Input Data

survei<-matrix(data=c(30,3,44,41,9,62,34,4,74,48,10,48,23,6,14),ncol=5,nrow=3,byrow=FALSE,dimnames=list(c("Rendah","Sedang","Tinggi"),c("Pertanian","PNS","Business owner","Profesional","Lainnya")))
survei

##        Pertanian PNS Business owner Profesional Lainnya
## Rendah        30  41             34          48      23
## Sedang         3   9              4          10       6
## Tinggi        44  62             74          48      14

Tabulasi silang/tabel kontingensi yang telah diinput dapat disajikan dalam bentuk grafik.

Ada beberapa bentuk grafik yang bisa disajikan dari tabulasi silang/tabel kontingensi:

Grouped Dot Chart

Dot chart merupakan grafik titik yang menunjukkan nilai frekuensi atau proporsi dari suatu kriteria kategorik dari tabulasi silang atau tabel kontingensi.

Dalam membuat Dot Chart harus ditentukan kriteria/peubah apa yang menjadi dasar pengelompokan dan apakah disajikan dalam bentuk nilai frekuensi atau proporsi. Berikut disajikan beberapa alternatif penyajian Dot Chart dengan menggunakan data Survei yang merupakan tabel dua arah antara peubah jenis pekerjaan dan kemampuan pengelolaan keuangan:

Pengelompokan berdasarkan pekerjaan

dotchart(survei,xlab="Frequency",xlim=c(0,100))

Pengelompokkan berdasarkan kemampuan pengelolaan keuangan

dotchart(t(survei),xlab="Frequency",xlim=c(0,100))

Dot chart proporsi

n<-sum(survei)
propsurvei<-survei/n
dotchart(propsurvei,xlab="Relative Frequency", xlim=c(0,0.3))

Dotchart proporsi per jenis pekerjaan

jumkerja <-colSums(survei)
proppekerjaan<-survei/rbind(jumkerja,jumkerja,jumkerja)
dotchart(proppekerjaan,xlab="Conditional Relative Frequency",xlim=c(0,1))

Grouped Dot Whisker Chart

Grouped Dot Whisker Chart merupakan pengembangan dari Group Dot Chart dengan nilai proporsi dari data tabulasi silang. Pada Grouped Dot Whisker Chart data proporsi ditambahkan dengan informasi selang kepercayaan dari proporsi yaitu nilai proporsi ditambahkan dengan informasi margin of error. Dimana margin of error merupakan perkalian antara standar deviasi dari proporsi dengan rumus \(Var=PQ/n\) (Sd merupakan akar dari Var) dengan nilai \(Z_{\alpha/2}\) dimana \(\alpha\) ditentukan 5 persen sehingga $Z_{/2} sama dengan Z \(0.025\).

Rumus Selang Kepercayaan:

P +/- Margin of error

P +/- \(Z_{0.025}\) * Sd

Group dot whisker chart

n<-sum(survei)
propsurvei<-survei/n
dotchart(propsurvei,xlab="Proportion",lcolor="white",xlim=c(0,0.3))
sd<-sqrt((1.-propsurvei)*propsurvei/n)
sd<-sd*qnorm(0.975)
hlo<-propsurvei-sd
hhi<-propsurvei+sd
titik<-c(propsurvei[,5],propsurvei[,4],propsurvei[,3],propsurvei[,2],propsurvei[,1])
kiri <-c(hlo[,5],hlo[,4],hlo[,3],hlo[,2],hlo[,1])
kanan<-c(hhi[,5],hhi[,4],hhi[,3],hhi[,2],hhi[,1])
dlx<-cbind(kiri,titik,kanan)
ys<-c(1:3,6:8,11:13,16:18,21:23)
dly<-cbind(ys,ys,ys)
ldl<-length(survei)
for (i in 1:ldl) lines(dlx[i,],dly[i,])

Two Way Dot Chart

Pada penyajian Grouped Dot Chart pada no 1 dilakukan secara bersarang dan alternatif lain penyajian Grouped Dot Chart adalah dilakukan secara bersilang.

