El problema de dimensionamiento de lotes, determina cuantas unidades producir de un producto \(p\), en cada uno de los periodos \(t\) del horizonte de planeación. El objetivo es encontrar un plan de producción que satisfaga las demandas, respete las capacidades de los recursos de producción y minimize los costos totales los costos totales de producción, comunmente es la suma de los costos de preparación de maquinas y costos de almacenamiento). Por otro lado el problema de secuenciamiento de la producción, permite establecer en que orden serán producidos los diferentes productos \(p\). Generalmente los modelos empleados se suelen trabajar de forma integrada.
2.1. Conjuntos.
\(T:\) Conjunto de periodos del horizonte de planeación, \(\: t \in \{1, 2, ... ,n\}\)
\(P:\) Conjunto de tipos de productos, \(\: p \in \{1, 2, ... ,m\}\)
2.2. Parámetros.
\(h_{pt}:\) Costo unitario de almacenamiento del tipo de producto \(p\) en el periodo \(t\), \(p \in P, t \in T\).
\(s_{p}:\) Costo de preparación de la maquina para producir el tipo de producto \(p\), \(p \in P\).
\(b_{p}:\) Tiempo unitario de producción de el tipo de producto \(p\), \(p \in P\).
\(st_{p}:\) Tiempo de preparación de la maquina para producir el tipo de producto \(p\), \(p \in P\).
\(Dem_{pt}:\) Demanda del tipo de producto \(p\) en el periodo \(t\), \(p \in P, t \in T\).
\(Cap_{t}:\) Capacidad de producción en el periodo t, \(t \in T\)
\(I0_{i}:\) Inventario inicial del tipo de producto \(p\), \(p \in P\)
\(M:\) Valor muy grande
2.3. Variables de decisión.
\(x_{pt}:\) Cantidad de unidades del tipo de producto \(p\) a producir en el periodo \(t\), \(p \in P, t \in T\).
\(I_{pt}:\) Cantidad de unidades del tipo de producto \(p\) a inventariar en el periodo \(t\), \(p \in P, t \in T\).
\[y_{pt}:= \left\{\begin{matrix} \textrm{1, si la maquina es preparada para producir el tipo de producto $p$ en el periodo $t$} \ p \in P, t \in T \\ \textrm{0, en caso contrario} \end{matrix}\right.\]
2.4. Función objetivo.
La función objetivo minimiza la suma de los costos de inventario y preparación de la maquina.
\[ Min \: Costo_{Total}= \sum_{p \in P}\sum_{t \in T} (h_{pt} \times I_{pt}) + \sum_{p \in P}\sum_{t \in T} (s_{p} \times Y_{pt})\]
1.5. Restricciones.
1.5.1. Balance de productos: El inventario del tipo de producto \(p\) al final del periodo anterior \((t-1)\), mas lo que fue producido en el periodo \(t\) es igual a la demanda en el periodo \(t\) mas el inventario que se guardará al final del periodo \(t\).
\[I_{p(t-1)} + x_{pt} = Dem_{pt} + I_{pt} \: \: \: \: \: \: \forall \: p \in T, t \in T\] 1.5.2. Capacidad: La suma de los tiempos de producción y preparación de la maquina no puede superar la capacidad de producción disponible para el periodo \(t\).
\[\sum_{p \in P} (b_{p} \times x_{pt}) + \sum_{p \in P} (st_{p} \times y_{pt}) \leq Cap_{t} \: \:\: \: \: \forall \: t \in T\]
1.5.3. Setup de producción: Se podrá fabricar un tipo de producto \(p\) si y solo si, la maquina anteriormente ha sido preparada para fabricar dicho producto.
\[x_{pt} \leq (M \times y_{pt}) : \: \: \: \: \: \forall \: p \in T, t \in T\]
1.5.4. Dominio de variables:
\[ x_{pt} \in {\mathbb R}^{+} \: \: \forall \: p \in P, t \in T\]
\[ I_{pt} \in {\mathbb R}^{+} \: \: \forall \: p \in P, t \in T\]
\[ y_{pt} \in \{0,1\} \: \: \forall \: p \in P, t \in T\]