TRABAJO INTEGRADOR - CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Tema: Evaluación de la calidad de aguas superficiales en la cuenca del rio Rímac mediante análisis multivariado para el periodo 2011-2018

Profesores

• Mauricio Alberto Maguiña Melgar
• Clodomiro Fernando Miranda Villagomez

Integrantes

• Ramos Tapia, Gianella Paulina
• Ramos Ayma
• Malpartida Ramirez, Leonardo Daniel
• Olivas Sánchez, Valentina
• Llalle Correa Danixa
• Kuway Chero Giancarlo
• Farfán Florián Erik David
• Núñez Campos, Hilary
• Velasquez Gonzales, Pedro Daniel
• Ramos Ñaupari , Diego Fernando

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INTRODUCCIÓN

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DESARROLLO

Pregunta 1

Una aplicación de distribución truncada con una variable discreta conocida.

Uno de los factores que limita el éxito de la fitorremediación, y que se convierte en una de sus limitantes es el grado de contaminación en el suelo, para analizar este grado se usaran algunas investigaciones hechas con perejil (Petroselinum crispum) ya que el crecimiento de las plantas no es muy viable en suelos altamente contaminados. Utilizaremos una muestra 5 plantas de perejil para analizar la variable X definida como el número de plantas de perejil que variaron su crecimiento de un 60% a un 33% con respecto al cultivo control, si se sabe que el 80% de plantas variaron su crecimiento de un 60% a un 33%.

PIDEN

Hallar la función de Probabilidad X si no se considera la posibilidad de 4 porciones con una variación de su crecimiento de un 60% a un 33% con respecto al cultivo control

ENTONCES

\[X\sim Binom(5,0.8)\] \[f(x)=\binom{n}{x}\pi ^{x}(1-\pi )^{n-x}\]

\[f(x)=\binom{5}{x}0.8^{x}(0.2)^{5-x}I_{0,1,...,5 }\]

Probabilidad para X=0,1,2,3,5

p0=dbinom(0,5,0.8);p0

## [1] 0.00032

p1=dbinom(1,5,0.8);p1

## [1] 0.0064

p2=dbinom(2,5,0.8);p2

## [1] 0.0512

p3=dbinom(3,5,0.8);p3

## [1] 0.2048

p4=dbinom(4,5,0.8);p4

## [1] 0.4096

p5=dbinom(5,5,0.8);p5

## [1] 0.32768

\[f(x)=\binom{5}{x}0.8^{x}(0.2)^{5-x}I_{0,1,...,5 }\rightarrow \begin{cases} & \text{0.00032 }, x= 0\\ & \text{0.0064 }, x= 1 \\ & \text{0.0512 }, x= 2\\ & \text{0.2048 }, x= 3 \\ & \text{0.4096 }, x= 4\\ & \text{0.32768 }, x= 5 \end{cases}\]

P<-(p0+p1+p2+p3+p5)
P

## [1] 0.5904

\[P(condicion)=P(X\neq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=5)=0.5904\]

P0=p0/P;P0

## [1] 0.0005420054

P1=p1/P;P1

## [1] 0.01084011

P2=p2/P;P2

## [1] 0.08672087

P3=p3/P;P3

## [1] 0.3468835

P5=p5/P;P5

## [1] 0.5550136

FUNCIÓN ACUMULADA

\[f_{(x/x\neq4)}(x)=\begin{cases} & \text{ 0.00054201 }, x= 0\\ & \text{ 0.01084011 }, x= 1\\ & \text{ 0.08672087 } , x= 2\\ & \text{ 0.3468835} , x= 3\\ & \text{ 0.5550136 } , x= 5 \end{cases}\]

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Pregunta 2

Una aplicación de distribución truncada con una variable continua conocida:

El oxigeno disuelto o por sus siglas (OD) es uno de los 24 parametros de calidad ambiental, los cuals fueron evaluados entre el periodo del 2011 y 2018. Este parametro cuenta con una distribucion normal y su rango esta entre 0.54 a 12.03 mg/L, media 6.89 mg/L y una desviacion estandar de 1.74 mg/L. Se desea determinar la funcion de densidad en la que el agua tiene buena calidad, contando con los siguientes valores establecidos por el minsa: Se considera agua de mala calidad de 0 – 4 ppm y es aceptable entre los valores 4.1 – 7.9 ppm y de buena calidad de 8 – 12 ppm, mas de 12 ppm debe repetirse la prueba. Fuente del MINSA

Nota: 1ppm <> 1mg/L.

