Estatística Multivariada Aplicada - Parte I: introdução a álgebra matricial

Material base para a disciplina Estatística Multivariada com aplicações no R. Neste primeiro momento mostra-se as principais definições algébricas para um melhor entendimento de como uma componente principal é construída.

1 Primeiros passos no R

• O R vem com as configurações mínimas ao ser instalado. Para realizar tarefas mais específicas pode ser necessário instalar pacotes adicionais (packages), clicando em “pacotes>>instalar pacotes”;

• É necessário escolher o CRAN (Comprehensive R Archive Network), que são arquivos disponibilizados na rede por diversas IES do mundo inteiro, inclusive do Brasil.

• O R é case-sensitive, isto é, ele diferencia letras minúsculas de maiúsculas;

• O separador de casas decimais é o “.”;

• A vírgula é usada para separar argumentos;

• O prompt do R é o sinal de maior “>”;

• Após instalarmos algum pacote sempre será necessário carregá-lo com o comando: library(“nome do pacote”);

• Para verificar como citar o pacote instalado digite: citation(“nome do pacote”);

• Para obter ajuda dos arquivos do R use o comando help(nome da função).

Exemplos:

# help(sqrt) #ajuda sobre a função raiz quadrada
# help(lm) # ajuda sobre a função linear models

1.1 Primeiros comandos

• Algumas Demonstrações do uso do R

#demo(graphics) #pressione Enter 
#demo(persp)
#demo(image)

1.2 Criando objetos, vetores com valores numéricos

Vamos crias um vetor de notas de 10 alunos da turma. A função length(notas) fornece o número de observações (n) dentro do objeto.

OBS: o comando <- significa assinalar; o comando c significa concatenar (colocar junto).

notas = c(9,6,8,5,7,8,6,9,10,6)
print(notas)

##  [1]  9  6  8  5  7  8  6  9 10  6

length(notas)

## [1] 10

Para objetos com letras (variáveis qualitativas), basta colocar cada observação entre aspas.

Para listar quais objetos temos salvo utiliza-se a função ls().

Para remover um objeto: rm(“nome do objeto”).

letras<-c("a","b","c","d")
print(letras)

## [1] "a" "b" "c" "d"

ls()

## [1] "letras" "notas"

1.3 Gerando um sequência:

• Pode-se usar os comandos:

1:10: sequência de 1 até 10, de um em um. seq(from = 1, to = 10, by = 2 ), isto é, sequência(de um, a dez, em intervalos de 2). Ou ainda seq(1,100,5): sequência de 1 a 100 em intervalos de 5

1:10

##  [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

seq(from = 1, to = 10, by = 2 )

## [1] 1 3 5 7 9

seq(1,100,5)

##  [1]  1  6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

1.4 Gerando dados aleatórios

• rbinom(n, size, prob): gera uma distribuição aleatória Binomial com n valores (observações), número de tentativas size e probabilidade de sucesso prob.

• rgeom(n, prob): gera uma distribuição aleatória Geométrica com n valores e probabilidade de sucesso prob.

• rpois(n, lambda): gera uma distribuição aleatória Poisson com n valores e vetor de médias lambda.

• runif(n, min=0, max=1): gera uma distribuição aleatória Uniforme contínua com n valores, começando em min e terminando em max.

• rexp(n, rate = 1): gera uma distribuição aleatória Exponencial com n valores e taxa rate.

• rnorm(n, mean = 0, sd = 1)): gera uma distribuição aleatória Normal com n valores, média mean e desvio padrão sd.

rbinom(10, 4, 0.2)

##  [1] 1 1 0 1 1 0 2 0 0 0

rgeom(5,0.1)

## [1]  5  7  3 14  5

rpois(8,2)

## [1] 5 0 4 1 2 0 1 2

rexp(6,1)

## [1] 1.6847840 0.7725487 1.4494138 0.2872838 0.4492415 0.8446422

runif(4, 0.2,.9)

## [1] 0.5897873 0.7366440 0.8084414 0.2808867

rnorm(7)

