Penanganan Autokorelasi Data IPM Gorontalo Periode Tahun 2010-2021

Pendahuluan

IPM (Indeks Pembangunan Manusia) merupakan pengukuran perbandingan dari harapan hidup, melek huruf, pendidikan dan standar hidup. IPM menjelaskan bagaimana penduduk dapat mengakses hasil pembangunan dalam memperoleh pendapatan, kesehatan, pendidikan, dan sebagainya. Nilai IPM berkisar antara 0 sampai 100. Semakin tinggi nilai IPM suatu daerah, menunjukkan pencapaian pembangunan manusia di kawasan tersebut semakin baik. Capaian IPM dapat dikelompokkan menjadi empat kategori yaitu rendah (IPM < 60), sedang (60 <= IPM < 70), tinggi (70 <= IPM < 80), dan sangat tinggi (IPM >= 80). (source: www.bps.go.id)

Set beberapa library seperti di bawah ini

library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(readxl)

## Warning: package 'readxl' was built under R version 4.1.3

library(forecast)

## Warning: package 'forecast' was built under R version 4.1.3

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

library(TTR)

## Warning: package 'TTR' was built under R version 4.1.3

library(tseries)

## Warning: package 'tseries' was built under R version 4.1.3

library(lmtest) #uji-Durbin Watson

## Warning: package 'lmtest' was built under R version 4.1.3

## Loading required package: zoo

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

library(orcutt) #Cochrane-Orcutt

## Warning: package 'orcutt' was built under R version 4.1.3

library(HoRM)#Hildreth Lu

## Warning: package 'HoRM' was built under R version 4.1.3

Data

Data yang digunakan merupakan data IPM Provinsi Gorontalo pada periode tahun 2010 sampai 2021. Data tersebut terdiri dari 12 observasi dan 2 peubah, yaitu Tahun sebagai peubah x dan IPM sebagai peubah y. Data IPM Provinsi Gorontalo dapat dilihat sebagai berikut

IPM_GTO<-read_xlsx("D:/semester 5/IPM GTO.xlsx")
IPM_GTO

## # A tibble: 12 x 2
##    Tahun   IPM
##    <dbl> <dbl>
##  1  2010  62.6
##  2  2011  63.5
##  3  2012  64.2
##  4  2013  64.7
##  5  2014  65.2
##  6  2015  65.9
##  7  2016  66.3
##  8  2017  67.0
##  9  2018  67.7
## 10  2019  68.5
## 11  2020  68.7
## 12  2021  69

x <- IPM_GTO$Tahun
y <- IPM_GTO$IPM

Eksplorasi Data

Untuk mengidentifikasi sebaran data, dibuat diagram pencar dan korelasi sebagai berikut:

plot(y ~ x, main = "Scatter Plot IPM Gorontalo Vs Tahun", xlab="Tahun",ylab="IPM", pch = 16, col=" skyblue")

cor(x, y)

## [1] 0.9966848

Berdasarkan diagram pencar dan nilai korelasi di atas, terlihat bahwa terdapat hubungan positif yang kuat antara nilai IPM dengan tahun yaitu sebesar 0.9966848, sehingga dapat diketahui bahwa nilai IPM cenderung meningkat setiap tahunnya.

Model Regresi

Apabila data IPM Gorontalo diregresikan, maka model regresi sederhana diperoleh sebagai berikut.

model <- lm(IPM ~ Tahun, data=IPM_GTO)
summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = IPM ~ Tahun, data = IPM_GTO)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.33000 -0.07295  0.02591  0.08000  0.33455 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.118e+03  3.055e+01  -36.58 5.55e-12 ***
## Tahun        5.873e-01  1.516e-02   38.74 3.14e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1813 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9934, Adjusted R-squared:  0.9927 
## F-statistic:  1501 on 1 and 10 DF,  p-value: 3.136e-12

Berdasarkan hasil regresi di atas, model regresi yang terbentuk adalah y = -1.118e+03 + 5.873e-01x. Hasil uji F dengan p-value sebesar 3.136e-12 < 0.05 artinya terdapat minimal satu variabel yang berpengaruh nyata pada model pada taraf nyata 5%. Hasil uji parsial juga menunjukkan bahwa baik intersep maupun peubah tahun signifikan pada taraf nyata 5%. Nilai R-squared = 0.9934 menunjukkan bahwa sebesar 99.34% keragaman IPM Daerah Istimewa Yogyakarta dapat dijelaskan oleh peubah tahun.

cat("IPM=", coef(model)[1], " + ", coef(model)[2], "(Tahun)", sep = "")

