1 Estudando Área de figuras planas

Neste capítulo iremos revisar as principais figuras planas e relembrar como podemos encontrar as suas áreas.

Nele iremos abordar conceitos simples de figuras e como as variadas formas da natureza podem ser decompostas em figuras mais simples.

1.1 Área de Polígonos

Agora vamos estudar cada um dos polígonos mais conhecidos:

Área do Retângulo

É dada por: \(A = a \cdot b\)

Onde:

\(a \rightarrow base\)

\(b \rightarrow altura\)

Vamos fazer um código que possa automatizar esta equação:

Primeiro vamos automatizar a entrada dos dados, utilizando a função readline(): Reforçamos que nesta renderização não iremos inserir valores e você terá como resposta o termo NA mas que no seu algorítmo, quando o termo for inserido teremos uma resposta numérica:

library(glue)
a = as.numeric(readline("Digite o valor da base do retângulo: "))
## Digite o valor da base do retângulo:
glue("
     A base do retângulo será {a}cm.
     ")
## A base do retângulo será NAcm.

Prossegindo iremos fianlizar nossa operação:

a = as.numeric(readline("Digite o valor da base do retângulo: "))
## Digite o valor da base do retângulo:
b = as.numeric(readline("Digite o valor da altura do retângulo: "))
## Digite o valor da altura do retângulo:
A = a*b
glue("
     O retângulo de base {a}cm e altura {b}cm terá área de {A}cm quadrados.
     ")
## O retângulo de base NAcm e altura NAcm terá área de NAcm quadrados.

Veja como agora automatizamos a entrada para facilitar a declaração das variáveis, como também apresentamos uma nova maneira de imprimir uma mensagem na tela para o usuário.

Área do Paralelogramo

É dada por: \(A = b \cdot h\)

Onde:

\(b \rightarrow base\)

\(h \rightarrow altura\)

Vamos fazer um código que possa automatizar esta equação:

b = as.numeric(readline("Digite o valor da base do paralelogramo: "))
## Digite o valor da base do paralelogramo:
h = as.numeric(readline("Digite o valor da altura do paralelogramo: "))
## Digite o valor da altura do paralelogramo:
A = b*h
glue("
     O paralelogramo de base {b}cm e altura {h}cm terá área de {A}cm quadrados.
     ")
## O paralelogramo de base NAcm e altura NAcm terá área de NAcm quadrados.

Área do losango

É dada por: \(A = \dfrac{D \cdot d}{2}\)

Onde:

\(D \rightarrow diagonal maior\)

\(d \rightarrow diagonal menor\)

Área do Trapézio

É dada por: \(A = \dfrac{(B + b)h}{2}\)

Onde:

\(B \rightarrow base maior\)

\(b \rightarrow base menor\)

\(h \rightarrow altura\)

Área do Triângulo

É dada por: \(A = \dfrac{(b \cdot h)}{2}\)

Onde:

\(b \rightarrow base\)

\(h \rightarrow altura\)

1.2 Círculo

Área do circulo

Calcula-se a área de um círculo de raio r através da fórmula:

\(A=πr^2\)

Com esta equação podemos encontrar a área de qualquer círculo.

Onde:

\(\pi \rightarrow valor \quad de \quad pi\)

\(r \rightarrow raio\)

Neste caso, o valor de \(\pi\) e dada pelo próprio sistema, não precisando de sua declaração.

Área do setor circular

Defini-se setor circular como sendo uma partição do circulo que possua ângulo inferior à 360º.

Assim definimos a fórmula para seu cálculo com sendo:

\(A_s = \dfrac{x}{360}\pi r ^ 2\)

Onde:

\(A_s \rightarrow\) Área deste setor circular

\(x \rightarrow\) Ângulo deste setor circular

Área da Coroa circular

Dados dois círculos concêntricos, ou seja, possuem o mesmo centro. conforme imagem abaixo:

Definimos como coroa circular a região compreendida entre os limites da primeira circunferência interna e a circunferência externa.

Para encontrar a área desta região utilizamos a seguinte fórmula:

\(A_c = \pi(R^2 - r^2)\)

Veja os vídeos abaixos que são video aulas sobre este assunto.

  1. Vídeo sobre área de quadriláteros https://youtu.be/VrgfR9told4
  1. Vídeo sobre área de círculo https://youtu.be/H6Nr6VQuEEs

2 Estudando a área e o volume de figuras espaciais

Nesta seção iremos estudar as figuras em espaço tridimensional e relacionar suas áreas e volumes.

