El contenido de fibra en 100 g de FPEA tiene distribucion Gamma(r,\(\lambda\))
A. Halle el EMV de \(\theta=(r,\theta)\)
Utilzaremos los siguientes pasos:
Buscar la distribucion respectiva y establecer su funcion de verosimilitud
Función Gamma:
\[f(x) = \frac{\lambda^rx^{r-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(r)}I_{[0;\infty)}(x)\]
Sea una muestra aleatoria \((x_1,x_2,...,x_n)\) de la distribucion Gamma. La función de verosimilitud asociada a esta muestra es igual a:
\[L(r,\lambda) = \prod_{i=1}^{n}f(x_i)=(\prod_{i=1}^{n} x_i)^{r-1}\frac{\lambda^{nr}e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n} x_i}}{\Gamma(r)^n}\]
Aplicar logaritmo a ambos lados de la funcion de verosimilitud.
\[logL(r,\lambda)=(r-1)log(\prod_{i=1}^{n} x_i)-\lambda\sum_{i=1}^{n} x_i-nlog(\Gamma(r))+nrlog(\lambda)\]
De la siguiente expresion podemos reemplazar:
\(G=(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}}\) ; Lo cual es la media geometrica para la m.a
\(A=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\) ; lo cual es una media aritmetica para la m.a
Contando con la siguiente expresión:
\[logL(r,\lambda)=n(r-1)log(G)-\lambda nA-nlog(\Gamma(r))+nrlog(\lambda)\]
Derivar respecto al parametro poblacional
En este caso serian r y los parametros de la población y obteniendo los siguientes resultados:
\(\frac{\partial log L(r,\lambda)}{\partial r}=nlog(G)-n\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}+nlog(\lambda)\) …(1)
\(\frac{\partial log L(r,\lambda)}{\partial\lambda}=-nA+n\frac{r}{\lambda}\) …(2)
Igualar a cero la(s) derivada(s) resultantes, se despeja el parametro y se dice que este valor es el estimador verosimil
Empezamos desarrollando la ecuación (2)
\(-nA+n\frac{r}{\lambda}=0\)
Despejando :
\(\widehat{\lambda} = \frac{r}{A}\) … (3) resultado 1
Utilizamos la ecuación (3) y la reemplazamos en en la ecuanción (1)
\(nlog(G)-n\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}+nlog(\lambda) = 0\)
\(nlog(G)-n\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}+nlog(\frac{r}{A}) = 0\)
\(nlog(G)-n\frac{\Gamma'(r)}{\Gamma(r)}+nlog(r)-nlog(A) = 0\)
Finalmente quedando la siguiente expresión:
\(log(\widehat{r})-\frac{\Gamma'(\widehat{r})}{\Gamma(\widehat{r})}-log(\frac{A}{G}) = 0\) … resultado 2
Nota: Del resultado 2 podemos obtener la función Digamma.
B. Simule una muestra aleatoria de una distribución Gamma (\(r=4\),\(\lambda=8\)) y estime de dos manera a \(\theta=(r,\lambda)\). Nota: al cociente \(\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\) sele conoce como la función Digamma(\(\alpha\))
n = 100000
lambda = 8
r = 4
alpha=r
beta=(1/lambda)
x <- rgamma(n,shape=alpha,scale=beta)
lambda.par = function(lambda) -n*mean(x) + n*r/lambda
lambda.par## function(lambda) -n*mean(x) + n*r/lambdalambda.mle=uniroot(lambda.par,c(0,1000))$root
lambda.mle## [1] 8.018062library(psych) #Para hallar la media geometrica## Warning: package 'psych' was built under R version 4.2.1r.par = function(lambda.mle) -log(mean(x)/geometric.mean(x))-n*digamma(r)+n*log(lambda.mle)
r.mle = uniroot(r.par,c(0,1000))$root
r.mle## [1] 3.511766c(r.mle,lambda.mle) #Resultado final## [1] 3.511766 8.018062El contenido de energia máximo por dia en 100 g de FPEA tiene distribucion de máximos asintoticos de Fréachet con parametros \(k\) y \(\mu\).
A. Halle el EIVUM de \(\mu^{-k}\).
\[f(x)=\frac{\alpha}{\mu}(\frac{x}{\mu})^{\alpha-1}e^{[(\frac{x}{\mu})^\alpha]}I_{(0,\infty)}(x)\]
\(\mu^{-k}\)
B. Verifique que el EIVUM hallado en a es EIVUM.
C. En esta sub pregunta considere que \(k=5\) y, con una semilla de 40, selecciones una muestra aleatoria de tamaño 20 de un distribución normal(\(\mu=275,\sigma^2=9\)) para obtener un intervalo de 95% de confianza para la mdda de la distribución.