• X = {niveles de oxigeno disuelto que indican agua de buena calidad}

DATOS

• Valor minimo de la tesis: 0.54 mg/L
• Valor maximo de la tesis: 12.03 mg/L
• Valores de buena calidad segun la misma: 8 a 12 ppm
• \(\mu\)=6.89 mg/L
• \(\sigma\)=1.74 mg/L

SOLUCIÓN

\[f_{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{f(x)}{F(\beta)-F(\alpha)}I_{(\alpha,\beta]}(x)=\frac{f(x)}{P(X\leq \beta)-P(X\leq\alpha)}I_{(\alpha,\beta)}(x)\]

\[f(x)=\frac{exp[-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2]}{\sqrt{2\pi} \sigma}= \frac{exp[-\frac{1}{2}(\frac{x-6.89}{1,74})^2]}{\sqrt{2\pi}1,74}\] \[f_{(8,12.03)}(x)=\frac{f(x)}{F(12.03)-F(8)}I_{(8,12.03]}(x)\]

F_12=pnorm(12.03,6.89,1,74)

F_4=pnorm(8,6.89,1,74)

p=F_12-F_4
p

## [1] 0.1334994

\[f(x)=\frac{\frac{exp[-\frac{1}{2}(\frac{x-6.89}{1.74})^2]}{\sqrt{2\pi}1.74}}{0.1334}I_{(8,1.74)}\] Finalmente tenemos la siguiente función de densidad:

\[f(x)=0.5817*exp[-\frac{1}{2}(\frac{x-6.89}{1.74})^2]I_{(8,1.74)}\]

GRÁFICA

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Pregunta 3

Una aplicación de distribución de una función con una variable aleatoria mixta:

En la cuenca del río Rimac encontraron elevadas cantidades de mercurio, el cual contamina la pesca provocando la disminución de enzimatica de los peces.Se desea saber si los peces son aptos para consumo humano, por ello usaremos la base de datos de la libreria gamlss.mx, la cual nos indicará que distribución de probabilidad sigue la variable mixta de las enzimas.

DESARROLLO

LIBRERIAS USADAS

library(gamlss.mx)
library(ggplot2)

IMPORTANDO DATOS

data(enzyme)

GRAFICA 1

DISTRIBUCIÓN ACTIVIDAD ENZIMÁTICA

ggplot(data = enzyme, aes(x = act)) +
  geom_histogram(color = "black", alpha = 0.3, bins = 50) +
  geom_rug() +
  labs(title = "Distribución actividad enzimática") +
  theme_bw()

AJUSTE DEL MODELO MIXTO CON DOS COMPONENTES

modelo_mx <- gamlssMX(
  formula = act ~ 1,
  data    = enzyme,
  family  = RG,
  K       = 2,
  control = MX.control(plot = FALSE)
)
modelo_mx

## 
## Mixing Family:  c("RG", "RG") 
## 
## Fitting method: EM algorithm 
## 
## Call:  gamlssMX(formula = act ~ 1, family = RG, K = 2, data = enzyme,  
##     control = MX.control(plot = FALSE)) 
## 
## Mu Coefficients for model: 1 
## (Intercept)  
##       1.127  
## Sigma Coefficients for model: 1 
## (Intercept)  
##      -1.091  
## Mu Coefficients for model: 2 
## (Intercept)  
##      0.1557  
## Sigma Coefficients for model: 2 
## (Intercept)  
##      -2.641  
## 
## Estimated probabilities: 0.3760176 0.6239824 
## 
## Degrees of Freedom for the fit: 5 Residual Deg. of Freedom   240 
## Global Deviance:     86.2916 
##             AIC:     96.2916 
##             SBC:     113.798

CALCULANDO LA DENSIDAD ESTIMADA

d_modelo_mx <- getpdfMX(modelo_mx)
d_modelo_mx(y = 2)

## [1] 0.07719913

GRAFICA 2

DISTRIBUCION ESTIMADA POR MODELO MIXTO DE DOS COMPONENTES

ggplot(data = enzyme) +
  geom_histogram(
    aes(x = act, y = after_stat(density)),
    color = "black",
    alpha = 0.3) +
  stat_function(
    fun   = function(.x){d_modelo_mx(y = .x)},
    color = "darkblue",
    size  = 1) +
  labs(title = "Distribución estimada por modelo mixto de dos componentes") +
  theme_bw()

