Matricula <- 4779

Lista de Testes de Hipóteses

  1. Trace uma curva normal e sombreie a área desejada obtendo então a informação.
  1. Área à direita de \(Z = 1\)
1-pnorm(q=1, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.1586553
pnormGC(1, region="above", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.1586553
  1. Área à esquerda de \(Z = 1\)
pnorm(q=1, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.8413447
pnormGC(1, region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8413447
  1. Área entre \(Z = 0\) e \(Z = 1.5\)
pnorm(q=1.5, mean = 0, sd=1)-0.5
## [1] 0.4331928
pnormGC(c(0,1.5), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.4331928
  1. Área entre \(Z = −0,56\) e \(Z = −0,2\)
pnorm(q=-0.2, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=-0.56, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.1330006
pnormGC(c(-0.56,-0.2), region="between", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.1330006
  1. Área entre \(Z = 0,5\) e \(Z = 0,5\)
pnorm(q=0.5, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=0.5, mean = 0, sd=1)
## [1] 0
pnormGC(c(0.5,0.5), region = "between", mean = 0, sd=1, graph = T)

## [1] 0
  1. Área entre \(Z = 0\) e \(Z = −2,5\)
pnorm(q=0, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=-2.5, mean = 0, sd=1)
## [1] 0.4937903
pnormGC(c(0, -2.5), region = "between", mean = 0, sd=1, graph = T)

## [1] 0.4937903
  1. Usando a tabela da distribuição normal, determine os valores de \(Z\) que correspondem às seguintes áreas:
  1. Área de 0,0505 à esquerda de Z.
qnorm(0.0505, mean = 0, sd=1, lower.tail = TRUE)
## [1] -1.640025
pnormGC(qnorm(0.0505, mean = 0, sd=1), region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.0505
  1. Área de 0,0228 à direita de Z
qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
## [1] 1.999077
pnormGC(qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1 , lower.tail = FALSE), region="above", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.0228
  1. Área de 0,0228 à esquerda de Z
qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1, lower.tail = TRUE)
## [1] -1.999077
pnormGC(qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1), region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.0228
  1. 0,4772 entre 0 e z
qnorm(0.9772)
## [1] 1.999077
pnormGC(c(0,2), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.4772499
  1. Consultando a tabela, determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre \(Z_0 = −1, 20\) e \(Z_1 = 2, 00.\) Desenhe o gráfico.
pnorm(2.0, mean = 0, sd=1, lower.tail = T)-pnorm(-1.20, mean = 0, sd=1, lower.tail = T)
## [1] 0.8621802
pnormGC(c(-1.20,2.0), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8621802
  1. Dado uma variável X com distribuição normal de média 25 e desvio-padrão 2, determine os valores de Z para os seguintes valores (x) :

Sabemos que \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\) logo:

  1. 23
x <- 23
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z
## [1] -1
  1. 23,5
x <- 23.5
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z
## [1] -0.75
  1. 24
x <- 24
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z
## [1] -0.5
  1. 25,2
x <- 25.2
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z
## [1] 0.1
  1. 25,5
x <- 25.5
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z
## [1] 0.25
  1. Determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre \(Z_0 = −1, 30\) e \(Z_1 = 1.5.\) Desenhe o gráfico.
pnorm(-1.50, mean = 0, sd=1, lower.tail = T)-pnorm(q=1.5, mean = 0, sd=1, lower.tail = T)
## [1] -0.8663856
pnormGC(c(-1.30,1.5), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8363923
  1. Uma população normal tem média 40 e desvio-padrão 3. Determine os valores da população correspondentes aos seguintes de Z:

Sabemos que \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\) logo, dado Z, temos que \(X=Z\sigma+\mu,\) assim:

  1. 0,10
z <- 0.10
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z
## [1] 0.1
  1. 2,00
z <- 2.00
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z
## [1] 2
  1. 0,75
z <- 0.75
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z
## [1] 0.75
  1. -3,00
z <- -3.0
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z
## [1] -3
  1. -2,53
z <- -2.53
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z
## [1] -2.53
  1. Explique com suas palavras, exemplificando, o significado de:
  1. teste de hipótese;

O teste de hipótese é uma ferramenta estatística baseada na utilização de uma amostra aleatória extraída de uma população de interesse, com o objetivo de testar uma afirmação sobre um parâmetro ou característica desta população.

