1.5 The Limit of a Function
1. 極限 (limit) 的直觀
假設 \(f(x)\) 在包含 \(a\) 的開區間有定義
\[\lim_{x \to a} f(x) = L \]
當 \(x\)
很靠近 \(a\) 時，\(f(x)\) 很靠近 \(L\)
稱 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 的極限為 \(L\)
2. 單邊極限 (one-sided limits)
- 左極限 (left-hand limit) \[ \lim_{x \to
a^-} f(x) = L \]
- 右極限 (right-hand limit) \[ \lim_{x \to
a^+} f(x) = L \]
3. 左極限和右極限
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L\quad \iff
\quad \lim_{x \to a^-} f(x) = L\quad \rm and \quad \it \lim_{x \to
a^+} f(x) = L \]
4. 無窮極限 (infinite limits)
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty \]
5. 無窮極限 (infinite limits)
\[ \lim_{x \to a} f(x) =
-\infty \]
6. 垂直漸近線 (vertical asymptote)
若下列至少一個敘述為真
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty
\quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \infty \quad \lim_{x \to a^+} f(x) =
\infty \quad \] \[ \lim_{x \to a} f(x)
= -\infty \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty \quad \lim_{x \to a^+}
f(x) = -\infty \quad \]
垂直線 \(x=a\) 稱為 \(f(x)\) 的垂直漸近線
1.6 Calculating Limits Using the Limit Laws
1. 極限的性質
假設 \(c\)
為常數和極限存在
\[ \lim_{x \to a} f(x) \quad \rm
and \quad \it \lim_{x \to a} g(x) \]
則
\((1)\quad\displaystyle\lim_{x \to a}
\left[f(x) \,\pm\, g(x)\right] =\lim_{x \to a} f(x) \,\pm\, \lim_{x \to
a} g(x) \quad\)
\((2)\quad\displaystyle\lim_{x \to a}
[cf(x)] ={c}\lim_{x \to a} f(x) \quad\)
\((3)\quad\displaystyle\lim_{x \to a}
\left[f(x)g(x)\right] =\lim_{x \to a} f(x)\cdot \lim_{x \to a} g(x)
\quad\)
\((4)\quad\displaystyle\lim_{x \to a}
\frac {f(x)}{g(x)} =\frac{\lim_{x \to a} f(x)} {\lim_{x \to a} g(x)}
\quad\)
\((5)\quad\displaystyle\lim_{x \to a}
\left[f(x)\right]^n =\left[\lim_{x \to a} f(x)\right]^n \quad,\quad n\in
N\)
\((6)\quad\displaystyle\lim_{x \to a}
\sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \quad,\quad n\in
N\)
\((7)\quad\displaystyle\lim_{x \to a} c =
c \quad\)
\((8)\quad\displaystyle\lim_{x \to a} x =
a \quad\)
\((9)\quad\displaystyle\lim_{x \to a} x^n
= a^n \quad,\quad n\in N\)
\((10)\quad\displaystyle\lim_{x \to a}
\sqrt[n]x = \sqrt[n]a \quad,\quad n\in N \quad\) 如果\(\,n\) 是偶數，\(a>0\)
2. 直接替代性質 (Direct substitution property)
若 \(\,
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \quad\) , 則\[\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
3. 定理
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L\quad \iff
\quad \lim_{x \to a^-} f(x) = L= \lim_{x \to a^+} f(x) \]
4. 夾擠定理或三明治定理 (Squeeze theorem)
- 令\(\, a\in (c,d),若\, f(x)\leq g(x),\,
\forall \, x\in [c,d], \, x\neq a,\) 且 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) \, 和 \, \lim_{x
\to a} g(x)\,存在,\) 則\[\,\lim_{x \to
a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x)\quad \]
- 若\(\, f(x)\leq g(x) \leq h(x),\forall
x\in [a,b], \, \forall \, x\in [c,d], \, x\neq a,\) 且 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) \, = \, \lim_{x
\to a} h(x)\,=\,L,\) 則\[\,\color{Red}{\lim_{x \to a} g(x) = L}
\]
1.7 The Precise Definition of a Limit
1. 極限的定義
令\(f(x)\)
在包含 \(x = a\)
的某一開區間上有定義
\[\lim_{x \to a} f(x) = L \]
若 \(\forall \,
\epsilon > 0, \, \exists \, \delta > 0,\,\)使得
\[0 < |x-a| <\delta \Rightarrow \,
|f(x)-L|<\epsilon \]
2. 左極限的定義
\[\lim_{x \to a^-} f(x) = L \]
若 \(\forall \,
\epsilon > 0, \, \exists \, \delta > 0,\,\)使得
\[a -\delta < x < a \Rightarrow \,
|f(x)-L|<\epsilon \]
3. 右極限的定義
\[\lim_{x \to a^+} f(x) = L \]
若 \(\forall \,
\epsilon > 0, \, \exists \, \delta > 0,\,\)使得
\[a < x < a+\delta \Rightarrow \,
|f(x)-L|<\epsilon \]
4. 無窮極限的定義
\[\lim_{x \to a} f(x) =
\infty \]
若 \(\forall \, M
> 0, \, \exists \, \delta > 0,\,\)使得
\[0 < |x-a| <\delta \Rightarrow \,
f(x)>M \]
1.8 Continuity
1. 連續 (continuity) 的定義
函數 \(f(x)\)在點 \(a\)連續
\[\lim_{x \to a} f(x) =
f(a) \]
也就是滿足以下三條件:
(1) \(f(a)\) 有定義。
(2) \(\displaystyle\lim_{x \to a}
f(x)\) 存在
(3) \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) =
f(a)\)
2. 右連續和左連續
- 右連續 \[ \lim_{x \to a^+} f(x) =
f(a) \]
- 左連續 \[ \lim_{x \to a^-} f(x) =
f(a) \]
3. 區間連續 (continuous on an interval)
若 \(f\)
在區間上每一點均連續，則稱 \(f\)
在該區間連續。
4. 連續函數的性質
若\(f\)和\(g\)在點 \(a\)連續，\(c\)為常數，則下列函數在點 \(a\)也連續
* \(f+g\)
* \(f-g\)
* \(cf\)
* \(f\)
* \(\frac {f}{g} \quad\) \(若\, g(a) \neq 0\)
5. 定理 : 連續函數 (continuous function)
- 多項式 (polynomial) 函數，有理 (rational) 函數，根式 (root)
函數均為連續函數
- 三角函數 (trigonometric) 和反三角 (inverse trigonometric)
函數均為連續函數
- 指數函數 (exponential) 和對數 (logarithmic) 函數均為連續函數
6. 定理
若 \(f\)
在點 \(b\) 連續且 \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = b\),
則
\[ \lim_{x \to a} f(g(x)) =
f(b)\]
即 \[ \lim_{x
\to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x))\]
7. 定理
若 \(g\)
在點\(a\)連續，且 \(f\) 在 \(g(a)\) 連續, 則含成函數(composition
function) \(f \circ g\) 在點\(a\)連續