## IPM=-1117.548 + 0.5872727(Tahun)

Mendeteksi Autokorelasi

Diagnostik dengan eksploratif

Sisaan model kemudian diplotkan untuk mengidentifikasi autokorelasi secara eksploratif

residu <- residuals(model)
fit <- predict(model)

par(mfrow = c(2,2))

qqnorm(residu)
qqline(residu, col = "skyblue", lwd = 2)

plot(fit, residu, col = "skyblue", pch = 20, xlab = "Sisaan", 
     ylab = "Fitted Values", main = "Sisaan vs Fitted Values")
abline(a = 0, b = 0, lwd = 2)

hist(residu, col = "skyblue")

plot(seq(1,12,1), residu, col = "skyblue", pch = 20, 
     xlab = "Sisaan", ylab = "Order", main = "Sisaan vs Order")
lines(seq(1,12,1), residu, col = "red")
abline(a = 0, b = 0, lwd = 2)

Berdasarkan grafik di atas, Normal Q-Q plot menunjukkan sisaan dari model regresi cenderung menyebar normal . Plot Sisaan vs Fitted Value menunjukkan bahwa ragam sisaan homogen karena tidak menunjukkan adanya pola. Terdapat autokorelasi yang ditunjukkan dari grafik sisaan vs order yang memiliki pola.

par(mfrow = c(1,2))
acf(residu)
pacf(residu)

Selain eksplorasi menggunakan plot sisaan vs order, autokorelasi juga dapat dilihat dengan eksplorasi menggunakan Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Berdasarkan plot ACF dan PACF, selain log 0, tidak ditemukan garis hitam yang melewati garis biru atau dengan kata lain data tidak terdapat autokorelasi.

Uji Formal Autokrelasi

Uji Durbin Watson

Hipotesis:

H0: Tidak terdapat autokorelasi

H1: Terdapat autokorelasi

lmtest::dwtest(model)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 1.2644, p-value = 0.03741
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Berdasarkan uji Durbin-Watson, diperoleh p-value = 0.03741 < alpha = 0.05 sehingga tolak H0. Artinya, cukup bukti untuk menyatakan bahwa terdapat autokorelasi pada taraf nyata 5%.

Uji Breusch-Godfrey

Hipotesis:

H0: Tidak terdapat autokorelasi

H1: Terdapat autokorelasi

lmtest::bgtest(IPM ~ Tahun, data=IPM_GTO, order=1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  IPM ~ Tahun
## LM test = 0.36479, df = 1, p-value = 0.5459

Berdasarkan uji Breusch-Godfrey, diperoleh p-value = 0.5459 > alpha = 0.05 sehingga tak tolak H0. Artinya, tidak terdapat autokorelasi pada galat menurut Breusch-Godfrey test.

Penanganan Autokorelasi Menggunakan Metode Cochrane-Orcutt

Metode Cochrane-Orcutt menggunakan pendekatan secara iteratif untuk mendapatkan penduga rho yang terbaik.

modelco <- orcutt::cochrane.orcutt(model)
modelco 

## Cochrane-orcutt estimation for first order autocorrelation 
##  
## Call:
## lm(formula = IPM ~ Tahun, data = IPM_GTO)
## 
##  number of interaction: 30
##  rho 0.340921
## 
## Durbin-Watson statistic 
## (original):    1.26437 , p-value: 3.741e-02
## (transformed): 1.49014 , p-value: 9.403e-02
##  
##  coefficients: 
##  (Intercept)        Tahun 
## -1062.042646     0.559755

summary(modelco)

## Call:
## lm(formula = IPM ~ Tahun, data = IPM_GTO)
## 
##                Estimate  Std. Error t value  Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.0620e+03  4.7613e+01 -22.306 3.462e-09 ***
## Tahun        5.5976e-01  2.3612e-02  23.707 2.017e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1632 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9842 ,  Adjusted R-squared:  0.9825
## F-statistic: 562 on 1 and 9 DF,  p-value: < 2.017e-09
## 
## Durbin-Watson statistic 
## (original):    1.26437 , p-value: 3.741e-02
## (transformed): 1.49014 , p-value: 9.403e-02

Berdasarkan hasil di atas diperoleh persamaan y = -1.0620e+03 + 5.5976e-01x dengan rho sebesar 0.340921. Hasil tersebut merupakan hasil yang telah ditransformasi balik.

rho <- modelco$rho
rho

## [1] 0.3409214

y

##  [1] 62.65 63.48 64.16 64.70 65.17 65.86 66.29 67.01 67.71 68.49 68.68 69.00

y[-1]

##  [1] 63.48 64.16 64.70 65.17 65.86 66.29 67.01 67.71 68.49 68.68 69.00

y[-24]

##  [1] 62.65 63.48 64.16 64.70 65.17 65.86 66.29 67.01 67.71 68.49 68.68 69.00

#transformasi terhadap x dan y 
IPM.trans <- y[-1]-y[-12]*rho
Tahun.trans <- x[-1]-x[-12]*rho
#model baru
modelcorho <- lm (IPM.trans ~ Tahun.trans)
summary(modelcorho) 