  1. Hipótese nula e alternativa;

A hipótese nula afirma que um parâmetro da população (como a média, o desvio padrão, e assim por diante) é igual a um valor hipotético. A hipótese nula é, muitas vezes, uma alegação inicial baseado em análises anteriores ou conhecimentos especializados.

A hipótese alternativa afirma que um parâmetro da população é menor, maior ou diferente do valor hipotético na hipótese nula. A hipótese alternativa é aquela que você acredita que pode ser verdadeira ou espera provar ser verdadeira.

  1. erros do tipo I e II;

Quando a hipótese nula é verdadeira e você a rejeita, comete um erro do tipo I. A probabilidade de cometer um erro do tipo I é α, que é o nível de significância que você definiu para seu teste de hipóteses. Um α de 0,05 indica que você quer aceitar uma chance de 5% de que está errado ao rejeitar a hipótese nula. Para reduzir este risco, você deve usar um valor inferior para α. Entretanto, usar um valor inferior para alfa significa que você terá menos probabilidade de detectar uma diferença verdadeira, se existir uma realmente.

Quando a hipótese nula é falsa e você não a rejeita, comete um erro de tipo II. A probabilidade de cometer um erro de tipo II é β, que depende do poder do teste. Você pode diminuir o risco de cometer um erro do tipo II, assegurando que o seu teste tenha potência suficiente. Você pode fazer isso garantindo que o tamanho amostral seja grande o suficiente para detectar uma diferença prática, quando realmente existir uma.

  1. nível de significância.

O nível de significância, também denotado como alfa ou α, é a probabilidade de rejeição da hipótese nula quando ela é verdadeira. Por exemplo, um nível de significância de 0,05 indica um risco de 5% de concluir que existe uma diferença quando não há diferença real.

  1. Enuncie a hipótese nula e a hipótese alternativa em cada um dos casos a seguir.
  1. A produção média de certo cereal é de 40 toneladas por hectare. Acredita-se que um novo tipo de adubo aumenta a produção média por hectare.

\(H_{0}:\mu=40\) toneladas por hectare

\(H_{1}:\mu>40\) toneladas por hectare

#H0:mu=40
#H1:mu>40
  1. Um sindicato de empregados de certa categoria deseja verificar se a taxa de desemprego em certo município é maior que a taxa de 12% observada seis meses antes.