## [1] -1.7806223 -0.3069625 -0.2735254 -1.0578858 -0.4629794  2.0556548 -1.1621014

• Histograma da distribuição Normal

x1 = rnorm(200)
hist(x1,
     col = "lightblue",
     freq = F,
     main = "",
     xlab = "Dados de X~N(0,1)",
     ylab = "f(x): f.d.p. de X",
     breaks = 20)
curve(dnorm(x,mean = mean(x1),sd=sd(x1)),add = T)

Exemplo

sample(1:10,5) # tira 5 amostras com valores entre 1 e 10 

## [1] 8 9 4 1 5

Como não especificamos o argumento replace o padrão é considerar que a amostra é sem reposição (= FALSE).

sample(1:10,15,replace=TRUE)

##  [1]  9  9  1  3  3  4 10  2  4  4  6  6  7  7  2

Lembram dos exemplos da moeda em probabilidade? Então,

moeda = c("C","K") # primeiro criamos a moeda 
sample(moeda,10,replace=TRUE) # não podemos esquecer do TRUE

##  [1] "C" "C" "K" "C" "K" "C" "C" "C" "K" "K"

2 Escalares, vetores e matrizes

2.1 Escalar

\[ x = \boldsymbol{x}_{1,1} = x_{i} \]

2.2 Vetor coluna

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{n,1}=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

2.3 Vetor linha

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}^{'}=\boldsymbol{x}_{1,p}=\left[ \begin{array}{c} x_{1}, x_{2},...,x_{n} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

2.4 Matriz

As matrizes e os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos. Dá-se o nome de matriz a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotadas por \(\boldsymbol{X}=[x_{ij}]_{m\times n}\), onde o par de índices \(ij\) representa a posição de cada elemento \(x_{ij}\) dentro da matriz, sendo que o índice \(i\) indica a linha e o índice \(j\) a coluna. O par de índice \(m \times n\) é chamado de dimensão da matriz e representa o seu tamanho. O índice \(m\) indica o número de linhas e \(n\), o número de colunas

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}=\left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn}\\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

• Inserindo uma matriz no R

Para inserir uma matriz no R utiliza-se a função matrix(data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL). Note que, basta colocar como argumentos o conjunto de dados e indicar o número de linhas e de colunas da matriz.

M1 = matrix(data = 1:9, nrow = 3, ncol = 3)

print(M1)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    4    7
## [2,]    2    5    8
## [3,]    3    6    9

Observe que a matriz foi organizada por default por colunas. Entretanto, podemos mudar isso para linhas utilizando-se o argumento byrow = TRUE na função matrix.

M2 = matrix(data = 1:9, nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)

print(M2)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    3
## [2,]    4    5    6
## [3,]    7    8    9

Se tivermos um ou mais vetores para formar uma matriz, basta informar o número de linhas do vetor.

Exemplo: Uma seleção de 4 firmas de ração de Minas Gerais foi obtida para avaliar a venda de rações. Cada observação bivariada forneceu a quantidade de sacos de ração vendidos e a quantidade de reais de cada venda. Os dados obtidos na forma tabular são:

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{l|cccc}\hline \text{Váriavel 1 (reais/vendas)} & 80 & 120 & 90 & 110 \\ \hline \text{Váriavel 2 (número de sacos de ração vendidos)} & 10 & 12 & 6 & 8\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}\]

M_E1 = matrix(c(80,120,90,110,10,12,6,8),4,2)
print(M_E1)

##      [,1] [,2]
## [1,]   80   10
## [2,]  120   12
## [3,]   90    6
## [4,]  110    8

• Índice das matrizes

Pode-se acessar os elementos de uma matriz usando o nome do objeto (matriz) seguido de colchetes. Para acessar o segundo elemento da variável 1, no exemplo anterior, M_E1[2,1]. Para o terceiro elemento da variável 2, M_E1[3,2]. E, para selecionar todos os elementos da variável 1, M_E1[,1].

