Informe Regresión Múltiple
Carlos Andrés Gómez Vasco
2022-09-12
Informe 2 – Regresión Lineal Multiple
1. Dos tipos de moluscos A y B fueron sometidos a tres concentraciones distintas de agua de mar (100%, 75% y 50%) y se observó el consumo de oxígeno midiendo la proporción de O2 por unidad de peso seco del molusco.
Cargar Datos
library(tidyverse)
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(plotly)
library(psych)
library(GGally)
library(ggthemes)
library(ggpubr)
load("~/Unidad2/RegresionLinealMultiple/moluscos.RData")
df<-data.frame(BD_moluscos)
df## c_agua molusco cons_o
## 1 100 A 7.16
## 2 100 A 8.26
## 3 100 A 6.78
## 4 100 A 14.00
## 5 100 A 13.60
## 6 100 A 11.10
## 7 100 A 8.93
## 8 100 A 9.66
## 9 100 B 6.14
## 10 100 B 6.14
## 11 100 B 3.68
## 12 100 B 10.00
## 13 100 B 10.40
## 14 100 B 11.60
## 15 100 B 5.49
## 16 100 B 5.80
## 17 75 A 5.20
## 18 75 A 13.20
## 19 75 A 5.20
## 20 75 A 8.39
## 21 75 A 7.18
## 22 75 A 10.40
## 23 75 A 6.37
## 24 75 A 7.18
## 25 75 B 4.47
## 26 75 B 4.95
## 27 75 B 9.96
## 28 75 B 6.49
## 29 75 B 5.75
## 30 75 B 5.44
## 31 75 B 1.80
## 32 75 B 9.90
## 33 50 A 11.11
## 34 50 A 10.50
## 35 50 A 9.74
## 36 50 A 14.60
## 37 50 A 18.80
## 38 50 A 11.11
## 39 50 A 9.74
## 40 50 A 11.80
## 41 50 B 9.63
## 42 50 B 14.50
## 43 50 B 6.38
## 44 50 B 10.20
## 45 50 B 13.40
## 46 50 B 17.70
## 47 50 B 14.50
## 48 50 B 12.30a) Realice un análisis exploratorio que permita conocer como es el consumo de oxígeno en las distintas concentraciones de agua de mar. Y si estas conclusiones son las mismas para cada tipo de molusco.
Si se filtra la base de datos por concentraciones de agua de mar obtenemos:
Concentración de 100%
con100 <- filter(df, df$c_agua == 100)
con100## c_agua molusco cons_o
## 1 100 A 7.16
## 2 100 A 8.26
## 3 100 A 6.78
## 4 100 A 14.00
## 5 100 A 13.60
## 6 100 A 11.10
## 7 100 A 8.93
## 8 100 A 9.66
## 9 100 B 6.14
## 10 100 B 6.14
## 11 100 B 3.68
## 12 100 B 10.00
## 13 100 B 10.40
## 14 100 B 11.60
## 15 100 B 5.49
## 16 100 B 5.80describeBy(con100$cons_o, con100$molusco)##
## Descriptive statistics by group
## group: A
## vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
## X1 1 8 9.94 2.75 9.3 9.94 2.92 6.78 14 7.22 0.36 -1.64 0.97
## ------------------------------------------------------------
## group: B
## vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
## X1 1 8 7.41 2.84 6.14 7.41 2.31 3.68 11.6 7.92 0.28 -1.75 1.01caja100<-ggplot(con100, aes(x = molusco, y = cons_o, fill = molusco)) +
stat_boxplot(geom = "errorbar", width = 0.25) + geom_boxplot() + scale_fill_hue(labels = c("Moslusco A", "Molusco B"))+ theme (text = element_text(size=8)) + ggtitle ("Consumo de oxigeno de los diferentes moluscos \n con una concentración de agua de 100%") + theme (plot.title = element_text(family="Comic Sans MS",
size=rel(2), vjust=2, face="bold", color="black",lineheight=1.5)) + labs(x = "Tipo de molusco",y = "Consumo de Oxigeno") + theme(axis.title = element_text(face="italic", colour="black", size=rel(1.5))) + theme(axis.title.x = element_text(face="bold", vjust=-0.5, colour="black", size=rel(1.5))) +
theme(axis.title.y = element_text(face="bold", vjust=1.5, colour="black", size=rel(1.5)))
caja100<-ggplotly(caja100)
caja100Concentración de 50%
con50 <- filter(df, df$c_agua == 50)
con50## c_agua molusco cons_o
