Determinante

Es la representación geométrica del espacio generado por un conjunto de vectores, (la cantidad de dicho conjunto de vectores coincide con el número de componentes de cada vector individual).

Determinante de orden 2

En 2 dimensiones el determinante representa el área del paralelogramo generado por 2 vectores.

Cálculo: \[ det(A)\equiv \left|A\right|\equiv \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \equiv a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}\]

Determinante de orden 3

En 3 dimensiones el determinante representa el volumen de la “caja” (paralelepípedo) generada por 3 vectores.

Cálculo:

\[ det(A)\equiv \left|A\right|\equiv \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|\equiv \]

\[ a_{11} \cdot\ a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13} \cdot\ a_{21} \cdot a_{32}\\ -(a_{31} \cdot\ a_{22} \cdot a_{13}+a_{32} \cdot a_{23}\cdot a_{11}+a_{33} \cdot\ a_{21} \cdot a_{12}) \]

En “n” dimensiones el determinante representa el hipervolumen de la “caja” generada por “n” vectores.

En este caso, las propiedades geométricas son las mismas que en el caso tridimensional, y las propiedades de los determinantes son válidos en cualquier dimensión.Y para obtener su valor será necesario aplicar las siguientes propiedades, en conjunto con otras técnicas que se presentarán a continuación.

Propiedades de los determinantes:

Propiedad 1:

El determinante de la transpuesta de una matriz “A”, es igual al determinante de la matriz original “A”.

\[ det(A^T)\equiv det(A) \]

Propiedad 2:

El determinante de una matriz nula (cuadrada), es igual a cero.

\[ \begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}=0 \]

Propiedad 3:

Si por lo menos una fila o columna, está compuesta totalmente de ceros, el determinante valdrá cero.

Determinante con una fila de ceros:

\[ \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix}=0 \]

Determinante con una columna de ceros:

\[ \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & 0 & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \cdots & \cdots & 0 & \cdots \\ \end{vmatrix}=0 \]

Propiedad 4:

El intercambio de filas o columnas cambia el signo del determinante.

Si en \(|A|\) se realiza un intercambio de filas o columnas dando lugar a la matriz \(A_s\), entonces:
\[ |A|=-|A_s| \]

Propiedad 5:

Si se multiplica una fila o columna del determinante por un escalar “\(\alpha\)”, distinto de cero.
El valor del determinante quedará multiplicado también por “\(\alpha\)”.

Multiplicando una fila:

\[ \begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha \cdot a_{i1} & \alpha \cdot a_{i2} & \cdots & \alpha \cdot a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix}= \alpha \cdot \begin{vmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{vmatrix} \] Multiplicando una columna:

\[ \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \alpha \cdot a_{1j} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \alpha \cdot a_{2j} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \alpha \cdot a_{nj} & \cdots \\ \end{vmatrix}= \alpha \cdot \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & a_{1j} & \cdots \\ \vdots & \vdots & a_{2j} & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \cdots & \cdots & a_{nj} & \cdots \\ \end{vmatrix} \]

Propiedad 6:

El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) será igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Está propiedad también aplica a los determinantes de matrices diagonales.

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{in}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdots a_{nn} \]

Propiedad 7:

Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz se descomponen en la suma de dos ( o más) sumandos, el determinante de la matriz inicial es la suma de los dos (o más) determinantes que tienen en una fila, respectivamente, los sumandos, siendo el resto de las filas (columnas) iguales a las filas (columnas) del determinante de la matriz inicial.

ilustación para un determinante de orden 3 \[ \begin{vmatrix} \color{green}{a_{11}}+\color{blue}{b_{11}}+\color{red}{c_{11}} & m_{12} & m_{13} \\ \color{green}{a_{21}}+\color{blue}{b_{21}}+\color{red}{c_{21}} & m_{22} & m_{23} \\ \color{green}{a_{31}}+\color{blue}{b_{31}}+\color{red}{c_{31}} & m_{32} & m_{33} \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \color{green}{a_{11}} & m_{12} & m_{13} \\ \color{green}{a_{21}} & m_{22} & m_{23} \\ \color{green}{a_{31}} & m_{32} & m_{33} \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} \color{blue}{b_{11}} & m_{12} & m_{13} \\ \color{blue}{b_{21}} & m_{22} & m_{23} \\ \color{blue}{b_{31}} & m_{32} & m_{33} \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \color{red}{c_{11}} & m_{12} & m_{13} \\ \color{red}{c_{21}} & m_{22} & m_{23} \\ \color{red}{c_{31}} & m_{32} & m_{33} \\ \end{vmatrix} \]