2.1 Prismas

Área da superfície do prisma:

Considera-se o material necessário para fazer todas as faces (paredes) de um prisma:

\(A_t = n \cdot A_l + 2 A_b\)

Onde:

  1. Área total = \(A_t\)
  1. Área lateral = \(A_l\)
  1. Área da base = \(A_b\)
  1. número de lados = \(n\)

Volume de um prisma:

\(V = A_bh\)

Observações importantes:

  1. 1 litro = \(1 dcm^3 \rightarrow 100 cm^3\)
  1. 1000 litros = \(1 m^3\)

O vídeo a seguir explica melhor este assunto caso tenha dúvidas: https://youtu.be/h9kTc-ryZFk

2.2 Pirâmides:

Área da superfície da pirâmide:

\(A_t = n \cdot A_l + A_b\)

Onde:

  1. Área total = \(A_t\)
  1. Área lateral = \(A_l\)
  1. Área da base = \(A_b\)
  1. número de lados = \(n\)

Volume de uma prirâmide:

\(V = \dfrac{A_bh}{3}\)

O vídeo a seguir explica melhor este assunto caso tenha dúvidas: https://youtu.be/lHD0YdylPZo

2.3 Tronco de uma Pirâmide:

A imagem abaixo apresenta o conceito de tronco de uma pirâmide:

Área da superfície de um tronco de pirâmide reta:

\(A_t = n \cdot A_l +A_B + A_b\)

Onde:

  1. Área total = \(A_t\)
  1. Área lateral = \(A_l\)
  1. Área da base menor = \(A_b\)
  1. Área da base maior = \(A_B\)
  1. número de lados = \(n\)

Volume de um tronco de pirâmide reta:

\(V = \dfrac{H_t}{3}(\sqrt{A_b \cdot A_B} + A_b + A_B)\)

Onde:

  1. Altura do tronco = \(H_t\)

O vídeo a seguir explica melhor este assunto caso tenha dúvidas: https://youtu.be/FI7R93RKuSg

2.4 Cilindro:

Área da superfície de um cilindro reto

\(A_t = 2 \pi r (r + h)\)

Volume de um cilindro reto

\(V = \pi r^2 h\)

O vídeo a seguir explica melhor este assunto caso tenha dúvidas: https://youtu.be/EwxNnVXKne0

2.5 Cone:

Área da superfície de um cone

\(A_t = \pi r (r + g)\)

Onde:

Comprimento da superfície ou geratirz do cone = \(g\)

Podemos encontrar \(g\) com a seguinte fórmula:

\(g = \sqrt{h^2 + r^2}\)

Volume do Cone reto

\(V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\)

O vídeo a seguir explica melhor este assunto caso tenha dúvidas: https://youtu.be/nm7jcvwj100

2.6 Tronco de cone reto:

Nesta página iremos aprender sobre os trocos de cones retos:

Área da Superfície do tronco de um cone:

\(A_t = A_B + A_b +A_l\)

Sendo que:

\(A_l = \pi G (R + r)\)

Volume de um tronco de cone reto

De forma simplificada:

\(V = \dfrac{\pi H_t}{3}(R^2 +Rr+r^2)\)

O vídeo a seguir explica melhor este assunto caso tenha dúvidas: https://youtu.be/pA__Y9hsyds

2.6 Esfera

Nesta página iremos aprender sobre os trocos de cones retos:

Área da Esfera

A área de uma esfera é dado por:

\(A = 4 \pi r^2\)

Volume da Esfera

O volume de uma esfera é dado por:

\(V = \dfrac{ 4 \pi r^3}{3}\)

O vídeo a seguir explica melhor este assunto caso tenha dúvidas: https://youtu.be/xYcJnBCUI9E

Conteúdo AudioVisual

Este novo tópico irá abordar uma aula gravada para explicar todo este conteúdo anterior. Nela você poderá ver a construção dos algorítmos e suas execuções. OBS: Nas aulas abaixo, click com o botão direito do mouse e abra o link em outra guia.

Exercícios do Capítulo:

1 Construa um algorítmo para cada uma das situações abaixo. Este Algorítmo deve automatizar a entrada dos valores, que devem ser digitados pelo usuário, os cáculos e a saída de forma formatada, igualmente feitos nos dois primeiros exemplos deste capítulo.

  1. Área do Losango
  2. Área do Trapézio
  3. Área do Triângulo
  4. Área do círculo
  5. Área do setor circular
  6. Área da coroa circular
  7. Área do prisma
  8. Volume do prisma
  9. Área da pirâmide
  10. Volume da pirâmide
  11. Área do tronco de uma pirâmide
  12. Volume do tronco de uma pirâmide
  13. Área do cilindro
  14. Volume do cilindro
  15. Área do cone
  16. Volume do cone
  17. Área do tronco do cone
  18. Volume do tronco do cone
  19. Área da esfera
  20. Volume da esfera