1 Objetivo Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.

2 Descripción Simular muestra de varios conjuntos de datos

Se identifica media de los datos

Se muestran tablas de frecuencias

Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.

Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.

Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.

3 Marco teórico ¿Para que sirven las medidas de dispersión?

El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. (Devore 2016).

La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.

La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.

3.1 Varianza La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (xi) y la media x¯ (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

3.1.1 Fórmulas Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.

Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.

3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional σ2=∑Ni=1(xi−μ)2N

siendo μ la media poblacional y N el total de los datos de la población.

3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral S2=∑ni=1(xi−x¯)2n−1

siendo x¯ la media muestral y n el total de los datos de la muestra.

Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.

3.2 Desviación estándar La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea ς para denotar la desviación estándar muestral y σ para denotar la desviación estándar poblacional.

¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.

Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. (Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.(Devore 2016)

3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional σ=σ2−−√

3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral S=S2−−√

3.3 Coeficiente de variación (CV) En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.

La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.

CV=(σx¯×100)%

4 Desarrollo 4.1 Librerías Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)

4.2 Datos edades Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.

Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.

edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()

edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().

4.2.1 edades1 4.2.1.1 Mostrar los datos edades1 Se identifican los datos edades1

[1] 24 55 56 29 23 55 55 22 56 58 40 29 35 20 57 43 53 54 39 48 51 36 21 39 22

[26] 26 55 35 60 23 39 23 32 51 39 33 32 41 34 55 54 37 21 47 25 36 20 19 34 57

[51] 58 48 26 46 44 28 53 55 32 35 26 36 33 51 54 59 39 55 44 30 50 38 42 48 28

[76] 26 40 60 39 53 47 24 46 18 36 53 26 26 27 18 54 60 46 33 22 36 29 46 24 28

[101] 20 37 40 18 32 49 40 44 18 21 18 30 23 47 38 56 30 54 27 28 39 47 25 36 36

[126] 24 18 41 19 38 38 60 54 30 22 25 30 28 46 52 36 22 36 40 39 31 48 39 39 36

[151] 30 30 46 46 43 20 56 23 21 56 55 54 58 36 52 23 54 37 57 41 60 41 39 58 27

[176] 55 40 28 49 18 60 41 41 25 25 33 20 37 26 45 24 48 48 35 45 60 46 51 60 32

4.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1 Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.

En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.

La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.

k=1+3.322∗log10(n)

Siendo k el número de clases

log es la función logarítmica de base 10, log10()

y n el total de la muestra

El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por h=max(datos)−min(datos)k Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.

Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.

Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.

El número de clase de acuerdo par n=200 de acuerdo a Sturges es:

[1] 9

La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:

[1] 4.666667

Class limits f rf rf(%) cf cf(%)

[17.82,22.57) 23 0.12 11.5 23 11.5

[22.57,27.33) 26 0.13 13.0 49 24.5

[27.33,32.08) 22 0.11 11.0 71 35.5

[32.08,36.83) 21 0.10 10.5 92 46.0

[36.83,41.59) 31 0.16 15.5 123 61.5

[41.59,46.34) 16 0.08 8.0 139 69.5

[46.34,51.09) 17 0.09 8.5 156 78.0

[51.09,55.85) 23 0.12 11.5 179 89.5

[55.85,60.6) 21 0.10 10.5 200 100.0

Class limits significa el rango de cada clase

f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.

rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1

rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%

cf significa frecuencia acumulada

cf% significa frecuencia porcentual acumulada

4.2.1.3 Histograma de edades1

4.2.1.4 Dispersión de edades1

4.2.2 edades2 4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2 Se identifican los datos edades2

[1] 17 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23

[26] 23 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26

[51] 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28

[76] 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

[101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31

[126] 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33

[151] 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36

[176] 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 38 38 38 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 44 44

4.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2 Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.

4.2.2.3 Histograma de edades2

4.2.2.4 Dispersión de edades2

4.3 Medidas de dispersión Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.

La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.

