Mercado de Renda Fixa

• Mercado de Títulos Privados
  • Caderneta de Poupança
  • Certificado/Recibo de Depósitos Bancários (CDB, RDB)
  • Letra de Crédito Imobiliário/Agronegócio (LCI, LCA)
  • Certificado de Recebíveis Imobiliários/Agronegócios (CRI, CRA)
  • Outros Títulos (Debêntures, commercial paper)
• Mercado de Títulos Públicos
  • Títulos Públicos Nacionais
    • Letra do Tesouro Nacional - LTN
    • Letra Financeira do Tesouro - LFT
    • Nota do Tesouro Nacional Série F - NTN-F
    • Nota do Tesouro Nacional Série B - NTN-B
    • Nota do Tesouro Nacional Série B Principal - NTN-B Principal
  • Títulos Públicos Internacionais

Apresentando alguns Títulos/Investimentos de RF

• Caderneta de Poupança

É a forma de investimento em renda fixa mais conhecida e difundida na sociedade brasileira.

Sua criação data do período em que D.Pedro II (1861) instituiu e regulou a Caixa Econômica Federal (CEF)

• Remuneração:
  • Caso 1: Se a Taxa Selic for \(\leq\) 8,5% a.a. \(\to\) TR + 70% da Taxa Selic
  • Caso 2: Se a Taxa Selic for \(\geq\) 8,5% a.a. \(\to\) TR + 8,5% a.a.

Risco: Cobertura de até R$250.000,00 por CPF no FGC.

Rendimento da Caderneta de Poupança

Rendimento Nominal da Caderneta de Poupança e seus Indexadores

Acumulação em 12 meses: \(i_{12}=[\prod_{t=1}^{t-11}(1+i_t)]-1\)

onde \(\prod\) é o produtório entre os períodos \(t=1\) e \(t-11\), \(i_t\) é o rendimento nominal mensal da aplicação.

Rendimento da Caderneta de Poupança

Rendimento Real (ex post) da Caderneta de Poupança e seus Indexadores.

Para deflacionar, utilizamos a equação de Fisher nos dados mensais: \(r_t=[(1+i_t)/(1+\pi_t)]-1\) e acumulamos em 12 meses.

Apresentando alguns Títulos/Investimentos de RF - LCA/LCI

• Letra de Crédito do Agronegócio (LCA) e Imobiliário (LCI)

A LCA é um título de crédito nominativo, de livre negociação, representativo de promessa de pagamento em dinheiro emitido com base em lastro de recebíveis originados de negócios entre produtores rurais, ou suas cooperativas, e terceiros, inclusive financiamentos ou empréstimos relacionados com a produção, comercialização, beneficiamento ou industrialização de produtos ou insumos agropecuários ou de máquinas e implementos utilizados na produção agropecuária.

A LCI é similar, sendo ela um título de renda fixa criado para financiar o segmento imobiliário. Elas são emitidas por instituições financeiras que possuem carteiras de crédito imobiliário dentro de seu portfólio de investimentos.

O seu lastro é feito com base no financiamento de imóveis que estão sob alienação fiduciária ou com hipoteca feita pela instituição financeira responsável por emitir a letra de crédito.

Em outras palavras, a LCA (ou LCI) pode ser entendida como um empréstimo que o investidor faz a uma instituição financeira pública ou privada que fomenta o agronegócio (ou ramo imobiliário) e, para tanto, recebe uma remuneração, que pode ser um percentual do CDI, uma taxa prefixada ou ainda inflação mais juros prefixados.

Apresentando alguns Títulos/Investimentos de RF - LCA/LCI

• Letra de Crédito do Agronegócio (LCA) e Imobiliário (LCI)

• Vantagens:

1. Isenção de IR e IOF.
2. Rentabilidade Líquida geralmente superior aos demais títulos similares.
3. Baixo risco (está condicionado a quebra da instituição financeira emissora).
4. A partir de 2013, passou a ter cobertura do FGC.

• Desvantagens:

1. Baixa liquidez (dificuldade ou impossibilidade de negociar em mercado secundário).

Nota: FGC garante até R$250.000,00 por CPF e IF.

Aplicações em LCI e LCA

• Fluxograma do LCI/LCA.

Apresentando alguns Títulos/Investimentos de RF - CRI/CRA

• Certificado de Recebíveis do Agronegócio (CRA) e Imobiliário (CRI).

O Certificado de Recebíveis do Agronegócio (e Imobiliários) são títulos vinculados a direitos creditórios originários de negócios realizados por produtores rurais, cooperativas (e imóveis, no caso de CRI).

• Remuneração: Pode ser CDI, CDI Spread, Índice de Preços (ex IGPM, IPCA) ou prefixado Garantias Possibilidade de alienação da terra/propriedade e penhora da produção.

• Emissão: Companhias Securitizadoras.

• Vantagens:

1. Isenção de IR e IOF para pessoa física no rendimento ganhos de capital auferidos na alienação ou cessão dos ativos são isentos de IR para Pessoa Física (Instrução 1585).

• Desvantagens:

1. Não coberto pelo FGC.
2. Liquidez restrita no mercado secundário
3. Destinado exclusivamente a investidores qualificados e profissionais

Aplicações em CRI e CRA

Apresentando alguns Títulos/Investimentos de RF - CDB

• Certificado de Depósito Bancário (CDB).

O Certificado de Depósito Bancário (CDB) são títulos emitidos pelos bancos como forma de captação de recursos com o objetivo de financiar suas atividades. Em outras palavras, é um empréstimo do investidor ao banco.

Pode ser remunerado da seguinte forma:

1. Pós-Fixado. Um valor % do CDI (ex.: 110% do CDI)
2. Pré-Fixado. Taxa Conhecida na aplicação (ex.: 10% a.a.)
3. Híbrido. Taxa Pré-fixada + Correção por Índice de Preços (ex. IGPM, IPCA)

Garantias: Possibilidade de Cobertura pelo FGC (dependendo do Banco Emissor).

Emissor: Banco Comercial ou IF autorizada.

IOF regressivo nos primeiros 30 dias (indo de 100% até 0%).

IR para a PF no Rendimento:

Apresentando alguns Títulos/Investimentos de RF - CDB

• Recibo de Depósito Bancário (CDB).

• São títulos similares ao CDB.

• A principal diferença que caracteriza o CDB e o RDB é que a primeira opção é negociável por meio de transferência, já que se trata de um título Já o RDB é basicamente inegociável e intransferível.

• Possibilidade de negociar as taxas de remuneração dependendo do valor investido e por tabela aumentar a rentabilidade do fundo As taxas podem ser prefixadas (desde o início sabe se quanto será o rendimento, pós fixada (rendimento é calculado ao fim da aplicação) ou flutuantes (indexados às taxas CDI, Certificado de Depósito Interbancário, e à taxa Selic).

• Incide IR e IOF (tabela regressiva).

Aplicações em CDB e RDB

• Fluxograma do CDB/RDB.

Formas de Remuneração dos Títulos

Os títulos podem ser:

• Pré-fixados
• Pós-fixados:
  • Juros Pré + Preços (Híbrido)
  • Câmbio
  • Taxa Flutuante (Selic e CDI)
• Perguntas:

1. O que é melhor? Pós-fixar ou pré-fixar?
2. Qual o melhor indexador?

Indexação dos Instrumentos

Qual o melhor indexador? Taxa Selic ou CDI?

Relembrando que:

1. Taxa Selic Over é a taxa média ponderada de todas as operações feitas no mercado interbancário envolvendo lastro em títulos públicos federais. São registradas no sistema SELIC e a palavra Over vem de Overnight. Isso era um tipo de investimento que o investidor fazia por 1 dia.

2. Taxa CDI ou DI é a taxa média ponderada de todas as operações realizadas no mercado interbancário e são registradas no Sistema CETIP. Não possuem lastro em títulos públicos Federais. É chamada de custo do dinheiro interbancário no curto prazo para garantia de liquidez.

