Pada artikel sebelumnya, saya sudah membahas bagaimana menentukan nilai probabilitas di RStudio, nah kali ini saya akan membahas tentang membangkitkan data berdistribusi binomial dan poisson serta menghitung probabilitas pada binomial dan poisson di RStudio.

PENGERTIAN

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial digunakan apabila sebuah proses sampling dilaksanakan sesusai dengan proses Bernoulli, yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

  1. Ada dua kejadian yang dapat terjadi dan saling asing pada setiap percobaan. Untuk mudahnya, dua kejadian itu disebut sukses dan gagal.

  2. Urutan dari percobaan tersebut merupakan kejadian independen.

  3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nilai p ini tetap dari satu percobaan ke percobaan berikutnya atau dari satu kejadian ke kejadian lainnya.

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson dapat digunakan untuk menentukan probabilitas dari sejumlah sukses yang ditentukan jika kejadian-kejadian berjalan dalam kurun waktu atau ruang kontinyu tertentu. Proses Poission hampir sama dengan proses Bernoulli hanya berbeda pada sifat kontinuitasnya. Pada distribusi Poisson hanya ada 1 nilai yang diperlukan, yaitu jumlah rata-rata sukses. Distribusi Poisson efektif digunakan untuk jumlah pengamatan, n yang sangat besar, sementara probabilitas, p untuk satu kejadian sangat kecil (biasanya kurang dari 0,5).

SOAL

A. Menghitung probabilitas (p-value) data berdistribusi Poisson

1. Pada distribusi Binomial dengan n = 5, p = 0.25. Tentukan:

  1. P(X = 0)

  2. P( X ≤ 2)

Pembahasan

  1. Menghitung P(X = 0)
dbinom(0,5,0.25) #Probabilitas tidak ada x P(X=0)
## [1] 0.2373047

Dari output di atas dapat diketahui P(X = 0) adalah 0.2373047.

  1. Menghitung P( X ≤ 2)
pbinom(2,5,0.25) #Probabilitas x kurang dari sama dengan 2 P(X<=2)
## [1] 0.8964844

Dari output di atas dapat diketahui P( X ≤ 2) adalah 0.8964844.

2. Terdapat 10 mahasiswa dipilih secara acak dari populasi dimana 40% adalah wanita. Tentukan:

  1. Berapa probabilitas sebanyak satu dari mahasiswa tersebut yang dipilih adalah wanita?

  2. Berapa probabilitas paling banyak tiga orang dari mahasiswa tersebut yang dipilih adalah wanita?

Pembahasan

  1. Menghitung probabilitas sebanyak satu dari mahasiswa tersebut yang dipilih adalah wanita
dbinom(1,10,0.4) #Probabilitas ada 1 wanita dapat terpilih P(X=1)
## [1] 0.04031078

Dari output di atas dapat diketahui P(X=1) adalah 0.04031078.

  1. Menghitung probabilitas paling banyak tiga orang dari mahasiswa tersebut yang dipilih adalah wanita
pbinom(3,10,0.4) #Probabilitas kurang dari sama dengan tiga wanita dapat terpilih P(X<=3)
## [1] 0.3822806

Dari output di atas dapat diketahui P(X<=3) adalah 0.3822806.

B. Membangkitkan data berdistribusi Binomial

Untuk membangkitkan sample sebanyak 10 dari distribusi Binomial dengan parameter n = 5 dan p = 0,3

Pembahasan

rbinom(10,5,0.3) #Membangkitkan sample sebanyak 10 dari distribusi Binomial dengan parameter n = 5 dan p = 0,3
##  [1] 1 1 2 2 3 0 3 3 1 2

C. Mencari nilai x yang membatasi luas daerah(nilai peluang) distribusi Binomial

Terdapat 10 mahasiswa dipilih secara acak dari populasi dimana 40% adalah wanita. Berapa banyak wanita yg terpilih dari mahasiswa tersebut, apabila diketahui peluang terpilihnya 0,1?