M_E1[2,1] # segundo elemento da variável 1

## [1] 120

M_E1[3,2] # terceiro elemento da variável 2

## [1] 6

M_E1[,1] # todos os elementos da variável 1

## [1]  80 120  90 110

2.5 Operações com matrizes

2.5.1 Adição de matrizes

Dadas duas matrizes de mesma dimensão \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) e \(B=[b_{ij}]_{m\times n}\), temos que \(A + B = [a_{ij} + b_{ij}]\).

\[\begin{eqnarray*}\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Exemplo: Dadas as matrizes

\[\begin{eqnarray*}A=\left[ \begin{array}{cccc} -1 & 2 & 10 & 8 \\ 2 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 5 & -8 & 1 \\ \end{array} \right] \quad \text{e}\quad B = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 3 & -2 & 7 \\ 3 & -4 & 9 & 2 \\ 21 & 0 & -1 & 12 \\ \end{array} \right], \text{temos que} \end{eqnarray*}\]

A = matrix(c(-1,2,10,8,2,0,-3,3,0,5,-8,1),3,4, byrow = TRUE)
print(A)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]   -1    2   10    8
## [2,]    2    0   -3    3
## [3,]    0    5   -8    1

B = matrix(c(0,3,-2,7,3,-4,9,2,21,0,-1,12),3,4,byrow = TRUE)
print(B)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    0    3   -2    7
## [2,]    3   -4    9    2
## [3,]   21    0   -1   12

S_AB = A + B # soma das matrizes A e B
print(S_AB)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]   -1    5    8   15
## [2,]    5   -4    6    5
## [3,]   21    5   -9   13

2.5.2 Multiplicação de uma matriz por um escalar

Dada uma matriz \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) e um número real \(k\), temos que \(k \times A=[k \times a_{ij}]_{m\times n}\).

\[\begin{eqnarray*}k \times A=[k \times a_{ij}]_{m\times n} = k \times \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc} k \times a_{11} & k \times a_{12} \\ k \times a_{21} & k \times a_{22} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Exemplo: Dada a matriz A do exemplo anterior, pode-se multiplicar essa matriz por qualquer escalar \(k\). Por exemplo, para \(k = -3\), temos

k = 3 # denifindo um escalar qualquer
A = matrix(c(-1,2,10,8,2,0,-3,3,0,5,-8,1),3,4, byrow = TRUE)
print(A)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]   -1    2   10    8
## [2,]    2    0   -3    3
## [3,]    0    5   -8    1

kA = k*A
print(kA)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]   -3    6   30   24
## [2,]    6    0   -9    9
## [3,]    0   15  -24    3

2.5.3 Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) e \(B=[b_{jk}]_{n\times p}\), temos que \(A\times B = C[c_{ik}]_{m\times p}\). Vale ressaltar que este produto só será possível se o número de colunas de \(A\) for igual ao número de linhas de \(B\).

Exemplo: Dadas as matrizes

\[\begin{eqnarray*} A = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{array} \right] \quad \text{e} \quad B= \left[ \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Observe que o número de colunas da matriz \(A\) é igual ao número de linhas da matriz \(B\), portanto, por definição temos que a matriz \(C\) terá dimensão \(2\times 2\), como segue

\[\begin{eqnarray*} C = \left[ \begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{array} \right], \quad \text{em que} \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \begin{array}{cc} c_{11} = & a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} \\ c_{12} = & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\ c_{21} = & a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} \\ c_{22} = & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \\ \end{array} \end{eqnarray*}\]

No R o produto de matrizes é feito pelo uso do operador %*%.

Exercício: Sejam as matrizes

\[\begin{eqnarray*} X = \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right], Y = \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ \end{array} \right] \quad \text{e} \quad Z = \left[ \begin{array}{cc} 4 & -8 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Determine:

1. \(2X+Y\)

2. \(XY\)

3. \(Y+Z\)

4. \(YZ\)

5. \((X-3Z)Y\)

6. \(X^{2}\)

2.5.4 Transposta de uma matriz

Dada a matriz \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\), sua transposta é dada por \(A^{t}=[a_{ji}]_{n\times m}\).

Exemplo: Dada a matriz

\[\begin{eqnarray*} A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -3 & 8 \\ \end{array} \right]_{2\times 3} \quad \text{sua transposta é} \quad A^{t} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & -3 \\ 7 & 8 \\ \end{array} \right]_{3\times 2} \end{eqnarray*}\]

No R utiliza-se a função t() para obter a transposta de uma matriz.