\(H_{0}:\mu=12\%\) taxa de desemprego

\(H_{1}:\mu>12\%\) taxa de desemprego

#H0:mu=12
#H1:mu>12
  1. O fabricante de certa marca de suco informa que as embalagens de seu produto têm em média 500 ml, com desvio padrão igual a 10 ml. Tendo sido encontradas no mercado algumas embalagens com menos de 500 ml, suspeita-se que a informação do fabricante seja falsa. Para verificar se isto ocorre, um fiscal analisa uma amostra de 200 embalagens escolhidas aleatoriamente no mercado e constata que as mesmas contêm em média 498 ml. Considerando-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se afirmar que o fabricante está mentindo? Calcule o valor da prova para esta amostra.
mu <- 500
sigma <- 10
n <- 200
xbarra <- 498
alpha <- 0.05
#H0: mu=500
#H1: mu<500 (Unilateral a esquerda)
#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] -2.828427
pnormGC(Zcal, region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.002338867
Ztab <- qnorm(alpha)
Ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- pnorm(Zcal))
## [1] 0.002338867
  1. A duração das lâmpadas produzidas por certo fabricante tem distribuição normal com média igual a 1200 horas e desvio padrão igual a 300 horas. O fabricante introduz um novo processo na produção das lâmpadas. Para verificar se o novo processo produz lâmpadas de maior duração, o fabricante observa 100 lâmpadas produzidas pelo novo processo e constata que as mesmas duram em média 1265 horas. Admitindo-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se concluir que o novo processo produz lâmpadas com maior duração?
n <- 100
xbarra <- 1265
mu <- 1200
sigma <- 300
alpha <- 0.05
#H0:mu = 1200h
#H1:mu > 1200h (Teste-z unilateral)
#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] 2.166667
pnormGC(Zcal, region="above", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.01513014
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.01513014
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.05  Rejeita-se H0"
  1. O custo de produção de certo artigo numa localidade tem distribuição normal com média igual a \(R\$~42, 00.\) Desenvolve-se uma política de redução de custos na empresa para melhorar a competitividade do referido produto no mercado. Observando-se os custos de 10 unidades deste produto, obtiveram-se os seguintes valores: 34, 41, 36, 41, 29, 32, 38, 35, 33 e 30. Admitindo-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se afirmar que o custo do produto considerado diminuiu?
#Dados:
mu = 42 #média do custo do produto em reais
xbarra = mean(c(34,41,36,41,29,32,38,35,33,30))#média da amostra em estudo
xbarra
## [1] 34.9
dp = sd(c(34,41,36,41,29,32,38,35,33,30)) #desvio-padrão
dp
## [1] 4.175324
alpha = 0.05 #nível de significância
n = 10 #quantidade de amostra
#Estatística do Teste T
Tcal = (xbarra-mu)/(dp/sqrt(n))
Tcal
## [1] -5.377348
#Encontrando o valor tabelado:
Ttab = qt(0.05, n - 1)
Ttab
## [1] -1.833113
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de
 alpha ="
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph
a =", alpha
,"de significância"))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de\n alpha = 0.05 de significância"
#Então, pode-se afirmar que o custo do produto considerado diminuiu.
  1. O controle de qualidade das peças produzidas por certa fábrica exige que o diâmetro médio das mesmas seja 57 mm. Para verificar se o processo de produção está sob controle, observam-se os diâmetros de 10 peças, constatando-se os seguintes valores em mm: \(56,5; 56,6; 57,3; 56,9; 57,1; 56,7; 57,1; 56,8; 57,1; 57,0.\) Admitindo-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se concluir que o processo de produção está sob controle? Iremos utilizar o Teste T. Abaixo temos as hipóteses: \(H0 : \mu = 57\) média de mm \(H1 : \mu ≠ 57\) média de mm
#Dados:
mu = 57 #média do diâmetro
n = 10 #quantidade de amostras
alpha = 0.05 #nível de significância
xbarra = mean(c(56.5, 56.6, 57.3, 56.9, 57.1, 56.7, 57.1, 56.8, 57.1, 57.0))#média da amostra em estudo
xbarra
## [1] 56.91
dp = sd(c(56.5, 56.6, 57.3, 56.9, 57.1, 56.7, 57.1, 56.8, 57.1, 57.0)) #desvio-padrão
dp
## [1] 0.2558211
#Estatística do Teste T
Tcal = (xbarra-mu)/(dp/sqrt(n))
Tcal
## [1] -1.112516
#Encontrando o valor tabelado:
Ttab = qt(0.05, n - 1)
Ttab
## [1] -1.833113
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de
 alpha ="
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph
a =", alpha
,"de significância"))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph\na = 0.05 de significância"
#Então, pode-se concluir que o processo de produção está sob controle.
  1. Suponha que o tempo necessário para que estudantes completem uma prova tenha distribuição normal com média 90 minutos e desvio padrão 15 minutos. Seja, X: tempo necessário para que estudantes completem uma prova X~N(90, 15^2)
mu = 90 #média de tempo de prova em minutos
dp = 15 #desvio-padrão
  1. Qual é a probabilidade do estudante terminar a prova em menos de 80 minutos?
#Dados:
valor1 = 80
#P(x < 80) = P(Z < -0,6666667)
z = (valor1 - mu)/dp
z
## [1] -0.6666667
#= P(Z > 0,6666667)
z = z*(-1)
z
## [1] 0.6666667
t = 1 - pnorm(z)
Resposta <- (paste("Portanto, a probabilidade de que o estudante termine a prova em menos de
 80 minutos é", t,"%"))
Resposta
## [1] "Portanto, a probabilidade de que o estudante termine a prova em menos de\n 80 minutos é 0.252492537546923 %"
  1. Em mais de 120 minutos?
mu <- 90
sigma <- 15
x <- 0
zcal0 <- (x-mu)/sigma
zcal0
## [1] -6
x <- 120
zcal120 <- (x-mu)/sigma
zcal120
## [1] 2
P <- 1 - (pnorm(2)-pnorm(-6))
P
## [1] 0.02275013
  1. Entre 75 e 85 minutos?
#P(75 < Z < 85)
valor1 = 75
valor2 = 80
x1 = (valor1 - mu)/dp
x1
## [1] -1
x2 = (valor2 - mu)/dp
x2
## [1] -0.6666667
#P(-1 < Z < -0.6666667) = P(Z < -0.6666667) - P(Z < -1) = P(z >0.6666667) - P(z > 1) = P(z >0.6666667) - [1-P(z <= 1)]
x1 = x1*(-1)
x2 = x2*(-1)
resultado = pnorm(x2) - (1-pnorm(x1))
Resposta <- (paste("Portanto, a probabilidade de que o estudante dure entre 75 e 85 minutos
 é", resultado, "%"))
Resposta
## [1] "Portanto, a probabilidade de que o estudante dure entre 75 e 85 minutos\n é 0.58885220852162 %"
  1. Qual é o tempo necessário para que 98% dos estudantes terminem a prova?
#P(X>x) = 0,98
#z = (x - mu)/dp = 0,98, x tal que A(-[(x-mu)/dp]) = 0,98. Então,
x = 90 - 0.08*15
Resposta <- (paste("Portanto, 98% dos estudantes requerem pelo menos", x,"minutos de para finalizar a prova"))
Resposta
## [1] "Portanto, 98% dos estudantes requerem pelo menos 88.8 minutos de para finalizar a prova"
  1. Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão
  1. Qual a \(P(90 < X < 110)?\)
pnorm(110, mean = 100, sd = 10)-pnorm(90, mean = 100, sd = 10)
## [1] 0.6826895
  1. Se \(\bar{X}\) for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população, calcule \(P(90 < \bar{X} < 110).\)
sigma <- 10/sqrt(n)

