Objetivo

Realizar y evaluar el rendimiento de modelos de regresión lineal simple y polinómico de variables Valor económica

Descripción

Desarrollo

Métricas a valorar en los modelos

Se van a realizar y evaluar métricas de las predicciones con los modelos de regresión lineal simple y regresión polinómica con los mismos datos.

Los modelos se aceptan si las métricas cumplen estos requisitos:

  • El valor de R Square y R Square ajustado sobrepasa el 50%,

  • Que sus variables sea estadísticamente significativas al 95%. Al menos un ‘*’

  • Que el valor de RMSE (Raiz del Error Estándar Medio) sea menor que : 2 000 000 (dos millones).

  • Al final se deben comparar los modelos.

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library(readr) # Para importar datos
library(dplyr) # Para filtrar   
library(knitr) # Para datos tabulares
library(ggplot2) # Para visualizar
library(plotly)
library(caret)  # Para particionar
library(Metrics) # Para determinar rmse 
library(kableExtra)

Cargar datos

datos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Analisis-Inteligente-de-datos/main/datos/datos.limpios.csv", stringsAsFactors = TRUE)

Explorar datos

str(datos)
## 'data.frame':    17907 obs. of  51 variables:
##  $ X.1                     : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ X                       : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ Name                    : Factor w/ 16912 levels "C. Labr\xedn",..: 9404 3869 11891 4740 8500 4981 9412 561 14367 7836 ...
##  $ Age                     : int  31 33 26 27 27 27 32 31 32 25 ...
##  $ Nationality             : Factor w/ 163 levels "S\xe3o Tom\xe9 & Pr\xedncipe",..: 8 124 22 140 15 15 37 158 140 137 ...
##  $ Overall                 : int  94 94 92 91 91 91 91 91 91 90 ...
##  $ Potential               : int  94 94 93 93 92 91 91 91 91 93 ...
##  $ Club                    : Factor w/ 651 levels "FK Bod\xf8/Glimt",..: 245 340 437 383 382 184 472 245 472 54 ...
##  $ Preferred.Foot          : Factor w/ 2 levels "Left","Right": 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ International.Reputation: int  5 5 5 4 4 4 4 5 4 3 ...
##  $ Weak.Foot               : int  4 4 5 3 5 4 4 4 3 3 ...
##  $ Skill.Moves             : int  4 5 5 1 4 4 4 3 3 1 ...
##  $ Height                  : Factor w/ 21 levels "5'1","5'10","5'11",..: 9 14 11 16 3 10 10 12 12 14 ...
##  $ Weight                  : Factor w/ 57 levels "110lbs","115lbs",..: 22 33 18 26 20 24 16 36 32 37 ...
##  $ Crossing                : int  84 84 79 17 93 81 86 77 66 13 ...
##  $ Finishing               : int  95 94 87 13 82 84 72 93 60 11 ...
##  $ HeadingAccuracy         : int  70 89 62 21 55 61 55 77 91 15 ...
##  $ ShortPassing            : int  90 81 84 50 92 89 93 82 78 29 ...
##  $ Volleys                 : int  86 87 84 13 82 80 76 88 66 13 ...
##  $ Dribbling               : int  97 88 96 18 86 95 90 87 63 12 ...
##  $ Curve                   : int  93 81 88 21 85 83 85 86 74 13 ...
##  $ FKAccuracy              : int  94 76 87 19 83 79 78 84 72 14 ...
##  $ LongPassing             : int  87 77 78 51 91 83 88 64 77 26 ...
##  $ BallControl             : int  96 94 95 42 91 94 93 90 84 16 ...
##  $ Acceleration            : int  91 89 94 57 78 94 80 86 76 43 ...
##  $ SprintSpeed             : int  86 91 90 58 76 88 72 75 75 60 ...
##  $ Agility                 : int  91 87 96 60 79 95 93 82 78 67 ...
##  $ Reactions               : int  95 96 94 90 91 90 90 92 85 86 ...
##  $ Balance                 : int  95 70 84 43 77 94 94 83 66 49 ...
##  $ ShotPower               : int  85 95 80 31 91 82 79 86 79 22 ...
##  $ Jumping                 : int  68 95 61 67 63 56 68 69 93 76 ...
##  $ Stamina                 : int  72 88 81 43 90 83 89 90 84 41 ...
##  $ Strength                : int  59 79 49 64 75 66 58 83 83 78 ...
##  $ LongShots               : int  94 93 82 12 91 80 82 85 59 12 ...
##  $ Aggression              : int  48 63 56 38 76 54 62 87 88 34 ...
##  $ Interceptions           : int  22 29 36 30 61 41 83 41 90 19 ...
##  $ Positioning             : int  94 95 89 12 87 87 79 92 60 11 ...
##  $ Vision                  : int  94 82 87 68 94 89 92 84 63 70 ...
##  $ Penalties               : int  75 85 81 40 79 86 82 85 75 11 ...
##  $ Composure               : int  96 95 94 68 88 91 84 85 82 70 ...
##  $ Marking                 : int  33 28 27 15 68 34 60 62 87 27 ...
##  $ StandingTackle          : int  28 31 24 21 58 27 76 45 92 12 ...
##  $ SlidingTackle           : int  26 23 33 13 51 22 73 38 91 18 ...
##  $ GKDiving                : int  6 7 9 90 15 11 13 27 11 86 ...
##  $ GKHandling              : int  11 11 9 85 13 12 9 25 8 92 ...
##  $ GKKicking               : int  15 15 15 87 5 6 7 31 9 78 ...
##  $ GKPositioning           : int  14 14 15 88 10 8 14 33 7 88 ...
##  $ GKReflexes              : int  8 11 11 94 13 8 9 37 11 89 ...
##  $ Valor                   : int  110500000 77000000 118500000 72000000 102000000 93000000 67000000 80000000 51000000 68000000 ...
##  $ Estatura                : num  1.7 1.88 1.75 1.93 1.8 1.73 1.73 1.83 1.83 1.88 ...
##  $ PesoKgs                 : num  72.1 83 68 76.2 69.8 ...