4.3.1 Medias aritméticas de edades ## [1] 38.61 ## [1] 29.605 4.3.2 Varianza y desviación estándar S2=∑ni=1(xi−x¯)2n−1

S=S2−−√

x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad

1 24 38.61 -14.61 213.4521

2 55 38.61 16.39 268.6321

3 56 38.61 17.39 302.4121

4 29 38.61 -9.61 92.3521

5 23 38.61 -15.61 243.6721

6 55 38.61 16.39 268.6321

7 55 38.61 16.39 268.6321

8 22 38.61 -16.61 275.8921

9 56 38.61 17.39 302.4121

10 58 38.61 19.39 375.9721

11 40 38.61 1.39 1.9321

12 29 38.61 -9.61 92.3521

13 35 38.61 -3.61 13.0321

14 20 38.61 -18.61 346.3321

15 57 38.61 18.39 338.1921

16 43 38.61 4.39 19.2721

17 53 38.61 14.39 207.0721

18 54 38.61 15.39 236.8521

19 39 38.61 0.39 0.1521

20 48 38.61 9.39 88.1721

21 51 38.61 12.39 153.5121

22 36 38.61 -2.61 6.8121

23 21 38.61 -17.61 310.1121

24 39 38.61 0.39 0.1521

25 22 38.61 -16.61 275.8921

26 26 38.61 -12.61 159.0121

27 55 38.61 16.39 268.6321

28 35 38.61 -3.61 13.0321

29 60 38.61 21.39 457.5321

30 23 38.61 -15.61 243.6721

31 39 38.61 0.39 0.1521

32 23 38.61 -15.61 243.6721

33 32 38.61 -6.61 43.6921

34 51 38.61 12.39 153.5121

35 39 38.61 0.39 0.1521

36 33 38.61 -5.61 31.4721

37 32 38.61 -6.61 43.6921

38 41 38.61 2.39 5.7121

39 34 38.61 -4.61 21.2521

40 55 38.61 16.39 268.6321

41 54 38.61 15.39 236.8521

42 37 38.61 -1.61 2.5921

43 21 38.61 -17.61 310.1121

44 47 38.61 8.39 70.3921

45 25 38.61 -13.61 185.2321

46 36 38.61 -2.61 6.8121

47 20 38.61 -18.61 346.3321

48 19 38.61 -19.61 384.5521

49 34 38.61 -4.61 21.2521

50 57 38.61 18.39 338.1921

51 58 38.61 19.39 375.9721

52 48 38.61 9.39 88.1721

53 26 38.61 -12.61 159.0121

54 46 38.61 7.39 54.6121

55 44 38.61 5.39 29.0521

56 28 38.61 -10.61 112.5721

57 53 38.61 14.39 207.0721

58 55 38.61 16.39 268.6321

59 32 38.61 -6.61 43.6921

60 35 38.61 -3.61 13.0321

61 26 38.61 -12.61 159.0121

62 36 38.61 -2.61 6.8121

63 33 38.61 -5.61 31.4721

64 51 38.61 12.39 153.5121

65 54 38.61 15.39 236.8521

66 59 38.61 20.39 415.7521

67 39 38.61 0.39 0.1521

68 55 38.61 16.39 268.6321

69 44 38.61 5.39 29.0521

70 30 38.61 -8.61 74.1321

71 50 38.61 11.39 129.7321

72 38 38.61 -0.61 0.3721

73 42 38.61 3.39 11.4921

74 48 38.61 9.39 88.1721

75 28 38.61 -10.61 112.5721

76 26 38.61 -12.61 159.0121

77 40 38.61 1.39 1.9321

78 60 38.61 21.39 457.5321

79 39 38.61 0.39 0.1521

80 53 38.61 14.39 207.0721

81 47 38.61 8.39 70.3921

82 24 38.61 -14.61 213.4521

83 46 38.61 7.39 54.6121

84 18 38.61 -20.61 424.7721

85 36 38.61 -2.61 6.8121

86 53 38.61 14.39 207.0721

87 26 38.61 -12.61 159.0121

88 26 38.61 -12.61 159.0121

89 27 38.61 -11.61 134.7921

90 18 38.61 -20.61 424.7721

91 54 38.61 15.39 236.8521

92 60 38.61 21.39 457.5321

93 46 38.61 7.39 54.6121

94 33 38.61 -5.61 31.4721

95 22 38.61 -16.61 275.8921

96 36 38.61 -2.61 6.8121

97 29 38.61 -9.61 92.3521

98 46 38.61 7.39 54.6121

99 24 38.61 -14.61 213.4521

100 28 38.61 -10.61 112.5721

101 20 38.61 -18.61 346.3321

102 37 38.61 -1.61 2.5921

103 40 38.61 1.39 1.9321

104 18 38.61 -20.61 424.7721

105 32 38.61 -6.61 43.6921

106 49 38.61 10.39 107.9521

107 40 38.61 1.39 1.9321

108 44 38.61 5.39 29.0521

109 18 38.61 -20.61 424.7721

110 21 38.61 -17.61 310.1121

111 18 38.61 -20.61 424.7721

112 30 38.61 -8.61 74.1321

113 23 38.61 -15.61 243.6721

114 47 38.61 8.39 70.3921

115 38 38.61 -0.61 0.3721

116 56 38.61 17.39 302.4121

117 30 38.61 -8.61 74.1321

118 54 38.61 15.39 236.8521

119 27 38.61 -11.61 134.7921

120 28 38.61 -10.61 112.5721

121 39 38.61 0.39 0.1521

122 47 38.61 8.39 70.3921

123 25 38.61 -13.61 185.2321

124 36 38.61 -2.61 6.8121