3. Elas são sombra uma da outra porque ambas estão relacionadas ao mercado interbancário de curto prazo. Diferem apenas pelo lastro e a maneira como são remuneradas. Na taxa DI ela é diretamente pactuada no CDI entre banco. Na Selic, a remuneração é definida pela diferença entre o preço de compra e venda. (Operações compromissadas).

Vamos então olhar as séries históricas…

Indexação: Selic Over e CDI

Formas de Remuneração dos Títulos

A resposta, evidentemente, não é simples e direta. Depende sempre das expectativas futuras.

Quando compramos títulos pré-fixados, esses quando negociados em mercado sencundário, possuem o efeito da remarcação a mercado.

Para entender melhor o conceito, vamos resgatar ideias da matemática financeira:

Valor Presente Líquido (VPL): Método de calcular o valor presente de fluxos que ocorrem ao longo do tempo. Sua fórmula é dada por: \[VPL=\sum_{t=0}^n \frac{FC_t}{(1+i)^t}=-I_0+\frac{FC_1}{(1+i)}+\frac{FC_2}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{FC_n}{(1+i)^n} \] Taxa Interna de Retorno (TIR): É a taxa que zera a soma dos fluxos de caixa fornecidos ao longo do tempo. No seu cálculo, por definição, o \(VPL=0\). Portanto, tendo como referência a equação anterior, temos: \[I_0=\sum_{t=1}^n \frac{FC_t}{(1+i)^t}\]

Formas de Remuneração dos Títulos

Dessa forma, imagine que tenhamos os seguintes fluxos para um dado investimento:

Dessa forma, o VPL sendo \(\sum_{t=0}^{n} FC_t/(1+i)^t=359,86\).

Formas de Remuneração dos Títulos

Podemos representar o cálculo do VPL dos fluxos acima como uma função da taxa de desconto, na forma: \(VPL=f(i)\)

Formas de Remuneração dos Títulos

Como então precificar os títulos (obrigações) pré-fixados de renda fixa?

• Características:

Uma obrigação é um instrumento financeiro, em troca do qual o emissor recebe um determinado valor e o detentor do título recebe a promessa de pagamentos futuros pré definidos até à data \(T\) de término desse contrato denominada maturidade da obrigação. Uma obrigação pode ser emitida tanto pelo Governo como por uma empresa para efeito de seu financiamento.

Valor de Face - Também conhecido como seu valor principal \(F\) (ou ainda o seu nocional), corresponde ao montante que deve ser pago ao detentor desse instrumento na maturidade do contrato.

Taxa de Cupom - Além do valor de face, é comum haver pagamentos intercalados (um fluxo de pagamentos). Esses são chamados de cupons e são expressos como um valor proporcional ao valor de face. \[C=\alpha.F,\;\;\;\;\;\;\;\;\;1>\alpha>0\] onde \(C\) é o valor do cupom, \(\alpha\) é a proporção percentual, \(F\) é o valor de face da obrigação.

Formas de Remuneração dos Títulos

• Valor Presente do Título: \[P_t=\frac{F}{(1+r)^T}+\sum_{t=1}^T \frac{C}{(1+r)^t}\] onde o a primeira parte do lado direito da equação é o valor presente do valor de face e a segunda parte é o valor presente dos fluxos de cupons pagos durante a vida do título. O termo \(F\) é o valor de face, \(C\) é o valor do cupom, \(r\) é a taxa de juros vigente no mercado, \(T\) é a data fim do título (maturidade), \(t\) é o ano de \(1\) até \(T\).

Sabendo que \(C=\alpha .F\), podemos reescrever a equação acima como: \[P_t=\frac{F}{(1+r)^T}+\alpha.F.\sum_{t=1}^T \frac{1}{(1+r)^t}\]

• Exemplo : Considere um título que tem maturidade de 3 anos, com uma taxa de cupom de 8%, uma yield de 9% a.a. e a frequência de pagamentos é anual e valor de face de R$1.000,00. Qual o valor do título hoje?

\[P_t=\frac{F}{(1+r)^T}+\sum_{t=1}^T \frac{C}{(1+r)^t}\] \[P_t=\frac{1000}{(1+0,09)^3}+\frac{80}{(1+0,09)^1}+\frac{80}{(1+0,09)^2}+\frac{80}{(1+0,09)^3}\] \[P_t=\frac{1000}{1,2950}+\frac{80}{1,09}+\frac{80}{1,1881}+\frac{80}{1,2950}=974,69\]

Formas de Remuneração dos Títulos - Detalhes Adicionais

Detalhes Adicionais:

Vimos que o preço corrente do título pré-fixado é dado por: \[P_{t}=\alpha.F.\sum_{t=1}^{T}\frac{1}{(1+r)^{t}}+\frac{F}{(1+r)^{T}}\]

Iremos simplificar essa equação removendo os somatórios. Veja que podemos definir \(g\) através da seguinte série:

\[g=\sum_{t=k}^{T}q^{t}=q^k+q^{k+1}+q^{k+2}+\ldots+q^{T}\] Repare que podemos multiplicar \(g\) por \(q\) e obtermos: \[g.q=\sum_{t=k}^{T}q^{t}.q=q^{k+1}+q^{k+2}+\ldots+q^{T+1}=\sum_{t=k+1}^{T+1}q^{t}\]

Formas de Remuneração dos Títulos - Detalhes Adicionais

Subtraindo a terceira equação anterior da segunda, obtemos: \[g-g.q=\sum_{t=k}^{T}q^{t}-\sum_{t=k+1}^{T+1}q^{t}\]

Que pode ser simplificada em: \[(1-q).g=q^k-q^{T+1}\]

Ou ainda reorganizando os temos: \[\sum_{t=k}^{T}q^{t}=g=\frac{q^k-q^{T+1}}{1-q}\]

Formas de Remuneração dos Títulos - Detalhes Adicionais

Voltando a equação do Preço de Título, temos que: \[P_{t}=\alpha.F.\sum_{t=1}^{T}\frac{1}{(1+r)^{t}}+\frac{F}{(1+r)^{T}}\]

Definindo \(q=1/(1+r)\) e substituindo na equação anterior, temos:

\[P_{t}=\alpha.F.\sum_{t=1}^{T}q^t+\frac{F}{(1+r)^{T}}\]

Substituindo pela expressão obtida: \[P_{t}=\alpha.F.\frac{q^k-q^{T+1}}{1-q}+\frac{F}{(1+r)^{T}}\]

Formas de Remuneração dos Títulos - Detalhes Adicionais

Trazendo de volta o termo \(q=1/(1+r)\) para dentro da equação de \(g\), temos: \[g=\frac{q^k-q^{T+1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{(1+r)}-\frac{1}{(1+r)^{T+1}}}{1-\frac{1}{(1+r)}}=\frac{(1+r)^T-1}{(1+r)^{T+1}}.\frac{(1+r)}{r}=\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T}}\right]\]

Substituindo na equação do preço, obtemos: \[P_t=\frac{\alpha.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^T} \right]+\frac{F}{(1+r)^T}\] - Curva Preço-Yield

Formas de Remuneração dos Títulos - Detalhes Adicionais

Dada a expressão anterior, como o preço do título reage a variações na taxa de juros?

Matematicamente, temos que:

\[\frac{\partial P_t}{\partial r}=-T.F\left[1-\frac{\alpha}{r} \right].(1+r)^{-T-1}-\frac{F.\alpha}{r^2}.\left[1-(1+r)^{-T} \right] \] Como \(T,F,\alpha,r>0\) e o primeiro termo é menor do que o segundo termo, a derivada é negativa.

Em outras palavras, aumento na taxa de juros de mercado leva a queda no preço corrente do título pré-fixado. Essa constatação nos aponta a relação chamada Curva Preço-Yield

Detalhes de construção das curvas: \(\small F=1000,T=10,r\in[0,1],\alpha=0;0.1\)

• Plot da Derivada Parcial com Relação a YTM

Detalhes de construção das curvas: \(\small F=1000,T=10,r\in[0,1],\alpha=0;0.1\)

Observações da Curva Preço-Yield

• Como podemos perceber, aumento na taxa básica de juros (Selic) gera queda no preço justo do título, enquanto quedas na taxa geram o seu aumento de valor. Ao fim, isso proporciona ganhos e perdas de capital no período entre o carregamento e o vencimento do título.

