdown

This is an R Markdown document. Markdown is a simple formatting syntax for authoring HTML, PDF, and MS Word documents. For more details on using R Markdown see http://rmarkdown.rstudio.com.

When you click the Knit button a document will be generated that includes both content as well as the output of any embedded R code chunks within the document. You can embed an R code chunk like this:

summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Including Plots

You can also embed plots, for example:

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.