Propiedad 8:

El multiplo escalar de una fila (columna) sumado a otra fila (columna), no altera el valor del determinante.

\[ \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{h1} & a_{h2} & \cdots & a_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1}+\alpha \cdot a_{h1} & a_{i2}+\alpha \cdot a_{h2} & \cdots & a_{in}+\alpha \cdot a_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{h1} & a_{h2} & \cdots & a_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} \]

Propiedad 9:

El determinante del producto de 2 matrices cuadradas es igual al producto de sus respectivos determinantes.

\[ det(A \cdot B)=det(A) \cdot det(B) \]

Evaluación de Determinantes de orden “n”

Técnica de Laplace (Evaluación por Cofactores)

Está técnica permite obtener el determinante como la combinación lineal de los elementos de una fila (columna) con sus respectivos Cofactores:

Desarrollo de \(|A|\) a través de la fila “i”

\[|A|=\displaystyle\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot C_{ij} = a_{i1}\cdot C_{i1}+a_{i2}\cdot C_{i2}+\cdots+a_{in}\cdot C_{in}\] Desarrollo de \(|A|\) a través de la columna “j”

\[|A|=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\cdot C_{ij} = a_{1j}\cdot C_{1j}+a_{2j}\cdot C_{2j}+\cdots+a_{nj}\cdot C_{nj}\] - Para la aplicación de esta técnica se recomienda utilizar la fila (columna) con mayor cantidad de elementos cero.

Puede usarse la propiedad de la suma del múltiplo escalar de una fila, para agregar ceros a la matriz antes de aplicar esta técnica.

Importante recordar:

Menor de una matriz \(M_{ij}\): Es el determinante de la sub matriz generada por la eliminación de la fila “i” y de la columna “j”. Nota algunos autores escriben también \(|M_{ij}|\)

Cofactor de una matriz \(C_{ij}\): Es el menor ajustado por el signo resultante de la posición relativa de la fila y columna eliminadas. Específicamente \(C_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\).

Ejemplos: Evaluar los siguientes determinantes.

\[ |A|=\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} \hspace{3cm} |B|=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & 6\\ 1 & 1 & 4 & 7\\ 3 & 0 & 5 & -1\\ 2 & 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} \]

Solución para \(|A|\)

Si se elige la fila 3, el determinante se obtiene a través de

\[\require{cancel} |A|=4\cdot C_{31}+\cancel{0\cdot C_{32}}+1\cdot C_{33}\]

Para \(C_{31}\) tenemos:

El menor \(M_{31}\) se obtiene de eliminar la fila 3 y la columna 1:

\[ \begin{vmatrix} \color{lightgray}{0} & 2 & 1\\ \color{lightgray}{3} & -1 & 2\\ \color{lightgray}{4} & \color{lightgray}{0} & \color{lightgray}{1} \end{vmatrix} \]

\(M_{31}=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=4-(-1)=5\)

Por lo que \(C_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=1\cdot5=5\)

Para \(C_{33}\) tenemos:

El menor \(M_{33}\) se obtiene de eliminar la fila 3 y la columna 3: \[ \begin{vmatrix} 0 & 2 & \color{lightgray}{1}\\ 3 & -1 & \color{lightgray}{2}\\ \color{lightgray}{4} & \color{lightgray}{0} & \color{lightgray}{1} \end{vmatrix} \] \(M_{33}=\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}=0-6=-6\)

Por lo que \(C_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=1\cdot(-6)=-6\)

Finalmente se tiene que:

\(|A|=4\cdot C_{31}+1\cdot C_{33}=4\cdot (5)+1\cdot (-6)=20-6=14\)

Solución para \(|B|\)

En este caso se puede proceder de manera similar, pero resulta más cómodo aplicar la propiedad de la suma del múltiplo escalar para introducir ceros artificialmente dentro de tercera columna.

\[ |B|=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & 6\\ 1 & 1 & 4 & 7\\ 3 & 0 & 5 & -1\\ 2 & 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} \]

factorizando el 4 de la fila 2

\[ |B|=4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & 6\\ 1/4 & 1/4 & 1 & 7/4\\ 3 & 0 & 5 & -1\\ 2 & 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} \] Haciendo cero el “5” y el “-2” tenemos que aplicar: \(-5\cdot F_2+F_3\longrightarrow F_3\); \(2\cdot F_2+F_4 \longrightarrow F_4\)

\[ |B|=4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & 6\\ 1/4 & 1/4 & 1 & 7/4\\ 7/4 & -5/4 & 0 & -39/4\\ 5/2 & 7/2 & 0 & 13/2 \end{vmatrix} \] Ahora desarrollando por la tercera columna se tiene:
\[\require{cancel} |B|=4\cdot(\cancel{0 \cdot C_{13}}+1 \cdot C_{23}+\cancel{0\cdot C_{33}}+\cancel{0\cdot C_{43}})=4\cdot C_{23}\]

Para \(M_{23}\) se tiene que:

\[ \begin{vmatrix} 4 & 1 & \color{lightgray}{0} & 6\\ \color{lightgray}{1/4} & \color{lightgray}{1/4} & \color{lightgray}{1} & \color{lightgray}{7/4}\\ 7/4 & -5/4 & \color{lightgray}{0} & -39/4\\ 5/2 & 7/2 & \color{lightgray}{0} & 13/2 \end{vmatrix} \]

\[ |M_{23}|=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 6\\ 7/4 & -5/4 & -39/4\\ 5/2 & 7/2 & 13/2 \end{vmatrix} \] Este menor se puede evaluar de nuevo por laplace, pero antes se puede factorizar 1/4 de la fila 2 y 1/2 de la fila 3

\[ |M_{23}|=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 6\\ 7 & -5 & -39\\ 5 & 7 & 13 \end{vmatrix} \] Ahora se pueden introducir ceros en la columna 2, porque ya posee un elemento 1, de la siguiente manera: \(5 \cdot F_1+F_2\longrightarrow F_2\); \(-7 \cdot F_1+F_3\longrightarrow F_3\)

\[|M_{23}|=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\begin{vmatrix} \color{lightgray}{4} & \color{lightgray}{1} & \color{lightgray}{6}\\ 27 & \color{lightgray}{0} & -9\\ -23 & \color{lightgray}{0} & -29 \end{vmatrix}\]

Aplicando Laplace:

\[|M_{23}|=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\cdot1\cdot(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 27 & -9\\ -23 & -29 \end{vmatrix}=\\ -\frac{1}{8}\begin{vmatrix} 27 & -9\\ -23 & -29 \end{vmatrix}=-\frac{1}{8}(-783-(207))=\frac{495}{4}\]

Por lo que: \[C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \frac{495}{4}=-\frac{495}{4}\]

Finalmente se tiene que: \[|B|=4\cdot C_{23}=4\cdot(-\frac{495}{4})=-495\]

Evaluación de Determinantes por Conversión a Triangular Superior (OEF)

La técnica aprovecha la propiedad del múltiplo de filas (columnas) de los determinantes (propiedad 5), junto con la propiedad de la suma del múltiplo escalar (propiedad 8), para escalonar la matriz y así poder aplicar la propiedad 6 (Determinante de la matriz triangular).

De forma esquemática el procedimiento se reduce a:

\(|A| \equiv |E|\) donde \(E\) es la matriz escalonada de \(A\)

Ejemplos: Evaluar los siguientes determinantes por Conversión a Triangular superior.

\[ |A|= \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 & -2\\ -2 & 1 & 3 & 2 & -1\\ 1 & 0 & -1 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 2 & 4 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}\hspace{5cm} |V|=\begin{vmatrix} 1 & s & s^2\\ 1 & t & t^2\\ 1 & u & u^2 \end{vmatrix} \]

Solución para \(|A|\):

Factorizando “2” de la fila 1

\[\begin{equation} 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1/2 & 3/2 & -1 \\ -2 & 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 2 & 4 & -3 \\ 1 & 1 & 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Usando las OEF, para ingresar ceros en la primera columna:

\(2\cdot F_1+F_2\longrightarrow F_2\);