• Em períodos em que se espera queda na taxa de juros futura, a compra de títulos pré-fixados faz com que período a frente você tenha ganho de capital devido ao aumento do preço.

• Em períodos em que se espera aumento na taxa de juros futura, a compra de títulos pós-fixados faz com que período a frente você tenha esteja com ganhos de rentabilidade indexados ao movimento da taxa.

• Além disso, para quem deseja operar taxa futura, há o chamado mercado de DI futuro via BMF, no qual pode-se operar compra, venda e proteger uma carteira de renda fixa atavés de procedimentos de imunização.

Propriedades da Curva Preço-Yield

Caso 1: Quando \(\alpha=r\) (título ao par). Nesse caso, temos que o preço do título é igual ao valor de Face, independentemente do prazo. Veja que ao utilizar (2.8) temos que:

\[\begin{array}{c} P_{t}=\frac{r.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T}}\right]+\frac{F}{(1+r)^{T}}\\ \Downarrow\\ P_{t}=F.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T}}+\frac{1}{(1+r)^{T}}\right]=F \end{array}\]

Caso 2: Se \(r\approx0\) (a taxa de juros é próxima de zero) e \(\alpha=0\), temos que o preço do título converge para o seu valor de face, veja:

\[\lim_{r\to0}P_{t}=+\frac{F}{(1+0)^{T}}=F\]

Aplicando o limite lateral com \(r\to0^+\), temos:

\[\lim_{r\to0^+}P_{t}=\frac{\alpha.F}{0^+}+\frac{F}{(1+0^+)^{T}}=+\infty\] Todavia, quando a taxa de juros se torna zero, o preço do título se torna indeterminado (caso o título possua cupom).

Propriedades da Curva Preço-Yield

Podemos resumir as seguintes relações:

• Se \(r>\alpha\), o título é vendido com desconto.

• Se \(r=\alpha\), o título é vendido ao par (preço = valor de face).

• Se \(r<\alpha\), o título é vendido com prêmio.

Essas definições são importantes para o entendimento do processo de convergência do título para a Maturidade, uma vez que lá todos os títulos valem o valor de Face.

• Se o título é negociado com desconto, ceteris paribus, a convergência para a maturidade se dará com no preço.

• Se o título é negociado ao par, ceteris paribus, a convergência para a maturidade se dará sem mudança no preço.

• Se o título é negociado hoje com prêmio, a convergência para a maturidade se dará com queda no preço.

Propriedades da Curva Preço-Yield

Duration de um Título

Duration é uma medida em unidade de tempo que define o tempo médio para o recebimento dos fluxos de pagamento do investimento realizado.

Seu cálculo é uma razão da dos fluxos multiplicados pelo tempo, sobre o preço do título.

A sua importância ganhará mais destaque quando falarmos da modified duration e da elasticidade preço-yield.

Veremos que quanto maior o duration de um título, maior é o risco de variação do seu preço devido a marcação a mercado.

\[D=\frac{\sum_{t=1}^{T}\frac{t.C}{\left(1+i\right)^{t}}+T.\frac{F}{\left(1+i\right)^{T}}}{P_t}\]

Onde \(D\) é o valor da duration, \(P_t\) é o valor do título, \(F\) é o valor de face do título, \(C\) o cupom recebido no período \(t\), \(T\) é o periodo final, \(i\) é a taxa de juros (yield to maturity).

Duration de um Título (Exemplo)

Exemplo. Considere um título com valor de Face seja R$1000,00, taxa de cupom de 7% e 3 anos para a maturidade. Assuma que a obrigação pague cupom anualmente e está a ser descontada a uma taxa (yield) de 8%. O valor da obrigação é:

\[P_{t}=\frac{70}{(1,08)^{1}}+\frac{70}{(1,08)^{2}}+\frac{1.070}{(1,08)^{3}}=64,81+60,01+849,40=974,23\]

Sabendo o preço, podemos calcular a duration:

\[D=\frac{\sum_{t=1}^{T}\frac{t.C}{\left(1+r\right)^{t}}+T.\frac{F}{\left(1+r\right)^{T}}}{P}=\frac{(64,81\times1)+(60,01\times2)+(849,40\times3)}{974,23}=2,8053\ (anos)\]

Modified Duration de um Título

O termo modified duration representa uma medida útil que nos fornece uma ideia do quanto varia o preço de um título após uma variação da taxa de juros. A sua expressão matemática é dada por:

\[MD\equiv\frac{\partial P}{\partial r}.\frac{1}{P}\equiv-\frac{1}{(1+r)}.D\]

onde \(MD\) é a modified duration, \(D\) é a duration e \(r\) é a taxa de juros no ponto inicial.

Demonstração. A equação do preço do título é dada por: \[P_{t}=\sum_{t=1}^{T}\frac{\alpha.F}{(1+r)^{t}}+\frac{F}{(1+r)^{T}}=\alpha.F.\sum_{t=1}^{T}(1+r)^{-t}+F.(1+r)^{-T}\]

Logo, sua derivada é:

\[\frac{\partial P_{t}}{\partial r}=-\alpha.F.\sum_{t=1}^{T}t.(1+r)^{-t-1}-T.F.(1+r)^{-T-1}\]

Que pode ser simplificada em:

\[\frac{\partial P_{t}}{\partial r}=-\frac{1}{1+r}\left[\underset{\equiv D.P_{t}}{\underbrace{\sum_{t=1}^{T}t.\frac{\alpha.F}{(1+r)^{t}}+T.\frac{F}{(1+r)^{T}}}}\right]\]

Que passando o \(P_t\) para o lado esquerdo, temos:

\[\frac{\partial P_{t}}{\partial r}.\frac{1}{P_{t}}=MD=-\frac{1}{1+r}.D\]

Elasticidade Preço-Yield (cálculo por aproximação linear)

Podemos expor a relação entre a modified duration e elasticidade preço-juros de um título da seguinte forma:

Necessitamos relembrar do cálculo básico a forma da expansão de Taylor de 2ª ordem:

\[f(x)=f(a)+f'(a).\left(x-a\right)+f''(a).\frac{\left(x-a\right)^{2}}{2}+O\]

onde \(f(x)\) é a função tendo \(x\) como variável explicativa; \(f(a)\) é o cálculo da função no ponto \(a\) (origem); \(f'(a)\) é a derivada calculada no ponto \(a\); \(f''(a)\) é a derivada segunda calculada no ponto \(a\); \(O\) é o erro de aproximação linear.

• A ideia em apresentar a expansão de Taylor é mostrar que esse é uma ferramenta que nos permite utilizar a curva preço-yield para relacionar o efeito que há na função preço após variarmos ao redor de um determinado ponto.

• Em termos intuitivos, a equação acima nos informa que uma função qualquer diferenciavel pode ser calculada no ponto x através do valor dessa mesma função no seu ponto a (origem) mais os termos a direita que calculam a variação até o ponto desejado.

Elasticidade Preço-Yield (cálculo por aproximação linear)

Dito isso, podemos então representar o nosso problema via expansão de Taylor da seguinte forma:

\[P\left(r+\Delta r\right)=P(r)+\frac{\partial P}{\partial r}.\Delta r+\frac{1}{2}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}.\Delta r^{2}+O\]

onde \(P\) é o preço do título, \(r\) é a taxa de juros na origem, \(\Delta r\) é a variação de juros, \(O\) é o erro de aproximação linear.