## 
## Call:
## lm(formula = IPM.trans ~ Tahun.trans)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.22770 -0.11619 -0.00273  0.05763  0.33083 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -699.96956   31.38081  -22.31 3.46e-09 ***
## Tahun.trans    0.55975    0.02361   23.71 2.02e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1632 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9842, Adjusted R-squared:  0.9825 
## F-statistic:   562 on 1 and 9 DF,  p-value: 2.017e-09

Model regresi baru di atas menghasilkan persamaan y = -699.96956 + 0.55975x. Hasil tersebut menunjukkan hasil sebelum dilakukan transformasi balik. Jik dilakukan transformasi balik dengan fungsi di bawah, akan menghasilkan persamaan yang sama dengan cochrane-orcutt sebelumnya.

#Transformasi balik
cat("IPM = ", coef(modelcorho)[1]/(1-rho), " + ", coef(modelcorho)[2], "(Tahun)", sep ="")

## IPM = -1062.043 + 0.5597546(Tahun)

Berdasarkan hasil output di atas, dapat di lihat bahwa persamaan regresi yang terbentuk adalah

IPM = -1062.043 + 0.5597546(Tahun)

Setelah dilakukan penanganan dengan metode Cochrane-Orcutt, dilakukan uji autokorelasi dengan Durbin-Watson test.

H0: Tidak terdapat autokorelasi

H1: Terdapat autokorelasi

#Uji autokorelasi setelah dilakukan penanganan dengan metode Cochrane-Orcutt
lmtest::dwtest(modelcorho)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelcorho
## DW = 1.4901, p-value = 0.09403
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Berdasarkan hasil uji Durbin-Watson setelah ditangani dengan metode Cochrane-Orcutt , diperoleh p-value = 0.09403 > alpha = 0.05 sehingga tak tolak H0. Artinya, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa terdapat autokorelasi pada taraf nyata 5% atau dapat dikatakan tidak terdapat autokorelasi.

Penanganan Autokorelasi dengan Hildreth-Lu

Mencari nilai rho yang memiliki SSE terkecil

hildreth.lu.func<- function(r, model){
  x <- model.matrix(model)[,-1]
  y <- model.response(model.frame(model))
  n <- length(y)
  t <- 2:n
  y <- y[t]-r*y[t-1]
  x <- x[t]-r*x[t-1]
  
  return(lm(y~x))
}

#mencari rho yang meminimumkan SSE (iteratif)
r <- c(seq(0.1,0.8, by= 0.1), seq(0.9,0.99, by= 0.01))
tab <- data.frame("rho" = r, "SSE" = sapply(r, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
round(tab, 4) 

##     rho    SSE
## 1  0.10 0.2499
## 2  0.20 0.2432
## 3  0.30 0.2400
## 4  0.40 0.2404
## 5  0.50 0.2442
## 6  0.60 0.2514
## 7  0.70 0.2622
## 8  0.80 0.2765
## 9  0.90 0.2942
## 10 0.91 0.2962
## 11 0.92 0.2982
## 12 0.93 0.3002
## 13 0.94 0.3023
## 14 0.95 0.3044
## 15 0.96 0.3065
## 16 0.97 0.3087
## 17 0.98 0.3109
## 18 0.99 0.3131

Secara manual dapat ditemukan bahwa rho optimum berada pada rho 0.30 dengan SSE terkecil yaitu sebesar 0.2400

plot(tab$SSE ~ tab$rho, type="l")
abline(v = tab[tab$SSE==min(tab$SSE), "rho"], lty= 3)

Berdasarkan grafik di atas juga dapat terlihat bahwa rho optimum berada di sekitar 0.3.

Selanjutnya, akan dicari rho optimum dari 0.2 sampai 0.4 dengan selang 0.1

#rho optimal di sekitar 0.3
r <- seq(0.2, 0.4, by= 0.01)
tab <- data.frame("rho" = r, "SSE" = sapply(r, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
round(tab, 4) 

##     rho    SSE
## 1  0.20 0.2432
## 2  0.21 0.2427
## 3  0.22 0.2423
## 4  0.23 0.2419
## 5  0.24 0.2415
## 6  0.25 0.2412
## 7  0.26 0.2409
## 8  0.27 0.2406
## 9  0.28 0.2404
## 10 0.29 0.2402
## 11 0.30 0.2400
## 12 0.31 0.2399
## 13 0.32 0.2398
## 14 0.33 0.2398
## 15 0.34 0.2398
## 16 0.35 0.2398
## 17 0.36 0.2398
## 18 0.37 0.2399
## 19 0.38 0.2400
## 20 0.39 0.2402
## 21 0.40 0.2404

#grafik SSE optimum
plot(tab$SSE ~ tab$rho , type = "l")
abline(v = tab[tab$SSE==min(tab$SSE),"rho"], lty = 3)

Berdasarkan rho optimum iterasi dari 0.20 sampai 0.40, dapat ditemukan bahwa rho optimum berada di sekitar 0.31 sampai 0.36 karena memiliki SSE minimum yaitu sebesar 0.2398.