pnorm(110, mean = 100, sd = sigma)-pnorm(90, mean = 100, sd = sigma)
## [1] 0.9984346
  1. Represente, num único gráfico, as distribuições de \(X\) e \(\bar{X}\).
n <- 16
x <- seq(-50, 150, length=1000)
mu <- 100
sigma <- 10/sqrt(n)
z <- dnorm(x, mean = 100, sd = 10)
colors <- "blue"
plot(x, z, type="l", lty=2, xlab="x", ylim = c(0,0.2),
    ylab="Densidade", main="Comparação de distribuições normais")
lines(x, dnorm(x,mu,sigma), lwd=2, col=colors)

  1. Que tamanho deveria ter a amostra para que \(P(90 < \bar{X}< 110) = 0, 95?\)

\(P(P(90 < \bar{X}< 110) = P\Big(\frac{90-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}< \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}< \frac{110-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\Big )=P(-\sqrt{n}<Z<\sqrt{n})=0.95\Rightarrow \sqrt{n}=1.96;\)

Para que \(P(90 < \bar{X}< 110) = 0, 95?\) devemos ter \(n\approx\) 3.8416

  1. Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, \(H_0,\) aquela que para você leva a um erro tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso.
  1. O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipotéses:
  1. está começando um ataque;
  2. tudo bem, apenas uma leve interferência.

