Operaciones Elementales entre Filas

Operación 1: Intercambio de Filas \[F_i\longrightarrow F_j \Longleftrightarrow F_j\longrightarrow F_i\]

La fila “i” pasa a la fila “j” y La fila “j” pasa a la fila “i”

Operación 2: Multiplo Escalar de una Fila

\[k \cdot F_i \longrightarrow F_i\]

Multiplicar la fila “i” por el escalar “k” y dejar el resultado en la fila “i”

Operación 3: Suma del multiplo escalar

\[k \cdot F_i+F_j \longrightarrow F_j\]

Multiplicar la fila “i” por el escalar “k” y sumar la fila “j” y dejar el resultado en la fila “j”

Matriz Aumentada

Es la combinación de 2 matrices que poseen la misma cantidad de filas.

Si \(A\) es de orden \(m\times n\) y la matriz \(B\) es de dimensión \(m \times q\) la matriz aumentada será: \([A|B]\)

Ejemplo:

\(A=\left[\begin{array}{rrr} 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{array} \right] \hspace{5cm} B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \right]\)

Matriz Aumentada \([A|B]\) \[\left[ \begin{array}{rrrrrr} 4 & 5 & 6 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 & 5 & 3 \\ 9 & 2 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \right]\]

Matriz Inverza, utilizando OEF

Si \(A\) es una matriz Cuadrada no singular, su matriz inversa \(A^{-1}\) satisface la condición : \(A\cdot A^{-1}=I\)

Para calcular \(A^{-1}\), usando OEF hay que tener en cuenta el siguiente esquema:

\([A|I]\Longrightarrow\)OEF\(\Longrightarrow [I|A^{-1}]\) Donde \(I\) es una matriz identidad del mismo orden que la matriz \(A\)

Ejemplo 1: Calcular la Inversa de la siguiente matriz

\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & -2 & -3 \\ 1 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & -2 \\ \end{array} \right]\]

Desarrollo del Ejemplo 1 [parte 1]

Paso 1: construir la matriz aumentada

\[S=\left[ \begin{array}{rrrrrr} 0 & -2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]\] Paso 2: Ejecutar las operaciones entre filas:

\[F_1\longrightarrow F_2 \Longleftrightarrow F_2\longrightarrow F_1:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\]

\[ F_1+F_3 \longrightarrow F_3:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\]

Desarrollo del Ejemplo 1 [Parte 2]

\[ -\frac{1}{2} \cdot F_2 \longrightarrow F_2:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\]

\[ -3 \cdot F_2+F_1 \longrightarrow F_1:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 0 & -3/2 & 3/2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\]

Desarrollo del Ejemplo 1 [Parte 3]

\[ -F_2+F_3 \longrightarrow F_3:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 0 & -3/2 & 3/2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1/2 & 1/2 & 1 & 1 \\ \end{array}\]

\[ -2 \cdot F_3 \longrightarrow F_3:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 0 & -3/2 & 3/2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & -2 \\ \end{array}\]

Desarrollo del Ejemplo 1 [Parte 4]

\[ \frac{3}{2} \cdot F_3+F_1 \longrightarrow F_1:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & -2 \\ \end{array}\]

\[ -\frac{3}{2} \cdot F_3+F_2 \longrightarrow F_2:\]

\[\begin{array}{llllll} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & -2 \\ \end{array}\]

Respuesta:

\[A^{-1}=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & -2 & -3 \\ 1 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & -2 \\ \end{array} \right]\]

Rango de una matriz usando OEF

Definición: El rango de una matriz \(A_{m \times n}\), representado por \(Rg(A)\) indica la cantidad de vectores linealmente independientes en \(A\), por definición \(Rg(A)\le min\{m,n\}\)

Para calcular el rango de una matriz\(A_{m \times n}\)se procede a transformar dicha matriz en escalonada, a través de las OEF.

El rango será el numero de filas cuyos elementos no sean todos cero.

Ejemplos: encontrar el rango de las siguientes matrices

\[\hspace{1.25cm}A= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 10 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \hspace{6cm} B= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 & 5 \end{pmatrix}\] \[ \hspace{1cm} C= \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & -4 & 6 & -3 \\ -3 & 5 & -6 & 1 \end{pmatrix}\hspace{2cm} D=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Forma Escalonada de \(A\)

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    2
## [2,]    0    1
## [3,]    0    0

Para \(A\) se tiene \(Rg(A)=2\)

Forma Escalonada de \(B\)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1   -1    2    1
## [2,]    0    1    1   -2
## [3,]    0    0    0    0

Para \(B\) se tiene \(Rg(B)=2\)

Forma Escalonada de \(C\)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1 -1/3    0  2/3
## [2,]    0    1 -3/2  3/4
## [3,]    0    0    1 -1/6
## [4,]    0    0    0    0

Para \(C\) se tiene \(Rg(C)=3\)

Forma Escalonada de \(D\)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1  5/4    0
## [2,]    0    1 8/21
## [3,]    0    0    1

Para \(D\) se tiene \(Rg(D)=3\)