Untuk melihat nilai spesifik rho yang optimum, maka selang rho akan diperkecil.

r <- seq(0.31, 0.36, by= 0.0001)
tab <- data.frame("rho" = r, "SSE" = sapply(r, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
round(tab, 4)

##        rho    SSE
## 1   0.3100 0.2399
## 2   0.3101 0.2399
## 3   0.3102 0.2399
## 4   0.3103 0.2399
## 5   0.3104 0.2399
## 6   0.3105 0.2399
## 7   0.3106 0.2399
## 8   0.3107 0.2399
## 9   0.3108 0.2399
## 10  0.3109 0.2399
## 11  0.3110 0.2399
## 12  0.3111 0.2399
## 13  0.3112 0.2399
## 14  0.3113 0.2399
## 15  0.3114 0.2399
## 16  0.3115 0.2399
## 17  0.3116 0.2399
## 18  0.3117 0.2399
## 19  0.3118 0.2399
## 20  0.3119 0.2399
## 21  0.3120 0.2399
## 22  0.3121 0.2399
## 23  0.3122 0.2399
## 24  0.3123 0.2399
## 25  0.3124 0.2399
## 26  0.3125 0.2399
## 27  0.3126 0.2399
## 28  0.3127 0.2399
## 29  0.3128 0.2399
## 30  0.3129 0.2399
## 31  0.3130 0.2399
## 32  0.3131 0.2399
## 33  0.3132 0.2399
## 34  0.3133 0.2399
## 35  0.3134 0.2399
## 36  0.3135 0.2399
## 37  0.3136 0.2399
## 38  0.3137 0.2399
## 39  0.3138 0.2399
## 40  0.3139 0.2399
## 41  0.3140 0.2399
## 42  0.3141 0.2399
## 43  0.3142 0.2399
## 44  0.3143 0.2399
## 45  0.3144 0.2399
## 46  0.3145 0.2399
## 47  0.3146 0.2399
## 48  0.3147 0.2399
## 49  0.3148 0.2399
## 50  0.3149 0.2399
## 51  0.3150 0.2399
## 52  0.3151 0.2399
## 53  0.3152 0.2399
## 54  0.3153 0.2399
## 55  0.3154 0.2399
## 56  0.3155 0.2399
## 57  0.3156 0.2399
## 58  0.3157 0.2399
## 59  0.3158 0.2399
## 60  0.3159 0.2399
## 61  0.3160 0.2399
## 62  0.3161 0.2399
## 63  0.3162 0.2399
## 64  0.3163 0.2399
## 65  0.3164 0.2399
## 66  0.3165 0.2399
## 67  0.3166 0.2399
## 68  0.3167 0.2399
## 69  0.3168 0.2399
## 70  0.3169 0.2399
## 71  0.3170 0.2398
## 72  0.3171 0.2398
## 73  0.3172 0.2398
## 74  0.3173 0.2398
## 75  0.3174 0.2398
## 76  0.3175 0.2398
## 77  0.3176 0.2398
## 78  0.3177 0.2398
## 79  0.3178 0.2398
## 80  0.3179 0.2398
## 81  0.3180 0.2398
## 82  0.3181 0.2398
## 83  0.3182 0.2398
## 84  0.3183 0.2398
## 85  0.3184 0.2398
## 86  0.3185 0.2398
## 87  0.3186 0.2398
## 88  0.3187 0.2398
## 89  0.3188 0.2398
## 90  0.3189 0.2398
## 91  0.3190 0.2398
## 92  0.3191 0.2398
## 93  0.3192 0.2398
## 94  0.3193 0.2398
## 95  0.3194 0.2398
## 96  0.3195 0.2398
## 97  0.3196 0.2398
## 98  0.3197 0.2398
## 99  0.3198 0.2398
## 100 0.3199 0.2398
## 101 0.3200 0.2398
## 102 0.3201 0.2398
## 103 0.3202 0.2398
## 104 0.3203 0.2398
## 105 0.3204 0.2398
## 106 0.3205 0.2398
## 107 0.3206 0.2398
## 108 0.3207 0.2398
## 109 0.3208 0.2398
## 110 0.3209 0.2398
## 111 0.3210 0.2398
## 112 0.3211 0.2398
## 113 0.3212 0.2398
## 114 0.3213 0.2398
## 115 0.3214 0.2398
## 116 0.3215 0.2398
## 117 