Variables independiente y dependiente

Se identifican dos variables numéricas de interés:

  • Overall: Reputación y jerarquía internacional numérica del jugador

  • Valor: Sería el valor económico internacional de los jugadores

Se define a la variable independiente como Overall y la variable dependiente Valor, es decir, Overall impacta sobre Value o los valores de la variable Valor dependen de Overall.

print ("Variable Overall")
## [1] "Variable Overall"
summary(datos$Overall)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   46.00   62.00   66.00   66.24   71.00   94.00
print ("Variable Valor que significa el valor económico del jugador en moneda Euros ")
## [1] "Variable Valor que significa el valor económico del jugador en moneda Euros "
summary(datos$Valor)
##      Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
##     10000    325000    700000   2450133   2100000 118500000

head(datos)

kable(head(datos[, c('X', 'Name', 'Overall', 'Valor')], 20), caption = "Datos. Primeros 20 registros")
Datos. Primeros 20 registros
X Name Overall Valor
1 L. Messi 94 110500000
2 Cristiano Ronaldo 94 77000000
3 Neymar Jr 92 118500000
4 De Gea 91 72000000
5 K. De Bruyne 91 102000000
6 E. Hazard 91 93000000
7 L. Modric 91 67000000
8 L. Su<e1>rez 91 80000000
9 Sergio Ramos 91 51000000
10 J. Oblak 90 68000000
11 R. Lewandowski 90 77000000
12 T. Kroos 90 76500000
13 D. God<ed>n 90 44000000
14 David Silva 90 60000000
15 N. Kant<e9> 89 63000000
16 P. Dybala 89 89000000
17 H. Kane 89 83500000
18 A. Griezmann 89 78000000
19 M. ter Stegen 89 58000000
20 T. Courtois 89 53500000

tail(datos)

kable(head(datos[, c('X', 'Name', 'Overall', 'Valor')], 20), caption = "Datos. Primeros 20 registros")
Datos. Primeros 20 registros
X Name Overall Valor
1 L. Messi 94 110500000
2 Cristiano Ronaldo 94 77000000
3 Neymar Jr 92 118500000
4 De Gea 91 72000000
5 K. De Bruyne 91 102000000
6 E. Hazard 91 93000000
7 L. Modric 91 67000000
8 L. Su<e1>rez 91 80000000
9 Sergio Ramos 91 51000000
10 J. Oblak 90 68000000
11 R. Lewandowski 90 77000000
12 T. Kroos 90 76500000
13 D. God<ed>n 90 44000000
14 David Silva 90 60000000
15 N. Kant<e9> 89 63000000
16 P. Dybala 89 89000000
17 H. Kane 89 83500000
18 A. Griezmann 89 78000000
19 M. ter Stegen 89 58000000
20 T. Courtois 89 53500000