A = matrix(c(1,5,2,-3,7,8),2,3)
print(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    7
## [2,]    5   -3    8

A_t = t(A)
print(A_t)

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    5
## [2,]    2   -3
## [3,]    7    8

2.5.5 Determinante de uma matriz

• Dada a matriz \(A[a_{11}]\), temos que \(det(A) = a_{11}\).

• Dada a matriz

\[\begin{eqnarray*} A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right], \end{eqnarray*}\]

seu determinante é:

\[\begin{eqnarray*} det(A) = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{eqnarray*}\]

Exemplo: Dada a matriz

\[\begin{eqnarray*} A = \left[ \begin{array}{rr} -3 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{array} \right], \end{eqnarray*}\]

seu determinante é:

\[\begin{eqnarray*} det(A) = \left| \begin{array}{rr} -3 & 2 \\ 4 & 2 \\ \end{array} \right| = (-3.2)-(2.4) = -14 \end{eqnarray*}\]

Seja a matriz \(A_{3\times 3}\),

\[\begin{eqnarray*} A = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right], \end{eqnarray*}\]

seu determinante é calculado pela regra de Sarrus da seguinte maneira

\[\begin{eqnarray*} det(A)= \left| \begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{21}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}\\ \end{array} \right| \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} + \\ - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})\\ \end{array} \end{eqnarray*}\]

Exemplo: Dada a matriz

\[\begin{eqnarray*} A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 3 &-4 & 2 \\ \end{array} \right], \end{eqnarray*}\]

seu determinante é:

\[\begin{eqnarray*} det(A) = \left| \begin{array}{rrr|rr} 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 2 &-1 & 3\\ 3 &-4 & 2 & 3 &-4\\ \end{array} \right| \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} = &[1.3.2+2.2.3+0.(-1).(-4)] - [0.3.3+1.2.(-4)+2.(-1).2] \\ = & (6+12+0)-(0-8-4) = 18+12 = 30\\ \end{array} \end{eqnarray*}\]

No Ro derterminante de uma matriz é calculado pela função det().

A = matrix(c(1,-1,3,2,3,-4,0,2,2),3,3)
print(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    0
## [2,]   -1    3    2
## [3,]    3   -4    2

det(A)

## [1] 30

2.5.6 Inversa de uma matriz

Dada uma matriz quadrada \(A_{n\times n}\), se existir uma matriz quadrada \(B\), de mesma ordem, tal que \(A.B=B.A=Id_{n}\), em que \(Id_{n}\) é a matriz identidade de mesma dimensão de \(A\), então \(B\) é a inversa de \(A\) e diz-se que \(A\) é inversível. Notação \(A^{-1}\). Se \(A\) é inversível, sua inversa é única. Se \(A\) não admite inversa, diz-se que \(A\) é singular.

No R utiliza-se a função solve() para obter a inversa de uma matriz.

A = matrix(c(1,2,3,4),2,2)
print(A)

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    3
## [2,]    2    4

A_inversa = solve(A)
print(A_inversa)

##      [,1] [,2]
## [1,]   -2  1.5
## [2,]    1 -0.5

Pode-se verificar a condição de existência

A_inversa%*%A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0    1

A%*%A_inversa

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0    1

2.5.7 Traço de uma matriz

O traço de uma matriz \(A_{n\times n}\) é definido como a soma dos elementos de sua diagonal principal.

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + ...+ a_{nn} \end{array} \end{eqnarray*}\]

No R para calcular o traço de uma matriz, extrai-se os elementos da diagonal principal a partir da função diag() e a soma destes elementos a partir da função sum().

A = matrix(c(1,-1,3,2,3,-4,0,2,2),3,3)
print(A)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    0
## [2,]   -1    3    2
## [3,]    3   -4    2

diag(A) ### extraindo os elementos da diagonal principal

## [1] 1 3 2

tr_A = sum(diag(A)) #somando os elementos da diagonal principal
print(tr_A)

## [1] 6

2.5.8 Valores (raı́zes) e vetores caracterı́sticos de uma matriz (autovalores e autovetores)

As raízes características de uma matriz \(A_{n\times n}\) são as soluções da equação dada pelo determinante \(|A - \lambda I| = 0\) e são chamadas de autovalores de \(A\). O Determinante \(|A - \lambda I|\) é um polinômio na variável \(\lambda\) denominado polinômio característico e denotado por \(p(\lambda) = |A - \lambda I|\).