0.3216 0.2398
## 118 0.3217 0.2398
## 119 0.3218 0.2398
## 120 0.3219 0.2398
## 121 0.3220 0.2398
## 122 0.3221 0.2398
## 123 0.3222 0.2398
## 124 0.3223 0.2398
## 125 0.3224 0.2398
## 126 0.3225 0.2398
## 127 0.3226 0.2398
## 128 0.3227 0.2398
## 129 0.3228 0.2398
## 130 0.3229 0.2398
## 131 0.3230 0.2398
## 132 0.3231 0.2398
## 133 0.3232 0.2398
## 134 0.3233 0.2398
## 135 0.3234 0.2398
## 136 0.3235 0.2398
## 137 0.3236 0.2398
## 138 0.3237 0.2398
## 139 0.3238 0.2398
## 140 0.3239 0.2398
## 141 0.3240 0.2398
## 142 0.3241 0.2398
## 143 0.3242 0.2398
## 144 0.3243 0.2398
## 145 0.3244 0.2398
## 146 0.3245 0.2398
## 147 0.3246 0.2398
## 148 0.3247 0.2398
## 149 0.3248 0.2398
## 150 0.3249 0.2398
## 151 0.3250 0.2398
## 152 0.3251 0.2398
## 153 0.3252 0.2398
## 154 0.3253 0.2398
## 155 0.3254 0.2398
## 156 0.3255 0.2398
## 157 0.3256 0.2398
## 158 0.3257 0.2398
## 159 0.3258 0.2398
## 160 0.3259 0.2398
## 161 0.3260 0.2398
## 162 0.3261 0.2398
## 163 0.3262 0.2398
## 164 0.3263 0.2398
## 165 0.3264 0.2398
## 166 0.3265 0.2398
## 167 0.3266 0.2398
## 168 0.3267 0.2398
## 169 0.3268 0.2398
## 170 0.3269 0.2398
## 171 0.3270 0.2398
## 172 0.3271 0.2398
## 173 0.3272 0.2398
## 174 0.3273 0.2398
## 175 0.3274 0.2398
## 176 0.3275 0.2398
## 177 0.3276 0.2398
## 178 0.3277 0.2398
## 179 0.3278 0.2398
## 180 0.3279 0.2398
## 181 0.3280 0.2398
## 182 0.3281 0.2398
## 183 0.3282 0.2398
## 184 0.3283 0.2398
## 185 0.3284 0.2398
## 186 0.3285 0.2398
## 187 0.3286 0.2398
## 188 0.3287 0.2398
## 189 0.3288 0.2398
## 190 0.3289 0.2398
## 191 0.3290 0.2398
## 192 0.3291 0.2398
## 193 0.3292 0.2398
## 194 0.3293 0.2398
## 195 0.3294 0.2398
## 196 0.3295 0.2398
## 197 0.3296 0.2398
## 198 0.3297 0.2398
## 199 0.3298 0.2398
## 200 0.3299 0.2398
## 201 0.3300 0.2398
## 202 0.3301 0.2398
## 203 0.3302 0.2398
## 204 0.3303 0.2398
## 205 0.3304 0.2398
## 206 0.3305 0.2398
## 207 0.3306 0.2398
## 208 0.3307 0.2398
## 209 0.3308 0.2398
## 210 0.3309 0.2398
## 211 0.3310 0.2398
## 212 0.3311 0.2398
## 213 0.3312 0.2398
## 214 0.3313 0.2398
## 215 0.3314 0.2398
## 216 0.3315 0.2398
## 217 0.3316 0.2398
## 218 0.3317 0.2398
## 219 0.3318 0.2398
## 220 0.3319 0.2398
## 221 0.3320 0.2398
## 222 0.3321 0.2398
## 223 0.3322 0.2398
## 224 0.3323 0.2398
## 225 0.3324 0.2398
## 226 0.3325 0.2398
## 227 0.3326 0.2398
## 228 0.3327 0.2398
## 229 0.3328 0.2398
## 230 0.3329 0.2398
## 231 0.3330 0.2398
## 232 0.3331 0.2398
## 233 0.3332 0.2398
## 234 0.3333 0.2398
## 235 0.3334 0.2398
## 236 0.3335 0.2398
## 237 0.3336 0.2398
## 238 0.3337 0.2398
## 239 0.3338 0.2398
## 240 0.3339 0.2398
## 241 0.3340 0.2398
## 242 0.3341 0.2398
## 243 0.3342 0.2398
## 244 0.3343 0.2398
## 245 0.3344 