El análisis de correspondencias simples (ACS)
Se utiliza para describir tablas de contingencia (TC) mediante la representación geométrica de las tablas de condicionales fila y columna (perfiles) derivadas de aquellas.
El objetivo del ACS es describir las asociaciones entre las variables fila y columna, a través de sus perfiles:
Comparar los perfiles fila.
Comparar los perfiles columna.
Estudiar las correspondencias entre perfiles fila y columna
Tabla de contingencia: En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la asociación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales).
La metodología la desarrolló Benzecri, a principios de los años 60 del siglo XX en la Universidad de Renner (Francia). En esencia. es un tipo especial de análisis de componentes principales pero realizado sobre una tabla de contingencia y usando una distancia euclídea ponderada llamada chi-cuadrado
Ejemplo: supongamos 400 tiendas de discos repartidas entre los países de la U.E. Se clasifica a los compradores en 3 categorías distintas: Jóvenes, Edad Media, Mayores, y a los tipos de música en 5 tipos:
- A = Música disco
- B = Rock’n’roll y música americana
- C = Pop y música inglesa (melódicas)
- D = Jazz y música autóctona
- E = Clásica
- Se define el perfil de una tabla como el conjunto de las frecuencias de una fila o de una columna dividido entre el total de la fila o columna.
- Se puede ver que un
- 45% de compradores es Joven,
- 40 % Medianos y
- 15% Mayores.
- Por tipos de música, por ejemplo en el tipo E el reparto de edades difiere de la media: (70% frente a 45% en Jóvenes, 10% frente a 40% en Medianos).
Si nos centramos en las columnas
\[\begin{array}{lcccc} & \text { Jov } & \text { Med } & \text { Mayores} & \text { Total } \\ \text { A } & 0.39 & 0 & 0 & 0.175 \\ \text { B } & 0.25 & 0.28 & 0 & 0.225 \\ \text { C } & 0.17 & 0.19 & 0.50 & 0.225 \\ \text { D } & 0 & 0.50 & 0.33 & 0.25 \\ \text { E } & 0.19 & 0.03 & 0.17 & 0.125 \end{array}\]Por ejemplo de los 160 compradores en el caso de los de mediana edad, un 50% compra el tipo de música \(D\) en vez del porcentaje general del 25%.
Independencia
Si el hecho de que aparezca o se presente una categoría junto con otra no es ni más ni menos probable de que se presenten las dos categorías por separado, se dice que las variables son independientes y, en general, se dice que la tabla es homogénea.
Dadas dos variables aleatorias \(X\) e \(Y\) , son independientes si
\[P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=P\left(X=x_{i}\right) \cdot P\left(Y=y_{j}\right)\]
para todo (\(i,j\))
\[ \begin{aligned} p_{i j} &=\frac{n_{i j}}{n . .} \\ p_{i .} &=\frac{n_{i .}}{n . .} \\ p_{. j} &=\frac{n_{. j}}{n . .} \end{aligned} \] Así, si \[ P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=p_{i j}=p_{i} \cdot \times p_{\cdot j} \]
para todo \(i\), \(j\), las variables \(X\) e \(Y\) son independientes y la tabla es homogénea
En el caso de de ser cierta la hipótesis de independencia esperaremos encontrar \(E_{ij}\) objetos dentro de la casilla \((i, j)- ésima\), donde
\[ E_{i j}=n.. p_{i j}=n.. p_{i\cdot} p_{\cdot j}=\frac{n_{i\cdot} n_{\cdot j}}{n_{. .}} \]
Contraste Chi cuadrado
contraste o test que me mida las distancias entre lo que uno observa y lo que esperaría si se cumple la hipótesis nula de independencia
\[ \chi^{2}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{\left(n_{i j}-\frac{n_{i \cdot} n_{\cdot j}}{n_{. .}}\right)^{2}}{\frac{n_{i \cdot} n_{\cdot j}}{n_{..}}} \]
Distancia chi cuadrado En una tabla de contingencia donde hay \(r\) filas y \(c\) columnas se puede escribir como
$$ \[\begin{aligned} &\text { Columnas }\\ &\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & 1 & 2 & \cdots & c & \\ \hline 1 & n_{11} & n_{12} & \cdots & n_{1 c} & n_{1} . \\ & n_{21} & n_{22} & \cdots & n_{2 c} & n_{2} . \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ r & n_{r 1} & n_{r 2} & \cdots & n_{r c} & n_{r} . \\ \hline & n_{.1} & n_{.2} & \cdots & n_{. c} & n_{. .} \end{array} \end{aligned}\]$$
\[ \begin{aligned} &\text { Columnas } \\ &\begin{array}{|c|c|c|c|} 1& 2 & & c \\ \hline \frac{n_{11}}{n_{1} .} & p_{12}=\frac{n_{12}}{n_{1} .} & \cdots & p_{1 c}=\frac{n_{1 c}}{n_{1}} \\ \hline \frac{n_{21}}{n_{2}} & p_{22}=\frac{n_{22}}{n_{2}} & \cdots & p_{2 c}=\frac{n_{2 c}}{n_{2}} \\ \hline & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline \frac{n_{r 1}}{n_{r}} & p_{r 2}=\frac{n_{r 2}}{n_{r}} & \cdots & p_{r c}=\frac{n_{r c}}{n_{r}} \\ \hline \end{array} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &\text { Columnas } \\ &\begin{array}{c|c|c|c|} 1 & 2& & c \\ \hline q_{11}= \frac{n_{11}}{n_{.1}} & q_{12}=\frac{n_{12}}{n_{.2}} & \cdots & q_{1 c}=\frac{n_{1 c}}{n_{. c}} \\ \hline q_{21}= \frac{n_{21}}{n_{.2}} & q_{22}=\frac{n_{22}}{n_{.2}} & \cdots & q_{2 c}=\frac{n_{2 c}}{n_{. c}} \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline & & \vdots & \vdots \\ \hline \end{array} \end{aligned} \]
La distancia chi cuadrado entre las columnas \(i\) y \(j\) se define, entonces,como
\[ d_{i j}^{\text {col }}=\sum_{k=1}^{r} \frac{1}{p_{k} \cdot}\left(p_{k i}-p_{k j}\right)^{2} \]
donde
\[ p_{k \cdot}=\frac{n_{k \cdot}}{n . .} \]
Se puede definir una distancia similar entre dos filas \(i\) y \(j\) \[ d_{i j}^{\mathrm{fil}}=\sum_{k=1}^{c} \frac{1}{q_{k}}\left(q_{i k}-q_{j k}\right)^{2} \] donde \[ q_{\cdot k}=\frac{n_{\cdot k}}{n_{\cdot .}} \]
Cargar las librerias
library("factoextra")
library("FactoMineR")
library("gplots")
library("dplyr")Tabla de contingencias observadas
O=matrix(c(11,3,8,2,9,14,12,13,28), nrow = 3, byrow = T)
colnames(O)=c("Mano der", "Mano izq", "Manos iguales")
rownames(O)=c("pie der", "pie izq", "pies iguales")
O## Mano der Mano izq Manos iguales
## pie der 11 3 8
## pie izq 2 9 14
## pies iguales 12 13 28prueba chi cuadrado
O_chisq = chisq.test(O)
O_chisq##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: O
## X-squared = 11.942, df = 4, p-value = 0.01779con una significancia del 5% hay evidencia para decir que el tama?o de manos y pies es dependiente
O_chisq$expected## Mano der Mano izq Manos iguales
## pie der 5.50 5.50 11.0
## pie izq 6.25 6.25 12.5
## pies iguales 13.25 13.25 26.5##Parte 2 Analisis de correspondencia
library("gplots") # tabla de cotingencia plotballoonplot(as.table(O),label=T)
El tama?o del punto indica la relaci?n
Analisis de correspondencia
O_CA=CA(O, graph = T)
O_CA## **Results of the Correspondence Analysis (CA)**
## The row variable has 3 categories; the column variable has 3 categories
## The chi square of independence between the two variables is equal to 11.94209 (p-value = 0.01778711 ).
## *The results are available in the following objects:
##
## name description
## 1 "$eig" "eigenvalues"
## 2 "$col" "results for the columns"
## 3 "$col$coord" "coord. for the columns"
## 4 "$col$cos2" "cos2 for the columns"
## 5 "$col$contrib" "contributions of the columns"
## 6 "$row" "results for the rows"
## 7 "$row$coord" "coord. for the rows"
## 8 "$row$cos2" "cos2 for the rows"
## 9 "$row$contrib" "contributions of the rows"
## 10 "$call" "summary called parameters"
## 11 "$call$marge.col" "weights of the columns"
## 12 "$call$marge.row" "weights of the rows"O_CA$eig## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.117529499 98.416168 98.41617
## dim 2 0.001891427 1.583832 100.00000get_eigenvalue(O_CA)## eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 0.117529499 98.416168 98.41617
## Dim.2 0.001891427 1.583832 100.00000Para ver graficamente
fviz_screeplot(O_CA,addlabels=T)
Relacion entre mano y componentes principales
O_CA$col$coord## Dim 1 Dim 2
## Mano der 0.5831949 0.01416751
## Mano izq -0.2996904 0.06502984
## Manos iguales -0.1417522 -0.03959867Relacion entre pies y componentes principales
O_CA$row$coord## Dim 1 Dim 2
## pie der 0.58100739 0.03568459
## pie izq -0.41016232 0.05446898
## pies iguales -0.04770008 -0.04050539fviz_ca_biplot(O_CA, repel = T)
Se puede observar que la componente principal 1 es
Ejemplo \(1\)
data("housetasks")
housetasks%>%head(15)%>%DT::datatable()convertir la data como una tabla
df<-as.table(as.matrix(housetasks))
df## Wife Alternating Husband Jointly
## Laundry 156 14 2 4
## Main_meal 124 20 5 4
## Dinner 77 11 7 13
## Breakfeast 82 36 15 7
## Tidying 53 11 1 57
## Dishes 32 24 4 53
## Shopping 33 23 9 55
## Official 12 46 23 15
## Driving 10 51 75 3
## Finances 13 13 21 66
## Insurance 8 1 53 77
## Repairs 0 3 160 2
## Holidays 0 1 6 153balloonplot(t(df), label=F, main="Tareas del hogar")
Prueba chi cuadrado
(prueba de hipotesis)
\(H_0:\) variables independientes (hipótesis nula)
\(H_1:\) variables son dependientes (hipopteis alternativa)
class(housetasks)## [1] "data.frame"class(housetasks$Jointly)## [1] "integer"prueba chicuadrado
chisq.test(housetasks)##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: housetasks
## X-squared = 1944.5, df = 36, p-value < 2.2e-16p valor.
\(valor\ p = 2.2e-16\) \(2.2\times10^{-16}\)
\(valor \ p= 2.2e-16 <0.05\)
se rechaza la hipotesis nula en favor de la alternativa,
Las parejas se organizan para hacer las tareas del hogar
Analisis de correspondencia
housetasks_CA= CA(housetasks, graph = T)
print(housetasks_CA)## **Results of the Correspondence Analysis (CA)**
## The row variable has 13 categories; the column variable has 4 categories
## The chi square of independence between the two variables is equal to 1944.456 (p-value = 0 ).
## *The results are available in the following objects:
##
## name description
## 1 "$eig" "eigenvalues"
## 2 "$col" "results for the columns"
## 3 "$col$coord" "coord. for the columns"
## 4 "$col$cos2" "cos2 for the columns"
## 5 "$col$contrib" "contributions of the columns"
## 6 "$row" "results for the rows"
## 7 "$row$coord" "coord. for the rows"
## 8 "$row$cos2" "cos2 for the rows"
## 9 "$row$contrib" "contributions of the rows"
## 10 "$call" "summary called parameters"
## 11 "$call$marge.col" "weights of the columns"
## 12 "$call$marge.row" "weights of the rows"housetasks_CA$col## $coord
## Dim 1 Dim 2 Dim 3
## Wife -0.83762154 0.3652207 -0.19991139
## Alternating -0.06218462 0.2915938 0.84858939
## Husband 1.16091847 0.6019199 -0.18885924
## Jointly 0.14942609 -1.0265791 -0.04644302
##
## $contrib
## Dim 1 Dim 2 Dim 3
## Wife 44.462018 10.312237 10.8220753
## Alternating 0.103739 2.782794 82.5492464
## Husband 54.233879 17.786612 6.1331792
## Jointly 1.200364 69.118357 0.4954991
##
## $cos2
## Dim 1 Dim 2 Dim 3
## Wife 0.801875947 0.1524482 0.045675847
## Alternating 0.004779897 0.1051016 0.890118521
## Husband 0.772026244 0.2075420 0.020431728
## Jointly 0.020705858 0.9772939 0.002000236
##
## $inertia
## [1] 0.3010185 0.1178242 0.3813729 0.3147248housetasks_CA$row## $coord
## Dim 1 Dim 2 Dim 3
## Laundry -0.9918368 0.4953220 -0.31672897
## Main_meal -0.8755855 0.4901092 -0.16406487
## Dinner -0.6925740 0.3081043 -0.20741377
## Breakfeast -0.5086002 0.4528038 0.22040453
## Tidying -0.3938084 -0.4343444 -0.09421375
## Dishes -0.1889641 -0.4419662 0.26694926
## Shopping -0.1176813 -0.4033171 0.20261512
## Official 0.2266324 0.2536132 0.92336416
## Driving 0.7417696 0.6534143 0.54445849
## Finances 0.2707669 -0.6178684 0.03479681
## Insurance 0.6470759 -0.4737832 -0.28936051
## Repairs 1.5287787 0.8642647 -0.47208778
## Holidays 0.2524863 -1.4350066 -0.12958665
##
## $contrib
## Dim 1 Dim 2 Dim 3
## Laundry 18.2867003 5.5638913 7.96842443
## Main_meal 12.3888433 4.7355230 1.85868941
## Dinner 5.4713982 1.3210221 2.09692603
## Breakfeast 3.8249284 3.6986131 3.06939857
## Tidying 1.9983518 2.9656441 0.48873403
## Dishes 0.4261663 2.8441170 3.63429434
## Shopping 0.1755248 2.5151584 2.22335679
## Official 0.5207837 0.7956201 36.94038942
## Driving 8.0778371 7.6468564 18.59638635
## Finances 0.8750075 5.5585460 0.06175066
## Insurance 6.1470616 4.0203590 5.25263863
## Repairs 40.7300940 15.8806509 16.59639139
## Holidays 1.0773030 42.4539986 1.21261994
##
## $cos2
## Dim 1 Dim 2 Dim 3
## Laundry 0.73998741 0.18455213 0.075460467
## Main_meal 0.74160285 0.23235928 0.026037873
## Dinner 0.77664011 0.15370323 0.069656660
## Breakfeast 0.50494329 0.40023001 0.094826699
## Tidying 0.43981243 0.53501508 0.025172490
## Dishes 0.11811778 0.64615253 0.235729693
## Shopping 0.06365362 0.74765514 0.188691242
## Official 0.05304464 0.06642648 0.880528877
## Driving 0.43201860 0.33522911 0.232752289
## Finances 0.16067678 0.83666958 0.002653634
## Insurance 0.57601197 0.30880208 0.115185951
## Repairs 0.70673575 0.22587147 0.067392778
## Holidays 0.02979239 0.96235977 0.007847841
##
## $inertia
## [1] 0.13415976 0.09069235 0.03824633 0.04112368 0.02466697 0.01958732
## [7] 0.01497017 0.05330000 0.10150885 0.02956446 0.05793584 0.31287411
## [13] 0.19631064fviz_screeplot(housetasks_CA, addlabel=T)
El 89% de la varianzaa de las variables estan eplicadaas por las dimensiones \(1\) y \(2\)
fviz_ca_biplot(housetasks_CA,repel = T, axes=c(1,2))
Azul: filas
rojo: columnas
tareas como dinner, breafesast, laundry son realizadas con mas frecuencia por la esposa.
De las tareas Driving y repairs se encarga con mayor frecuencia el esposo.
juntos: holidays, finances, seguridad
alternan: Official
fviz_ca_biplot(housetasks_CA,repel = T, axes=c(1,3))
library("corrplot")## corrplot 0.92 loadedcorrplot(housetasks_CA$col$cos2)
distancia \(cos^2\) para la variable de tareas
corrplot(housetasks_CA$row$cos2 )
- Componente \(1\): tareas individuales realizadas dentro del hogar
- Componente \(2\): tareas realizadas en conjunto dentro del hogar
Contribucion de cada asignacion de responsabilidad
fviz_contrib(housetasks_CA, choice = "col" ,axes = 1)
fviz_contrib(housetasks_CA, choice = "col" ,axes = 2)
fviz_contrib(housetasks_CA, choice = "col" ,axes = 1:2)
fviz_contrib(housetasks_CA, choice = "row" ,axes = 1)
fviz_contrib(housetasks_CA, choice = "row" ,axes = 2)
fviz_contrib(housetasks_CA, choice = "row" ,axes = 1:2)
fviz_ca_biplot(housetasks_CA,repel = T, arrow=c(F,T), col.col="cos2", gradient.cols=c("red", "yellow", "green"), alpha.col="contrib")## Scale for 'colour' is already present. Adding another scale for 'colour',
## which will replace the existing scale.