Tenga en cuenta la tabla siguiente:

Formulas básicas

Punto 1:

Se supone que, en un restaurante de comidas, el cual llegan en promedio 100 clientes por hora, se tiene en capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora, se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola.

a.

¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté ocioso?

Solucion:

Tenemos que: \(\lambda=100\) \(clientes/hora\) y \(\mu=150\) \(clientes/hora\)

y segun la tabla, la probabilidad del sistema activo viene dado por \(\rho=\lambda/\mu\)

por tanto la probabilidad del sitema inactivo seria \((1-\rho)=\lambda/\mu\)

osea \((1-\rho)= 1-(100/150)=1-(0.6666)=0.3333\)

Respuesta: La probabilidad de que el sistema esté ocioso es de 0.3333

library(queueing)
## Warning: package 'queueing' was built under R version 4.1.1
env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 100,mu=150,n=4 )

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)$RO #En este caso solo haremos uso de la probabilidad que el sistema este activo.

1-s.MM1
## [1] 0.3333333

b.

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente llegue y tenga que esperar, es decir el primer cliente en la cola?

Solución:

utilizamos la distribucion estacionaria del sistema:

\(P_{n}=(1-\rho)\rho^n\) y como necesitamos la probabilidad de que un clinte este en la cola; y partamos de comprender de que para \(n=0\) y \(n=1\) no hay cola, pero para \(n=2\) habrá al menos un cliente en la cola. y sabemos que \(1= p_{0}+ p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}+....p_{n}\) Luego \(P=1-p_{0}- p_{1}\) es la probablilidad que buscamos.

\(P_{0}=(1-\rho)\rho^0=(0.3333)(1)=0.3333\) \(P_{1}=(1-\rho)\rho^1=(0.3333)(0.666)=0.22222\) \(P=1-p_{0}- p_{1}\) \(= 0.444444\)

Por tanto, la probabilidad de que un cliente llegue y tenga que esperar es de \(= 0.444444\)

library(queueing)

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 100,mu=150,n=4 )

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)$Pn

P0<-s.MM1[1] 
P1<-s.MM1[2]

P<-1-P0-P1 #Probabilidad de que un cliente llegue y tenga que esperar:
P
## [1] 0.4444444

c.

Número promedio de clientes en la cola.

Solución:

Nos dan que el tiempo promedio de espera en la cola es \(W_{q}=2\) \(minutos\), equivalente a \(W_{q}=0.0333\) \(horas\)

y ahora segun la tabla, el numero promedio de clientes viene dado por:

\(L_{q}=(\lambda^2)/[\mu(\mu-\lambda)]\) \(=(100^2)/(150*(150-100)) = 1.33\) Clientes/hora

Respuesta: El numero promedio de clientes en la cola es de 1.333 clientes por hora, osea un promedio entre \(1\) y \(2\) clientes por hora…

Pero notemos que el problemas nos da el \(W_{q}=2/60=0.033333\) horas en cola,

Luego \(L_{q}=\lambda*W_{q}\) \(=100*0.033=3.33\)

Lo que nos indicaria que el número promedio de clientes en la cola es de \(3.333\) clientes por hora, osea un promedio entre \(3\) y \(4\) clientes por hora, pero bajo la condición que nos fue dado \(W_{q}=2\) minutos

En el siguiente hallamos el valor de \(W_{q}\) con la libreria de \(R.\)

library(queueing)

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 100,mu=150,n=4 )

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)$Wq  ###solo necesitamos el numero promedio de clientes en la cola.

s.MM1
## [1] 0.01333333

Aqui hallamos el valor de \(L{q}\) y notamos que bajo la condicion que \(W_{q}= 2\) minutos, cambia.

library(queueing)

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 100,mu=150,n=4 )

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)$Lq  ###solo necesitamos el numero promedio de clientes en la cola.

s.MM1
## [1] 1.333333

Punto 2.

A una tienda atendida por una persona, el patrón de llegadas de clientes durante los sábados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con un promedio de 10 personas por hora. Se estima que el tiempo que lleva atender a un cliente se distribuye como una exponencial con una media de 4 minutos.

a.

Calcular probabilidad de que haya línea de espera (que halla cola):

Solución:

utilizamos la distribucion estacionaria del sistema:

\(P_{n}=(1-\rho)\rho^n\) y como necesitamos la probabilidad de que halla linea de espera, osea que halla cola, osea al menos un cliente en la cola; entonces partamos de comprender de que para \(n=0\) y \(n=1\) no hay cola, pero para \(n=2\) habrá al menos un cliente en la cola. y sabemos que \(1= p_{0}+ p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}+....p_{n}\) Luego \(P=1-p_{0}- p_{1}\) es la probablilidad que buscamos.