0.2398
## 246 0.3345 0.2398
## 247 0.3346 0.2398
## 248 0.3347 0.2398
## 249 0.3348 0.2398
## 250 0.3349 0.2398
## 251 0.3350 0.2398
## 252 0.3351 0.2398
## 253 0.3352 0.2398
## 254 0.3353 0.2398
## 255 0.3354 0.2398
## 256 0.3355 0.2398
## 257 0.3356 0.2398
## 258 0.3357 0.2398
## 259 0.3358 0.2398
## 260 0.3359 0.2398
## 261 0.3360 0.2398
## 262 0.3361 0.2398
## 263 0.3362 0.2398
## 264 0.3363 0.2398
## 265 0.3364 0.2398
## 266 0.3365 0.2398
## 267 0.3366 0.2398
## 268 0.3367 0.2398
## 269 0.3368 0.2398
## 270 0.3369 0.2398
## 271 0.3370 0.2398
## 272 0.3371 0.2398
## 273 0.3372 0.2398
## 274 0.3373 0.2398
## 275 0.3374 0.2398
## 276 0.3375 0.2398
## 277 0.3376 0.2398
## 278 0.3377 0.2398
## 279 0.3378 0.2398
## 280 0.3379 0.2398
## 281 0.3380 0.2398
## 282 0.3381 0.2398
## 283 0.3382 0.2398
## 284 0.3383 0.2398
## 285 0.3384 0.2398
## 286 0.3385 0.2398
## 287 0.3386 0.2398
## 288 0.3387 0.2398
## 289 0.3388 0.2398
## 290 0.3389 0.2398
## 291 0.3390 0.2398
## 292 0.3391 0.2398
## 293 0.3392 0.2398
## 294 0.3393 0.2398
## 295 0.3394 0.2398
## 296 0.3395 0.2398
## 297 0.3396 0.2398
## 298 0.3397 0.2398
## 299 0.3398 0.2398
## 300 0.3399 0.2398
## 301 0.3400 0.2398
## 302 0.3401 0.2398
## 303 0.3402 0.2398
## 304 0.3403 0.2398
## 305 0.3404 0.2398
## 306 0.3405 0.2398
## 307 0.3406 0.2397
## 308 0.3407 0.2397
## 309 0.3408 0.2397
## 310 0.3409 0.2397
## 311 0.3410 0.2397
## 312 0.3411 0.2397
## 313 0.3412 0.2397
## 314 0.3413 0.2397
## 315 0.3414 0.2398
## 316 0.3415 0.2398
## 317 0.3416 0.2398
## 318 0.3417 0.2398
## 319 0.3418 0.2398
## 320 0.3419 0.2398
## 321 0.3420 0.2398
## 322 0.3421 0.2398
## 323 0.3422 0.2398
## 324 0.3423 0.2398
## 325 0.3424 0.2398
## 326 0.3425 0.2398
## 327 0.3426 0.2398
## 328 0.3427 0.2398
## 329 0.3428 0.2398
## 330 0.3429 0.2398
## 331 0.3430 0.2398
## 332 0.3431 0.2398
## 333 0.3432 0.2398
## 334 0.3433 0.2398
## 335 0.3434 0.2398
## 336 0.3435 0.2398
## 337 0.3436 0.2398
## 338 0.3437 0.2398
## 339 0.3438 0.2398
## 340 0.3439 0.2398
## 341 0.3440 0.2398
## 342 0.3441 0.2398
## 343 0.3442 0.2398
## 344 0.3443 0.2398
## 345 0.3444 0.2398
## 346 0.3445 0.2398
## 347 0.3446 0.2398
## 348 0.3447 0.2398
## 349 0.3448 0.2398
## 350 0.3449 0.2398
## 351 0.3450 0.2398
## 352 0.3451 0.2398
## 353 0.3452 0.2398
## 354 0.3453 0.2398
## 355 0.3454 0.2398
## 356 0.3455 0.2398
## 357 0.3456 0.2398
## 358 0.3457 0.2398
## 359 0.3458 0.2398
## 360 0.3459 0.2398
## 361 0.3460 0.2398
## 362 0.3461 0.2398
## 363 0.3462 0.2398
## 364 0.3463 0.2398
## 365 0.3464 0.2398
## 366 0.3465 0.2398
## 367 0.3466 0.2398
## 368 0.3467 0.2398
## 369 0.3468 0.2398
## 370 0.3469 0.2398
## 371 0.3470 0.2398
## 372 0.3471 0.2398
## 373 0.3472 