• Exemplo: Seja a matriz

\[\begin{eqnarray*} A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 3 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Usando a equação característica:

\[\begin{eqnarray*} \left|\left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 3 \\ \end{array} \right]-\lambda \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \right| = 0 \Leftrightarrow \left| \begin{array}{cc} 1 - \lambda & 4 \\ 2 & 3 - \lambda \\ \end{array} \right| = (1-\lambda)(3-\lambda) -8 = 0 \end{eqnarray*}\]

Portanto,

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} p(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0 \end{array}, \end{eqnarray*}\]

desta forma as raízes \(\lambda_{1} = 5\) e \(\lambda_{2} = -1\) são os autovalores da matriz \(A\).

• Autovetores: para \(\lambda_{1} = 5\)

Determinados os autovalores \(\lambda_{i}\), pode-se encontrar os autovetores pela seguinte equação:

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} A v = \lambda v \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{c} (A-5 I) v = 0 \end{array} \Leftrightarrow \left\{\left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 3 \\ \end{array} \right]-5 \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \right\} \left[ \begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{rr} -4 & 4 \\ 2 & -2 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{r} -4v_{1} + 4v_{2} = 0 \\ 2v_{1} - 2v_{2} = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow v_{1} = v_{2} = r \Leftrightarrow \boldsymbol{v} = \left[ \begin{array}{c} r \\ r \\ \end{array} \right], r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1} = 5 \Leftrightarrow \boldsymbol{v} = r \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

No R utiliza-se a função eigen() para obter os autovalores e autovetores de uma matriz.

• Os autovetores são normalizados no R.

A = matrix(c(1,2,4,3),2,2) 
print(A)

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    4
## [2,]    2    3

eigen(A)

## eigen() decomposition
## $values
## [1]  5 -1
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2]
## [1,] -0.7071068 -0.8944272
## [2,] -0.7071068  0.4472136

3 Principais definições da análise multivariada

• Vetor aleatório: Seja \(X\) um vetor contendo \(n\) componentes, onde cada componente é uma variável aleatória (v.a.), isto é, \(\boldsymbol{X}_{i}\) é uma v.a., \(\forall\) \(i=1,2,...,p\). Então \(X\) é chamado de vetor aleatório e é denominado por:

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}=\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{X}_{1} \\ \boldsymbol{X}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{X}_{p} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Vetor transposto: \(\boldsymbol{X}^{'} = [\boldsymbol{X}_{1} \boldsymbol{X}_{2}\dots\boldsymbol{X}_{p}]\).

Exemplo: Considere uma empresa de minério de ferro. Algumas variáveis importantes para avaliação da qualidade do minério são: \(X_{1}\) - teor de ferro (em %); \(X_{2}\) - teor de umidade e \(X_{3}\) - granulometria do minério, que são v.a.

Então \(\boldsymbol{X} = [\boldsymbol{X}_{1}\boldsymbol{X}_{2}\boldsymbol{X}_{3}]^{'}\) é um vetor com \(p = 3\).

Exemplo: Uma seleção de 4 firmas de ração de Minas Gerais foi obtida para avaliar a venda de rações. Cada observação bivariada forneceu a quantidade de sacos de ração vendidos e a quantidade de reais de cada venda. Os dados obtidos na forma tabular são:

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{l|cccc}\hline \text{Váriavel 1 (reais/vendas)} & 80 & 120 & 90 & 110 \\ \hline \text{Váriavel 2 (número de sacos de ração vendidos)} & 10 & 12 & 6 & 8\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}\]

Pode-se escrever estes dados na forma matricial.

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}=\left[ \begin{array}{cc} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \\ X_{31} & X_{32} \\ X_{41} & X_{42} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 80 & 10 \\ 120 & 12 \\ 90 & 6 \\ 110 & 8 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

• Escrevendo os dados na forma de matriz no R.