Dividindo ambos os lados da equação anterior por \(P(r)\) e suponto que o erro de aproximação, \(O\), seja próximo de zero, temos:

\[\frac{P\left(r+\Delta r\right)}{P(r)}\approx\frac{P(r)}{P(r)}+\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial P}{\partial r}.\Delta r+\frac{1}{P(r)}.\frac{1}{2}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}.\Delta r^{2}\]

A equação anterior pode ser simplificada para:

\[\frac{\Delta P}{P}\approx\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial P}{\partial r}.\Delta r+\frac{1}{2}.\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}.\Delta r^{2}\]

Sabemos que \(MD\equiv-\frac{1}{P}.\frac{\partial P}{\partial r}\). O termo \(\frac{1}{P(r)}.\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}\) é chamado convexidade. Logo temos que:

\[\frac{\Delta P}{P}\approx-MD.\Delta r+\frac{1}{2}.Conv.\Delta r^{2}\]

O Efeito da Maturidade sobre Preço e Elasticidade-Juros

Analiticamente, qual o efeito do aumento da maturidade sobre o Preço, MD, Convexidade e Elasticidade Preço-YTM? Há um limite para os efeitos?

\[P_t=\frac{\alpha.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^T}\right]+\frac{F}{(1+r)^T}\]

• Aplicando o limite no Preço quando \(T\to\infty\), chegamos ao valor de uma Perpetuidade.

\[\lim_{T\to\infty}P_t=\frac{\alpha.F}{r}\]

• Aplicando o limite na MD quando \(T\to\infty\), chegamos ao seguinte valor:

\[MD=\frac{1}{P}.\left[ \frac{\alpha.F}{r^2}.\left(1-\frac{1}{(1+r)^T} \right)-\frac{T}{(1+r)^{T+1}}.\left(F-\frac{\alpha.F}{r} \right) \right] \]

\[\lim_{T\to\infty}MD=\frac{1}{(\alpha.F)/r}.\left[ \frac{\alpha.F}{r^2} \right]=\frac{1}{r}\]

• Aplicando o limite na Convexidade quando \(T\to\infty\), chegamos ao seguinte valor:

\[Conv=\frac{1}{P}.\left\{ \frac{1}{\left(1+r\right)^{2}}.\left[\frac{\left(T+1\right).T}{\left(1+r\right)^{T}}.\left(F-\frac{\alpha.F}{r}\right)-2.\alpha.\frac{F}{\left(1+r\right)^{(T-2)}}.\left(\frac{1}{r^{3}}+\frac{T}{\left(1+r\right).r^{2}}\right)\right]+\frac{2.\alpha.F}{r^{3}}\right\}\]

\[\lim_{T\to\infty}Conv=\frac{1}{\frac{\alpha.F}{r}}.\left[\frac{2.\alpha.F}{r^{3}}\right]=\frac{2}{r^{2}}\]

O Efeito da Maturidade sobre Preço e Elasticidade-Juros

• Impacto da Maturidade sobre o Preço, MD, Convexidade e Elasticidade Preço-YTM.
• Características da Simulação: \(\alpha=0.05,r=0.06,F=1000,\Delta r=0.01,T\in[0,200]\).

Variação do Preço ao Longo do Tempo

A variação no preço de um título de renda fixa pode ser separado nos distintos componentes que dão a sua dinâmica. De modo intuitivo, temos que:

\[r^{T\acute{\imath}tulo}=\frac{\Delta P(\Delta r)}{P(r)}+r_{c}+\frac{\Delta P(\Delta t)}{P(t)}\]

O retorno no título é dado pela soma dos efeitos:

1. \(\Delta P(\Delta r)/P(r)\) - variação no preço dada a variação na taxa de juros (também chamado de efeito remarcação a mercado);
2. \(r_c\) - o efeito pagamento de cupons durante o tempo (efeito cupom);
3. \(\Delta P(\Delta t)/P(t)\) - o efeito da passagem ao longo do tempo (ou efeito time decay).

Variação do Preço ao Longo do Tempo

Para o primeiro elemento (efeito remarcação), sabemos que podemos obter através de: \[\frac{\Delta P(\Delta r)}{P(r)}=-MD.\Delta r+0.5.Conv.\Delta r^{2}\]

Para o segundo elemento (efeito cupom), sabemos que o retorno oriundo do recebimento de Cupons é dado por \(C/P\). Como a cada ano, haverá o pagamento de um único cupom, temos que o retorno desse efeito é dado por:

\[r_{c}=\frac{\alpha.F}{P}.\Delta t\] Para o terceiro elemento (time decay), temos que: \[\small \frac{P_{t+1}-P_{t}}{P_{t}}=\frac{1}{P_{t}}.\left\{ \frac{\alpha.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T-1}}\right]+\frac{F}{(1+r)^{T-1}}-\frac{\alpha.F}{r}.\left[1-\frac{1}{(1+r)^{T}}\right]-\frac{F}{(1+r)^{T}}\right\} \] \[\small =\frac{1}{P_{t}}.\left\{ \frac{\alpha.F}{r}.\left[\frac{1}{(1+r)^{T}}-\frac{\left(1+r\right)}{(1+r)^{T}}\right]+\frac{F.(1+r)}{(1+r)^{T}}-\frac{F}{(1+r)^{T}}\right\} \] \[\small =\frac{F}{P_{t}}.\left[\frac{r-\alpha}{(1+r)^{T}}\right]\]

Variação do Preço ao Longo do Tempo

\[\small \frac{\Delta P_{t}}{P_{t}}=\frac{F}{P_{t}}.\left[\frac{r-\alpha}{(1+r)^{T}}\right]\] - Se o título é negociado ao par, \(\alpha=r\), temos: \(\small \frac{\Delta P_{t}}{P_{t}}=0\) - Se o título é sem cupom, \(\alpha=0\), temos: \[\small \frac{\Delta P_{t}}{P_{t}}=\frac{F}{\frac{F}{\left(1+r\right)^T}}.\left[\frac{r}{(1+r)^{T}}\right]=r\] - Se o título é com cupom, podemos simplificar em: \[\small \frac{\Delta P_{t}}{P_{t}}=\frac{r-\alpha}{1-\frac{\alpha}{r}.\left[1-(1+r)^{T} \right]}\] - Uma simulação para o Preço e a Variação Percentual do Preço com: \(\alpha=[0; .03; .05; .075; .1]\), \(r=0.05\), \(T=10\), \(t=0:0.01:10\), \(F=1000\).

Os Títulos Públicos Brasileiros

• Títulos Pré-Fixados:
  • Letra do Tesouro Nacional - LTN
  • Nota do Tesouro Nacional Série F - NTN-F
• Títulos Pós-Fixados (Taxa de Juros):
  • Letra Financeira do Tesouro - LFT
• Títulos Híbridos (Pré e Pós Fixados em Preço):
  • Nota do Tesouro Nacional Série B - NTN-B
  • Nota do Tesouro Nacional Série B Principal - NTN-B Principal

Os Títulos Públicos Brasileiros

Títulos Públicos para investir em 07/07/2020.

A Letra do Tesouro Nacional - LTN

• Título Pré-fixado. Na compra já se sabe o valor monetário e a taxa nominal recebidos no vencimento.

• Possui um fluxo de pagamento simples, isto é, no vencimento você recebe uma quantia já determinada (Valor de Face do Título).

• Através da diferença entre o valor aplicado e o valor do vencimento que se calcula a rentabilidade e a TIR do título.

• Caso o título seja vendido antecipadamente (antes da sua Maturidade), o Tesouro Nacional pagará o seu valor de mercado, de modo que a rentabilidade poderá ser diferente da que fora pactuada na data da compora, dependendo do preço do título no momento da venda. Logo, há possibilidade de perdas no resgate antecipado!

• A rentabilidade pactuada na compra só é “certa” se a operação for liquidada no vencimento do título.

A Letra do Tesouro Nacional - LTN

• A trajetória de Preços das LTNs desde o seu lançamento (série entre 2010 e 2023).

• Repare que todas as séries vão ao encontro do seu valor de face.

• Quanto maior a YTM, mais baixo o valor de lançamento do título.

• Títulos com maturidade maior variam mais devido a remarcação a mercado.

• Independente da maturidade, se não houver oscilação das taxas no mercado, os títulos variam pouco.

