Actividad ACP

Objetivo

El objetivo es estudiar la relación calidad precio de 35 marcas de whisky, utilizando las variables precio (francos franceses), proporción de malta ( %), vejez (añejamiento en años) y apreciación (nota promedio de un panel de catadores redondeada a entero). Se dispone además de una variable categórica “categorías”, que clasifica las marcas según su contenido de malta (1=Bajo, 2=Estándar, 3=Puro malta).

Para obtener los datos use:

library(FactoClass)
data("Whisky")
head(Whisky)

##   price malt type aging taste
## 1    70   20  low   5.0     3
## 2    60   20  low   5.0     2
## 3    65   20  low   7.5     2
## 4    74   25  low  12.0     2
## 5    70   25  low  12.0     3
## 6    73   30  low   5.0     0

Y=Whisky[,-3]

Trabajo

Realice primero un ACP no normado y luego un ACP normado utilizando el software R y responda a las preguntas.

Para el ACP no normado utilice:

library(FactoMineR)
library(factoextra)

acpc <- PCA(Y, scale.unit = F)

## Warning: ggrepel: 20 unlabeled data points (too many overlaps). Consider
## increasing max.overlaps

get_eigenvalue(acpc)

##       eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 953.238889       84.4467052                    84.44671
## Dim.2 169.350357       15.0026188                    99.44932
## Dim.3   4.980882        0.4412525                    99.89058
## Dim.4   1.235178        0.1094234                   100.00000

fviz_eig(acpc, addlabels=T)

Pregunta 1

En el ACP no normado, analice la contribución de las variables a la inercia. ¿Realmente se puede considerar un análisis de las cuatro variables?

No es conveniente hacer el análisis debido a que las variables no están normalizadas y la matriz de varianzas y covarianzas de las variables no normadas muestra que la varianza acumulada esta cubierta en 99.4% por las variables price y malt dejando a un lado la importancia de las otras dos variables aging y taste, que no aportan a la variables no normada debido a su escala de valores tan pequeños.

Pregunta 2

Realice el ACP normado, justifique por qué es el que conviene para los objetivos de este taller.

acpn=PCA(Y)

## Warning: ggrepel: 7 unlabeled data points (too many overlaps). Consider
## increasing max.overlaps

get_eig(acpn)

##       eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1  2.2332690        55.831725                    55.83172
## Dim.2  0.8064826        20.162065                    75.99379
## Dim.3  0.6295103        15.737758                    91.73155
## Dim.4  0.3307381         8.268451                   100.00000

get_eigenvalue(acpn)

##       eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1  2.2332690        55.831725                    55.83172
## Dim.2  0.8064826        20.162065                    75.99379
## Dim.3  0.6295103        15.737758                    91.73155
## Dim.4  0.3307381         8.268451                   100.00000

En la figura se muestra el histograma de valores propios con los valores numéricos en la parte inferior. dos valores propios se destacan, pero solo uno es mayores que

Seguramente dos son suficientes, pero se debe verificar si el tercer eje permite alguna descripción adicional al primer plano factorial.

El primer plano retiene el 75.99 % de la inercia y los tres primeros ejes, el 91.7 %.

Pregunta 3

¿Cuántos ejes retiene para el análisis? ¿Por qué?

get_eigenvalue(acpn)

##       eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1  2.2332690        55.831725                    55.83172
## Dim.2  0.8064826        20.162065                    75.99379
## Dim.3  0.6295103        15.737758                    91.73155
## Dim.4  0.3307381         8.268451                   100.00000

fviz_eig(acpn,addlabels = T)

En la figura se muestra el histograma de valores propios con los valores numéricos en la parte inferior. dos valores propios se destacan, pero solo uno es mayores que 1. Seguramente dos son suficientes.
En el scree plot podemos ver que el codo se realiza en la segunda dimensión
El primer plano retiene el 75.99 % de la inercia

Por lo anterior, para hacer el analisis se eligen los 2 primeros ejes para un total acumulado 75.99%.

Pregunta 4

¿Cuál es la variable que más contribuye al primer eje? ¿Cuál es la que menos? (indique los porcentajes).

fviz_contrib(acpn, choice = "var", axes=1, addlabels=T)

get_pca_var(acpn)$contrib

##          Dim.1       Dim.2     Dim.3      Dim.4
## price 32.98278  6.83923015  3.085017 57.0929775
## malt  29.08912 13.53859727 17.211516 40.1607634
## aging 23.58356  0.04937816 73.749324  2.6177390
## taste 14.34454 79.57279442  5.954142  0.1285201

La variable que más contribuye al primer eje es price con un 32.98%.
La variable que menos contribuye al primer eje es taste con un 14.34%

Pregunta 5

Según el círculo de correlaciones, ¿cuáles son las variables más correlacionadas? ¿Cuánto es la correlación? ¿Si corresponden a lo que se observa en la matriz de correlaciones?

fviz_pca_var(acpn, col.var = "red")

según el círculo de correlaciones las variables más correlacionadas son price y malt

cor(Y)

##           price      malt     aging     taste
## price 1.0000000 0.6568555 0.4827850 0.3156480
## malt  0.6568555 1.0000000 0.3879767 0.2627287
## aging 0.4827850 0.3879767 1.0000000 0.2967513
## taste 0.3156480 0.2627287 0.2967513 1.0000000

Las variables más correlacionadas son malt y price la correlación entre estas variables es de 0.656 y corresponde a lo visto en el círculo de correlaciones

Pregunta 6

¿Cuál es la variable mejor representada en el primer plano factorial? ¿Cuál la peor? (escriba los porcentajes).

get_pca_var(acpn)$contrib

##          Dim.1       Dim.2     Dim.3      Dim.4
## price 32.98278  6.83923015  3.085017 57.0929775
## malt  29.08912 13.53859727 17.211516 40.1607634
## aging 23.58356  0.04937816 73.749324  2.6177390
## taste 14.34454 79.57279442  5.954142  0.1285201

fviz_contrib(acpn, choice = 'var',axes = 1:2)

La variable mejor representada en el primer plano factorial es taste con un 14.34%+ 79.57%= 93.91%
La variable peor representada en el primer plano factorial es aging con un 23.58% + 0.04%= 23.62%

fviz_cos2(acpn, choice = "var", axes=1:2)

Pregunta 7

¿Qué representa el primer eje? ¿Qué nombre le asignaría? ¿Qué representa el segundo eje?

fviz_pca_biplot(acpn)

fviz_pca_biplot(acpn, col.ind = Whisky$type, addEllipses = T, repel = T, legend.title="Tipo")

## Warning: ggrepel: 4 unlabeled data points (too many overlaps). Consider
## increasing max.overlaps

El eje horizontal clasifica el grado de pureza del Whisky por contenido de malta de izquierda a derecha (low-pure)
El segundo eje los clasifica de abajo hacia arriba por su apreciación;

Pregunta 8

¿Cuál es el individuo mejor representado en el primer plano factorial? Ubique sobre el gráfico de individuos al peor representado sobre el primer plano factorial (indique los porcentajes).

Revisemos los cosenos cuadrados para verificar esta información

fviz_cos2(acpn, choice = "ind", axes=1:2)

fviz_contrib(acpn, choice = 'ind',axes = 1:2)

El individuo mejor representado en el primer plano factorial es el número 3
El individuo peor representado en el primer plano factorial es el número 11

get_pca_ind(acpn)$contrib

##           Dim.1        Dim.2        Dim.3        Dim.4
## 1   3.364301530 4.416160e+00  5.690576171  0.765867739
## 2   6.367478764 9.029230e-01  3.099057829  0.028825853
## 3   3.313206812 7.492540e-01  0.004310974  0.004710241
## 4   0.195485229 3.430150e-01  7.964098167  0.052766778
## 5   0.047039291 4.361699e+00  6.072472471  0.594267745
## 6   6.674079122 5.934565e+00  2.148711165  0.628431177
## 7   4.152905503 5.343742e+00  0.547095161  0.011133871
## 8   6.072775251 6.733800e-01  3.962603660  2.023635488
## 9   5.491416174 6.392573e+00  1.402243540  1.329051020
## 10  0.172835514 7.973388e+00 10.016817465  3.082533010
## 11  0.004179031 6.615177e-02  6.282707115  0.111209846
## 12  3.369804144 1.178840e+00  0.853066315  0.048247048
## 13  1.350541929 4.079309e+00  0.257960757  2.195638338
## 14  0.276971380 2.124141e+00  3.531395285  0.367294553
## 15  0.265007922 3.893237e-02  0.975943295  0.008206388
## 16  0.065030629 9.049045e+00  0.168241898  1.611067911
## 17  0.182025535 3.269880e-02  0.177115718  0.748368548
## 18  0.433767435 2.553472e-05  0.082500578  0.005188900
## 19  0.077245339 1.304997e-02  0.111160035  0.204640765
## 20  0.083499349 6.884709e+00  1.662117633  0.474817150
## 21  0.196798934 1.280747e-04  0.183913204  0.013016794
## 22  0.492817901 2.150228e+00  0.649272629  0.098466398
## 23  0.283800464 3.635863e-02  5.693964238  0.212023748
## 24  2.090328978 4.917824e-01  1.469417745  7.460384856
## 25  1.148357468 5.287180e-02  6.600232066  2.026234156
## 26  4.061846902 3.612664e+00  0.311262601  6.970085650
## 27  1.197390869 8.560550e-01  1.733461700  0.643400582
## 28  0.397305978 1.630173e+00  2.508593545  0.614617364
## 29  8.780181173 7.809684e-03 16.053973265  1.216559207
## 30 19.814526774 4.348624e+00  2.877103864 18.303040087
## 31  6.197597381 1.155118e+00  0.630709875 13.989775965
## 32  2.693992161 2.655251e+00  0.022669288 16.139892640
## 33  4.133469395 3.738514e-01  3.932413135  4.610067833
## 34  5.053879532 3.541008e-01  1.605165175  5.443971726
## 35  1.498110207 2.171738e+01  0.717652438  7.962560629

contrib =get_pca_ind(acpn)$contrib[,1]+ get_pca_ind(acpn)$contrib[,2]
which.max(contrib)

## 30 
## 30

contrib[30]

##       30 
## 24.16315

cos2=get_pca_ind(acpn)$cos2[,1]+ get_pca_ind(acpn)$cos2[,2]
which.max(cos2)

## 3 
## 3

which.min(cos2)

## 11 
## 11

cos2[3]

##         3 
## 0.9994666

cos2[11]

##         11 
## 0.01546017

fviz_contrib(acpn, choice = "ind", axes=1:2)

Pregunta 9

¿Qué características tienen las marcas de Whisky según sus ubicaciones en el plano? (a la derecha, a la izquierda, arriba, abajo)

fviz_pca_biplot(acpn,repel = T, col.ind = Whisky$type)

## Warning: ggrepel: 1 unlabeled data points (too many overlaps). Consider
## increasing max.overlaps

En el primer plano factorial, las marcas de whisky que se encuentran en la parte derecha del origen son aquellas que tiene precio más alto, proporcion de malta alta y tiempo de añejamiento largo; a medida que se va hacia la izquierda del plano, estas caracteristicas disminuyen.
De abajo hacia arriba del plano se ve que las marcas de Whisky tienen mejor apreciación o taste en la parte de arriba; a medida que se mueve hacia abajo del plano la apreciación de las marcas de Whisky disminuye

Pregunta 10

A partir de la posición en el plano deduzca las características de las tres categorías de whisky (lujo, estándar y pura malta).

La categoría Pura Malta se caracteriza por tener un contenido alto de malta, timpos de anejamiento altos y un elevado precio.

-En la categoría Estandar, se caracteriza por estar relacionado con buenas calificaciones de apreciación; sin mebargo, posee muy poca relación con las caracteristicas de añejamiento, precio y contenido de malta.

La categoría Bajo, se describe como marcas de Whisky que poseen baja cantidad de malta, precios mas bajos y no nesesariamente se ve definida por la escala de apreciación.

Pregunta 11

Supongamos que usted desea comprar una botella de Whisky con buena apreciación y que no sea tan cara. Dé dos números de marcas que compraría. ¿Por qué? ?Cuáles son las características de las dos marcas?

Según la gráfica serían los Whiskys de marcas 16 y 20 por que estan en la parte de arriba del plano, mas alineados con el eje principal 2, que corresponde a una buena apreciación y sus coordenadas en el eje principal 1 estan muy cercanas al origen, lo que corresponde a un precio medio. Ademas, se ve que la marca 16 tiene mejor añejamiento que la 20. Todo esto se corrobora con las coordenadas de las dos marcas de mayor participación sobre el eje 2

order(acpn$ind$coord[,2],decreasing = T)

##  [1] 16 20  1  5 13 26 14 28 31  2 27  3  8 24  4 11 15 29 21 18 19 17 23 25 34
## [26] 33 12 22 32 30  7  6  9 10 35

head(Whisky[order(acpn$ind$coord[,2],decreasing = T),],10)

##    price malt type aging taste
## 16    73   40  med  10.5     4
## 20    87   40  med   8.5     4
## 1     70   20  low   5.0     3
## 5     70   25  low  12.0     3
## 13    62   33  med   8.0     3
## 26   113   45  med  12.0     4
## 14    87   33  med  12.0     3
## 28    82   45  med  12.0     3
## 31    90  100 pure  12.0     4
## 2     60   20  low   5.0     2

summary(Whisky)

##      price             malt         type        aging            taste      
##  Min.   : 55.00   Min.   : 20.0   low :11   Min.   : 5.000   Min.   :0.000  
##  1st Qu.: 73.00   1st Qu.: 30.0   med :17   1st Qu.: 8.000   1st Qu.:2.000  
##  Median : 83.00   Median : 40.0   pure: 7   Median :10.000   Median :2.000  
##  Mean   : 85.71   Mean   : 47.4             Mean   : 9.529   Mean   :2.229  
##  3rd Qu.: 91.50   3rd Qu.: 45.0             3rd Qu.:12.000   3rd Qu.:3.000  
##  Max.   :160.00   Max.   :100.0             Max.   :12.500   Max.   :4.000

Whisky$price

##  [1]  70  60  65  74  70  73  70  55  77  93  82  73  62  87  78  73  87  80  85
## [20]  87  80  83  90 110  87 113  96  82 127 160  90  86 100 100  95

Pregunta 12

Seleccione dos marcas que definitivamente no compraría. ¿Por qué? ¿Qué características tienen?

order(acpn$ind$coord[,2],decreasing = F)

##  [1] 35 10  9  6  7 30 32 22 12 33 34 25 23 17 19 18 21 29 15 11  4 24  8  3 27
## [26]  2 31 28 14 26 13  5  1 20 16

head(Whisky[order(acpn$ind$coord[,2],decreasing = F),])

##    price malt type aging taste
## 35    95  100 pure  12.0     0
## 10    93   30  low  12.0     0
## 9     77   30  low   5.5     0
## 6     73   30  low   5.0     0
## 7     70   30  low   8.0     0
## 30   160  100 pure  12.0     3

No se comprarían las marcas 35 y 10, porque tienen baja calificación en la apreciación y ademas el precio es relativamente alto.