\(H_{0}:\)está começando um ataque

Rejeitar \(H_{0}\) e ela ser verdadeira, significa que, estamos afirmando que é apenas uma interferência. Acredito que é mais importante ter certeza que uma coisa estranha no radar será considerada um ataque do que somente uma leve interferência.

  1. Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são:
  1. o acusado é inocente;
  2. o acusado é culpado.

\(H_{0}:\)o acusado é inocente

Rejeitar \(H_{0}\) e ela ser verdadeira, significa que, estamos afirmando ser culpada uma pessoa inocente. Acredito que é mais importante ter certeza que uma pessoa inocente será considerada inocente do que uma pessoa culpada ser considerada inocente.

  1. Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são:
  1. a vacina é eficaz;
  2. a vacina não é eficaz. \(H_{0}:\)a vacina é eficaz

Rejeitar \(H_{0}\) e ela ser verdadeira, significa que, estamos afirmando que a vacina não é eficaz. Acredito que é mais importante ter certeza que a vacina é eficaz do que uma vacina não eficaz ser considerada eficaz.

  1. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km, com desvio padrão de 0,8 litros. Uma revista resolve testar essa afirmação e analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo 11,3 litros por 100 km como consumo médio (considerar distribução normal). O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica, no nível de \(10\%\)?
mu <- 11 #litros por 100 quilometro
sigma <- 0.8 #litros
n <- 35
xbarra <- 11.3 #litros por 100 quilometro
alpha <- 0.1
#H0:mu=11
#H1:mu!=11 (Teste Z bilateral)

#Estatística do Teste
Zcal <- (xbarra-mu)/(sigma/sqrt(n))
Zcal
## [1] 2.21853
Ztab <- qnorm(alpha, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.281552
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.1 de significância"
pnormGC(c(qnorm(0.05), qnorm(0.05, lower.tail = F)), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.9
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- 2*pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.02651872
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor< 0.1  Rejeita-se H0"
  1. Duas máquinas, A e B, são usadas para empacotar pó de café. A experiência passada garante que o desvio padrão para ambas é de 10 g. Porém, suspeita-se que elas têm médias diferentes. Para verificar, sortearam-se duas amostras: uma com 25 pacotes da máquina A e outra com 16 pacotes da máquina B. As médias foram, respectivamente, \(\bar{X}_{A} = 502, 74g\) e \(\bar{X}_{B} = 496, 60g.\) Com esses números, e com o nível de \(5\%\), qual seria a conclusão do teste \(H_{0} : \mu_A = \mu_B?\)
sigma <- 10
nA <- 25
nB <- 16
xAbarra <- 502.74
xBbarra <- 496.6
alpha <- 0.05
#H0:muA=MuB
#H1:muA!=muB (Teste-z bilateral)

#Estatística do Teste
Zcal <- (xAbarra-xBbarra)/(sqrt((sigma^2)*((1/nA)+(1/nB))))
Zcal
## [1] 1.917814
Ztab <- qnorm((alpha)/2, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE)
Ztab
## [1] 1.959964
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(Ztab),paste(
"Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
pnormGC(c(qnorm((alpha)/2), qnorm((alpha)/2, lower.tail = F)), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.95
#Logo, o fabricante está mentindo!
(pvalor <- 2*pnorm(Zcal, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.05513463
ConclusaoZ <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoZ
## [1] "Como p-valor> 0.05  Não Rejeita-se H0"
  1. Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para combater a corrosão de suas latas especiais. Para verificar o efeito dos tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo (em porcentagem de corrosão eliminada). Qual seria a conclusão sobre os dois tratamentos?
Método Amostra Média Desvio Padrão
A 15 48 10
B 12 52 15 
alpha = 0.05
nA = 15
nB = 12
xBarraA = 48
xBarraB = 52
sA = 10 #desvio-padrão A
sB = 15 #desvio-padrão B

Iremos utilizar o Teste F. Abaixo temos as hipóteses:

\(H0 : α^2A = α^2B\) \(H1 : α^2A < α^2B\)