\(P_{0}=(1-\rho)\rho^0=(0.3333)(1)=0.3333\) \(P_{1}=(1-\rho)\rho^1=(0.3333)(0.666)=0.22222\) \(P=1-p_{0}- p_{1}\) \(= 0.444444\)

Por tanto, la probabilidad de que se de linea de espera es de \(= 0.444444\)

library(queueing)

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 10,mu= 60/4,n=4 )

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)$Pn

P0<-s.MM1[1] 
P1<-s.MM1[2]

P<-1-P0-P1 #Probabilidad de que halla linea de espera:
P
## [1] 0.4444444

b.

Calcular la longitud media de la línea de espera.

Solucion:

\(L_{q}=(\lambda^2)/[\mu (\mu - \lambda)]= (10^2)/15(15-10)=1.3333\) \(Clientes/hora\)

Respuesta: El número promedio de clientes en la cola es de 1.333 clientes por hora, osea un promedio entre \(1\) y \(2\) clientes por hora…

La siguiente salida de \(R\) nos da el resultado para \(L_{q}:\)

library(queueing)

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 10,mu= 60/4,n=4 )

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)$Lq

s.MM1 
## [1] 1.333333

c.

Tiempo medio que un cliente espera en la cola

Solucion:

\(W_{q} =\lambda/ \mu *(\mu-\lambda)\) \(=10/(15*(15-10)=0.133333\)

Respuesta: El tiempo medio que un cliente espera en la cola es \(0.13333\) horas.

La salida en el R es la siguiente:

library(queueing)

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 10,mu= 60/4,n=4 )

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)$Wq

s.MM1 
## [1] 0.1333333

Punto 3

Generar las salidas en R e interpretar todas las medidas de rendimiento vistas.

Los siguientes salidas ya fueron mostrandocen a la par con los ejercicios anteriores, pero la diferencia es que aquí si se muestran todas las demas medidas de rendimineto:

Codigos completos en R

______________para punto 1___________________________________________________________________
library(queueing)

#Definición del contorno

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 100,mu=150,n=4 )

#caracteristicas del sistema

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)

#medidad del sistema

s.MM1 
## $Inputs
## $lambda
## [1] 100
## 
## $mu
## [1] 150
## 
## $n
## [1] 4
## 
## attr(,"class")
## [1] "i_MM1"
## 
## $RO
## [1] 0.6666667
## 
## $Lq
## [1] 1.333333
## 
## $VNq
## [1] 4.888889
## 
## $Wq
## [1] 0.01333333
## 
## $VTq
## [1] 0.0003555556
## 
## $Throughput
## [1] 100
## 
## $L
## [1] 2
## 
## $VN
## [1] 6
## 
## $W
## [1] 0.02
## 
## $VT
## [1] 4e-04
## 
## $Wqq
## [1] 0.02
## 
## $Lqq
## [1] 3
## 
## $Pn
## [1] 0.33333333 0.22222222 0.14814815 0.09876543 0.06584362
## 
## $Qn
## [1] 0.33333333 0.22222222 0.14814815 0.09876543 0.06584362
## 
## $FW
## function (t) 
## {
##     1 - exp(-t/W)
## }
## <bytecode: 0x0000000012932870>
## <environment: 0x000000001563f160>
## 
## $FWq
## function (t) 
## {
##     1 - (RO * exp(-t/W))
## }
## <bytecode: 0x0000000012932cd0>
## <environment: 0x000000001563f160>
## 
## attr(,"class")
## [1] "o_MM1"
______________para punto 2________________________________________________
library(queueing)

#Definición del contorno

env.MM1<-NewInput.MM1(lambda = 10,mu=15,n=4 )

#caracteristicas del sistema

s.MM1<-QueueingModel(env.MM1)

#medidad del sistema

s.MM1 
## $Inputs
## $lambda
## [1] 10
## 
## $mu
## [1] 15
## 
## $n
## [1] 4
## 
## attr(,"class")
## [1] "i_MM1"
## 
## $RO
## [1] 0.6666667
## 
## $Lq
## [1] 1.333333
## 
## $VNq
## [1] 4.888889
## 
## $Wq
## [1] 0.1333333
## 
## $VTq
## [1] 0.03555556
## 
## $Throughput
## [1] 10
## 
## $L
## [1] 2
## 
## $VN
## [1] 6
## 
## $W
## [1] 0.2
## 
## $VT
## [1] 0.04
## 
## $Wqq
## [1] 0.2
## 
## $Lqq
## [1] 3
## 
## $Pn
## [1] 0.33333333 0.22222222 0.14814815 0.09876543 0.06584362
## 
## $Qn
## [1] 0.33333333 0.22222222 0.14814815 0.09876543 0.06584362
## 
## $FW
## function (t) 
## {
##     1 - exp(-t/W)
## }
## <bytecode: 0x0000000012932870>
## <environment: 0x000000001439a160>
## 
## $FWq
## function (t) 
## {
##     1 - (RO * exp(-t/W))
## }
## <bytecode: 0x0000000012932cd0>
## <environment: 0x000000001439a160>
## 
## attr(,"class")
## [1] "o_MM1"