A Letra do Tesouro Nacional - LTN

Devido a LTN não apresentar pagamento de Cupons, podemos de maneira direta calcular o seu retorno bruto (se levado até o vencimento) da seguinte forma: \[Retorno=\frac{Valor\;de\;Face}{Preço}-1\] e em termos anualizados, como: \[Retorno\;Anualizado=\left(1+Retorno\right)^{252/DU}-1\]

Para chegar ao retornoo líquido, devemos aplicar a tabela do IR e IOF conforme o tempo de aplicação.

• Exemplo 1

Calcule o retorno acumulado e anualizado de uma LTN com as seguintes características: \(F=1000\), \(P=733,86\) e \(DU=755\;dias\).

\[Retorno=\frac{1000}{733.86}-1=0.3626\] \[Retorno\;Anualizado=(1+0.3626)^{252/755}-1=0.1088\]

Nota do Tesouro Nacional Série F (NTN-F)

• Possui fluxo de pagamento em várias datas, isto é, a cada semestre você recebe um Cupom e no vencimento você recebe o Valor de Face.

• Assim como na LTN, caso o título seja vendido antecipadamente para o Tesouro Nacional, esse pagará o seu valor de mercado, de modo que a rentabilidade poderá ser maior ou menor do que a contratada na data da compra, dependendo do preço do título no momento da venda. Isso possibilita inclusive perdas!

• De maneira similar à LTN, a rentabilidade definida na compra só é “certa” se a operação for liquidada no vencimento do título. Cuidado com prazos longos!

Nota do Tesouro Nacional Série F (NTN-F)

• Títulos com cupom são menos sensíveis a variação da taxa de juros, \(\Delta Selic\), quando comparados à títulos de iguais características (data de liquidação, vencimento, etc) sem cupom.

• O cálculo da sua rentabilidade é através da TIR do título que pode ser apresentado da seguinte maneira:

\[P_t=\sum_{i=1}^n \frac{C_i}{(1+r)^{DU_i/252}}+\frac{F}{(1+r)^{DU_i/252}}\]

Onde \(P_t\) é o preço do título, \(C_i\) é o cupom pago no período \(i\), \(DU_i\) são os dias úteis no pagamento do fluxo \(i\), \(F\) é o valor de Face do título e \(r\) é a TIR.

• Para saber o valor do Cupom, \(C_i\), precisa semestralizar a taxa anual do Cupom. A taxa anual é 10%. Para semestralizar, basta: \[(1+i_{12})=(1+i_6)^2\therefore i_6=(1+i_{12})^{1/2}-1\]

Utilizando \(i_{12}=0,1\to i_6=0,0488\). Sendo o valor de Face \(1000,00\), o cupom é: \(C_i=\alpha.F=0.0488\times1000=48,80\).

A dinâmica das NTN-Fs com dados reais:

A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic

• O Tesouro Selic (LFT) é um título pós‐fixado, cuja rentabilidade segue a variação da taxa SELIC. Sua remuneração é dada pela variação da taxa SELIC diária registrada entre a data de liquidação da compra e a data de vencimento do título, acrescida, se houver, de ágio ou deságio no momento da compra.

• O Tesouro Selic (LFT) possui fluxo de pagamento simples, ou seja, o investidor faz a compra e recebe o rendimento apenas uma vez, na data de vencimento do título, junto com o valor do principal.

• Aqui não fazemos uso do termo Valor de Face e sim (principal+ juros), porque ex-ante o VF não pode ser definido.

A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic

• Para entender como o ágio/deságio afeta a rentabilidade do Tesouro Selic (LFT), primeiro é necessário compreender como é feita a precificação do título.

• Para precificar o Tesouro Selic (LFT), ou seja, calcular a quanto este título deve ser vendido, o Tesouro Nacional estabeleceu que uma unidade do Tesouro Selic (LFT), o que equivale a R$ 1.000,00 em 1° de julho de 2000, (chamada de data‐base). A partir de então, este valor é atualizado pela variação da taxa SELIC diária no dia em que a precificação do título é feita.

• Ao valor encontrado, definido como Valor Nominal Atualizado (VNA), existe a possibilidade de se aplicar uma taxa de ágio ou deságio, de acordo com a demanda pelo Tesouro Selic (LFT) no momento, sendo, então, obtido o preço do título para venda.

A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic

Cálculo da Rentabilidade:

• 1º Passo: Fator acumulado da Selic entre as datas: https://www.bcb.gov.br/htms/selic/selicacumul.asp

• 2º Passo: Calcular o valor de resgate utilizando a seguinte fórmula:

\[Valor de Resgate=VNA na Liquidação \times Fator Selic\]

• Fator Selic é calculado entre a data de compra e a data véspera da data de vencimento do título.

A Letra Financeira do Tesouro (LFT) - Tesouro Selic

• Repare na suavidade da trajetória dos preços das LFTs.
• São Duration zero. Não sofrem efeito de remarcação a mercado.
• A única oscilação que possuem é defido a diferença entre o ágio/deságio da taxa base.

Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)

• Título Híbrido (Pré-fixado na Taxa e Pós-Fixado em Preços).

• A Nota do Tesouro Nacional-Série B (NTN-B) é um título pós-fixado, cuja rentabilidade é composta por uma taxa anual pactuada no momento da compra mais a variação do IPCA, índice de inflação oficial do governo brasileiro, calculado pelo IBGE.

• Possui fluxos periódicos de pagamento ao investidor (cupom semestral de juros), a uma taxa de 6% a.a., pagos semestralmente.

• A rentabilidade é dada pela taxa anual de juros mais a variação do indexador até o vencimento.

Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)

• É um título escritural, nominativo e negociável. Na data de vencimento do título ocorre o resgate do principal investido, corrigido tanto pela taxa pactuada no momento da compra quanto pela variação do IPCA no período.

• Sua rentabilidade é dada pela taxa anual de juros, que determina sua cotação, mais a variação do indexador até o vencimento, que altera o valor de seu VNA (Valor Nominal Atualizado). Além disso, semestralmente são pagos os cupons de juros, com ajuste no primeiro período de fluência, quando couber.

• O primeiro cupom a ser pago contemplará a taxa integral definida para seis meses, independente da data de liquidação da compra.

• Ainda em relação ao seu VNA, sua data-base é 15/07/2000, quando seu valor, por definição, foi estabelecido em R$ 1.000,00. Desde então, mensalmente tal valor é atualizado pela variação mensal do IPCA, divulgada entre os dias 10 e 15 de cada mês pelo IBGE.

Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)

• Metodologia de Cálculo do Preço: \[Preço=VNA^{proj}\times Cotação\]

• O VNA deve ser o projetado para o dia da liquidação da compra, dado que o indexador ao qual o papel está vinculado somente é conhecido ex post, sendo necessário, desta forma, fazer sua projeção, da seguinte forma: \[VNA^{proj}=VNA\times (1+IPCA^{proj})^x \] onde: \(x\) é a razão entre o número de dias corridos entre a data de liquidação e o dia 15 do mês em questão e o número de dias corridos entre o dia 15 do mês seguinte e o dia 15 do mês em questão.

• Parte-se do VNA calculado com dados até o mês anterior ao da liquidação da operação. \[VNA=R$1.000,00 \times Fator\Delta IPCA\] [15/07/00 e dia 15 do mês anterior]

** Dados em: http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/defaulttab.shtm

Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)

• Agora nos resta falar do fator cotação. Esse reflete o ágio/deságio do título. Sua fórmula de cálculo é dada por: \[Cotacao=\left[ \frac{(1+Cupom)^{0,5}-1}{(1+TIR)^{DU_1/252}}\right]+\left[ \frac{(1+Cupom)^{0,5}-1}{(1+TIR)^{DU_1/252}}\right]+...+\left[ \frac{(1+Cupom)^{0,5}-1}{(1+TIR)^{DU_n/252}}\right]+\left[ \frac{1}{(1+TIR)^{DU_n/252}}\right] \]

• As informações sobre a taxa de cupom, a TIR e os DU com os fluxos de pagamento, são conhecidos no momento da compra.

• O cálculo do cupom sempre é feito semestralizando a taxa anual e aplicando sobre o valor do VNA.