Dispersión de los datos

g <- plot_ly(data = datos, 
             x = ~Overall, 
             y = ~Valor) %>%
layout(title = 'Jugadores FIFA. Dispersión de Overall y Valor')
g
## No trace type specified:
##   Based on info supplied, a 'scatter' trace seems appropriate.
##   Read more about this trace type -> https://plotly.com/r/reference/#scatter
## No scatter mode specifed:
##   Setting the mode to markers
##   Read more about this attribute -> https://plotly.com/r/reference/#scatter-mode

Se observa que la relación de los datos no es del todo lineal, pero se construirán los modelos de regresión lineal simple y polinómico con las mismas variables.

Datos de entrenamiento y datos de validación

Sembrar semilla para la aleatoriedad de los datos

n <- nrow(datos)

# Modificar la semilla estableciendo como parámetro los útimos cuatro dígitos de su no de control. 
# Ej. set.seed(0732), o set.seed(1023)
# set.seed(2022) 
set.seed(2022)

Datos de entrenamiento

De manera aleatoria se construyen los datos de entrenamiento y los datos de validación.

En la variable entrena se generan los registros que van a ser los datos de entrenamiento, de tal forma que los datos de validación serán los que no sena de entrenamiento [-entrena].

entrena <- createDataPartition(y = datos$Valor, p = 0.70, list = FALSE, times = 1)

# Datos entrenamiento
datos.entrenamiento <- datos[entrena, ]  # [renglones, columna]

# Datos validación
datos.validacion <- datos[-entrena, ]

tail()

kable(tail(datos.validacion[, c('X', 'Name', 'Overall', 'Valor')], 20), caption = "Datos de Entrenamiento. Primeros 20 registros")
Datos de Entrenamiento. Primeros 20 registros
X Name Overall Valor
17853 17901 R. Hughes 49 60000
17854 17902 J. Yabur 49 50000
17857 17905 Liu Guobo 48 60000
17860 17908 T. Lawal 48 60000
17862 17910 D. Szczepaniak 48 50000
17863 17911 P. Wieliczko 48 40000
17864 17912 T. Gundelund 48 50000
17865 17913 Wang Xin 48 40000
17869 17917 Wu Lei 48 40000
17874 17922 C. Hawkins 48 50000
17878 17926 T. Hillman 48 40000
17880 17928 L. Wahlstedt 48 50000
17882 17930 M. Hurst 48 40000
17888 17936 C. Ehlich 47 40000
17890 17938 A. Kaltner 47 60000
17895 17943 J. Milli 47 50000
17896 17944 S. Griffin 47 60000
17903 17951 J. Lundstram 47 60000
17904 17952 N. Christoffersson 47 60000
17905 17953 B. Worman 47 60000

Datos de validación

head()

kable(head(datos.validacion[, c('X', 'Name', 'Overall', 'Valor')], 20), caption = "Datos de Entrenamiento. Primeros 20 registros")
Datos de Entrenamiento. Primeros 20 registros
X Name Overall Valor
11 11 R. Lewandowski 90 77000000
15 15 N. Kant<e9> 89 63000000
18 18 A. Griezmann 89 78000000
20 20 T. Courtois 89 53500000
23 23 M. Neuer 89 38000000
24 24 S. Ag<fc>ero 89 64500000
25 25 G. Chiellini 89 27000000
41 41 S. Handanovic 88 30000000
42 42 G. Buffon 88 4000000
43 43 S. Umtiti 87 57000000
45 45 K. Koulibaly 87 51000000
51 51 D. Mertens 87 45000000
53 53 M. Ham<9a><ed>k 87 46500000
55 55 Piqu<e9> 87 34000000
58 58 Ederson 86 41500000
59 59 S. Man<e9> 86 52000000
67 67 T. M<fc>ller 86 45000000
68 68 Thiago 86 45500000
72 72 T. Alderweireld 86 39000000
74 74 M. Benatia 86 30000000