Penyajian bersarang

dotplot(survei,xlab="Frequency",as.table=TRUE,groups=FALSE,stack=FALSE,layout=c(1,5),scales=list(alternating=3))

Penyajian bersilang

dotplot(survei,xlab="Frequency",as.table=TRUE,groups=FALSE,stack=FALSE,layout=c(5,1),scales=list(alternating=3))

Side by side Bar Chart

Side by side bar chart merupakan grafik batang yang menunjukkan nilai frekuensi untuk kriteria tertentu dalam tabulasi silang atau tabel kontingensi. Kategori tersebut disajikan dalam grafik batang dengan penggolongan kriteria suatu peubah ke samping.

Bar plot frekuensi

barplot(survei,horiz=TRUE,xlab="Frequency",ylab="Pekerjaan",beside=TRUE,cex.names=0.6,xlim=c(0,100),col=c(6,7,4))
legend("topright", legend= rownames(survei), fill=c(6,7,4),ncol = 2,cex = 0.5)

Bar plot proporsi

barplot(propsurvei,horiz=TRUE,xlab="Relative Frequency",ylab="Pekerjaan",beside=TRUE,cex.names=0.6,xlim=c(0,0.3),col=c(5,10,15))
legend("topright", legend= rownames(propsurvei), fill=c(5,10,15),ncol = 2,cex = 0.5)

Side by side Stacked Bar Chart

Side by side stacked bar chart merupakan salah satu bentuk penyajian data kategorik tabulasi silang atau tabel kontingensi. Sejalan dengan grafik batang pada no 4 namun kriteria kategori disajikan bertumpuk (stacked).

barplot(survei,horiz=TRUE,xlab="Frequency",ylab="Pekerjaan",beside=FALSE,cex.names=0.6,xlim=c(0,150),col=c(3,4,6))
legend("topright", legend= rownames(survei), fill=c(3,4,6),ncol = 2,cex = 0.5)

Mosaic Chart

Mosaic chart merupakan grafik untuk menampilkan data kategorik dalam tabulasi silang/tabel kontingensi yang sejenis dengan side by side stacked bar chart. Perbedaan antara side by side stacked bar chart dengan mosaic chart adalah jika pada stacked bar chart total frekuensi jika mosaic chart totalnya adalah 100 persen. Atau mosaic chart merupakan stacked bar chart untuk proporsi terhadap total kategori suatu peubah. Misal pada contoh adalah proporsi terhadap total jenis pekerjaan.

mosaicplot(t(survei),main=" ", las=1,cex=0.75,color=c(2,4,7))

Membangkitkan 100 data dari populasi Bernoulli \(P=0.2\)

x <- rbinom(100,1,0.2)
barplot(table(x))

Membangkitkan 100 data dari populasi Bernoulli \(P=0.5\)

y <- rbinom(100,1,0.5)
barplot(table(y))

Catatan: Terlihat bahwa data bangkitan antara \(P=0.2\) dan \(P=0.5\) terlihat berbeda dan pada \(P=0.5\) cenderung seimbang antara \(y=1\) dan \(y=0\). Nilai \(P\) pada sebaran Bernoulli merupakan parameter dari sebaran tersebut yang menentukan sebaran dari data.

Membangkitkan 100 data dari populasi Binomial dengan \(n=8\) dan \(P=0.5\)

x <-rbinom(100,8,0.5)
barplot(table(x))

Membangkitkan 1000 data dari populasi Binomial dengan \(n=8\) dan \(P=0.5\)

x <-rbinom(1000,8,0.5)
barplot(table(x))

Catatan: Berdasarkan diagram garis di atas diperoleh informasi bahwa semakin besar data yang dibangkitkan maka akan cenderung membentuk grafik yang simetris (cenderung membentuk bentuk lonceng/ kurva normal)

Dengan fungsi pada R pbinom akan menghasilkan nilai peluang kumulatif dari sebaran Binomial. Berikut merupakan contoh kasus dan penyelesaian dengan pbinom:

Contoh Soal

Misalkan terdapat 12 nasabah asuransi di suatu tempat. Diketahui bahwa proporsi nasabah telat bayar polis ialah \(1/6\). Jika antar nasabah saling bebas tentukanlah peluang bahwa terdapat 7 sampai 9 nasabah yang telat bayar polis!