M1 = matrix(c(80,120,90,110,10,12,6,8),4,2,byrow = FALSE)
M1

##      [,1] [,2]
## [1,]   80   10
## [2,]  120   12
## [3,]   90    6
## [4,]  110    8

• Vetor de médias: Seja \(\boldsymbol{X}\) um vetor aleatório. O vetor \(\boldsymbol{\mu} = E(\boldsymbol{X})\) é chamado de vetor de médias do vetor \(\boldsymbol{X}=[\boldsymbol{X}_{1}\boldsymbol{X}_{1}\dots\boldsymbol{X}_{p}]^{'}\), sendo

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{\mu}=E(\boldsymbol{X})=\left[ \begin{array}{c} E(\boldsymbol{X}_{1}) \\ E(\boldsymbol{X}_{2}) \\ \vdots \\ E(\boldsymbol{X}_{p}) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\mu}_{1} \\ \boldsymbol{\mu}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\mu}_{p} \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

em que \(\mu_{i}=E(X_{i})\) é a média ou esperança da v.a. \(X_{i}\), \(i=1,2,...,p\).

3.1 Medidas descritivas

3.1.1 Média amostral

\[\begin{eqnarray*} \bar{X}_{j}= \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{p} X_{ij}}{n}, \text{com j=1,2,...,p.} \end{eqnarray*}\]

3.1.2 Variância amostral

\[\begin{eqnarray*} S^{2}_{j}= S_{jj} = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{p} (X_{ij}-\bar{X}_{j})^{2}}{n-1}, \text{com j=1,2,...,p.} \end{eqnarray*}\]

3.1.3 Covariância amostral

A covariância amostral entre duas variáveis \(X_{j}\) e \(X_{j^{'}}\), que mede o grau de relacionamento linear entre elas, é dada por:

\[\begin{eqnarray*} S_{jj^{'}} = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{p} (X_{ij}-\bar{X}_{j})(X_{ij^{'}}-\bar{X}_{j^{'}})}{n-1}, \text{com j=j$^{'}$=1,2,...,p.} \end{eqnarray*}\]

3.1.4 Correlação amostral

O grau de correlação entre \(X_{j}\) e \(X_{j^{'}}\) é dada por:

\[\begin{eqnarray*} r_{jj^{'}} = \dfrac{S_{jj^{'}}}{\sqrt{S_{jj}}\sqrt{S_{jj'}}} = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (X_{ij}-\bar{X}_{j})(X_{ij^{'}}-\bar{X}_{j^{'}})}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (X_{ij}-\bar{X}_{j})^{2}}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{ij^{'}}-\bar{X}_{j^{'}}} )^{2}} \end{eqnarray*}\]

3.1.5 Matriz de covariância amostral

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{S}=\left[ \begin{array}{cccc} S_{11} & S_{12} & \dots & S_{1p}\\ S_{21} & S_{22} & \dots & S_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ S_{p1} & S_{p2} & \dots & S_{pp}\\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

3.1.6 Matriz de correlação amostral

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{R}=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & r_{12} & \dots & r_{1p}\\ r_{21} & 1 & \dots & r_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ r_{p1} & r_{p2} & \dots & 1\\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Voltando ao exemplo anterior, temos:

\[\begin{eqnarray*} \bar{X}_{1} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{4} X_{i1}}{4} = \dfrac{80 + 120 + 90 + 110}{4} = 100 \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} \bar{X}_{2} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{4} X_{i2}}{4} = \dfrac{10 + 12 + 6 + 8}{4} = 9 \end{eqnarray*}\]

Portanto, o vetor de médias é:

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{\bar{X}}=\left[ \begin{array}{c} \bar{X}_{1} \\ \bar{X}_{2} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 100 \\ 9 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Agora, calculando as covariâncias