tail()

kable(tail(datos.entrenamiento[, c('X', 'Name', 'Overall', 'Valor')], 20), caption = "Datos de Entrenamiento. Primeros 20 registros")
Datos de Entrenamiento. Primeros 20 registros
X Name Overall Valor
17879 17927 R. Roache 48 70000
17881 17929 J. Williams 48 50000
17883 17931 C. Maher 48 50000
17884 17932 Y. G<f3>ez 48 50000
17885 17933 D. Horton 48 40000
17886 17934 E. Tweed 48 50000
17887 17935 Zhang Yufeng 47 60000
17889 17937 L. Collins 47 60000
17891 17939 L. Watkins 47 60000
17892 17940 J. Norville-Williams 47 50000
17893 17941 S. Squire 47 50000
17894 17942 N. Fuentes 47 50000
17897 17945 K. Fujikawa 47 60000
17898 17946 D. Holland 47 60000
17899 17947 J. Livesey 47 60000
17900 17948 M. Baldisimo 47 70000
17901 17949 J. Young 47 60000
17902 17950 D. Walsh 47 60000
17906 17954 D. Walker-Rice 47 60000
17907 17955 G. Nugent 46 60000

Modelos de regresión

Regresión Lineal Simple

modelo.ls <- lm(formula = Valor ~ Overall, data = datos.entrenamiento)
modelo.ls
## 
## Call:
## lm(formula = Valor ~ Overall, data = datos.entrenamiento)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)      Overall  
##   -32561108       529109

Coeficientes del modelo

Se determinan los valores de a y b de la fórmula \(Y = a+bx\)

a <- modelo.ls$coefficients[1]
b <- modelo.ls$coefficients[2]

paste("Valor de la abcisa a es   : ", round(a, 6))
## [1] "Valor de la abcisa a es   :  -32561107.927016"
paste("Valor de la pendiente b es: ", round(b, 6))
## [1] "Valor de la pendiente b es:  529109.218444"

Linea de tendencia del modelo

Con la el valor de los valores de tendencia o valores ajustados del modelo se visualiza la recta de tendencia del modelo.

La gráfica g se construye por partes, primero la dispersión, segundo la linea de tendencia, tercero se agrega el título, para luego solo mostrar la gráfica g.

g <- plot_ly(data = datos.entrenamiento, 
             x = ~Overall, 
             y = ~Valor, 
             name = 'Dispersión',
             type = 'scatter', 
             mode = 'markers', 
             color = I('blue')) 
g <- g %>% add_trace(x = ~Overall,
                     y = ~modelo.ls$fitted.values, name = 'Tendencia', mode = 'lines+markers', color = I('red'))
g <- g %>%
layout(title = 'Jugadores FIFA. Dispersión y Tendencia de Overall y Valor económico.')
g

Predicciones

Con los datos de validación, se hacen predicciones con la función predict().

Se hace un data.frame de comparaciones con lo cual se presentan los valores reales y los valores de las predicciones. Se presenta solo las primeras 20 y últimas 20 predicciones.

predicciones <- predict(object = modelo.ls, newdata = datos.validacion)

comparaciones <- data.frame(Overall = datos.validacion$Overall, Valor = datos.validacion$Valor, predicccion = predicciones)
 kable(x = head(comparaciones, 20), caption = "Predicciones")
Predicciones
Overall Valor predicccion
11 90 77000000 15058722
15 89 63000000 14529613
18 89 78000000 14529613
20 89 53500000 14529613
23 89 38000000 14529613
24 89 64500000 14529613
25 89 27000000 14529613
41 88 30000000 14000503
42 88 4000000 14000503
43 87 57000000 13471394
45 87 51000000 13471394
51 87 45000000 13471394
53 87 46500000 13471394
55 87 34000000 13471394
58 86 41500000 12942285
59 86 52000000 12942285
67 86 45000000 12942285
68 86 45500000 12942285
72 86 39000000 12942285
74 86 30000000 12942285 
  kable(x = tail(comparaciones, 20), caption = "Predicciones")
Predicciones
Overall Valor predicccion
17853 49 60000 -6634756
17854 49 50000 -6634756
17857 48 60000 -7163865
17860 48 60000 -7163865
17862 48 50000 -7163865
17863 48 40000 -7163865
17864 48 50000 -7163865
17865 48 40000 -7163865
17869 48 40000 -7163865
17874 48 50000 -7163865
17878 48 40000 -7163865
17880 48 50000 -7163865
17882 48 40000 -7163865
17888 47 40000 -7692975
17890 47 60000 -7692975
17895 47 50000 -7692975
17896 47 60000 -7692975
17903 47 60000 -7692975
17904 47 60000 -7692975
17905 47 60000 -7692975

¡Salen predicciones negativas!, ¿que significa? , no debiera haber predicciones negativas, sin embargo, esto sucede porque el modelo así lo calcula por lo estricto de la linea de tendencia.

Determinando métricas

res.modelo.ls <- summary(modelo.ls)
res.modelo.ls
## 
## Call:
## lm(formula = Valor ~ Overall, data = datos.entrenamiento)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
##  -9325848  -2192974   -926882   1064555 102383060 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -32561108     393188  -82.81   <2e-16 ***
## Overall        529109       5904   89.62   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4594000 on 12535 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3905, Adjusted R-squared:  0.3905 
## F-statistic:  8031 on 1 and 12535 DF,  p-value: < 2.2e-16

El coeficiente de interseción ‘a’ y la pendiente ‘b’ si son estadísticamente significativas por encima del 99.9%

El valor de R Square no sobrepasa el 50% por lo que NO SE ACEPTA el modelo

Determinando rmse()

El valor de rmse se interpreta en que tanto se desvía una predicción media sobre los valore reales.

rmse.ls <- rmse(actual =comparaciones$Valor, predicted = comparaciones$predicccion)
rmse.ls
## [1] 3790297

El valor de rmse en el modelo de regresión lineal simple no está por debajo de los 2,000,000 (dos millones) que se establecieron como métrica aceptable, por lo que este modelo NO SE ACEPTA.

Regresión polinómica segundo nivel

Se usa el argumento poly “poly(Overall, 2)” en la construcción del modelo para indicar que es polinomial de segunda potencia.

\[ y = β0 + β1{x_i} +β2{x_i}^2+β3{x_i}^3...+βd{x_i}^n+ϵi \]

ó

\[ y = a + bx + cx^2 + dx^3 ...zx^n \]

modelo.poly2 <- lm(formula = Valor ~ poly(Overall, 2), data = datos.entrenamiento, )
modelo.poly2
## 
## Call:
## lm(formula = Valor ~ poly(Overall, 2), data = datos.entrenamiento)
## 
## Coefficients:
##       (Intercept)  poly(Overall, 2)1  poly(Overall, 2)2  
##           2483040          411719109          401465284

Coeficientes del modelo

Se determinan los valores de a y b de la fórmula \(Y = a+bx\)

a <- modelo.poly2$coefficients[1]
b <- modelo.poly2$coefficients[2]

paste("Valor de la abcisa a es   : ", round(a, 6))
## [1] "Valor de la abcisa a es   :  2483040.201005"
paste("Valor de la pendiente b es: ", round(b, 6))
## [1] "Valor de la pendiente b es:  411719108.763639"

Curva de tendencia del modelo

Con la el valor de los valores de tendencia o valores ajustados del modelo se visualiza la curva de tendencia del modelo.

La gráfica g se construye por partes, primero la dispersión, segundo la curva de tendencia, tercero se agrega el título, para luego solo mostrar la gráfica g.

g <- plot_ly(data = datos.entrenamiento, 
             x = ~Overall, 
             y = ~Valor, 
             name = 'Dispersión',
             type = 'scatter', 
             mode = 'markers', 
             color = I('blue')) 
g <- g %>% add_trace(x = ~Overall,
                     y = ~modelo.poly2$fitted.values, name = 'Tendencia', mode = 'lines+markers', color = I('red'))
g <- g %>%
layout(title = 'Jugadores FIFA. Dispersión y Tendencia de Overall y Valor económico.')
g

Predicciones

Con los datos de validación, se hacen predicciones con la función predict().