## 1 50 A 11.11
## 2 50 A 10.50
## 3 50 A 9.74
## 4 50 A 14.60
## 5 50 A 18.80
## 6 50 A 11.11
## 7 50 A 9.74
## 8 50 A 11.80
## 9 50 B 9.63
## 10 50 B 14.50
## 11 50 B 6.38
## 12 50 B 10.20
## 13 50 B 13.40
## 14 50 B 17.70
## 15 50 B 14.50
## 16 50 B 12.30describeBy(con50$cons_o,con50$molusco)##
## Descriptive statistics by group
## group: A
## vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
## X1 1 8 12.18 3.09 11.11 12.18 1.53 9.74 18.8 9.06 1.14 -0.2 1.09
## ------------------------------------------------------------
## group: B
## vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
## X1 1 8 12.33 3.52 12.85 12.33 3.19 6.38 17.7 11.32 -0.18 -1.2 1.24caja50<-ggplot(con100, aes(x = molusco, y = cons_o, fill = molusco)) +
stat_boxplot(geom = "errorbar", width = 0.25) + geom_boxplot() + scale_fill_hue(labels = c("Moslusco A", "Molusco B")) +
stat_boxplot(geom = "errorbar", width = 0.25) + geom_boxplot() + scale_fill_hue(labels = c("Moslusco A", "Molusco B"))+ theme (text = element_text(size=8)) + ggtitle ("Consumo de oxigeno de los diferentes moluscos \n con una concentración de agua de 50%") + theme (plot.title = element_text(family="Comic Sans MS",
size=rel(2), vjust=2, face="bold", color="black",lineheight=1.5)) + labs(x = "Tipo de molusco",y = "Consumo de Oxigeno") + theme(axis.title = element_text(face="italic", colour="black", size=rel(1.5))) + theme(axis.title.x = element_text(face="bold", vjust=-0.5, colour="black", size=rel(1.5))) +
theme(axis.title.y = element_text(face="bold", vjust=1.5, colour="black", size=rel(1.5)))
caja50<-ggplotly(caja100)
caja50Concentración de 75%
con75 <- filter(df, df$c_agua == 75)
con75## c_agua molusco cons_o
## 1 75 A 5.20
## 2 75 A 13.20
## 3 75 A 5.20
## 4 75 A 8.39
## 5 75 A 7.18
## 6 75 A 10.40
## 7 75 A 6.37
## 8 75 A 7.18
## 9 75 B 4.47
## 10 75 B 4.95
## 11 75 B 9.96
## 12 75 B 6.49
## 13 75 B 5.75
## 14 75 B 5.44
## 15 75 B 1.80
## 16 75 B 9.90describeBy(con75$cons_o,con75$molusco)##
## Descriptive statistics by group
## group: A
## vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
## X1 1 8 7.89 2.74 7.18 7.89 2.36 5.2 13.2 8 0.74 -0.9 0.97
## ------------------------------------------------------------
## group: B
## vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se
## X1 1 8 6.1 2.74 5.6 6.1 1.5 1.8 9.96 8.16 0.17 -1.26 0.97caja25<-ggplot(con100, aes(x = molusco, y = cons_o, fill = molusco)) +
stat_boxplot(geom = "errorbar", width = 0.25) + geom_boxplot() + scale_fill_hue(labels = c("Moslusco A", "Molusco B")) +
stat_boxplot(geom = "errorbar", width = 0.25) + geom_boxplot() + scale_fill_hue(labels = c("Moslusco A", "Molusco B"))+ theme (text = element_text(size=8)) + ggtitle ("Consumo de oxigeno de los diferentes moluscos \n con una concentración de agua de 25%") + theme (plot.title = element_text(family="Comic Sans MS",
size=rel(2), vjust=2, face="bold", color="black",lineheight=1.5)) + labs(x = "Tipo de molusco",y = "Consumo de Oxigeno") + theme(axis.title = element_text(face="italic", colour="black", size=rel(1.5))) + theme(axis.title.x = element_text(face="bold", vjust=-0.5, colour="black", size=rel(1.5))) +
theme(axis.title.y = element_text(face="bold", vjust=1.5, colour="black", size=rel(1.5)))
caja25<-ggplotly(caja100)
caja25Con las diferentes concentraciones de agua de mar se puede observar que existen diferentes valores para la media, el promedio y los diferentes cuartiles. Lo que se observa en común con las diferentes concentraciones de agua de mar es esencialmente que la distribución de los datos es ásimetrica.
De igual forma los datos de consumo de oxigeno en las tres concentraciones fueron diferentes para los dos tipo de moluscos A y B. Es notorio que en todos los casos el molusco de la especie A tiene un mayor consumo de oxigeno.
Podemos graficar el comportamiento del consumo de oxigeno en función de la concentración del agua de mar.
ggplot(df, aes(c_agua, cons_o)) + geom_point()+scale_x_continuous("Concentración del agua de mar") + scale_y_continuous("Consumo de Oxigeno") + geom_smooth() + ggtitle ("Comportamiento del Oxigeno en función de la concentración del agua de mar") 
En la figura anterior se puede observar que para una menor concentración el consumo de oxigeno puede ser más alto, sin embargo no es una relación inversa completamente.
Podriamos graficar por separado los dos grupos de moluscos para comparar y observar que el comportamiento en ambas especies respecto a la concentración de agua de mar es similar.
ggplot(df, aes(c_agua, cons_o,colour=molusco))+ geom_point()+scale_x_continuous("Concentración del agua de mar") + scale_y_continuous("Consumo de Oxigeno") + geom_smooth() + ggtitle ("Comportamiento del oxigeno en función de la concentración \n del agua de mar segun las especies de moluscos")
#### Es interesante ver que cuando la concentración de agua de mar es
mas baja, el consumo de oxigeno es mas elevado, el mínimo consumo se
obtiene cuando la concentración esta alrededor del 75%. Sin embargo,
existe un aumento en el consumo de oxigeno al tener una mayor
concentración, dicho aumento puede deberse al tipo de molusco, ambos no
crecen igual.
Se puede concluir del análisis exploratorio que el consumo de oxigeno de los moluscos está condicionado a la concentración del agua de mar, y adicionalmente a caracteristicas propias de la especie de molusco en si misma.
b) Estime el modelo de diseño de experimentos el cual permita evaluar el efecto de la concentración de agua de mar y los tipos de molusco sobre el consumo de oxigeno. Interprete los coeficientes del modelo, el valor p y realice un post anova de considerarlo necesario para los factores.
Construyendo un modelo de regresión lineal múltiple para el consumo de oxigeno. Conseguimos
#Es importante definir la variable molusco y concentración del agua como variables categoricas antes de realizar la regresion lineal.
df$molusco=as.factor(df$molusco)
df$c_agua=as.factor(df$c_agua)
#Ahora si hacemos la regresión lineal.
modelo=lm(cons_o~c_agua:molusco, data=df)
summary(modelo)##
## Call:
## lm(formula = cons_o ~ c_agua:molusco, data = df)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.946 -1.736 -0.710 2.237 6.625
##
## Coefficients: (1 not defined because of singularities)
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 7.4063 1.0466 7.077 1.13e-08 ***
## c_agua50:moluscoA 4.7687 1.4800 3.222 0.00246 **
## c_agua75:moluscoA 0.4837 1.4800 0.327 0.74541
## c_agua100:moluscoA 2.5300 1.4800 1.709 0.09476 .
## c_agua50:moluscoB 4.9200 1.4800 3.324 0.00185 **
## c_agua75:moluscoB -1.3113 1.4800 -0.886 0.38069
## c_agua100:moluscoB NA NA NA NA
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.96 on 42 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4226, Adjusted R-squared: 0.3539
## F-statistic: 6.149 on 5 and 42 DF, p-value: 0.0002324Del resultado del modelo es claro los aportes al consumo de oxigeno de los diferentes moluscos A y B a medida que aumenta la concentración del agua. Es importante resaltar que el molusco B con una concentración de 100% del agua no aporta absolutamente nada al modelo. Los aportes mas significativos al modelos son las combinaciones c_agua50:moluscoA, c_agua50:moluscoB y c_agua100:moluscoA.
