Ejemplos operaciones con matrices (a desarrollar en clases)
Se incluirán las capturas de pantalla de la solución de clases.
Ejemplo 1, dadas las matrices \(A\) y \(B\)
\[A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \hspace{1.5cm} B= \begin{bmatrix} 2 & 0 & -3 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \hspace{1.5cm} C= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 4 \\ -2 & 1 \\ \end{bmatrix}\]
Obtener:
Solución:
Sea \(R=A-3\cdot C\) entonces:
\([r_{ij}]=[a_{ij}]-3\cdot[c_{ij}]\)
\[A-3C=R= \begin{bmatrix} 1-3\cdot 0 & 2-3\cdot 1 \\ 3-3\cdot 5 & -1-3\cdot 4 \\ 0-3\cdot (-1) & -1-3\cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -12 & -13 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \]
Solución: 1º Cálculando la transpuesta de C: \[C^{T} =\left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 5 & 4 \\ -2 & 1 \end{array} \right] ^{T} =\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 5 & -2 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right] \]
Multiplicando usando el método “tradicional”:
\[A\cdot C^{T}=R=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 5 & -2 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1\cdot 0+2\cdot 1 & 1\cdot 5+2\cdot 4 & 1\cdot (-2)+2\cdot 1 \\ 3\cdot 0+(-1)\cdot 1 & 3\cdot 5+(-1)\cdot 4 & 3\cdot (-2)+(-1)\cdot 1 \\ 0\cdot 0+(-1)\cdot 1 & 0\cdot 5+(-1)\cdot 4 & 0\cdot (-2)+(-1)\cdot 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 13 & 0 \\ -1 & 11 & -7 \\ -1 & -4 & -1 \end{array} \right] \]
Método Alternativo:
\[ \begin{bmatrix} 1 &\phantom{-} 2 \\ 3 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phantom{-}2 & \phantom{-}13 & \phantom{-}0 \\ -1 & \phantom{-}11 & -7 \\ -1 & -4 & -1 \end{bmatrix} \]
\[\hspace{2 cm} \begin{bmatrix} \phantom{-} 0 & \phantom{-} 5 & -2 \\ \phantom{-} 1 & \phantom{-} 4 & \phantom{-} 1 \end{bmatrix}\]
Ejemplo 2, con las matrices:
\[ X= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \hspace{1.5cm} A= \begin{bmatrix} a_{11} & 0\\ 0 & a_{22} \end{bmatrix} \]
Calcular:
\(X^T\cdot A\cdot X\) Solución: (Usando Multiplicación Tradicional)
\[\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_{1}\cdot a_{11}+x_{2}\cdot 0 & x_{2}\cdot 0+x_{2}a_{22} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_{1}a_{11} & x_{2}a_{22} \end{bmatrix}\] Luego: \[\begin{bmatrix} x_{1}a_{11} & x_{2}a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}\]
Solución: (Usando Multicación Alternativa)
\[\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}x_{1} & a_{22}x_{2} \end{bmatrix} [a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}]\] \[\hspace{2cm} \begin{bmatrix} \phantom{-}a_{11} & \phantom{-}0\phantom{-} \\ \phantom{-}0 & a_{22}\phantom{-} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \phantom{--}x_{1}\phantom{--}\\ \phantom{--}x_{2}\phantom{--} \end{bmatrix}\]
Ejemplo 3, dada la matriz \(P\)
\[ P= \begin{bmatrix} 0.25 & 0.75\\ 0.70 & 0.60 \end{bmatrix} \]
Calcular: \(P^3\)
Solución, usando la multiplicación tradicional(el estudiante revisará
que le de igual con la multiplicación alternativa) se tiene:
Primero encontrar \(R=P\cdot P\)
\[ \begin{bmatrix}
0.25 & 0.75 \\
0.70 & 0.60
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0.25 & 0.75 \\
0.70 & 0.60
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0.25\cdot 0.25+0.75\cdot 0.70 & 0.25\cdot 0.75+0.75\cdot 0.60 \\
0.70\cdot 0.25+0.60\cdot 0.70 & 0.70\cdot 0.75+0.60\cdot 0.60
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0.5875 & 0.6375 \\
0.5950 & 0.8850
\end{bmatrix}\]
Luego se multiplica \(R \cdot P\), cuyo
resultado es \(P^3\) \[ \begin{bmatrix}
0.5875 & 0.6375 \\
0.5950 & 0.8850
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0.25 & 0.75 \\
0.70 & 0.60
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0.5875\cdot 0.25+0.6375\cdot 0.70 & 0.5875\cdot 0.75+0.6375\cdot
0.60 \\
0.5950\cdot 0.25+0.8850\cdot 0.70 & 0.5950\cdot 0.75+0.8850\cdot
0.60
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0.59313 & 0.82313 \\
0.76825 & 0.97725
\end{bmatrix}\]
Ejemplo 4, Escriba en formato matricial la siguiente expresión:
\(\Delta = \alpha \cdot (Y-Y_0)^2+\beta \cdot (P-P_0)^2\)
Solución: \[\Delta =\alpha \cdot (Y-Y_{0})^{2}+\beta \cdot (P-P_{0})^{2}= \begin{bmatrix} Y-Y_{0} & P-P_{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y-Y_{0} \\ P-P_{0} \end{bmatrix}\]
Ejemplo 5, Aplicación: Cadenas de Markov.
Revisa el archivo power point con la solución que se subió al grupo En una cierta ciudad, cada año el 5 de los residentes del área urbana se traslada a los suburbios; y el 2 de los que habitan los suburbios se trasladan al área urbana. Adicional mente se sabe que hay una población de 1000 personas en el área Urbana y 400 personas en los Suburbios
Suponiendo que el número total de habitantes de la ciudad permanezca constante:
Represente el grafo de la situación.
Escriba la matriz de transición \(P\).
¿Cuántas personas habrá en cada una de las áreas, para el
siguiente año?
c.1) Resuelva el problema usando diagramas de árbol
c.2) Resuelva el problema usando la matriz de transición