Se hace un data.frame de comparaciones con lo cual se presentan los valores reales y los valores de las predicciones. Se presenta solo las primeras 20 y últimas 20 predicciones.

predicciones <- predict(object = modelo.poly2, newdata = datos.validacion)

comparaciones <- data.frame(Overall = datos.validacion$Overall, Valor = datos.validacion$Valor, predicccion = predicciones)
 kable(x = head(comparaciones, 20), caption = "Predicciones")
Predicciones
Overall Valor predicccion
11 90 77000000 40693279
15 89 63000000 37820662
18 89 78000000 37820662
20 89 53500000 37820662
23 89 38000000 37820662
24 89 64500000 37820662
25 89 27000000 37820662
41 88 30000000 35050059
42 88 4000000 35050059
43 87 57000000 32381470
45 87 51000000 32381470
51 87 45000000 32381470
53 87 46500000 32381470
55 87 34000000 32381470
58 86 41500000 29814896
59 86 52000000 29814896
67 86 45000000 29814896
68 86 45500000 29814896
72 86 39000000 29814896
74 86 30000000 29814896 
  kable(x = tail(comparaciones, 20), caption = "Predicciones")
Predicciones
Overall Valor predicccion
17853 49 60000 6567594
17854 49 50000 6567594
17857 48 60000 7877558
17860 48 60000 7877558
17862 48 50000 7877558
17863 48 40000 7877558
17864 48 50000 7877558
17865 48 40000 7877558
17869 48 40000 7877558
17874 48 50000 7877558
17878 48 40000 7877558
17880 48 50000 7877558
17882 48 40000 7877558
17888 47 40000 9289535
17890 47 60000 9289535
17895 47 50000 9289535
17896 47 60000 9289535
17903 47 60000 9289535
17904 47 60000 9289535
17905 47 60000 9289535

Determinando métricas

res.modelo.poly2 <- summary(modelo.poly2)
res.modelo.poly2
## 
## Call:
## lm(formula = Valor ~ poly(Overall, 2), data = datos.entrenamiento)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -20787789   -957976    379606   1274866  71755444 
## 
## Coefficients:
##                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)         2483040      25651    96.8   <2e-16 ***
## poly(Overall, 2)1 411719109    2872143   143.3   <2e-16 ***
## poly(Overall, 2)2 401465284    2872143   139.8   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2872000 on 12534 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7618, Adjusted R-squared:  0.7618 
## F-statistic: 2.004e+04 on 2 and 12534 DF,  p-value: < 2.2e-16

El coeficiente de interseción ‘a’ y la pendiente ‘b’ si son estadísticamente significativas por encima del 99.9%

El valor de R Square SI sobrepasa el 50% por lo que SI SE ACEPTA el modelo

Determinando rmse()

El valor de rmse se interpreta en que tanto se desvía una predicción media sobre los valore reales.

rmse.poly2 <- rmse(actual =comparaciones$Valor, predicted = comparaciones$predicccion)
rmse.poly2
## [1] 2399261

El valor de rmse en el modelo de regresión lineal simple no está por debajo de los 2,000,000 (dos millones) que se establecieron como métrica aceptable, por lo que este modelo NO SE ACEPTA por esta métrica.

Regresión polinómica quinto nivel

Se usa el argumento poly “poly(Overall, 5)” en la construcción del modelo para indicar que es polinomial de segunda potencia.

\[ y = β0 + β1{x_i} +β2{x_i}^2+β3{x_i}^3…+βd{x_i}^n+ϵi \]

y = β0 + β1{x_i} +β2{x_i}2+β3{x_i}3…+βd{x_i}^n+ϵi

ó

\[ y = a + bx + cx^2 + dx^3 …zx^n \]

modelo.poly5 <- lm(formula = Valor ~ poly(Overall, 5), data = datos.entrenamiento, )
modelo.poly5
## 
## Call:
## lm(formula = Valor ~ poly(Overall, 5), data = datos.entrenamiento)
## 
## Coefficients:
##       (Intercept)  poly(Overall, 5)1  poly(Overall, 5)2  poly(Overall, 5)3  
##           2483040          411719109          401465284          240065754  
## poly(Overall, 5)4  poly(Overall, 5)5  
##          73300131            4422343

Coeficientes del modelo

Se determinan los valores de a y b de la fórmula \(Y = a+bx\)

a <- modelo.poly5$coefficients[1]
b <- modelo.poly5$coefficients[2]

paste("Valor de la abcisa a es   : ", round(a, 6))
## [1] "Valor de la abcisa a es   :  2483040.201005"
paste("Valor de la pendiente b es: ", round(b, 6))
## [1] "Valor de la pendiente b es:  411719108.763635"

Curva de tendencia del modelo

Con la el valor de los valores de tendencia o valores ajustados del modelo se visualiza la curva de tendencia del modelo.

La gráfica g se construye por partes, primero la dispersión, segundo la curva de tendencia, tercero se agrega el título, para luego solo mostrar la gráfica g.

g <- plot_ly(data = datos.entrenamiento, 
             x = ~Overall, 
             y = ~Valor, 
             name = 'Dispersión',
             type = 'scatter', 
             mode = 'markers', 
             color = I('blue')) 
g <- g %>% add_trace(x = ~Overall,
                     y = ~modelo.poly5$fitted.values, name = 'Tendencia', mode = 'lines+markers', color = I('red'))
g <- g %>%
layout(title = 'Jugadores FIFA. Dispersión y Tendencia de Overall y Valor económico.')
g

Predicciones

Con los datos de validación, se hacen predicciones con la función predict().

Se hace un data.frame de comparaciones con lo cual se presentan los valores reales y los valores de las predicciones. Se presenta solo las primeras 20 y últimas 20 predicciones.

predicciones <- predict(object = modelo.poly5, newdata = datos.validacion)

comparaciones <- data.frame(Overall = datos.validacion$Overall, Valor = datos.validacion$Valor, predicccion = predicciones)
 kable(x = head(comparaciones, 20), caption = "Predicciones")
Predicciones
Overall Valor predicccion
11 90 77000000 69316050
15 89 63000000 60933762
18 89 78000000 60933762
20 89 53500000 60933762
23 89 38000000 60933762
24 89 64500000 60933762
25 89 27000000 60933762
41 88 30000000 53359828
42 88 4000000 53359828
43 87 57000000 46537655
45 87 51000000 46537655
51 87 45000000 46537655
53 87 46500000 46537655
55 87 34000000 46537655
58 86 41500000 40413068
59 86 52000000 40413068
67 86 45000000 40413068
68 86 45500000 40413068
72 86 39000000 40413068
74 86 30000000 40413068 
  kable(x = tail(comparaciones, 20), caption = "Predicciones")
Predicciones
Overall Valor predicccion
17853 49 60000 90553.05
17854 49 50000 90553.05
17857 48 60000 166366.43
17860 48 60000 166366.43
17862 48 50000 166366.43
17863 48 40000 166366.43
17864 48 50000 166366.43
17865 48 40000 166366.43
17869 48 40000 166366.43
17874 48 50000 166366.43
17878 48 40000 166366.43
17880 48 50000 166366.43
17882 48 40000 166366.43
17888 47 40000 286125.28
17890 47 60000 286125.28
17895 47 50000 286125.28
17896 47 60000 286125.28
17903 47 60000 286125.28
17904 47 60000 286125.28
17905 47 60000 286125.28

Determinando métricas

res.modelo.poly5 <- summary(modelo.poly5)
res.modelo.poly5
## 
## Call:
## lm(formula = Valor ~ poly(Overall, 5), data = datos.entrenamiento)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -35147491   -168569       531    156431  29755608 
## 
## Coefficients:
##                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)         2483040      16030 154.894   <2e-16 ***
## poly(Overall, 5)1 411719109    1794919 229.380   <2e-16 ***
## poly(Overall, 5)2 401465284    1794919 223.668   <2e-16 ***
## poly(Overall, 5)3 240065754    1794919 133.747   <2e-16 ***
## poly(Overall, 5)4  73300131    1794919  40.838   <2e-16 ***
## poly(Overall, 5)5   4422343    1794919   2.464   0.0138 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1795000 on 12531 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.907,  Adjusted R-squared:  0.907 
## F-statistic: 2.444e+04 on 5 and 12531 DF,  p-value: < 2.2e-16

El coeficiente de interseción ‘a’ y la pendiente ‘b’ si son estadísticamente significativas por encima del 95%

El valor de R Square SI sobrepasa el 50% por lo que SI SE ACEPTA el modelo

Determinando rmse()

El valor de rmse se interpreta en que tanto se desvía una predicción media sobre los valore reales.

rmse.poly5 <- rmse(actual =comparaciones$Valor, predicted = comparaciones$predicccion)
rmse.poly5
## [1] 1717544

El valor de rmse en el modelo de regresión lineal simple SI está por debajo de los 2,000,000 (dos millones) que se establecieron como métrica aceptable, por lo que este modelo SI SE ACEPTA.

