Pada artikel sebelumnya, saya sudah membahas bagaimana membangkitkan data berdistribusi binomial dan poisson serta menghitung probabilitas pada binomial dan poisson di RStudio, nah kali ini saya akan membahas tentang membangkitkan data dan menghitung probabilitas pada distribusi normal dan student-t di RStudio.
Distribusi Normal
Distribusi normal, disebut juga distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalisasi suatu data.
Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memiliki sifat simetris, yaitu mean distribusi terletak di tengah dengan luas bagian sebelah kiri sama dengan bagian sebelah kanan (berbentuk lonceng) sehingga total daerah di bawah kurva sebelah kiri = total daerah di bawah kurva sebelah kanan = 0,5.
Distribusi student-t
Distribusi student-t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil dari huruf terakhir kata “student”.
A. Menghitung probabilitas dan berdistribusi Normal
1. Apabila X berdistribusi Normal dengan rata-rata 3 dan standar deviasi 0.5, tentukan probabilitas:
P(X = 4)
P(X < 3,5)
Pembahasan
dnorm(4,3,0.5) #P(X = 4)## [1] 0.1079819Dari output di atas dapat diketahui P(X = 4) adalah 0.1079819.
pnorm(3.5,3,0.5) #P(X < 3,5)## [1] 0.8413447Dari output di atas dapat diketahui P(X < 3,5) adalah 0.8413447.
2. Apabila X berdistribusi Normal dengan rata-rata 10 dan standar deviasi 0.65, tentukan probabilitas:
P(3 < X < 7)
P (X ≥ 3)
Pembahasan
b = pnorm(3,10,0.65) #P(X<3) dr distribusi normal dg mean 10 dan std dev = 0,65
a = pnorm(7,10,0.65) #P(X<7) dr distribusi normal dg mean 10 dan std dev = 0,65
a## [1] 1.96184e-06b## [1] 2.405015e-27a-b## [1] 1.96184e-06Dari output di atas dapat diketahui P(3 < X < 7) adalah 1.96184e-06.
b = pnorm(3,10,0.65) #P(X>=3) dr distribusi normal dg mean 10 dan std dev = 0,65
b## [1] 2.405015e-271-b## [1] 1Dari output di atas dapat diketahui P (X ≥ 3) adalah 1.
B. Membangkitkan data berdistribusi Normal
Akan digenerate data berdistribusi normal dengan jumlah data 30, mean = 0 dan sd=1
Pembahasan
rnorm(30,0,1)## [1] 0.4825217 1.1539991 -1.2392818 1.3520369 0.1364592 -0.6953584
## [7] -0.5159201 -0.3771791 -0.4575695 0.9579332 0.5148439 0.8469162
## [13] -0.1693393 0.9606530 -0.1193070 -0.2266974 0.4296537 -1.5341654
## [19] -1.2833053 0.2570989 -2.0511250 -1.1296202 0.4685445 -0.1454192
## [25] 0.3266746 -0.3168143 0.5021511 0.7654659 1.2115022 -1.7189140C. Menghitung nilai x yang membatasi luas daerah(nilai peluang) distribusi Normal
1. Tentukan nilai kritis z dimana P(Z < z) = 0,95
Pembahasan
qnorm(0.95,0.1)## [1] 1.744854P(Z < z) = 0,95 maka z = 1,74 . Artinya P(Z < 1,74) = 0,95 atau
pnorm(1.74,0.1)## [1] 0.9494974Dari output di atas dapat diketahui nilai kritis z adalah 0.9494974.
2. Tentukan nilai kritis x dimana P(X < x) = 0,95, untuk X berdistribusi Normal dengan mean 3, standar deviasi 0.5
Pembahasan
qnorm(0.95,3,0.5)## [1] 3.822427P(X < x) = 0,95 maka x = 3,82 . Artinya P(X < 3,82) = 0,95 atau
pnorm(3.822427,3,0.5)## [1] 0.95Dari output di atas dapat diketahui nilai kritis x adalah 0.95.
D. Menghitung probabilitas distribusi student
Hitung probabilitas distribusi t dengan nilai dengan db=9, tentukan:
P(t = 2.5)
P(t < 2.5)
P(t > 2.5)
Pembahasan
dt(2.5,9)## [1] 0.02778012Dari output di atas dapat diketahui nilai P(t = 2.5) adalah 0.02778012.
pt(2.5,9)## [1] 0.9830691Dari output di atas dapat diketahui nilai P(t < 2.5) adalah 0.9830691.
