Per a diverses espècies d'animals s'ha mesurat el cost energètic de córrer. A la taula següent, \( M \) indica el pes (en g) de l'espècimen considerat a l'estudi, i \( E \) l'energia (en \( \mbox{Jg${}^{-1}$km${}^{-1}$} \)) que necessità per transportar 1 g de massa corporal durant 1 km
| animal | ratolí | rata | ca petit | ovella | cavall |
|---|---|---|---|---|---|
| \( M \) | 21 | 384 | \( 2.6\cdot 10^3 \) | \( 3.9 \cdot 10^4 \) | \( 5.8 \cdot 10^5 \) |
| ——- | ——- | ——- | ——- | ——- | ——- |
| \( E \) | 54 | 18 | 7.1 | 2.4 | 0.63 |
| ——- | ——- | ——- | ——- | ——- | ——- |
| \( \log(M) \) | 1.32 | 2.58 | 3.41 | 4.59 | 5.76 |
| ——- | ——- | ——- | ——- | ——- | ——- |
| \( \log(E) \) | 1.73 | 1.26 | 0.85 | 0.38 | \( -0.20 \) |
M = c(21, 384, 2.6 * 10^3, 3.9 * 10^4, 5.8 * 10^5)
E = c(54, 18, 7.1, 2.4, 0.63)
Referencia: (K. Schmidt-Nielsen. “Locomotion. Energy cost of swimming, flying and running''. Science 177 (1972), pp. 222–228.)
1. Esbrinau si la dependència de \( E \) com a funció de \( M \) és lineal, exponencial o potencial.
plot(M, E)
No és lineal
plot(M, log10(E))
No és exponencial
plot(log10(M), log10(E))
Té pinta de potencial
plot(log10(M), log10(E))
abline(lm(log10(E) ~ log10(M)))
2. Cas de ser una de les tres, trobau aproximadament aquesta dependència a partir del codi de R següent
lm(E ~ M)
##
## Call:
## lm(formula = E ~ M)
##
## Coefficients:
## (Intercept) M
## 2.11e+01 -3.74e-05
lm(log10(E) ~ M)
##
## Call:
## lm(formula = log10(E) ~ M)
##
## Coefficients:
## (Intercept) M
## 1.09e+00 -2.30e-06
lm(log10(E) ~ log10(M))
##
## Call:
## lm(formula = log10(E) ~ log10(M))
##
## Coefficients:
## (Intercept) log10(M)
## 2.342 -0.435
\[ \log(E)=2.3417-0.4351 \log(M) \]
llavors
\[ E=10^{2.3417 -0.4351 \log(M)}= 219.6342\cdot M^{-0.4351} \]
3. Amb aquestes dades, quina energia necessita per córrer 1 km una persona de 75 kg?
\( E=219.6342\cdot M^{-0.4351} \) és l'energia necessària per desplaçar \( 1 \) g durant 1 km, en funció de \( M \).
Per tant, un home de \( M=75 \) kg\( =75\cdot 10^3 \) g necessita, per desplaçar 1 g durant 1 km, \[ E=219.6342\cdot (75\cdot 10^3)^{-0.4351}=1.661731\mbox{ Jg${}^{-1}$km${}^{-1}$} \] i per tant, per desplaçar els seus \( 75\cdot 10^3 \) g necessita \[ 75\cdot 10^3\cdot 1.661731=124\,629.9\mbox{ Jg${}^{-1}$km${}^{-1}$} \]