0.2398
## 374 0.3473 0.2398
## 375 0.3474 0.2398
## 376 0.3475 0.2398
## 377 0.3476 0.2398
## 378 0.3477 0.2398
## 379 0.3478 0.2398
## 380 0.3479 0.2398
## 381 0.3480 0.2398
## 382 0.3481 0.2398
## 383 0.3482 0.2398
## 384 0.3483 0.2398
## 385 0.3484 0.2398
## 386 0.3485 0.2398
## 387 0.3486 0.2398
## 388 0.3487 0.2398
## 389 0.3488 0.2398
## 390 0.3489 0.2398
## 391 0.3490 0.2398
## 392 0.3491 0.2398
## 393 0.3492 0.2398
## 394 0.3493 0.2398
## 395 0.3494 0.2398
## 396 0.3495 0.2398
## 397 0.3496 0.2398
## 398 0.3497 0.2398
## 399 0.3498 0.2398
## 400 0.3499 0.2398
## 401 0.3500 0.2398
## 402 0.3501 0.2398
## 403 0.3502 0.2398
## 404 0.3503 0.2398
## 405 0.3504 0.2398
## 406 0.3505 0.2398
## 407 0.3506 0.2398
## 408 0.3507 0.2398
## 409 0.3508 0.2398
## 410 0.3509 0.2398
## 411 0.3510 0.2398
## 412 0.3511 0.2398
## 413 0.3512 0.2398
## 414 0.3513 0.2398
## 415 0.3514 0.2398
## 416 0.3515 0.2398
## 417 0.3516 0.2398
## 418 0.3517 0.2398
## 419 0.3518 0.2398
## 420 0.3519 0.2398
## 421 0.3520 0.2398
## 422 0.3521 0.2398
## 423 0.3522 0.2398
## 424 0.3523 0.2398
## 425 0.3524 0.2398
## 426 0.3525 0.2398
## 427 0.3526 0.2398
## 428 0.3527 0.2398
## 429 0.3528 0.2398
## 430 0.3529 0.2398
## 431 0.3530 0.2398
## 432 0.3531 0.2398
## 433 0.3532 0.2398
## 434 0.3533 0.2398
## 435 0.3534 0.2398
## 436 0.3535 0.2398
## 437 0.3536 0.2398
## 438 0.3537 0.2398
## 439 0.3538 0.2398
## 440 0.3539 0.2398
## 441 0.3540 0.2398
## 442 0.3541 0.2398
## 443 0.3542 0.2398
## 444 0.3543 0.2398
## 445 0.3544 0.2398
## 446 0.3545 0.2398
## 447 0.3546 0.2398
## 448 0.3547 0.2398
## 449 0.3548 0.2398
## 450 0.3549 0.2398
## 451 0.3550 0.2398
## 452 0.3551 0.2398
## 453 0.3552 0.2398
## 454 0.3553 0.2398
## 455 0.3554 0.2398
## 456 0.3555 0.2398
## 457 0.3556 0.2398
## 458 0.3557 0.2398
## 459 0.3558 0.2398
## 460 0.3559 0.2398
## 461 0.3560 0.2398
## 462 0.3561 0.2398
## 463 0.3562 0.2398
## 464 0.3563 0.2398
## 465 0.3564 0.2398
## 466 0.3565 0.2398
## 467 0.3566 0.2398
## 468 0.3567 0.2398
## 469 0.3568 0.2398
## 470 0.3569 0.2398
## 471 0.3570 0.2398
## 472 0.3571 0.2398
## 473 0.3572 0.2398
## 474 0.3573 0.2398
## 475 0.3574 0.2398
## 476 0.3575 0.2398
## 477 0.3576 0.2398
## 478 0.3577 0.2398
## 479 0.3578 0.2398
## 480 0.3579 0.2398
## 481 0.3580 0.2398
## 482 0.3581 0.2398
## 483 0.3582 0.2398
## 484 0.3583 0.2398
## 485 0.3584 0.2398
## 486 0.3585 0.2398
## 487 0.3586 0.2398
## 488 0.3587 0.2398
## 489 0.3588 0.2398
## 490 0.3589 0.2398
## 491 0.3590 0.2398
## 492 0.3591 0.2398
## 493 0.3592 0.2398
## 494 0.3593 0.2398
## 495 0.3594 0.2398
## 496 0.3595 0.2398
## 497 0.3596 0.2398
## 498 0.3597 0.2398
## 499 0.3598 0.2398
## 500 0.3599 0.2398
## 501 0.3600 0.2398