\(-F_1+F_3 \longrightarrow F_3\);

\(-3 \cdot F_1+F_4 \longrightarrow F_4\);

\(-F_1+F_5 \longrightarrow F_5\)

\[\begin{equation} 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1/2 & 3/2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & -3/2 & 1/2 & 4 \\ 0 & -1 & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 5/2 & 1/2 & 1 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Ahora ingresamos los ceros en la segunda columna:

\(F_2+F_4 \longrightarrow F_4\);

\(-F_2+F_5 \longrightarrow F_5\)

\[\begin{equation} 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1/2 & 3/2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & -3/2 & 1/2 & 4 \\ 0 & 0 & 9/2 & 9/2 & -3 \\ 0 & 0 & -3/2 & -9/2 & 4 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Factorizando “-3/2” de la fila 3

\[\begin{equation} 2 \cdot ( -3/2 )\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1/2 & 3/2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/3 & -8/3 \\ 0 & 0 & 9/2 & 9/2 & -3 \\ 0 & 0 & -3/2 & -9/2 & 4 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Ahora ingresamos los ceros en la tercera columna:

\(-\frac{9}{2}\cdot F_3+F_4 \longrightarrow F_4\);

\(\frac{3}{2}F_3+F_5 \longrightarrow F_5\)

\[\begin{equation} 2 \cdot ( -3/2 )\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1/2 & 3/2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/3 & -8/3 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Factorizando “6” de la fila 4

\[\begin{equation} 2 \cdot ( -3/2 )\cdot 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1/2 & 3/2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/3 & -8/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Ahora ingresamos el cero en la cuarta columna:

\(5\cdot F_4+F_5 \longrightarrow F_5\);

\[\begin{equation} 2 \cdot ( -3/2 )\cdot 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1/2 & 3/2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/3 & -8/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 15/2 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Por la propiedad del determinante de la Matriz Triangular, se tiene que:

\[\begin{equation} |A|= 2 \cdot ( -3/2 ) \cdot 6 \cdot 15/2 \end{equation}\]\[\begin{equation} |A|= -135 \end{equation}\]

Método de Reducción de Orden (Método de Chio por Condensación Pivotal)

El método de Chio demuestra que hay una relación proporcional entre un determinante de orden “n” y uno de orden “n-1”, para mayor detalle puede consultar la siguiente referencia:

Fuller, L. E., & Logan, J. D. (1975). On the Evaluation of Determinants by Chio’s Method. The Two-Year College Mathematics Journal, 6(1), 8. doi:10.2307/3027234

Chio, plantea que el determinante de orden “n” puede evaluarse a través de la siguiente fórmula:

\[ |A_n|=\frac{1}{(a_{ij})^{n-2}} \cdot |B_{n-1}| \]

Donde \(a_{ij}\) se se le denomina pivote, de prefetencia este elemento debe ser igual a 1, y por definición no puede ser cero. Para convertir en 1 el pivote se debe usar la propiedad de factorización de un escalar.

Se sugiere usar siempre \(a_{11}\), como pivote, si dicho elemento es cero, usar la propiedad de cambio de filas (columnas) para obtener un pivote distinto de cero.

\(|B_{n-1}|\) es el determinante formado por los sub determinantes de orden 2, alredeor del elemento pivote.

Se puede usar de forma iterativa la fórmula de Chio.

Ejemplo: Evaluar el siguiente determinante usando el método de Chio.

\[\begin{equation} |A|= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 1 & 8 & 2 & 7 \\ 3 & 6 & 4 & 5 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Aplicando la fórmula de Chio:

\[\begin{equation} |A|=\frac{1}{( 1 )^{ 4 -2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 7 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} \end{vmatrix} \end{equation}\]

Desarrollando los determinantes de orden 2

\[\begin{equation} |A|= \begin{vmatrix} -9 & -18 & -27 \\ 6 & -1 & 3 \\ 0 & -5 & -7 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Factorizar -9

\[\begin{equation} |A|= -9 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & -1 & 3 \\ 0 & -5 & -7 \end{vmatrix} \end{equation}\]

Aplicando de nuevo la fórmula de Chio:

\[\begin{equation} |A|= -9 \frac{1}{( 1 )^{ 3 -2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -7 \end{vmatrix} \end{vmatrix} \end{equation}\]