Nota do Tesouro Nacional Série B - (NTN-B)

Estrutura a Termo da Taxa de Juros

• Pudemos verificar (através dos títulos do tesouro) que as YTM dos títulos são diferentes para um mesmo instante temporal entre as diversas maturidades dos títulos. Por qual razão isso ocorre?

• Seria razoável fornecermos a mesma taxa de retorno para um investidor que carrega um título de 2 anos comparando aquele que carrega de 1 ano (sendo que os títulos não pagam cupons)?

• Antes de responder, repare que enquanto o resultado do investimento em um título de um ano no final do primeiro ano já é sabido de antemão (será o valor de face), o segundo título (de 2 anos) não é sabido (pode ser maior, menor ou igual).

• Esta mistura de incerteza com valor temporal dá origem ao conceito de Curva de Juros ou Estrutura a Termo.

Estrutura a Termo da Taxa de Juros

• Repare que a Estrutura a Termo da Taxa de Juros nos fornece uma relação entre as YTM e as Maturidades.

• Essa relação entre as duas variáveis pode (e deve) ser observada todos os dias, porque cada dia muda!

• O único problema é que não temos conhecimento sobre todos os pontos desejados. Temos alguns pontos de maturidade e algumas taxas. Para encontrar o valor estimado da taxa para os outros pontos, precisamos usar técnicas de interpolação. Isso nos dá uma estimativa de qual seria a taxa se houvesse um título com o mesmo risco sendo negociado com aquela maturidade.

• Se juntarmos a relação das \((T,YTM,dias)\) estimada por interpolação, podemos plotar um gráfico em 3 Dimensões e analisar a sua superfície ao longo do tempo.

## 
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## [1] TRUE

Estrutura a Termo da Taxa de Juros

Ainda sobre a ETTJ…

• Então, a ETTJ é a curva que relaciona as taxas de juros \((YTM)\) de um mesmo risco de crédito para diferentes prazos.

• Essas curvas servem para, entre outras utilidades, “descobrir” os preços de ativos que, por acaso, não se encontrem sendo negociados em mercado. Assim, podemos saber qual deveria ser o seu preço de negociação.

Ex.: ETTJ da taxa pré fixada para diferentes riscos de crédito, ETTJ de cupom cambial, cupom de IPCA, cupom de IGP-M. (cupom aqui é o spread de remuneração entre o pré-fixado e o indexador)

• Formação das Taxas de Juros:

1. O Copom se reune oito vezes ao ano para decidir a Taxa Selic Meta.

2. Para a sua definição, leva-se em consideração: Inflação meta, crescimento econômico, liquidez da economia, taxa de câmbio, risco soberano, entre outras variáveis. \[r_t=f \left(r_{t-1},hiato_{y},RER_t,\sigma_{br},E_{t-1}(\pi_t),\pi^T,\bullet \right)\]

3. Rodado os modelos econométricos e discussão tendo sido feita pelo Comitee de Política Monetária, define-se a taxa Selic Meta para 1 dia útil.

4. O Banco Central do Brasil (BCB) irá monitorar e atuar ativamente para que haja convergência da taxa Selic Over \(\to\) taxa Selic Meta.

5. As demais taxas da economia são determinadas pelo mercado financeiro.

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teorias sobre a Formação:

Teorias Clássicas para Explicar a Curva Formada da ETTJ

1. Teoria das Expectativas Puras.
2. Teoria do Prêmio de Risco Puro (Prêmio pela Liquidez e Habitat Favorito).
3. Teoria da Segmentação do Mercado.
4. Teoria das Expectativas Viesadas.

Antes de começar a detalhar as teorias, vamos para alguns conceitos:

• A ETTJ é uma série de TIR ordenadas por prazos de maturidade em um dado momento no tempo.

• A taxa de juros à vista (spot) para \(n\) anos é a taxa de um investimento para um período de tempo com início hoje e término em \(n\) anos. O investimento considerado deve ser em \(n\) anos “puros”, sem pagamentos intermediários (sem cupons).

• A taxa de juros à termo (forward) é a taxa que está implícita nas taxas a vista para determinados períodos de tempo no futuro. Ela é definida como a taxa de juros hoje para investimento entre datas futuras. por exemplo: A taxa a termo para daqui a 1 ano com duração de 1 ano é a taxa hoje de um investimento que vai vigorar entre o ano 1 e o ano 2.

Resumindo os pontos, temos:

1.Curva Yield é o Gráfico da TIR (ou YTM) dos títulos versus seus prazos de maturidade. Ela é a ETTJ observada.

2. Taxa Spot é o mesmo que a TIR (ou YTM).

3. Taxa de Juros Short é a taxa de juros para um dado intervalo de tempo (desconhecida ex ante).

Resultado: Caso as taxas de juros short fossem conhecidas, os títulos seriam corretamente precificados. Por consequência, eles ofereceriam a mesma taxa de retorno no período, pois não haveria diferença de risco entre eles. Se houvesse divergência entre as taxas, todos investiriam no título de maior retorno e seu preço se elevaria, tornando-o menos atrativo. Da mesma forma, os preços dos demais cairiam tornando-os mais atrativos.

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teorias sobre a Formação:

• Taxa Short Futura em uma economia SEM incerteza: \[\left(1+s_n\right)=\frac{(1+r_n)^n}{(1+r_{n-1})^{n-1}}\] onde \(n\) é o período e \(r_n\) é a YTM de maturidade \(n\).

• Taxa Short Futura em uma economia COM incerteza: Havendo incerteza, as taxas short futuras não podem ser conhecidas antecipadamente. Por conta disso, definimos a taxa de juros forward, que seria a taxa de juros short futura caso NÃO HOUVESSE INCERTEZA.

• Taxa de Juros Forward: \[\left(1+f_n\right)=\frac{(1+r_n)^n}{(1+r_{n-1})^{n-1}}\] onde \(f_n\) é a taxa de juros forward.

• Prêmio de Liquidez: \[L_n=f_n-E(r_n)\] Onde: \(E(r_n)\) é a expectativa dos agentes para a taxa short esperada. A diferença premia a incerteza futura quanto ao preço de um título carregado pelo agente.

• Prêmio de Risco: É a diferença entre o retorno esperado de uma ativo arriscado e o retorno de um ativo livre de risco.

Interpretando as relações:

• Em uma economia sem incerteza, podemos calcular a TIR de um título com maturidade \(n\) da seguinte forma: \[1+r_n=\left[(1+s_1).(1+s_2).\dots.(1+s_n)\right]^{1/n} \]

ou seja, a \(YTM\) o período \(n\) é a média geométrica de todas as taxas short entre \(1\) e \(n\).

• Em uma economia com incerteza, temos: \[1+r_n=\left[(1+s_1).(1+f_2).\dots.(1+f_n)\right]^{1/n} \] ou seja, a \(YTM\) para o período \(n\) é a média geométrica da taxa short hoje com as demais taxas forward até o período \(n\). Não podemos saber ex ante as taxas short de \(i\in[2\to n]\).

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teorias sobre a Formação:

Fatos Estilizados e Características da ETTJ:

• Tipos de Curva:

1. Curva Spot.
2. Curva Forward.
3. Curva Par.

• Formatos de curva podem aparecer:

1. Quasi-flat.
2. Crescente.
3. Decrescente.
4. Humped (corcunda): Crescentes nos prazos curtos e decrescentes nos prazos longos (sendo o contrário também possível).

• Como elas evoluem no tempo (fatos históricos):

1. Taxas de Juros não são negativas (há excessão).
2. Taxas de Juros são afetadas por efeitos de reversão à média.
3. Mudanças das taxas não são perfeitamente correlacionadas.
4. Historicamente, \(\sigma^2(r_{CP})>\sigma^2(r_{LP})\)
5. Três componentes principais explicam mais do que 95% da mudança na curva de juros.

• Componentes Principais:

1. Nível.
2. Inclinação.
3. Torção, Curvatura ou Convexidade.

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teoria das Expectativas Puras

Teoria das Expectativas Puras

• Há uma forte conexão entre as taxas de diferentes maturidades.
• As taxas forward refletem exclusivamente as taxas curtas esperadas pelo mercado.

Matematicamente, temos: \[f_n=E(r_n)\]

Participantes de mercado formulam expectativas sobre a evolução das taxas de curto prazo usando toda a informação disponível e tomam suas decisões de alocação racionalmente (isto é, levando em conta suas expectativas de maneira a maximizar o retorno de seu investimento).

Portanto, suas expectativas guiam a sua posição na curva e consequentemente os níveis das taxas de longo prazo. Como estas expectativas estão corretas na média, as futuras taxas de curto prazo igualam as taxas forwards.

• Limitações: Não leva em conta o risco no preço do título e Não leva em conta o risco de reinvestimento de cupons.

Como não levam em conta o risco, investidores são risk neutral, no sentido de não encararem o fato de que suas expectativas possam estar erradas. Isto significa que os preços futuros dos tíulos são conhecidos de antemão (ao invés de serem estocásticos).

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teoria do Prêmio de Risco Puro

Teoria do Prêmio de Risco Puro

Há uma forte conexão entre as taxas de diferentes maturidades.

As taxas forwards representam exclusivamente o prêmio de risco requerido pelo mercado para segurar títulos de longas maturidades.

Isto significa que como as taxas forwards não são previsores perfeitos das futuras taxas, os preços dos títulos têm risco (são estocásticos). Seu risco (volatilidade) é tão maior quanto maior for a maturidade residual.

A estrutura a termo reflete num dado tempo o prêmio de risco requerido pelo mercado para segurar títulos longos. No entanto, as duas versões desta teoria diferem quanto a forma do prêmio de risco.

1. Prêmio por Liquidez:

• O prêmio aumenta com a maturidade em proporções cada vez menores.

• Investidores estão interessados em investir em títulos longos se o seu retorno contiver um substancial prêmio de risco para compensar a sua alta volatilidade nos preços.

Matematicamente, temos: \[1+r_n=\left[(1+s_1).(1+L_2).\dots.(1+L_n) \right]^{1/n} \] onde \(L_i\;i\in[2,n]\) é o prêmio de liquidez para o período \(i\) do ano \(2\) até o \(n\)-ésimo ano.

Sendo que: \(L_n>L_{n-1}>...>L_2>L_1\) e \(L_n-L_{n-1}<L_{n-1}-L_{n-2}<...<L_2-L_1\).

• Limitações:
  Impossibilidade de explicar o formato de corcunda das curvas de juros e Não leva em conta o risco de reinvestimento dos cupons.

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teoria do Prêmio de Risco Puro

Teoria do Prêmio de Risco Puro

2. Habitat Preferido:

• É um avanço da teoria do prêmio por liquidez. A diferença é que a teoria agora formula que o prêmio de risco não necessariamente é uniformemente crescente.

• O pressuposto é que o horizonte de investimento dos investidores diferem de acordo com o seu passivo. Todavia, quando a oferta e demanda se desequilibra sobre um específico segmento da curva, tomadores e emprestadores estarão prontos para se mover para outra parte da curva desde que sejam compensados pelo risco de preço dos títulos e risco de reinvestimento.

• Assim, todos os formatos da curva podem ser explicados.

• investidores preferem maturidades específicas, mas podem mudar se o prêmio for sucientemente grande.

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teoria da Segmentação dos Mercados

Teoria da Segmentação dos Mercados

• Não existe conexão entre as taxas curtas, médias e longas.

• As duas principais categorias de participantes de mercado (os que preferem a porção curta da curva e os que preferem a longa) estão sempre localizadas sobre a mesma porção da curva (curta, longa).

• Investidores nunca se movem entre porções da curva.

• O formato da curva é dado pela lei da oferta e demanda nas várias porções da curva.

• títulos de longo e de curto prazo são negociados em mercados distintos. Os títulos não são substitutos uns dos outros. Se um investidor quer aplicar para o longo prazo, então ele só tem títulos de longo prazo como opção. Nesse caso, seus preços atingem o equilíbrio independentemente.

Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Teoria das Expectativas Viesadas

Teoria das Expectativas Viesadas

• Combina a teoria das expectativas puras com a do prêmio de risco.

• A estrutura a termo reflete expectativas das futuras taxas de juros bem como um prêmio de liquidez permanente que varia ao longo do tempo.

• Todos os formatos podem ser explicados.

Matematicamente, temos: \[1+r_n=\left[(1+s_1).(1+f_2+L_2).\dots.(1+f_n+L_n) \right]^{1/n} \]

Estimando a Estrutura a Termo da Taxa de Juros

Já discutimos como se forma a ponta curta da Taxa de Juros. Agora, vamos discutir como podemos interpolar a ETTJ para as demais maturidades, uma vez que os pontos são descontínuos.

• Métodos

1. Forma 1 - Interpolação Flat Forward Exponencial
2. Forma 2 - Interpolação Linear
3. Forma 3 - Interpolação Cubic Spline
4. Forma 4 - O Modelo Nelson Siegel
5. Forma 5 - O Modelo de Svensson
6. Forma 6 - O Modelo Super-Bell

Estimando a ETTJ - Interpolação Flat Forward Exponencial

Forma 1 - Interpolação Flat Forward Exponencial

Essa forma de interpolação consiste em tomar dois pontos no tempo em que as YTM são conhecidas. Entre esses pontos, assume-se que a taxa a termo diária permanece constante (por isso o termo flat forward, ou ainda, taxa incremental a termo constante).

Em termos matemáticos, ela pode ser definida como: \[\left(1+F_{wd} \right)^{\frac{du_2-du_1}{252}}=\frac{\left(1+i_2 \right)^{du_2/252}}{\left(1+i_i \right)^{du_1/252}} \] onde \(F_{wd}\) é a taxa forward (ou a termo) calculada em % a.a.; \(i_1\) é a YTM fixada no vencimento \(du_1\); \(i_2\) é a YTM fixada no vencimento \(du_2\), sendo \(du_2>du_1\).

Limitações: Taxa constante em todo o período e fornece apenas a suposta inclinação da ETTJ.

Estimando a ETTJ - Interpolação Linear

Forma 2 - Interpolação Linear

A interpolação linear ou aritmética é um exercício de simplemente unir o par ordenado com por um segmento de reta. Matematicamente pode ser expressa como: \[i^*=i_1+\frac{(i_2-i_1)}{(du_2-du_1)}.(du^*-du_1)\]

Ex.: Sabendo que a taxa pré-fixada para 5 anos é 0.08 e a taxa para 10 anos é 0.10, qual é o valor para a taxa pré-fixada de 7 anos a partir do método flat forward? \[i^*=0.08+\frac{(0.10-0.08)}{(2520-1260)}.(1764-1260)=0.088\]

Estimando a ETTJ - Interpolação por Cubic Spline

Forma 3 - Interpolação por Cubic Spline

A técnica 3, conhecida como interpolação por cubic spline apresenta como vantagem uma melhor suavização da curva entre os vértices observados. Todavia, não podemos como nas técnicas anteriores fazer uso de cálculo manual.

O conceito matemático deste método consiste em gerar uma aproximação polinomial por partes. A função genérica parte da seguinte equação de terceiro grau (por isso o termo cúbico no nome!): \[f(x)=a+b.x+c.x^2+d.x^3 \]

Como característica dessa função, temos a geração de derivadas de 1ª e 2ª ordens. Essas nos auxiliam no cálculo dos coeficientes. Comparando essa técnica com as anteriores, temos que não há uma fórmula única de interpolação por cubic spline, uma vez que para cada conjunto de pontos, um conjunto de parâmetros \(a_i,b_i,c_i,d_i\) são estimados. Para cálcular através desse método, apresentamos o script abaixo que simula a coleta de informações de títulos pré-fixados com datas de \(1,2,3,4\) e \(5\) anos. Taxas respectivas de \(14.5;15;16.5;16.4\) e \(16\) . Utilizamos o pacote pracma que contém as funções cubicspline() e spline(). A primeira estima os parâmetros enquanto a segunda os aplica para gerar uma curva com os parâmetros estimados.

library(pracma)

Maturidade <- c(1,2,3,4,5)
YTM        <- c(14.5,15,16.5,16.4,16)

pp <- cubicspline(Maturidade, YTM)

plot(Maturidade, YTM, col = "darkblue", 
           ylim = c(14,17), 
           xlab = "Prazo de Maturidade",
           ylab = "Yield to Maturity (ou TIR)",
           main = "ETTJ Interpolada por Cubic Spline")
lines(spline(Maturidade, YTM), col = "red", lwd =2)
grid()

Estimando a ETTJ - Outras Formas de Estimação

Forma 4 - O modelo de Nelson Siegel

Em 1987, Nelson e Siegel tiveram a ideia que ao restringir a taxa zero para que essa seja função especial da convergência para o vencimento. Deixando essa função com parâmetros livres, podemos chegar em curvas que se ajustam as condições de mercado.