Pembahasan

qbinom(0.1,10,0.4) #Menentukan banyaknya wanita yang terpilih apabila probabilitas terpilih 0,1 dg n = 10 dan p = 0,4
## [1] 2

Dari output di atas dapat diketahui banyaknya wanita yg terpilih (X) adalah 2.

D. Menghitung probabilitas (p-value) data berdistribusi Poisson

1. Sebuah direktorat kemahasiswaan menyatakan bahwa mereka menerima keluhan mahasiswa rata-rata 20 orang per hari. Tentukan:

  1. Peluang bahwa pada suatu hari tidak ada mahasiswa yang datang

  2. Peluang mahasiswa yang datang paling banyak 14 orang.

Pembahasan

  1. Menghitung peluang bahwa pada suatu hari tidak ada mahasiswa yang datang
dpois(0,20) #Peluang bahwa pada suatu hari tidak ada mahasiswa yang datang, P(X=0)
## [1] 2.061154e-09

Dari output di atas dapat diketahui Peluang bahwa pada suatu hari tidak ada mahasiswa yang datang, P(X=0) adalah 0,00000000206.

  1. Menghitung peluang mahasiswa yang datang paling banyak 14 orang
ppois(14,20) #Peluang mahasiswa yang datang paling banyak 14 orang, P(X<=14)
## [1] 0.1048643

Dari output di atas dapat diketahui Peluang mahasiswa yang datang paling banyak 14 orang, P(X<=14) adalah 0.1048643.

2. Misalkan variabel random X berdistribusi Poisson dengan mean 3. Tentukan:

  1. Probabilitas bahwa terdapat 5 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran

  2. Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit 2 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran

Pembahasan

  1. Menghitung probabilitas bahwa terdapat 5 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran
dpois(5,3) #Probabilitas bahwa terdapat 5 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran, P(X=5)
## [1] 0.1008188

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas bahwa terdapat 5 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran, P(X=5) adalah 0.1008188.

  1. Menghitung probabilitas bahwa terdapat paling sedikit 2 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran
1-ppois(1,3) #Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit 2 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran, P(X>=2)
## [1] 0.8008517

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit 2 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran, P(X>=2) adalah 0.8008517.

E. Membangkitkan data berdistribusi Poisson

Untuk membangkitkan sample sebanyak 20 dari distribusi poisson dengan parameter rata-rata λ = 5

Pembahasan

rpois(20,5) #Membangkitkan sample sebanyak 20 dari distribusi poisson dengan parameter rata-rata λ = 5
##  [1] 7 8 4 2 4 4 3 3 3 4 2 5 7 7 6 7 1 5 4 6

F. Mencari nilai x yang membatasi luas daerah(nilai peluang) distribusi Poisson

Sebuah direktorat kemahasiswaan menyatakan bahwa mereka menerima keluhan mahasiswa rata-rata 20 orang per hari. Tentukanlah banyaknya mahasiswa yg datang mengeluh apabila diketahui probabilitas yg mengeluh 0,25!

Pembahasan

qpois(0.25,3) #Menentukan banyaknya mahasiswa yg datang mengeluh apabila diketahui probabilitas yg mengeluh 0,25
## [1] 2

Dari output di atas dapat diketahui banyaknya mahasiswa yg datang mengeluh apabila diketahui probabilitas yg mengeluh 0,25 adalah 2.

SOAL LAIN

1. Sebuah perusahaan sepatu mengelompokkan hasil produksinya menjadi dua bagian, yaitu kualitas ekspor, biasanya 40%, dan sisanya merupakan kualitas non ekspor, 60%. Jika diambil secara acak 10 pasang sepatu, hitung probabilitas:

  1. Semua sepatu yang berkualitas eksport

  2. Sekurang-kurangnya ada enam sepatu berkualitas eksport

  3. Banyaknya sepatu yang berkualitas eksport

Pembahasan

  1. Menghitung probabilitas semua sepatu yang berkualitas eksport
dbinom(10,10,0.4) #Probabilitas semua sepatu yang berkualitas eksport, P(X=10)
## [1] 0.0001048576

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas semua sepatu yang berkualitas eksport, P(X=10) adalah 0.0001048576.