1-pt(2.5,9)## [1] 0.01693091Dari output di atas dapat diketahui nilai P(t > 2.5) adalah 0.01693091.
E. Membangkitkan data berdistribusi student-t
Akan digenerate data berdistribusi t dengan n = 30 derajat bebas (df) = 29
Pembahasan
rt(30,29)## [1] 0.96143227 -0.69057363 -0.39263637 0.14309340 -0.06147260 -0.06706825
## [7] -0.85045090 -1.28529224 -0.94244019 1.64495280 -0.03007628 -0.93566517
## [13] 0.97114158 -0.44458382 0.53652037 -0.12814325 -0.28033183 1.72282474
## [19] 0.40637982 -0.06648380 0.17636967 0.63720858 0.05378718 -0.06938320
## [25] 0.53350997 -0.42809519 -1.14956869 0.92635536 -0.80306452 0.05009308F. Menghitung nilai x yang membatasi luas daerah (nilai peluang) distribusi Student’s
Tentukan nilai kritis t dimana P(T < t) = 0,95 dengan derajat bebas 10
Pembahasan
qt(0.95,10)## [1] 1.812461P(T < t) = 0,95 maka t = 1,812461. Artinya P(Z < 1,812461) = 0,95 atau
pt(1.812461,10)## [1] 0.95Dari output di atas dapat diketahui nilai kritis t adalah 0.95.
1. Apabila X berdistribusi Normal dengan rata-rata 10 dan standar deviasi 1.5, tentukan probabilitas:
P(X = 5)
P(X < 5)
P(5 < X < 11)
P(X > 7)
Pembahasan
dnorm(5,10,1.5) #P(X = 5)## [1] 0.001028186Dari output di atas dapat diketahui P(X = 5) adalah 0.001028186.
pnorm(5,10,1.5) #P(X < 5)## [1] 0.0004290603Dari output di atas dapat diketahui P(X < 5) adalah 0.0004290603.
b = pnorm(5,10,1.5) #P(X < 5) dr dist normal dg mean 10 dan std dev = 1,5
a = pnorm(11,10,1.5) #P(X < 11) dr dist normal dg mean 10 dan std dev = 1,5
a## [1] 0.7475075b## [1] 0.0004290603a-b## [1] 0.7470784Dari output di atas dapat diketahui P(5 < X < 11) adalah 0.7470784.
b = pnorm(7,10,1.5) #P(X < 7) dr dist normal dg mean 10 dan std dev = 1,5
b## [1] 0.022750131-b## [1] 0.9772499Dari output di atas dapat diketahui P(X > 7) adalah 0.9772499.
2. Tentukan nilai kritis x dimana P(X < x) = 0,90, untuk X berdistribusi Normal dengan mean 6, standar deviasi 1.5!
Pembahasan
qnorm(0.90,6,1.5)## [1] 7.922327P(X < x) = 0,90 maka x = 7,922327. Artinya P(X < 7,922327) = 0,90 atau
pnorm(7.922327,6,1.5)## [1] 0.9Dari output di atas dapat diketahui nilai kritis x adalah 0.9.
3. Apabila X berdistribusi Student’s dengan derajat bebas 10, tentukan probabilitas:
P(X = 4)
P(X < 6)
P(7 < X < 20)
P(X > 20)
Pembahasan
dt(4,10)## [1] 0.002031034Dari output di atas dapat diketahui P(X = 4) adalah 0.002031034.
pt(6,10)## [1] 0.9999339Dari output di atas dapat diketahui P(X < 6) adalah 0.9999339.
pt(20,10)-pt(7,10)## [1] 1.857689e-05Dari output di atas dapat diketahui P(7 < X < 20) adalah 1.857689e-05.
1-pt(20,10)## [1] 1.073031e-09Dari output di atas dapat diketahui P(X > 20) adalah 1.073031e-09.
