1. Suponga que si \(\theta = i\), entonces \(y\) tiene una distribución Normal con media \(i\) y desviación estándar \(\sigma\), para \(i = 1,2\). Además, suponga que \(\textsf{Pr}(\theta = 1) = \textsf{Pr}(\theta = 2) = 0.5\).

    1. Escriba una expresión general para \(p(y)\) (densidad marginal de \(y\)) y dibújela para \(\sigma = 2\).
    2. Calcule \(\textsf{Pr}(\theta = 1\mid y = 1)\) y \(\textsf{Pr}(\theta = 2\mid y = 1)\) para \(\sigma = 2\).

  2. Suponga que la urna \(C\) está llena de 60% de balotas verdes y 40% de balotas rojas, y que la urna \(S\) está llena de 40% de balotas verdes y 60% de balotas rojas. Alguien lanza una moneda y selecciona una balota de la urna \(C\) o la urna \(S\) dependiendo de si la moneda cae cara o sello, respectivamente. Sea \(x\) igual a 1 si la moneda cae cara y 0 si la moneda cae sello, y sea \(y\) igual a 1 si la balota es verde y 0 si la balota es roja.

    1. Calcule \(\textsf{Var}(y)\), \(\textsf{Var}(y\mid x = 0)\) y \(\textsf{Var}(y\mid x = 1)\).
    2. Considerando la varianza como una medida de la incertidumbre, explique por qué una de estas varianzas es mayor que las otras.

  3. Por lo general, los estadísticos tienden a tener personalidades tímidas con más frecuencia que los economistas. Se cuantifica esta observación asumiendo que el 80% de los estadísticos son tímidos, pero el porcentaje correspondiente entre los economistas es sólo del 15%. A las conferencias sobre econometría asisten casi exclusivamente economistas y estadísticos, y la mayoría de los participantes son economistas. Se cuantifica esta observación asumiendo que el 90% de los asistentes son economistas (y el resto estadísticos).

    1. Suponga que Usted (un físico, digamos) va a una conferencia de econometría y entabla una conversación con la primera persona que conoce (al azar) y descubre que esta persona es tímida. El objetivo de este problema es mostrar que la probabilidad (condicional) \(p\) de que esté hablando con un estadístico, dados estos datos y los antecedentes, es de aproximadamente 37%. Sea \(St =\) “la persona es estadística”, \(E =\) ’’la persona es economista” y \(Sh =\) “la persona es tímida”. Muestre que: \[ \frac{ \textsf{Pr} ( St \mid Sh ) }{ \textsf{Pr} ( E \mid Sh ) } = \frac{ \textsf{Pr} ( St ) }{ \textsf{Pr} ( E ) } \cdot \frac{ \textsf{Pr} ( Sh \mid St ) }{ \textsf{Pr} ( Sh \mid E ) }\,. \]
    2. Muestre que la posibilidad relativa posterior \(o\) a favor de \(St\) sobre \(E\) dados los datos, es \(o = \frac{ 16 }{ 27 } \approx 0.593\).
    3. Muestre que la probabilidad pedida en este problema es \(p = \frac{ o }{ 1 + o } = \frac{ 16 }{ 43 } \approx 0.372\).
    4. Alguien dice, “esa probabilidad no puede ser correcta: el 80% de los estadísticos son tímidos, frente al 15% de los economistas, por lo que su probabilidad de hablar con un estadístico debe ser superior al 50%”. Explique por qué esta línea de razonamiento es incorrecta y por qué \(p\) debería ser menor del 50%.

  4. Suponga que un nuevo paciente viene a Usted (un médico) en 1986 queriendo hacerse la prueba del VIH. La prueba de detección del VIH que se utilizó en 1986 por excelencia se denominó ensayo inmunoabsorbente ligado a enzimas (ELISA, Enzyme-Linked ImmunoSorbent Assay). Sea \(B =\) “el paciente es VIH positivo” y \(A =\) “ELISA indica que es VIH positivo”. Sea \(p = 0.01\) la prevalencia del VIH entre personas similares a este paciente en 1986 y sean \(\epsilon=0.95\) y \(\pi=0.98\) la sensibilidad (probabilidad de que la prueba identifique como enfermo a aquél que efectivamente lo está) y especificidad (probabilidad de que la prueba identifique como no enfermo a aquél que efectivamente no lo está) de ELISA en 1986, respectivamente.

    1. Escriba fórmulas explícitas en términos de \(p\), \(\epsilon\) y \(\pi\) para el valor predictivo positivo (PPV, positive predictive value), i.e. \(\textsf{P}(B\mid A)\), y el valor predictivo negativo (NPV, negative predictive value), i.e. \(\textsf{P}(B^\text{c}\mid A^\text{c})\).
    2. Manteniendo \(\epsilon\) y \(\pi\) constantes, obtenga expresiones para el PPV y el NPV como función de \(p\). Grafique estas funciones para \(0<p<0.1\). ¿Qué tan grande tendría que ser \(p\) para que el PPV exceda 0.5 y 0.75? ¿Cuál sería el NPV para esos valores de \(p\)?
    3. Muestre que el NPV se aproxima a 1 a medida que \(\epsilon\) se aproxima a 1 con \(\pi=0.98\), pero lo más grande que se puede hacer el PPV es 0.33557. Similarmente, muestre que el PPV se aproxima a 0.76183 a medida que \(\pi\) se aproxima a 0.997 con \(\epsilon=0.95\).

  5. Para el ejemplo de motivación acerca de la prevalencia de una enfermedad, considere las siguientes distribuciones previas: \(\theta\sim\textsf{Beta}(2,20)\), \(\theta\sim\textsf{Uniforme}(0,1)\) y \(\theta\sim\textsf{Beta}(1/2,1/2)\).

    1. Grafique las distribución previa junto con la posterior en cada caso.
    2. Calcule \(\textsf{P}(0.05 < \theta < 0.2\mid y)\) y \(\textsf{E}(\theta\mid y)\) en cada caso.
    3. Compare los resultados obtenidos.

  6. Sea \(y\mid x\sim\textsf{Poi}(x)\) y \(x\sim\textsf{Exp}(\lambda)\).

    1. Muestre que la distribución marginal de \(y\) es: \[ p(y) = \frac{\lambda}{(\lambda+1)^{y+1}}\,,\qquad y = 0,1,\ldots\qquad\lambda>0\,. \]
    2. Simule \(N=100,000\) muestras independientes e idénticamente distribuidas de \(y\) con \(\lambda = 1\), y compare la distribución empírica correspondiente con la distribución exacta obtenida en el numeral anterior.

  7. Sea \(X\) una variable aleatoria con valor esperado \(\textsf{E}(X)\) y sea \(Y\) cualquier variable aleatoria definida en el mismo espacio de probabilidad. Mostrar que \[ \textsf{E}(X) = \textsf{E}[\textsf{E}(X | Y)]\,. \]

  8. Sea \(X\) una variable aleatoria con varianza \(\textsf{Var}(X)\) y sea \(Y\) cualquier variable aleatoria definida en el mismo espacio de probabilidad. Mostrar que \[ \textsf{Var}(X) = \textsf{E}[\textsf{Var}(X \mid Y)] + \textsf{Var}(\textsf{E}[X \mid Y])\,. \]

  9. Sea \(X\) una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \((0, 1)\). Determine la distribución de \(Y = g(X) = \sqrt{X}\).

  10. Sean \(X_1\) y \(X_2\) dos variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. Determine la distribución conjunta de \(Y_1 = X_1 + X_2\) y \(Y_2 = X_1 - X_2\).