Se obtiene un p-value: 0.0002324 que muestra claramente que existe una alta significacia entre el tipo de molusco y concentración del agua en relación con el consumo de oxigeno.
Validación de Supuestos
Al realizar la validación de supuestos nos encontramos con unos buenos resultados para respaldarla inferencia que hemos construido aquí.
ei=modelo$residuals
par(mfrow=c(2,2))
plot(modelo)
shapiro.test(ei)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: ei
## W = 0.95824, p-value = 0.08571Podemos mejorar el analisis con una test de POSTANOVA.
require(agricolae)
comparacion=LSD.test(modelo,c("molusco","c_agua"))
comparacion## $statistics
## MSerror Df Mean CV t.value LSD
## 8.762171 42 9.304792 31.8126 2.018082 2.986858
##
## $parameters
## test p.ajusted name.t ntr alpha
## Fisher-LSD none molusco:c_agua 6 0.05
##
## $means
## cons_o std r LCL UCL Min Max Q25 Q50 Q75
## A:100 9.93625 2.747976 8 7.824222 12.048278 6.78 14.00 7.9850 9.295 11.7250
## A:50 12.17500 3.090178 8 10.062972 14.287028 9.74 18.80 10.3100 11.110 12.5000
## A:75 7.89000 2.739578 8 5.777972 10.002028 5.20 13.20 6.0775 7.180 8.8925
## B:100 7.40625 2.844076 8 5.294222 9.518278 3.68 11.60 5.7225 6.140 10.1000
## B:50 12.32625 3.517909 8 10.214222 14.438278 6.38 17.70 10.0575 12.850 14.5000
## B:75 6.09500 2.739108 8 3.982972 8.207028 1.80 9.96 4.8300 5.595 7.3425
##
## $comparison
## NULL
##
## $groups
## cons_o groups
## B:50 12.32625 a
## A:50 12.17500 a
## A:100 9.93625 ab
## A:75 7.89000 bc
## B:100 7.40625 bc
## B:75 6.09500 c
##
## attr(,"class")
## [1] "group"Para el análisis POTANOVA los dos molusculos muestra que tanto el molusco A como el B influyen significativamente en el consumo de oxigeno cuando la concentración se encuentra en un 50%. Es decir, la concentración del agua en 50% establece una relación directa de aumento del consumo de oxigeno para ambos moluscos con valores casi simetricos para ambas especies. Luego, podriamos afirmar que la especie A con concentraciones superiores, es la que más oxigeno consume al compararlas con la especie B.
Sin embargo, al realizar una nueva revisión del modelo, se encuentra claramente que el consumo de oxigeno esta estrechamente relacionado con la concentración del agua de mar. Mucho mas que con la especie de molusco o con una combinación epecifica de las dos variables.
modelo=lm(cons_o~c_agua+molusco+c_agua:molusco, data=df)
anova(modelo)## Analysis of Variance Table
##
## Response: cons_o
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## c_agua 2 230.82 115.408 13.1712 3.629e-05 ***
## molusco 1 23.23 23.227 2.6508 0.1110
## c_agua:molusco 2 15.36 7.678 0.8763 0.4238
## Residuals 42 368.01 8.762
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 12. Para estudiar la relación entre ciertas características del suelo y la producción de biomasa (gr) de una planta forrajera natural se obtuvieron 45 muestras en diferentes ambientes, y en cada muestra se estimó la biomasa (respuesta Y) y se registraron las características (covariables X) del suelo en el que crecía (pH, Salinidad, Zinc y Potasio).