4. Bangkitkan data berdistribusi t dengan n = 95, db = 94
Pembahasan
rt(95,94)## [1] 0.580313107 -0.927320635 2.463027040 -0.191218862 0.148908511
## [6] -0.221668926 0.852925723 0.921410574 -1.365993887 -1.697076297
## [11] 1.516672594 0.861152592 -0.891261635 0.037620758 0.003954802
## [16] 1.193557702 -0.464075236 -0.981878149 -0.943956377 0.706544663
## [21] -0.483242565 -0.146877068 -0.008572643 -0.086743877 0.965071924
## [26] 1.120411397 0.051163961 -0.310881282 -0.933289471 0.329332421
## [31] 0.734567086 -0.499178937 1.199360718 -0.680467552 0.234689043
## [36] -0.143151937 -0.276073955 0.415721225 1.490621237 1.222385896
## [41] -1.670183161 0.702671123 -0.140490946 0.886683808 -1.180443199
## [46] 1.221672221 0.233873543 -0.759194969 -1.128906814 0.686624121
## [51] -0.301342920 0.249898137 1.380209184 -1.801209455 -1.472710534
## [56] 0.545883611 1.956567643 0.636798669 -0.431503225 -0.532652505
## [61] -0.078774360 0.202878861 0.233431086 0.137666985 0.057080356
## [66] -0.797587130 -0.596838275 -0.933712811 -0.983969644 -0.845177016
## [71] 0.641054297 0.786764027 -1.257718452 0.074424972 1.633314687
## [76] 0.260345743 1.534701563 0.730807223 -1.877581900 0.589785226
## [81] 0.282149733 -0.507322522 1.053861061 0.299189504 0.064071523
## [86] 0.138580307 1.188328879 -1.228659910 0.658394887 0.162516904
## [91] 0.755943282 -1.328832416 0.330712708 -0.353570390 0.0158683855. Jika mass sebuah bantalan peluru (ball bearing) yang diproduksi suatu pabrik memiliki distribusi normal dengan mean 0,614 kg dan deviasi standard 0,0025 kg, tentukan persentase banyaknya bantalan peluru yang memiliki massa :
antara 0,610 sampai 0,618 kg
lebih berat dari 0,617 kg
kurang dari 0,608 kg
Pembahasan
b = pnorm(0.610,0.614,0.0025) #P(X<0.610) dr dist normal dg mean 0,614 dan std dev = 0,0025
a = pnorm(0.618,0.614,0.0025) #P(X<0.618) dr dist normal dg mean 0,614 dan std dev = 0,0025
a## [1] 0.9452007b## [1] 0.05479929a-b## [1] 0.8904014Dari output di atas dapat diketahui persentase banyaknya bantalan peluru yang memiliki massa antara 0,610 sampai 0,618 kg adalah 0.8904014.
b = pnorm(0.617,0.614,0.0025) #P(X<0.617) dr dist normal dg mean 0,614 dan std dev = 0,0025
b## [1] 0.88493031-b## [1] 0.1150697Dari output di atas dapat diketahui persentase banyaknya bantalan peluru yang memiliki massa lebih berat dari 0,617 kg adalah 0.1150697.
pnorm(0.608,0.614,0.0025) #P(X<=0.608)## [1] 0.008197536Dari output di atas dapat diketahui persentase banyaknya bantalan peluru yang memiliki massa kurang dari 0,608 kg adalah 0.008197536.
6. Pipa api untuk broiler yang dimanufaktur oleh sebuah perusahaan memilikidaya tahan rata-rata 8000 jam pemakaian dengan deviasi standard 600 jam. Tentukan Probabilitas daya tahan pipa:
Antara 7900 dan 8100 jam
Kurang dari 7850 jam
Lebih dari 8200 jam
Pembahasan
b = pnorm(7900,8000,600) #P(X<7900) dr dist normal dg mean 8000 dan std dev = 600
a = pnorm(8100,8000,600) #P(X<8100) dr dist normal dg mean 8000 dan std dev = 600
a## [1] 0.5661838b## [1] 0.4338162a-b## [1] 0.1323677Dari output di atas dapat diketahui probabilitas daya tahan pipa antara 7900 dan 8100 jam adalah 0.1323677.
pnorm(7850,8000,600) #P(X<=7850)## [1] 0.4012937Dari output di atas dapat diketahui probabilitas daya tahan pipa kurang dari 7850 jam adalah 0.4012937.
b = pnorm(8200,8000,600) #P(X<8200) dr dist normal dg mean 8000 dan std dev = 600
b## [1] 0.63055871-b## [1] 0.3694413Dari output di atas dapat diketahui probabilitas daya tahan pipa lebih dari 8200 jam adalah 0.3694413.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tentang saya, silakan kunjungi: