5em
LISTA DE EXERCÍCIOS N. 4 1em COMPARANDO POPULAÇÕES – VARIÁVEIS QUANTITATIVAS3em
| Condutor | Antes | Depois |
|---|---|---|
| 1 | 0.68 | 0.73 |
| 2 | 0.64 | 0.62 |
| 3 | 0.68 | 0.66 |
| 4 | 0.82 | 0.92 |
| 5 | 0.58 | 0.68 |
| 6 | 0.80 | 0.87 |
| 7 | 0.72 | 0.77 |
| 8 | 0.65 | 0.70 |
| 9 | 0.84 | 0.88 |
| 10 | 0.73 | 0.79 |
| 11 | 0.65 | 0.72 |
| 12 | 0.59 | 0.60 |
| 13 | 0.78 | 0.78 |
| 14 | 0.67 | 0.66 |
| 15 | 0.65 | 0.68 |
| 16 | 0.76 | 0.77 |
| 17 | 0.61 | 0.72 |
| 18 | 0.86 | 0.86 |
| 19 | 0.74 | 0.72 |
| 20 | 0.88 | 0.97 |
Você diria que o álcool afeta o tempo de reação? Apresente três tipos de testes e comente os resultados.
\(h_0)\sigma_A^2=\sigma_B^2\)
\(h_1)\sigma_A^2<\sigma_B^2\)
\(s_A^2 = 0,0412\)
\(s_B^2 = 0,1734\)
População com variância desconhecida
\[W = \frac{S_A^2}{S_A^2} \sim F(n-1,m-1)\]
\(Fixar \hspace{1 mm} \alpha = 0,05\)
n = 21 m = 17
Resultados:
\[\frac{1}{D} \approx 0,46\] F = 2,28 (5%)
\[W = \frac{S_A^2}{S_B^2} = \frac{0,0412}{0,1734} \approx 0,23 \in região \hspace{1 mm} crítica\]
Logo, rejeitamos a hipótese nula. Ou seja, existe diferença na qualidade das fábricas, sendo a fábrica A “melhor”.
\[I.C.: \hspace{5 mm} f_1 \frac{S_B^2}{S_A^2} < \frac{\sigma_B^2}{\sigma_A^2} < f_2 \frac{S_B^2}{S_A^2}\] \[\frac{S_B^2}{S_A^2} \Rightarrow \begin{cases} Se = 1 ; \hspace{5 mm} S_A^2 &= S_B^2 \\ Se < 1 ; \hspace{5 mm} S_A^2 &< S_B^2 \\ Se > 1 ; \hspace{5 mm} S_A^2 &> S_B^2 \end{cases}\]
I.C. 95% = \[\begin{cases} L_{inf}(2,5\%) \approx 0,39 \Rightarrow (0,39 \cdot 0,23) \approx 0,0897 \\ L_{sup}(2,5\%) \approx 2,68 \Rightarrow (2,68 \cdot 0,23) \approx 0,6164 \end{cases}\]
Ou seja, a variância de A é no máximo 61,64% da variância de B, e no mínimo 8,97%.
| Liberais | 6.6 | 10.3 | 10.8 | 12.9 | 9.2 | 12.3 | 7.0 | |
| Administradores | 8.1 | 9.8 | 8.7 | 10.0 | 10.2 | 8.2 | 8.7 | 10.1 |
Tomando A = Liberais e B = Administradores
\(h_0)\mu_A=\mu_B\)
\(h_1)\mu_A\neq\mu_B\)
\(\overline{X}_A = 9,871\)
\(\overline{X}_B = 9,238\)
\(S_A^2=5,919\)
\(S_B^2=0,814\)
Estatística de teste: Variância populacional desconhecida; testar se \(\sigma_A^2=\sigma_B^2\) à partir de \(S_A^2\) e \(S_B^2\).
Teste de igualdade das variâncias: \(h_0)\sigma_A^2=\sigma_B^2\)
\(h_1)\sigma_A^2\neq\sigma_B^2\)
Estatística de teste: \(W = \frac{S_A^2}{S_B^2} = \frac{5,919}{0,814} = 7,271\sim F(n-1,m-1)g.l. = F(6,7);\hspace{1 mm} à \hspace{1 mm}\alpha=0,95 \Rightarrow 3,866\)
Conclusão: As variâncias são diferentes. Logo, escolhemos um teste em que considere este fato.
