5em
1. Testes de Kolmogorov para normalidade
Gere 1000 (mil) amostras de tamanho 15 de uma variável normalmente distribuída com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\).
A média \(\mu\) deverá ser gerada aleatoriamente no intervalo entre 100 e 200
Para o cálculo do desvio padrão considere um CV igual a 10%.
Para cada amostra, obtenha a Estatística de Teste, tipo Kolmogorov (considere teste bicaudal)
CASO 1: considere que a Função de distribuição Normal está totalmente especificada, ou seja, utilize os valores da média e desvio padrão considerados para a geração das amostras
CASO 2: considere que a Função de distribuição Normal não foi especificada, e você deverá estimar a média e o desvio padrão a partir dos dados amostrais.
Você terá dois conjuntos de 1000 estimativas da estatística de teste, tipo Kolmogorov
Para cada conjunto de estimativas da estatística de teste, faça uma análise descritiva (apresente gráficos), obtenha os quantis 80%, 85%, 90%, 95%, 97,5%, 99%, e compare com os quantis tabelados (Tabelas do Conover) segundo cada caso. Comente os resultados.
CASO 1
Proporção dentre as 1000 amostras do CASO 1 cuja estatística de teste é maior ou igual ao valor tabelado
| 80% | 85% | 90% | 95% | 97,5% | 99% | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Proporção | 0.634 | 0.357 | 0.357 | 0.197 | 0.197 | 0.063 |
Observamos que o valor encontrados na estatística de teste de cada amostra, repetido o teste para 1000 amostras geradas com os mesmos parâmetros, são bem conservadores no teste de Kolmogorov. Aqui neste caso, o primeiro grupo de 1000 amostras foi gerado conforme o parâmetro sugerido, enquanto o segundo grupo de 1000 amostras, gerado para comparar com o primeiro grupo uma a uma, foi gerado utilizando a média e desvio padrão dos valores sorteados na amostra 1 equivalente. Portanto, esperar-se-ia que um teste comparando essas amostras uma a uma, apresentaria uma aderência bem alta, quase absoluta, que não foi o resultado que este experimento observou.
Histograma
Boxplot
CASO 2
Proporção dentre as 1000 amostras do CASO 2 cuja estatística de teste é maior ou igual ao valor tabelado
| 80% | 85% | 90% | 95% | 97,5% | 99% | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Proporção | 0.529 | 0.216 | 0.216 | 0.074 | 0.074 | 0.021 |
Observamos que o valor encontrados na estatística de teste de cada amostra, repetido o teste para 1000 amostras geradas com os mesmos parâmetros, são bem conservadores no teste de Kolmogorov. Aqui neste caso, o primeiro grupo de 1000 amostras foi gerado conforme o parâmetro sugerido, enquanto o segundo grupo de 1000 amostras, gerado para comparar com o primeiro grupo uma a uma, foi gerado da mesma forma que o primeiro, com os parâmetros aleatorizados dentro do intervalo sugerido pelo enunciado. Portanto, esperar-se-ia que um teste comparando essas amostras uma a uma, apresentaria uma aderência alta, possívelmente inferior ao que se esperaria observar no experimento do caso 1, mas ainda assim alta, que não foi o resultado que este experimento observou, apesar de fato observar uma aderência ligeiramente inferior se comparado ao caso 1.
Histograma
Boxplot
2. Testes para normalidade: Shapiro-Wilk e Anderson-Darling
Escolha 5 amostras geradas anteriormente, e teste normalidade utilizando Shapiro-Wilk e Anderson-Darling.
Compare com os resultados anteriores e comente os resultados
1em
Como nessa questão o número de testes é significativamente inferior, acredito ser apropriado apresentar os resultados um a um
1em
Testes Shapiro-Wilk
O primeiro teste Shapiro-Wilk observou estatística de teste W=0.9265408, com p-valor=0.2421097
O segundo teste Shapiro-Wilk observou estatística de teste W=0.9678226, com p-valor=0.824602
O terceiro teste Shapiro-Wilk observou estatística de teste W=0.9406037, com p-valor=0.3900216
O quarto teste Shapiro-Wilk observou estatística de teste W=0.9315922, com p-valor=0.2882066
O quinto teste Shapiro-Wilk observou estatística de teste W=0.9583499, com p-valor=0.663745
1em
É bem direto inferir que, baseado nos valores W e p-valor encontrados, o teste de Shapiro-Wilk demonstra uma alta aderência entre a distribuição dos valores observados nas amostras sorteadas, com os valores esperados de uma distribuição normal.
3em
Testes Anderson-Darling
O primeiro teste Anderson-Darling observou estatística de teste A=0.501817, com p-valor=0.1739694
O segundo teste Anderson-Darling observou estatística de teste A=0.1899323, com p-valor=0.8813322
O terceiro teste Anderson-Darling observou estatística de teste A=0.3759062, com p-valor=0.3655265
O quarto teste Anderson-Darling observou estatística de teste A=0.3871297, com p-valor=0.342802
O quinto teste Anderson-Darling observou estatística de teste A=0.2351962, com p-valor=0.746915
1em
É bem direto inferir que, baseado nos valores A e p-valor encontrados, o teste de Anderson-Darling demonstra ser mais conservador no sentido de confirmar uma aderência à distribuição normal nas distribuições observadas nas amostras sorteadas se comparado ao teste Shapiro-Wilk, mas ainda assim nos testes realizados, os resultados demonstram uma boa aderência à normalidade.
2em
Se compararmos os resultados de aderência da questão 1 com a questão 2, observamos que no caso da segunda, as aderências observadas foram muito mais altas, principalmente se considerar o teste Shapiro-Wilk, que é muito apropriado para essas amostras de tamanho n=15 que trabalhamos no decorrer dessa atividade.
Portanto, tanto os testes de Kolmogorov quanto os de Anderson-Darling demonstram talvez não serem os testes mais apropriados para se trabalhar com amostras de tamanho tão pequeno, apesar de serem muito úteis em amostras com tamanho maior.