\(X \sim banyaknya nasabah asuransi yang telat membayar\)

\(X \sim binomial(n=12 p=1/6)\)

\(P(7<=X<=9) = P(X<=9)- P(X<=6)\)

pbinom (9, size=12, prob =1/6)-pbinom (6, size=12, prob =1/6)

## [1] 0.001291758

sum(dbinom(7:9,12,1/6))

## [1] 0.001291758

Membangkitkan 1000 data dari populasi Poisson dengan \(\lambda=1\)

x <- rpois(1000,1)
barplot(table(x))

Membangkitkan 1000 data dari populasi Poisson dengan \(\lambda=3\)

x <- rpois(1000,3)
barplot(table(x))

Membangkitkan 1000 data dari populasi Poisson dengan \(\lambda=6\)

x <- rpois(1000,6)
barplot(table(x))

Catatan: Besaran parameter lambda menentukan kemencengan dari grafik data. Semakin kecil lambda maka akan semakin menceng ke kanan.

Dengan fungsi pada R ppois akan menghasilkan nilai peluang kumulatif dari sebaran Poisson. Berikut merupakan contoh kasus dan penyelesaian dengan ppois:

Contoh Soal:

Misalkan di suatu kota secara rata rata terdapat 2 mesin ATM yang rusak dalam 1 tahun:

1. Berapakah peluang tidak ada mesin ATM rusak dalam 1 tahun ke depan

2. Berapakah peluang terdapat 2 mesin ATM rusak dalam 2 tahun ke depan

Solusi:

Misal \(X\) banyaknya mesin ATM yang rusak pada waktu 1 tahun

\(X \sim poisson (lambda=1)\)

ppois(0,lambda=1)

## [1] 0.3678794

dpois(0,1)

## [1] 0.3678794

diff(ppois(c(1,2),lambda=2))

## [1] 0.2706706

dpois(1,2)

## [1] 0.2706706

Membangkitkan 1000 data dari populasi Geometrik dengan \(P=0.2\)

x <- rgeom(1000,0.2)
barplot(table(x))

Membangkitkan 1000 data dari populasi Geometrik dengan \(P=0.5\)

x <- rgeom(1000,0.5)
barplot(table(x))

Membangkitkan 1000 data dari populasi Geometrik dengan \(P=0.8\)

x <- rgeom(1000,0.8)
barplot(table(x))

Catatan: Perbedaan pada nilai parameter dari sebaran geometrik berpengaruh pada lebar nilai \(x\) yang keluar. Semakin besar nilai \(P\) maka nilai \(x\) akan semakin sempit atau semakin sedikit nilai \(x\) yang muncul. Namun secara grafik terlihat bahwa bangkitan data dari sebaran geometrik selalu menceng ke kanan.

Untuk menghitung peluang dari suatu peubah acak yang mengikuti sebaran Geometrik digunakan fungsi pgeom untuk mendapatkan nilai kumulatif dari sebaran geometrik. Berikut merupakan contoh kasus dari sebaran geometrik:

Contoh Soal:

Misalkan X banyaknya bulan yang dilalui sampai Pak Yus menang undian.

\(X \sim geometrik (p=0.45)\)

diff(pgeom(c(2,3),prob=0.45))

## [1] 0.07486875

dgeom(3,0.45)

## [1] 0.07486875

pgeom(4,prob=0.45,lower.tail = FALSE)

## [1] 0.05032844

sum(dgeom(5:12,0.45))

## [1] 0.04990702

Membangkitkan 1000 data dari populasi Hypergeometrik dengan \(m=50\), \(n=50\), \(k=10\)

x <- rhyper(1000,50,50,10)
barplot(table(x))

Membangkitkan 1000 data dari populasi Hypergeometrik dengan \(m=20\), \(n=80\), \(k=10\)

x <- rhyper(1000,20,80,10)
barplot(table(x))

Catatan: Besaran parameter menentukan sebaran dari data bangkitan, semakin besar \(m\) dan \(n\) akan menentukan kemencengan dari data bangkitan. Jika nilai \(m\) dan \(n\) cenderung seimbang maka data dari bangkitan cenderung simetris.

Untuk menghitung peluang dari sebaran Hypergeometrik menggunakan fungsi dhyper(fungsi massa peluang). Berikut adalah contoh kasus dari hypergeometrik:

Contoh Soal

Misalkan \(X\) banyaknya nasabah kategori A yang terpilih.

Maka \(X \sim hipergeometrik(N=100,m=60,n=20)\)

\(P(X=10)\)

dhyper(10,m=60,n=40,k=20)

## [1] 0.1192361