Taller 1

1. Calcule la probabilidad de que sea necesario lanzar un dado por lo menos 10 veces para obtener el número 6 por primera vez.

# x : Cantidad de veces que se lanza el dado hasta el numero 6 
# Valores que puede tomar la variable x:{1,2,.......}
# Valor de los parametros:
n <- 10
p <- 1/6

#p ( x => 10) = p( x > 9)
pgeom(q = 9, prob = p, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.1615056

2. Si la abstención en las pasadas elecciones presidenciales fue del 58% se espera que la intención de voto se mantenga y se hace una encuesta a 128 adultos bogotanos.

1. calcule la probabilidad de que 50 o menos encuestados afirmen que votarán en las próximas elecciones.

# x : Cantidad de personas que afirmen votar
# Unidades: Personas 
# Valores que puede tomar la variable x:{1,2,3,....128}
# Valor de los parametros:

n2 <- 128
p2 <- 0.42

#a. p(x <= 50)
pbinom(q = 50, size = n2, prob = p2)

## [1] 0.280826

2. calcule la probabilidad de que 60 digan que votarán

#b. p(x = 60)
dbinom(x = 60, size = n2, prob = p2)

## [1] 0.03798292

3. Una universidad tiene 5284 alumnos, de los cuales 2116 llevan su computador portátil a clases. Se toma una muestra de 120 estudiantes. Calcule la probabilidad de que:

1. 40 o menos lleve su computador a clases

# x : Cantidad de alumnos que lleven el computador
# Unidades: Alumnos
# Valores que puede tomar la variable x:{1,2,3,....120}
# Valor de los parametros:

n3 <- 120 
p3 <- 2116/5284

#a. p(x <= 40)
pbinom(q = 40, size = n3, prob = p3)

## [1] 0.07857453

2. más de 45 lleven computador a clases

#b. p(x > 45)
pbinom(q = 45, size = n3, prob = p3, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.6811217

4. La cantidad de quejas que una lavandería recibe por día es una variable Poisson con promedio de 3,3. Calcule la probabilidad de que la lavandería reciba:

1. exactamente 2 quejas en un día

# x : Cantidad de quejas al día
# Unidades: Numero de Quejas
# Valores que puede tomar la variable x:{1,2,......}
# Valor de los parametros:

M <- 3.3

#a. p(x = 2)
dpois(x = 2, lambda = M)

## [1] 0.2008288

2. más de 5 quejas en un día

#b. p(x => 5)
1-ppois(q = 5, lambda = M)

## [1] 0.1171232

5. Los pesos al nacer se distribuyen de manera normal con una media de 3570 g y una desviación estándar de 500 g.

1. Si un hospital exige la aplicación de un tratamiento especial para los bebés recién nacidos que pesen menos de 2700 g, ¿cuál es el porcentaje de bebés recién nacidos que requerirán de un tratamiento especial?

# x : Peso bebés recién nacidos
# Unidades: Gramos 
# Valores que puede tomar la variable x:{1,2,.......}
# Valor de los parametros:

M <- 3570
SD <- 500 

#a.p(x < 2700)
pnorm(q = 2699, mean = M, sd = SD)*100

## [1] 4.075422

El porcentaje de bebés recien nacidos que requieren de un tratamiento es del 4%.

2. Si las autoridades del hospital de planean exigir un tratamiento especial para el 3% de los bebés recién nacidos con menor peso,¿qué rango de pesos requieren de un tratamiento especial?

#b. p(x < ?) = 3%
qnorm(p = 0.03, mean = M, sd = SD)

## [1] 2629.603

Los bebés recien nacidos que requieran un tratamiento especial estan en un rango de peso menores a 2629,603 gramos

6. Duración de embarazos La duración de los embarazos se distribuye normalmente con una media de 268 días y una desviación estándar de 15 días.

1. Un uso clásico de la distribución normal está inspirado por una carta dirigida a “Doctora Corazón”, en la que una mujer afirmaba haber dado a luz 308 días después de una breve visita de su esposo, quien trabajaba en la marina. A partir de esta información, calcule la probabilidad de que un embarazo dure 308 días o más.

# x : Duración de embarazos 
# Unidades: Días
# Valores que puede tomar la variable x:{1,2,3,......}
# Valor de los parametros:

M2 <- 268
SD2 <- 15

#a. p(x => 308)
pnorm(q = 308, mean = M2, sd = SD2, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.003830381

2. Si estipulamos que un bebé es prematuro cuando la duración del embarazo se encuentra en el 4% inferior, calcule en qué rango de duración se encuentran los embarazos prematuros.

#b. p(x < ?) = 4%
qnorm(p = 0.04, mean = M2, sd = SD2)

## [1] 241.7397

#El rango de duracion en el que se encuentran los embarazos prematuros son los menores a 241 días.

7. 𝑋 es una variable aleatoria normal con media 15 y desviación 5. Calcule:

1. 𝑃(11,4 < 𝑋 < 22,9)

M3 <- 15 
SD3 <- 5

#a. p(11.4 < x < 22.9) : P(x =< 22.9) - P(x =< 11.4)
pnorm(q = 22.9, mean = M3, sd = SD3)-
  pnorm(q = 11.4, mean = M3, sd = SD3)

## [1] 0.7071841

2. 𝑃(𝑎 < 𝑋 < b) = 94%, 𝑃(𝑋 > 𝑏) = 3%, 𝑎 =? 𝑏 =?

#𝑃(𝑋 > 𝑏) = 3%
qnorm(p = 0.03, mean = M3, sd = SD3, lower.tail = FALSE)

## [1] 24.40397

b <- 24.40397

#p(x < a)=3%
qnorm(p = 0.03, mean = M3, sd = SD3)

## [1] 5.596032

a <- 5.596032

#Prueba:
#p(5.596032 < X < 24.40397)= 94%
pnorm(q = 24.40397, mean = M3, sd = SD3) - 
  pnorm(q = 5.596032, mean = M3, sd = SD3)

## [1] 0.94

3. 𝑃(𝑋 < 𝑐) = 0.96 𝑐 = ?

qnorm(p = 0.96, mean = M3, sd = SD3)

## [1] 23.75343

c <- 23.75343

4. 𝑃(𝑋 > 𝑑) = 0.15 𝑑 =?

qnorm(p = 0.15, mean = M3, sd = SD3, lower.tail = FALSE)

## [1] 20.18217

d <- 20.18217

8. 𝑇 es una variable aleatoria con distribución T de 22 grados de libertad

1. 𝑃(−1,717 < 𝑇 < 2,819) =?

pt(q = 2.819, df = 22 ) - pt(q = -1.717, df = 22)

## [1] 0.9449894

2. 𝑃(−𝑏 < 𝑇 < 𝑏) = 90%, 𝑏 =?

#p(T > b)= 5%
qt(p = 0.05, df = 22, lower.tail = FALSE)

## [1] 1.717144

B <- 1.717144

#Prueba:
#p(-1.717144 < T < 1.717144)=90%
pt(q = 1.717144, df = 22)-pt(q = -1.717144, df = 22)

## [1] 0.8999999

3. 𝑃(𝑇 > 2,3) = ?

pt(q = 2.3, df = 22, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.01565434

9. 𝑊 es una variable con distribución chi-cuadrado de 22 grados de libertad

1. 𝑃(𝑊 < 40,2894) = ____________

pchisq(q = 40.2894, df = 22 )

## [1] 0.9900001

2. 𝑃(𝑊 > 35)

pchisq(q = 35, df = 22, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.03874505

3. 𝑃(𝑐 < 𝑊 < 𝑑) = 90%, 𝑃(𝑊 < 𝑐) = 5%, 𝑐 = ______ 𝑑 = ____

#P(W < c )= 5
qchisq(p = 0.05, df = 22)

## [1] 12.33801

c <-  12.33801

# p ( W > d) = 5%
qchisq(p = 0.05, df = 22, lower.tail = FALSE)

## [1] 33.92444

d <- 33.92444

#prueba:
# p(12.33801 < W < 33.9244)=90%
pchisq(q = 33.9244, df = 22) - pchisq(q = 12.33801, df = 22 )

## [1] 0.8999997

10. 𝐹 es una variable aleatoria con distribución F de 8 grados de libertad en el numerador y 6 grados de libertad en el denominador

1. 𝑃(𝐹 < 5,6) = ____________

pf(q = 5.6, df1 = 8, df2 = 6)

## [1] 0.975004

2. 𝑃(𝑒 < 𝐹 < 𝑔) = 90%, 𝑃(𝑊 < 𝑒) = 5%, 𝑒 = ______ 𝑔 = ______

# P(F < e)
qf(p = 0.05, df1 = 8, df2 = 6)

## [1] 0.2792843

e  <- 0.2792843

#p( F > g)= 95%
qf(p = 0.95, df1 = 8, df2 = 6)

## [1] 4.146804

g <- 4.146804

#Prueba:
# P(0.2792843 < F < 4.146804 ) = 90%
pf(q = 4.146804, df1 = 8, df2 = 6) - 
  pf(q = 0.2792843, df1 = 8, df2 = 6)

## [1] 0.9