A função especial que eles obtiveram possui três partes e a seguinte forma \[r(T)= \beta_0+\beta_1.\left(\frac{1-e^{-T/\tau}}{T/\tau}\right)+\beta_2.\left(\frac{1-e^{-T/\tau}}{T/\tau}-e^{-T/\tau} \right) \]

onde \(\beta_0,\beta_1,\beta_2\) e \(\tau\) são parâmetros constantes e \(T\) é o tempo que falta até a maturidade em unidades anuais.

• Especificamente, \(\beta_0\) é o parâmetro que define o nível da taxa de longo prazo. Repare que quando \(T\to\infty\), os demais termos da função também tendem a zero.

• O segundo parâmetro, \(\beta_1\) , define o decaimento exponencial ao longo do tempo. Esse decaimento é mais lento a medida que \(\tau\) é maior.

• O terceiro parâmetro gera a curvatura positiva da curva (se \(\beta_2>0\)) ou curvatura negativa (se \(\beta_2<0\)).

Para entender o efeito isolado dos três componentes, desenvolvemos o seguinte script abaixo para demonstrar que a curva é a soma dos efeitos: (a) taxa de longo prazo, (b) decaimento exponencial e (c) curvatura da curva.

rm(list = ls())

beta_0 <- 0.02
beta_1 <- 0.02
beta_2 <- 0.20
tau    <- 2.00
T      <- seq(from = 0, to =  100, by = 0.1)

ETTJ <- beta_0 + beta_1*(1-exp(-T/tau))/(T/tau) + beta_2*((1-exp(-T/tau))/(T/tau) - exp(-T/tau))

Time_Decay <- beta_1*(1-exp(-T/tau))/(T/tau)
Hump       <- beta_2*((1-exp(-T/tau))/(T/tau) - exp(-T/tau))


# Plot da Figura com a Curva Nelson Siegel
plot(T,ETTJ*100, type = "l", ylim = c(0,10), lwd = 2,
     main = "ETTJ - Simulação da Curva Nelson Siegel",
     ylab = "Yield to Maturity (ou TIR)", 
     xlab = "Prazo de Maturidade")
lines(T,Time_Decay*100, type = "l", lty = 2, lwd = 2 ,col = "red")
lines(T,Hump*100, type = "l", lty =3, lwd = 2, col = "blue")
abline(h = beta_0*100, lty = 5, col = "gray", lwd =2)
grid(nx = NULL, ny = NULL, lty = "dotted", col = "lightgray")
legend("topright",
       c("Curva Nelson Seigel",
         "Decaimento Temporal",
         "Curvatura",
         "Tx. de Longo Prazo"),
     col = c("black","red","blue","gray"), 
     lty = c(1,2,3,5), cex = 0.8, inset = 0.05,
     lwd = c(2,2,2,2))

Estimando a ETTJ - Outras Formas de Estimação

Forma 4 - O modelo de Svensson (1994)

O modelo de Svensson é um desdobramento do modelo anterior de Nelson-Siegel (1987).

Matematicamente ele se expressa como: \[r(T)=\beta_0+\beta_1.\frac{(1-e^{-T/\tau})}{T/\tau}+\beta_2.\left(\frac{1-e^{-T/\tau}}{T/\tau}-e^{-T/\tau}\right)+\beta_3.\left(\frac{1-e^{-T/\tau_2}}{T/\tau_2}-e^{-T/\tau_2}\right) \]

• Neste caso, o último termo \(\beta_3\) visa capturar o ajuste da curva a movimentos instantâneos da taxa de juros, de maneira a permitir mais de um ápice na curva.

• A curva se ajusta melhor a curvas com formatos de \(S\) pronunciados.

• A função é estimada pelo método de Máxima Verossimilhança, embora o método de Mínimos Quadrados Não Lineares ou Momentos Generalizados também possam ser escolhidos.

Estimando a ETTJ - Outras Formas de Estimação

Forma 5 - Super-Bell

O modelo Super-Bell foi desenvolvido pela Bell Canada Limited nos anos de 1960.

Esse modelo faz uso de uma regressão linear múltipla das TIR (YTM) contra um rol de variáveis explicativas que são: (a) potências diversas do prazo; (b) taxas de cupom do título e (c) associação dos dois;

Matematicamente, podemos representar como: \[Y_{M,C}=\beta_0 +\beta_1.T+\beta_2.T^2+\beta_3.T^3+\beta_4.T^{1/2}+\beta_5.\log T+\beta_6.\alpha+\beta_7.(\alpha.T)+\epsilon_i\]

O que se deseja é gerar a TIR dos títulos negociados ao par.

A primeira rodada de regressão calcula o valor dos coeficentes \(\beta_i\) para uma cesta de títulos com distintas maturidades (em uma amostra razoável de títulos).

A regressão é feita com dados em cross section, ou seja, com títulos de distintas maturidades obtidos no mesmo instante temporal.

Obtido esse vetor de parâmetros \(\beta\), um vetor de YTM ao par é calculado fazendo a equação anterior como so \(Y(\alpha,T)=\alpha\). Assim, é como se os títulos estivessem sendo emitidos naquele mesmo momento. Dessa forma, para \(t=0\), admitindo-se que não haja ágio ou deságio no leilão, o cupom de juros do título é igual a \(YTM\). \[Y_{T,\alpha}=\beta_0 +\beta_1.T+\beta_2.T^2+\beta_3.T^3+\beta_4.T^{1/2}+\beta_5.\log T+\beta_6.Y_{T,\alpha}+\beta_7.(Y_{T,\alpha}.T)+\epsilon_i\] Reorganizando, fica: \[Y_{T,\alpha}=\frac{\beta_0 +\beta_1.T+\beta_2.T^2+\beta_3.T^3+\beta_4.T^{1/2}+\beta_5.\log T+\epsilon_i}{{1-\beta_6+\beta_7.(T)}}\]

Agora com o vetor de \(Y_T\) resultante da regressão e os dados de maturidades dos títulos em questão, roda-se o modelo sem os cupons de juros, conforme a seguinte equação: \[Y_T=\mu_0 +\mu_1.T+\mu_2.T^2+\mu_3.T^3+\mu_4.T^{1/2}+\mu_5.\log T+\epsilon_i\] A partir do modelo anterior, chega-se à curva “ao par” suavizada. As taxas calculadas são taxas de retorno. Portanto, é necessário o procedimento de bootstrapping para cálculo das curvas forward e spot.

Comparações entre as estimações:

Referências Bibliográficas

FABOZZI, F. J. The Handbook of Fixed Income Securities. 8th Edition. The McGraw-Hill Companies. 2012.

NETO, J.M.V.; SANTOS, J.C.S.; MELLO, E.M. O Mercado de Renda Fixa no Brasil. Conceitos, Precificação e Risco. Editora Saint Paul. 2019.

NYHOLM, K.; Strategic Asset Allocation in Fixed-Income Markets. A MATLAB-based User’s Guide. John Wiley & Sons. 2008.

VERONESI, P. Handbook of Fixed-Income Securities. Wiley Handbooks in Financial Engineering and Econometrics. John Wiley & Sons. 2016.