  1. Menghitung probabilitas sekurang-kurangnya ada enam sepatu berkualitas eksport
1-pbinom(5,10,0.4) #Probabilitas sekurang-kurangnya ada enam sepatu berkualitas eksport, P(X>=6)
## [1] 0.1662386

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas sekurang-kurangnya ada enam sepatu berkualitas eksport, P(X>=6) adalah 0.1662386.

  1. Menghitung probabilitas banyaknya sepatu yang berkualitas eksport
qbinom(0.166,10,0.4) #Probabilitas banyaknya sepatu yang berkualitas eksport apabila probabilitas banyak 0,166 dg n = 10 dan p = 0,4
## [1] 2

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas banyaknya sepatu yang berkualitas eksport apabila probabilitas banyak 0,166 dg n = 10 dan p = 0,4 adalah 2.

2. Jumlah pemesanan motor produk nasional di sebuah agen adalah 20 buah per minggunya. Tingkat permintaan rata-rata tersebut relatif tetap dan pelanggan tidak saling mempengaruhi satu sama lainnya mengenai kebiasaan belanja mereka. Tentukan:

  1. Berapakah probabilitas bahwa lebih dari 20 motor yang dipesan dalam satu minggu tertentu?

  2. Berapa probabilitas tepat sebanyak 17 motor dipesan dalam seminggu?

Pembahasan

  1. Menghitung probabilitas bahwa lebih dari 20 motor yang dipesan dalam satu minggu tertentu
1-ppois(19,20) #Probabilitas bahwa lebih dari 20 motor yang dipesan dalam satu minggu tertentu, P(X>=20)
## [1] 0.5297427

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas bahwa lebih dari 20 motor yang dipesan dalam satu minggu tertentu, P(X>=20) adalah 0.5297427.

  1. Menghitung probabilitas tepat sebanyak 17 motor dipesan dalam seminggu
dpois(17,20) #Probabilitas tepat sebanyak 17 motor dipesan dalam seminggu, P(X=17)
## [1] 0.0759542

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas tepat sebanyak 17 motor dipesan dalam seminggu, P(X=17) adalah 0.0759542.

3. Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang:

  1. Sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh

  2. Ada 3 sampai 8 orang yg sembuh

Pembahasan

  1. Menghitung peluang sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh
1-pbinom(9,15,0.4) #Peluang sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh, P(X>=10)
## [1] 0.0338333

Dari output di atas dapat diketahui Peluang sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh, P(X>=10) adalah 0.0338333.

  1. Menghitung peluang ada 3 sampai 8 orang yang sembuh
pbinom(8,15,0.4)-pbinom(3,15,0.4) #Peluang ada 3 sampai 8 orang yang sembuh, P(3<=X<=8)
## [1] 0.8144507

Dari output di atas dapat diketahui Peluang ada 3 sampai 8 orang yang sembuh, P(3<=X<=8) adalah 0.8144507.

4. Sensus penduduk pedalaman Watampone pada tahun 2012 menunjukkan keberadaan 3 orang albino per 175 orang. Jika diambil sampel 525 orang pada sensus tersebut dengan menggunakan pendekatan Poisson, Tentukan:

  1. Probabilitas tidak terdapat orang albino

  2. Probabilitas terdapat paling sedikit 3 orang albino

Pembahasan

  1. Menghitung probabilitas tidak terdapat orang albino
dpois(0,9) #Probabilitas tidak terdapat orang albino, P(X=0)
## [1] 0.0001234098

Dari output di atas dapat diketahui Probabilitas tidak terdapat orang albino, P(X=0) adalah 0.0001234098.

  1. Menghitung probabilitas terdapat paling sedikit 3 orang albino
1-ppois(2,9) #Probabilitas terdapat paling sedikit 3 orang albino, P(X>=3)
## [1] 0.9937678

Dari output di atas dapat diketahui probabilitas terdapat paling sedikit 3 orang albino, P(X>=3) adalah 0.9937678.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Tentang saya, silakan kunjungi: