El día de hoy aprenderemos a calcular los valores para los estimadores de \(\beta_{0}\) y \(\beta_{1}\), por método matricial. Esta forma es aplicable puesto que permite ser mas eficientes en base de datos mas voluminosas.

Cálculos Estimadores por método matricial

La formula para calcular los estimadores \(\beta_{0}\) y \(\beta_{1}\) es:

\[\left[\begin{array}{ccc} \beta_{0}\\ \beta_{1}\\ \end{array}\right]= (X^{T} \cdot X)^{-1} \cdot (X^{T} \cdot Y)\]

Para entender el procedimiento, calculemos un ejemplo sencillo.

Ejemplo practico en clases
x y
4 2
6 4
5 3
7 6

Ahora, realicemos el procedimiento bajo esquema de R

# Construimos la Matriz  X
Unos=sample(1,dim(Datos)[1], replace=T)
Unos
## [1] 1 1 1 1
X=data.frame(Unos,Datos[,1])
X=as.matrix(X)
X
##      Unos Datos...1.
## [1,]    1          4
## [2,]    1          6
## [3,]    1          5
## [4,]    1          7
# Calculamos la transpuesta
XT= t(X)
XT
##            [,1] [,2] [,3] [,4]
## Unos          1    1    1    1
## Datos...1.    4    6    5    7
# Ahora calculamos XT*X

XTX=XT%*%X
XTX
##            Unos Datos...1.
## Unos          4         22
## Datos...1.   22        126
# Calculamos la inversa de la matriz
XTXI= solve(XTX)
XTXI
##            Unos Datos...1.
## Unos        6.3       -1.1
## Datos...1. -1.1        0.2
# Ahora calculamos XTY
XTY= XT%*%Datos[,2]
XTY
##            [,1]
## Unos         15
## Datos...1.   89
# Ahora calculamos los estimadores
Estimadores= XTXI%*%XTY
Estimadores
##            [,1]
## Unos       -3.4
## Datos...1.  1.3