Cargar Datos
load("~/Unidad2/RegresionLinealMultiple/Salinidad.RData")
dfsalinidad<-data.frame(Salinidad)
dfsalinidad## Biomasa pH Salinidad Zinc Potasio
## 1 765.280 5.00 33 16.4524 1441.67
## 2 954.017 4.70 35 13.9852 1299.19
## 3 827.686 4.20 32 15.3276 1154.27
## 4 755.072 4.40 30 17.3128 1045.15
## 5 896.176 5.55 33 22.3312 521.62
## 6 1422.836 5.50 33 12.2778 1273.02
## 7 821.069 4.25 36 17.8225 1346.35
## 8 1008.804 4.45 30 14.3516 1253.88
## 9 1306.494 4.75 38 13.6826 1242.65
## 10 1039.637 4.60 30 11.7566 1282.95
## 11 1193.223 4.10 30 9.8820 553.69
## 12 777.474 3.45 37 16.6752 494.74
## 13 818.127 3.45 33 12.3730 526.97
## 14 1203.568 4.10 36 9.4058 571.14
## 15 977.515 3.50 30 14.9302 408.64
## 16 369.823 3.25 30 31.2865 646.65
## 17 509.872 3.25 27 30.1652 514.03
## 18 448.315 3.20 29 28.5901 350.73
## 19 615.091 3.35 34 17.8795 496.29
## 20 545.538 3.30 36 18.5056 580.92
## 21 436.552 3.25 30 22.1344 535.82
## 22 465.907 3.25 28 28.6101 490.34
## 23 664.601 3.20 31 23.1908 552.39
## 24 502.466 3.20 31 24.6917 661.32
## 25 496.797 3.35 35 22.6758 672.12
## 26 2270.294 7.10 29 0.3729 525.65
## 27 2332.220 7.35 35 0.2703 563.13
## 28 2162.531 7.45 35 0.3205 497.96
## 29 2222.588 7.45 30 0.2648 458.38
## 30 2337.326 7.40 30 0.2105 498.25
## 31 1349.192 4.85 26 18.9875 936.26
## 32 1058.976 4.60 29 20.9687 894.79
## 33 1408.206 5.20 25 23.9841 941.36
## 34 1491.276 4.75 26 19.9727 1038.79
## 35 1254.872 5.20 26 21.3864 898.05
## 36 1152.341 4.55 25 23.7063 989.87
## 37 568.455 3.95 26 30.5589 951.28
## 38 612.447 3.70 26 26.8415 929.83
## 39 654.825 3.75 27 27.7292 925.42
## 40 991.829 4.15 27 21.5699 954.11
## 41 1895.942 5.60 24 19.6531 720.72
## 42 1346.880 5.35 27 20.3295 782.09
## 43 1482.793 5.50 26 19.5880 773.30
## 44 1145.643 5.50 28 20.1328 829.26
## 45 1137.193 5.40 28 19.2420 856.96a) Realice un análisis de correlaciones que permita identificar de manera bivariada las relaciones entre las covariables y la respuesta (incluir coeficiente de correlación e interpretaciones).
Se agrega una matriz de correlaciones para las variables.
cor(dfsalinidad)## Biomasa pH Salinidad Zinc Potasio
## Biomasa 1.00000000 0.92810235 -0.06657756 -0.78146249 -0.07319518
## pH 0.92810235 1.00000000 -0.04458851 -0.72046995 0.03236212
## Salinidad -0.06657756 -0.04458851 1.00000000 -0.42663388 -0.01963288
## Zinc -0.78146249 -0.72046995 -0.42663388 1.00000000 0.07877268
## Potasio -0.07319518 0.03236212 -0.01963288 0.07877268 1.00000000Una manera grafica de observar esta correación, esta dada por:
ggpairs(select_if(dfsalinidad, is.numeric), lower = list(continuous = "smooth"),diag = list(continuous = "barDiag"), axisLabels = "none")+theme_economist()
ga=ggplot(dfsalinidad, aes(pH, Biomasa))+ geom_point()+scale_x_continuous("pH") + scale_y_continuous("Biomasa") + geom_smooth()
gb=ggplot(dfsalinidad, aes(Salinidad, Biomasa))+ geom_point()+scale_x_continuous("Salinidad") + scale_y_continuous("Biomasa") + geom_smooth()
gc=ggplot(dfsalinidad, aes(Zinc, Biomasa))+ geom_point()+scale_x_continuous("Zinc") + scale_y_continuous("Biomasa") + geom_smooth()
gd=ggplot(dfsalinidad, aes(Potasio, Biomasa))+ geom_point()+scale_x_continuous("Potasio") + scale_y_continuous("Biomasa") + geom_smooth()
ggarrange(ga , gb, gc, gd, labels = c("Biomasa vs pH", "Biomasa vs Salinidad", "Biomasa vs Zinc", "Biomasa vs Potasio" ), ncol = 2, nrow = 2)
#### Se encontro una fuerte correlación positivaentre la biomasa y el
pH, una correlación fuerte negativa con el Zinc y a su vez una ligera
correlación con la Salinidad. Por otra parte no hay una correlación
definida con el potasio.