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{ll} S_{11} = & \dfrac{\left[ (80-100) ^{2} + (120-100)^{2} + (90-100)^{2} + (110-100)^{2}\right] }{3} = 333,333 \\ S_{22} = & \dfrac{\left[ (10-9) ^{2} + (12-9)^{2} + (6-9)^{2} + (8-9)^{2}\right] }{3} = 6,667 \\ S_{12} =& [(80-100)(10-9)+(120-100)(12-9) \\ & +(90-100)(6-9)+(110-100)(8-9)]/3 = 20 \\ S_{21} = S_{12} & = 20 \\ \end{array} \end{eqnarray*}\]

Matriz de covariância

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{S}=\left[ \begin{array}{cc} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 333,333 & 20,000 \\ 20,000 & 6,667 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Calculando as correlações

\[\begin{eqnarray*} r_{12} = \dfrac{S_{12}}{\sqrt{S_{11}}\sqrt{S_{12}}} = \dfrac{20}{\sqrt{333,333}\sqrt{6,667}} = 0,4243, \end{eqnarray*}\]

Matriz de correlação

como \(r_{21}=r_{12} = 0,4243\), temos

\[\begin{eqnarray*}\boldsymbol{R}=\left[ \begin{array}{cc} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1,0000 & 0,4243 \\ 0,4243 & 1,0000 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}\]

Soluções no R

M1 = matrix(c(80,120,90,110,10,12,6,8),4,2,byrow = FALSE)
print(M1)

##      [,1] [,2]
## [1,]   80   10
## [2,]  120   12
## [3,]   90    6
## [4,]  110    8

• Calculando o vetor de médias

med_x1 = mean(M1[,1])
med_x1

## [1] 100

med_x2 = mean(M1[,2])
med_x2

## [1] 9

rbind(med_x1,med_x2)

##        [,1]
## med_x1  100
## med_x2    9

• Calculando a matriz de covariância

S = var(M1)
S

##          [,1]      [,2]
## [1,] 333.3333 20.000000
## [2,]  20.0000  6.666667

• Calculando o coeficiente de correlação

R = cor(M1)
R

##           [,1]      [,2]
## [1,] 1.0000000 0.4242641
## [2,] 0.4242641 1.0000000

• Variância total

A variância total do vetor aleatório \(\boldsymbol{X}\) é definida como:

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} \text{traço} (\boldsymbol{S}_{p\times p}) = tr(\boldsymbol{S}_{p\times p}) = S_{11}+S_{22} + ...+ S_{pp} \end{array} \end{eqnarray*}\]

• Variância generalizada

É definida como o determinante da matriz \(\boldsymbol{S}_{p\times p}\), ou seja, \(|\boldsymbol{S}_{p\times p}|\). Ao contrário da variância total, ela é influenciada pelas covariâncias (ou correlações) entre as variáveis \(X_{i}\), \(i=1,2,...,p\).

Exemplo: Coletou-se uma amostra de 12 rochas de uma determinada região. Para cada rocha, tem-se as porcentagens de quartzo (\(X_{1}\)) e feldspato (\(X_{2}\)), além do valor de um índice que mede a sua cor (\(X_{3}\)).

\[\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc}\hline \text{Rocha} & \text{Quartzo (%)} & \text{Feldspato (%)} & \text{Cor} \\ \hline 1 & 39,6 & 73,0 & 3,6 \\ 2 & 38,9 & 57,4 & 2,7 \\ 3 & 4,9 & 74,3 & 18,8 \\ 4 & 4,5 & 63,9 & 30,5 \\ 5 & 13,7 & 64,0 & 21,2 \\ 6 & 30,9 & 65,1 & 1,2 \\ 7 & 27,9 & 69,1 & 5,6 \\ 8 & 23,7 & 76,0 & 3,4 \\ 9 & 20,1 & 74,1 & 8,9 \\ 10 & 16,4 & 61,7 & 35,9 \\ 11 & 15,0 & 65,6 & 16,6 \\ 12 & 18,4 & 62,5 & 14,2 \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}\]

1. O vetor de médias.
2. Faça um gráfico de dispersão entre as variáveis. Você diria que há correlação entre elas?
3. Faça um box-plot.
4. Encontre a matriz de covariância.
5. Encontre a matriz de correlação. Quais suas conclusões?
6. Qual a variância total e generalizada ?
7. Encontre os autovalores e autovetores.