Voltando a primeira hipótese;
\(h_0)\mu_A=\mu_B\)
\(h_1)\mu_A\neq\mu_B\)
\[T_{(v)} = \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\left(\frac{S_1^2}{n_1}\right)+\left(\frac{S_2^2}{n_2}\right)}}=\frac{0,634}{0,97331...}\approx0,6513\]
2em
\[V=\frac{\left(\frac{S_A^2}{n_1}+\frac{S_B^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{S_A^2}{n1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{{\left(\frac{S_B^2}{n2}\right)^2}}{n_2-1}}\approx7,44\approx8 \hspace{1 mm} g.l.\] \(\begin{cases}L_{inf}(2,5\%)\approx-2,31\\L_{sup}(2,5\%)\approx2,31\\\\T=0,6513\end{cases}\)
Portanto, aceitamos \(H_0\) (a média é igual)
| Liberais | Administradores | Reunida e classificada | Posto |
|---|---|---|---|
| 6.6 | 8.1 | 6,6(L) | 1.0 |
| 7.0 | 8.2 | 7(L) | 2.0 |
| 9.2 | 8.7 | 8,1(A) | 3.0 |
| 10.3 | 8.7 | 8,2(A) | 4.0 |
| 10.8 | 9.8 | 8,7(A) | 5.5 |
| 12.3 | 10.0 | 8,7(A) | 5.5 |
| 12.9 | 10.1 | 9,2(L) | 7.0 |
| 10.2 | 9,8(A) | 8.0 | |
| 10(A) | 9.0 | ||
| 10,1(A) | 10.0 | ||
| 10,2(A) | 11.0 | ||
| 10,3(L) | 12.0 | ||
| 10,8(L) | 13.0 | ||
| 12,3(L) | 14.0 | ||
| 12,9(L) | 15.0 |
R(L) = 1,2,7,12,13,14,15 R(A) = 3,4,5.5,5.5,8,9,10,11
\(\sum R(L)=64\)
\(\sum R(A)=56\)
Olhando a tabela, com \((n=7,m=8) \Rightarrow à \hspace{1mm}\alpha=0,01\Rightarrow36\). Se \(\sum<\) que o valor tabelado, rejeitamos a hipótese \(H_1)\) e aceitamos \(H_0)\). 1em Logo, não há concentração de valores de alguma variável nos valores menores ou maiores. Portanto, aceitamos \(H_0)\).
\[\begin{aligned}U_s = W_s - \frac{1}{2}m(m+1)&=\\ 56-\frac{1}{2}\cdot8(8+1)&=\\ 56-4(9)&=20 \end{aligned}\]
conferindo a tabela U c/ \(n=7\) e \(m=8\)
\(P[U_s<W]\approx0,1984=\) p-valor \(\Rightarrow\) aceita-se \(H_0\)
##
## Exact two-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: liberais and administradores
## D = 0.57143, p-value = 0.134
## alternative hypothesis: two-sided## Test Stat P-Value
## 1.179528 0.159500\(H_0\): Não há evidências de que o novo fertilizante aumente a produção.
\(h_1\): Há evidências de que o novo fertilizante aumente a produção.
##
## Welch Two Sample t-test
##
## data: tratamento and controle
## t = -0.6685, df = 12.786, p-value = 0.7421
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.4383005 Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 6.86 6.98##
## Wilcoxon rank sum test with continuity correction
##
## data: controle and tratamento
## W = 68, p-value = 0.08926
## alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.09997704 Inf
## sample estimates:
## difference in location
## 0.1999578##
## Exact two-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: controle and tratamento
## D^+ = 0.1, p-value = 0.8757
## alternative hypothesis: the CDF of x lies above that of y## Test Stat P-Value
## 1.8800 0.0685Conclusão: Aceita-se \(H_0\). Não há evidências de que o novo fertilizante aumente a produção.
\(h_0\): O cartaz não produz um aumento na médias das vendas
\(h_1\): O cartaz produz um aumento na médias das vendas
##
## Paired t-test
##
## data: ccartaz and scartaz
## t = 3.6029, df = 6, p-value = 0.005664
## alternative hypothesis: true mean difference is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
## 1.974256 Inf
## sample estimates:
## mean difference
## 4.285714##
## Dependent-samples Sign-Test
##
## data: ccartaz and scartaz
## S = 6, p-value = 0.0625
## alternative hypothesis: true median difference is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
## 1.857143 Inf
## sample estimates:
## median of x-y
## 5
##
## Achieved and Interpolated Confidence Intervals:
##
## Conf.Level L.E.pt U.E.pt
## Lower Achieved CI 0.9375 3.0000 Inf
## Interpolated CI 0.9500 1.8571 Inf
## Upper Achieved CI 0.9922 -2.0000 InfComo t e s pertencem à região crítica, rejeitamos \(H_0\). Ou seja, há evidências de que o cartaz produz um efeito positivo nas vendas médias.
##
## Wilcoxon signed rank test with continuity correction
##
## data: ccartaz and scartaz
## V = 27, p-value = 0.03429
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Como p-valor < 0.05 e V > 13, rejeitamos \(H_0\). Ou seja, há evidências de que o cartaz produz um efeito positivo nas vendas médias.
\(h_0\): Álcool não aumenta o tempo de reação
\(h_1\): Álcool aumenta o tempo de reação
##
## Wilcoxon signed rank test with continuity correction
##
## data: Antes and Depois
## V = 17, p-value = 0.003024
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0##
## Paired t-test
##
## data: Antes and Depois
## t = -3.9858, df = 19, p-value = 0.9996
## alternative hypothesis: true mean difference is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.05520226 Inf
## sample estimates:
## mean difference
## -0.0385##
## Exact two-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: Antes and Depois
## D^+ = 0.25, p-value = 0.2693
## alternative hypothesis: the CDF of x lies above that of y## Test Stat P-Value
## 0.6625 0.3610Baseado no resultado dos testes, a hipótese nula é aceita. Portanto, para esse conjunto de dados, o álcool não aumentou o tempo de reação dos condutores.