b) Estime el modelo de regresión lineal múltiple para explicar la biomasa en función de las covariables e interprete el valor p, los coeficientes de las variables significativas y el coeficiente R2.
modelo_biomasa=lm(Biomasa~.,data=dfsalinidad)
summary(modelo_biomasa)##
## Call:
## lm(formula = Biomasa ~ ., data = dfsalinidad)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -293.98 -88.83 -9.48 88.20 387.27
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1492.8076 453.6013 3.291 0.002091 **
## pH 262.8829 33.7304 7.794 1.51e-09 ***
## Salinidad -33.4997 8.6525 -3.872 0.000391 ***
## Zinc -28.9727 5.6643 -5.115 8.20e-06 ***
## Potasio -0.1150 0.0819 -1.404 0.167979
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 158.9 on 40 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9231, Adjusted R-squared: 0.9154
## F-statistic: 120 on 4 and 40 DF, p-value: < 2.2e-16En el módelo que se contruye se observa una fuerte corelación y aporte de las variables pH, Salinidad y el Zinc. El potasio no muestra un valor significativo que aporte al modelo. Podemos ajustar un poco mejor nuestro modelo con la función step both, buscando eliminar algun tipo de variable que pueda no entregar aportes significantes a la regresión lineal.
modelo_biomasa_final=step(modelo_biomasa,direction = "both")## Start: AIC=460.84
## Biomasa ~ pH + Salinidad + Zinc + Potasio
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## <none> 1009974 460.84
## - Potasio 1 49785 1059759 461.01
## - Salinidad 1 378486 1388460 473.17
## - Zinc 1 660588 1670562 481.49
## - pH 1 1533665 2543639 500.41summary(modelo_biomasa_final)##
## Call:
## lm(formula = Biomasa ~ pH + Salinidad + Zinc + Potasio, data = dfsalinidad)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -293.98 -88.83 -9.48 88.20 387.27
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1492.8076 453.6013 3.291 0.002091 **
## pH 262.8829 33.7304 7.794 1.51e-09 ***
## Salinidad -33.4997 8.6525 -3.872 0.000391 ***
## Zinc -28.9727 5.6643 -5.115 8.20e-06 ***
## Potasio -0.1150 0.0819 -1.404 0.167979
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 158.9 on 40 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9231, Adjusted R-squared: 0.9154
## F-statistic: 120 on 4 and 40 DF, p-value: < 2.2e-16El modelo construido no se elimina ninguna variable y se obtiene la ecuación \[ Biomasa=1492.8076+262.8829\times pH-33.4997\times Salinidad-28.9727\times Zinc-0.1150\times Potasio\]
Esta expresión permite predecir la Biomasa en terminos de la variableas adicionales de la base de datos. El valor p de: \[p_{value}=2.2\times 10^{-16}\] buestra como el ajuste lineal de regresión tiene un valor de significancia bastante bueno para estimar el buen ajuste que se consigue, adicionalmente al realizar validación de supuestos encontramos.
ei1=modelo_biomasa_final$residuals
par(mfrow=c(2,2))
plot(modelo_biomasa_final)
shapiro.test(ei1)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: ei1
## W = 0.96586, p-value = 0.2036