125 36 38.61 -2.61 6.8121

126 24 38.61 -14.61 213.4521

127 18 38.61 -20.61 424.7721

128 41 38.61 2.39 5.7121

129 19 38.61 -19.61 384.5521

130 38 38.61 -0.61 0.3721

131 38 38.61 -0.61 0.3721

132 60 38.61 21.39 457.5321

133 54 38.61 15.39 236.8521

134 30 38.61 -8.61 74.1321

135 22 38.61 -16.61 275.8921

136 25 38.61 -13.61 185.2321

137 30 38.61 -8.61 74.1321

138 28 38.61 -10.61 112.5721

139 46 38.61 7.39 54.6121

140 52 38.61 13.39 179.2921

141 36 38.61 -2.61 6.8121

142 22 38.61 -16.61 275.8921

143 36 38.61 -2.61 6.8121

144 40 38.61 1.39 1.9321

145 39 38.61 0.39 0.1521

146 31 38.61 -7.61 57.9121

147 48 38.61 9.39 88.1721

148 39 38.61 0.39 0.1521

149 39 38.61 0.39 0.1521

150 36 38.61 -2.61 6.8121

151 30 38.61 -8.61 74.1321

152 30 38.61 -8.61 74.1321

153 46 38.61 7.39 54.6121

154 46 38.61 7.39 54.6121

155 43 38.61 4.39 19.2721

156 20 38.61 -18.61 346.3321

157 56 38.61 17.39 302.4121

158 23 38.61 -15.61 243.6721

159 21 38.61 -17.61 310.1121

160 56 38.61 17.39 302.4121

161 55 38.61 16.39 268.6321

162 54 38.61 15.39 236.8521

163 58 38.61 19.39 375.9721

164 36 38.61 -2.61 6.8121

165 52 38.61 13.39 179.2921

166 23 38.61 -15.61 243.6721

167 54 38.61 15.39 236.8521

168 37 38.61 -1.61 2.5921

169 57 38.61 18.39 338.1921

170 41 38.61 2.39 5.7121

171 60 38.61 21.39 457.5321

172 41 38.61 2.39 5.7121

173 39 38.61 0.39 0.1521

174 58 38.61 19.39 375.9721

175 27 38.61 -11.61 134.7921

176 55 38.61 16.39 268.6321

177 40 38.61 1.39 1.9321

178 28 38.61 -10.61 112.5721

179 49 38.61 10.39 107.9521

180 18 38.61 -20.61 424.7721

181 60 38.61 21.39 457.5321

182 41 38.61 2.39 5.7121

183 41 38.61 2.39 5.7121

184 25 38.61 -13.61 185.2321

185 25 38.61 -13.61 185.2321

186 33 38.61 -5.61 31.4721

187 20 38.61 -18.61 346.3321

188 37 38.61 -1.61 2.5921

189 26 38.61 -12.61 159.0121

190 45 38.61 6.39 40.8321

191 24 38.61 -14.61 213.4521

192 48 38.61 9.39 88.1721

193 48 38.61 9.39 88.1721

194 35 38.61 -3.61 13.0321

195 45 38.61 6.39 40.8321

196 60 38.61 21.39 457.5321

197 46 38.61 7.39 54.6121

198 51 38.61 12.39 153.5121

199 60 38.61 21.39 457.5321

200 32 38.61 -6.61 43.6921

Calculando la suma y determinando varianza

[1] 31201.58

[1] 156.7919

Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.

Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.

[1] 156.7919

[1] 26.85324

[1] 12.52166

[1] 5.182011

4.3.3 Coeficiente de variación El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.

Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.

Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.

CV=σx¯

[1] 0.3243112

[1] 0.1750384

5 Interpretación ¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?

Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.

Con respecto a edades1 existe un 15.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.

En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.

¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?

Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 38.61, la desviación es de: 12.5216556.

Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.605, la desviación es de: 5.1820113.

¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?

El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3243112y el CV de edades2 es de: 0.1750384

Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.

Bibliografía Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.

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summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

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