plot(tab$SSE ~ tab$rho , type = "l")
abline(v = tab[tab$SSE==min(tab$SSE),"rho"], lty = 3)

Berdasarkan rho optimum iterasi dari 0.31 sampai 0.36, dapat ditemukan bahwa rho optimum berada di sekitar 0.3406 sampai 0.3413 karena memiliki SSE terkecil yakni sebesar 0.2397.

r <- seq(0.3406, 0.3413, by= 0.0001)
tab <- data.frame("rho" = r, "SSE" = sapply(r, function(i){deviance(hildreth.lu.func(i, model))}))
round(tab, 4)

##      rho    SSE
## 1 0.3406 0.2397
## 2 0.3407 0.2397
## 3 0.3408 0.2397
## 4 0.3409 0.2397
## 5 0.3410 0.2397
## 6 0.3411 0.2397
## 7 0.3412 0.2397
## 8 0.3413 0.2397

plot(tab$SSE ~ tab$rho , type = "l")
abline(v = tab[tab$SSE==min(tab$SSE),"rho"], lty = 3)

Berdasarkan plot di atas, dapat diketahui bahwa rho optimum berada pada nilai rho 0.3409. Kemudian, memasukkan nilai rho 0.3409 pada fungsi hildreth.lu.func(). Model yang dihasilkan sebagai berikut.

# Model terbaik
modelhl <- hildreth.lu.func(0.3409, model)
summary(modelhl)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.22771 -0.11619 -0.00273  0.05762  0.33084 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -699.99427   31.38081  -22.31 3.46e-09 ***
## x              0.55976    0.02361   23.71 2.02e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1632 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9842, Adjusted R-squared:  0.9825 
## F-statistic: 562.1 on 1 and 9 DF,  p-value: 2.017e-09

# Transformasi Balik
cat("IPM = ", coef(modelhl)[1]/(1-0.3409), " + ", coef(modelhl)[2],"(Tahun)", sep = "") 

## IPM = -1062.046 + 0.5597561(Tahun)

Model terbaik Hildreth-Lu menghasilkan persamaan regresi sebagi berikut:

IPM = -1062.046 + 0.5597561(Tahun)

Selanjutnya dilakukan uji Durbin-Watson pada model terbaik Hildreth-Lu untuk memeriksa autokorelasi

# Deteksi autokorelasi
lmtest::dwtest(modelhl)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelhl
## DW = 1.4901, p-value = 0.09402
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Setelah dilakukan penanganan autokorelasi dengan metode Hildreth-Lu, autokorelasi diuji dengan Durbin-Watsin test dan diperoleh p-value = 0.09402 > alpha = 0.05 sehingga tolak H0. Artinya, belum cukup bukti untuk mengatakan bahwa terdapat autokorelasi pada taraf nyata 5% atau dapat dikatakan tidak terdapat autokorelasi.

Penentuan model dengan Hildreth-Lu juga dapat menggunakan package HoRM seperti di bawah ini:

#fungsi Hildreth Lu dengan library HoRM
modelhl2 <- HoRM::hildreth.lu(y, x, 0.3409) 
deviance(modelhl2)

## [1] 0.23975

summary(modelhl2)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.22771 -0.11619 -0.00273  0.05762  0.33084 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -699.99427   31.38081  -22.31 3.46e-09 ***
## x              0.55976    0.02361   23.71 2.02e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1632 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9842, Adjusted R-squared:  0.9825 
## F-statistic: 562.1 on 1 and 9 DF,  p-value: 2.017e-09

#Transformasi balik
cat("IPM = ", coef(modelhl2)[1]/(1-0.3409), " + ", coef(modelhl2)[2],"(Tahun)", sep = "") 

## IPM = -1062.046 + 0.5597561(Tahun)

Berdasarkan hasil output di atas, dapat di lihat bahwa persamaan regresi yang terbentuk adalah

IPM = -1062.046 + 0.5597561(Tahun)

lmtest::dwtest(modelhl2)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelhl2
## DW = 1.4901, p-value = 0.09402
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Hasil uji Durbin-Watsonnya sama dengan Hildreth-Lu dan menunjukkan bahwa tidak terdapat autokorelasi.

Metode Terbaik

#Perbandingan Metode Terbaik
OLS <- mean(model$residuals^2)
COrcutt <- mean(modelcorho$residuals^2)
HLu <- mean(modelhl$residuals^2)
OLS

## [1] 0.02738636

COrcutt

## [1] 0.02179545

HLu

## [1] 0.02179545

Simpulan

Pada data deret waktu seringkali memiliki autokorelasi. Pendeteksian autokorelasi dapat dilakukan secara eksploratif ataupun uji formal yaitu Durbin-Watson test, Breusch-Godfrey test, dan lainnya. Berdasarkan penanganan autokorelasi yang telah dilakukan, metode Cochrane-Orcutt dan Hildreth-Lu dapat menangani masalah autokorelasi pada data IPM Provinsi Gorontalo dengan rho optimum sebesar 0.3409.

Berdasarkan dua metode yang telah dilakukan, model regresi hasil transformasi balik kedua model cenderung sama yaitu menghasilkan b0 = -1062.04 dan b1 = 0.5597, sehingga dapat dikatakan bahwa kenaikan satu tahun meningkatkan dugaan rataan IPM Provinsi Gorontalo sebesar 0.5597.