Interpretación

Bibliografía

Preguntas por Contestar

Para mi comprensión, el estadístico R Square representa un método eficaz que se encarga de determinar la correlación que existe entre los valores reales que posee el modelo en cuestión (datos de entrenamiento) y los valores que se han predicho a raíz de este (datos de validación). Además, también toma en cuenta la capacidad que tiene el modelo para predecir valores futuros. Básicamente evalúa las características y los alcances de cualquier modelo al que se le aplique, sea el regresivo lineal simple o polinómico. Posteriormente arroja un resultado de tipo real que se puede interpretar como un porcentaje y servir como base para el cumplimiento de ciertos criterios, por ejemplo, si esta sobre el 50% dicho modelo puede considerarse aceptado, de lo contrario no lo será.

Este es el método más utilizado en lo que respecta a la regresión lineal, y es implementado principalmente para reducir los índices de error en el resultado. Para conseguir que realice su labor correctamente es necesario proporcionarle los datos de entrenamiento de ambas variables de interés.

Teóricamente los coeficientes a y b se determinan a partir de la fórmula Y = A + BX. Pero en la práctica se generan haciendo uso de otros métodos por separado dependiendo del entorno de desarrollo. Otro punto que hay que mencionar es que el coeficiente A representa el valor de la abscisa A, mientras que B es el valor de la pendiente B.

En este caso los valores de los coeficientes quedán así:

Valor de la abcisa a es : -32561107.927016

Valor de la pendiente b es: 529109.218444

Los datos de entrenamiento son un conjunto mucho mayor que los datos de validación y son utilizados principalmente en el método para construir el modelo principal y por consiguiente determinar el valor de los coeficientes a y b. Por otro lado, los datos de validación son utilizados para predecir valores futuros.

Para predecir valores primeramente es necesario particionar el conjunto de datos principal. Cabe aclarar que en ambos modelos se hace uso de los datos de validación y algún método correspondiente al entorno donde se desarrolle, por ejemplo, Python y R. Luego el arreglo de valores que arroja es adecuado para crear un data-frame donde se comparen esos datos con los valores reales que conforman los datos de entrenamiento.

Aunque la programación de ambos difiere en los métodos y las librerías que utilizan, la estructura que siguen para la resolución de estas actividades se parece demasiado y es posible relacionar algunas cosas entre sí. Sin embargo, para mi gusto personal, si creo que R tiene una programación mucho más abstracta que Python, es decir, que alguien que no esta familiarizado con el entorno, como yo, muy difícilmente lo puede comprender a la primera, lo que no ocurre con Python, que se ha esforzado por tener ciertas características intuitivas y de fácil acceso.

Primeramente, depende de la dispersión que posean los datos a analizar y esto puede visualizarse mediante un diagrama de dispersión, allí se puede ver la tendencia por la que se inclinan los datos, por ejemplo, puede ser lineal o curva. Esto puede significar al menos la primera señal de cuál modelo podría convenir utilizar, si la tendencia es lineal, el modelo por decreto sería el de regresión lineal simple, pero si la tendencia es un poco más curva y posee una estructura irregular, el indicado sería el de regresión polinomial. Personalmente considero que los datos muy difícilmente suelen tener una estructura a la que se le ajuste una tendencia de línea recta, creo que es más seguro que tengan una estructura irregular, por ende, el mejor modelo para realizar predicciones sería el de regresión polinomial. Además, este último modelo se presta para realizar ajustes y que la curva de tendencia se ajuste más a los datos.

Personalmente considero con los 4 son muy buenos métodos que son utilizados para analizar un conjunto de datos y predecir valores futuros. Aunque aún no estoy muy familiarizado con R, creo que es un entorno de desarrollo bastante práctico y eficaz, como Python, y puede representar para mi una gran oportunidad para aprender otro lenguaje cuyas características lo hacen único en el campo de la ciencia de los datos. El método de regresión lineal simple es relativamente sencillo de comprender, así como el de regresión polinomial.