AJUSTE DEL MODELO 10 VECES

modelo_mx <- gamlssMXfits(
  n       = 10,
  formula = act ~ 1,
  data    = enzyme,
  family  = RG,
  K       = 2,
  control = MX.control(plot = FALSE)
)

## model= 1 
## model= 2 
## model= 3 
## model= 4 
## model= 5 
## model= 6 
## model= 7 
## model= 8 
## model= 9 
## model= 10

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Pregunta 4

Una aplicación de distribuciones bivariadas discretas:

En una investigación realizada por un estudiante de Ingeniería ambiental de la UNALM sobre la “Evaluación de la calidad de aguas superficiales en la cuenca del río Rímac”, se tiene un total de 25 estaciones las cuales conforman una red de monitoreo en el río Rímac. Donde 12 estaciones se ubican en los tributarios o afluentes a la cuenca, 7 estaciones se ubican alrededor de las bocatomas y el resto en la sub cuenca Santa Eulalia. Si se eligen 10 estaciones al azar, con reemplazo y sin considerar el orden para realizar una inspección en la calidad del agua, calcular la probabilidad de que 3 sean de las estaciones de afluentes de cuenca,5 de las estaciones alrededor de las bocatomas y el resto de las estaciones de la sub cuenca Santa Eulalia.

• X= {número de estaciones de afluentes de cuenca en la muestra de tamaño 10}

• Y= {número de estaciones alrededor de las bocatomas en la muestra de tamaño 10}

DATOS

• A=12 estaciones comunes en afluentes a la cuenca.

• B=7 estaciones comunes alrededor de las bocatomas.

• X=3 estaciones comunes de afluentes de cuenca en la muestra.

• Y=5 estaciones comunes alrededor de las bocatomas en la muestra.

• n= 10 estaciones comunes seleccionados al azar, con reemplazo y sin considerar el orden.

SOLUCIÓN

\[(X,Y)\sim V Bivariada(N=25,n=10,A=12,B=7)\]

\[para: 0\leqslant X\leqslant 10 , \ 0\leqslant Y\leqslant 10 , \ 0\leqslant X+Y \leqslant 10 \]

\[f(x,y)=\frac{\binom{12+x-1}{x}\binom{7+y-1}{y}\binom{6+(10-x-y)-1}{10-x-y}}{\binom{25+10-1}{10}}\]

\[ f(x,y)=\frac{\binom{12+3-1}{3}\binom{7+5-1}{5}\binom{6+(10-3-5)-1}{10-3-5}}{\binom{25+10-1}{10}}=\frac{\binom{12+3-1}{3}\binom{7+5-1}{5}\binom{6+(2)-1}{2}}{\binom{25+10-1}{10}}=0.02693\]

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Pregunta 5

Una aplicación de distribuciones bivariadas continuas.

Sea x el contenido del metal pesado Hierro(Fe) . y el contenido de Aluminio(Al). Para una muestra de 100 ml del río Rímac . Por anteriores estudios se sabe que (x,y) siguen una distribución normal bivariada. Se sabe que Cov(x,y) = 0.60 y σx*σy= 3.00

Halle ρ(xy) :

SOLUCIÓN

Se sabe

\[\rho_{xy}=\frac{cov_{xy}}{\sigma_{x}\sigma_{y}}\] Por lo tanto el coeficiente de correlación: ρ(xy) = 0.2 . Cómo es un valor cercano a 0 se dice que existe una pobre correlación entre los niveles de hierro y aluminio.

GRÁFICA

distribución normal bivariada para niveles de Fe y Al:

Considerando:

• \(\mu_x\) = 1
• \(\mu_y\) = 2
• \(sd_x\) = 3
• \(sd_y\) = 1
• \(\rho\) = 0.2

######################################################
# Ploteo de distribucion bivariada para Fe y Al
######################################################
library("MASS")
rm(list=ls())
### Densidad normal bivariada
h <- function(x,y,mx,my,sx,sy,p) { (1/(2*pi*sx*sy*sqrt((1-p^2))))*exp((-1/(2*(1-p^2)))*{(x-mx)^2/sx^2 - 2*p*((x-mx)/sx)*((y-my)/sy) + (y-my)^2/sy^2})}

### funcion para hallar las probabilidades
bvn.prob<-function(mx,my,sx,sy,p,x.llim,x.ulim,y.llim,y.ulim) {
  integrate(function(y){ sapply(y,function(y){
    integrate(function(x) h(x,y,mx,my,sx,sy,p) ,x.llim,x.ulim)$value})},y.llim,y.ulim)$value }

### Cargar valores para la simulacion
mux<-1;muy<-2;sdx<-3;sdy<-1;rho<- 0.2
### calcular la matriz de varianzas y covarianzas
(Sigma <- matrix(c(sdx^2,sdx*sdy*rho,sdx*sdy*rho,sdy^2),2,2))

##      [,1] [,2]
## [1,]  9.0  0.6
## [2,]  0.6  1.0

### Vector de medias
Mu<- c(mux,muy)

### tamaño de muestra 1 millón para estimacion de probabilidades en cuadrantes
n<-1000000
y<-mvrnorm(n, Mu, Sigma)
tmp1<-sum((y[,1]>0)*(y[,2]>0))/n
tmp2<-sum((y[,1]<0)*(y[,2]>0))/n
tmp3<-sum((y[,1]<0)*(y[,2]<0))/n
tmp4<-sum((y[,1]>0)*(y[,2]<0))/n

cbind(
  Simulation=c(tmp1,tmp2,tmp3,tmp4),
  Calculation=c(
    bvn.prob(mux,muy,sdx,sdy,rho,0,Inf,0,Inf),
    bvn.prob(mux,muy,sdx,sdy,rho,-Inf,0,0,Inf),
    bvn.prob(mux,muy,sdx,sdy,rho,-Inf,0,-Inf,0),
    bvn.prob(mux,muy,sdx,sdy,rho,0,Inf,-Inf,0)))

##      Simulation Calculation
## [1,]   0.620096  0.62048431
## [2,]   0.357101  0.35676558
## [3,]   0.012663  0.01267602
## [4,]   0.010140  0.01007441

### Ploteo de la densidad normal bivariada
x<-seq(-3,3,.1)
y<-seq(-3,3,.1)
f<-function(x,y) h(x,y,0,0,1,1,0.2)
res<-persp(x,y,outer(x,y,f),theta = 45, phi = 20)

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Pregunta 6

Una aplicación de variables aleatorias con coordenadas mixtas.

Suponga que x es el porcentaje Aluminio almacenado en la cuenca del Rio Rimac en un determinado tiempo e Y es el porcentaje del metal de Hierro almacenado en esta misma cuenca del Rio Rimac en ese mismo tiempo. Se sabe que X tiene una distribución Uniforme discreta en {13, 17,21} y dado X=x, Y es Uniforme continua en el intervalo [0, x].

PREGUNTA a

• obtenga \(f(x,y)\)

SOLUCION

\(f(x,y)=f(x)f(y/x)=(1/3)(1/x)=1/3x\),x=13,17,21; \(y∈[0,x]\)

\(f(x,y)=\left\{\begin{matrix} & 1/39, x=13, 0<y<13 & \\ & 1/51, x=17, 0<y<17 & \\ & 1/63, x=21, 0<y<21 & \end{matrix}\right.\)

f(x,y)	Y
		0<y<13	0<y<17	0<y<21
	13	1/39	0	0
x	17	0	1/51	0
	21	0	0	1/63

\(f(x,y)\)=\(1/39 I_({13}) xI_([0,13]) y+1/51 I_({17}) xI_([0,17]) y+1/63 I_({21}) xI_([0,21]) y\)

PREGUNTA b

• ¿Es f una densidad mixta conjunta? Considere S={13,17,21} y T=[0,21]

SOLUCIÓN

Se debe proceder a integrar para comprobar si es una densidad mixta conjunta:

\(\sum_{x \epsilon S}\int_{t}f(x,y)dy= \int_{13}^{0}1/39dy+ \int_{17}^{0}1/51dy+ \int_{21}^{0}1/63dy\)

\(=1/3+1/3+1/3=1\)

• Concluimos que \(f(x,y)\) es una densidad mixta conjunta, ya que la sumatoria es igual a uno.

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FUENTES

• Marleni Beatriz, A. M. (2022). Evaluación de la calidad de aguas superficiales en la cuenca del rio Rímac mediante análisis multivariado para el periodo 2011-2018 (Licenciado). Universidad Nacional Agraria La Molina. Tesis

• Miranda Fernández. (2017). Cálculo de Probabilidades con Gráficos en R. Primera Edición. Lima, Perú. Q&P Impresores S.R.L.

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ANEXO

Estadísticos descriptiva de los 21 parámetros de calidad de agua