#Dados:
alpha = 0.05
nA = 15
nB = 12
xBarraA = 48
xBarraB = 52
sA = 10 #desvio-padrão A
sB = 15 #desvio-padrão B

Iremos utilizar o Teste F. Abaixo temos as hipóteses: \(H0 : α^2A = α^2B\) \(H1 : α^2A < α^2B\)

#Visto que, a variancia amostra de A é menor que a variancia de B temos que:
Fcal <- (sB^2)/(sA^2)
Fcal
## [1] 2.25
#Teste une lateral a direita
Ftab <- qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab
## [1] 0.3651436
ConclusaoF <- ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoF
## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
  1. Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formandos em Administração de Empresas. Com os resultados abaixo, expressos em salários mínimos, quais seriam suas conclusões?
Liberais 6,6 10,3 10,8 12,9 9,2 12,3 7,0
Administradores 8,1 9,8 8,7 10,0 10,2 8,2 8,7 
x <- c(6.6, 10.3, 10.8, 12.9, 9.2, 12.3, 7.0)
y <- c(8.1, 9.8, 8.7, 10.0, 10.2, 8.2, 8.7, 10.1)
sd(x)
## [1] 2.432909
sd(y)
## [1] 0.8876132
nLi <- length(x)
nAd <- length(y)
#Teste-F
#H0:SigmaLi^2=SigmaAd^2
#H1:SigmaLi^2!=SigmaAd^2

var.test(x, y, alternative = "two.sided")
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  x and y
## F = 7.5128, num df = 6, denom df = 7, p-value = 0.01768
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   1.467755 42.789180
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           7.512844
print("Para alpha > p-value=0.01768 rejeita-se H0, logo, devemos proceder o teste-t para variâncias desiguais.")
## [1] "Para alpha > p-value=0.01768 rejeita-se H0, logo, devemos proceder o teste-t para variâncias desiguais."
#H0:mux=muy
#H1:mux!=muy

t.test(x, y, alternative = "two.sided", var.equal = FALSE)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  x and y
## t = 0.6653, df = 7.393, p-value = 0.5261
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.626575  2.919433
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  9.871429  9.225000
print("Para alpha menor do que p-value=0.5261, não rejeita-se H0. Ou seja nesse caso, as médias salariais são iguais.")
## [1] "Para alpha menor do que p-value=0.5261, não rejeita-se H0. Ou seja nesse caso, as médias salariais são iguais."
  1. Os dados abaixo referem-se a medidas de determinada variável em 19 pessoas antes e depois de uma cirurgia. Verifique se as medidas pré e pós-operatórias apresentam a mesma média. Que suposições você faria para resolver o problema?
Pessoas Pré Pós Pessoas Pré Pós
1 50,0 42,0 10 40,0 50,0
2 50,0 42,0 11 50,0 48,0
3 50,0 78,0 12 75,0 52,0
4 87,5 33,0 13 92,5 74,0
5 32,5 96,0 14 38,0 47,5
6 35,0 82,0 15 46,5 49,0
7 40,0 44,0 16 50,0 58,0
8 45,0 31,0 17 30,0 42,0
9 62,5 87,0 18 35,0 60,0
10 19 39,4 28,0 
Pre <- c(50.0,50.0,50.0,87.5,32.5,35.0,40.0,45.0,62.5,40.0,50.0,75.0,92.5,38.0,46.5,50.0,30.0,35.0,39.4)
Pos <- c(42.0,42.0,78.0,33.0,96.0,82.0,44.0,31.0,87.0,50.0,48.0,52.0,74.0,47.5,49.0,58.0,42.0,60.0,28.0)
Dif <- Pre-Pos
sd(Dif)
## [1] 26.35174
mean(Dif)
## [1] -4.978947
#H0:muDif=0
#H1:muDif!=0

t.test(Dif, alternative = "two.sided")
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  Dif
## t = -0.82358, df = 18, p-value = 0.421
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -17.680077   7.722183
## sample estimates:
## mean of x 
## -4.978947
print("Não rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância, pois pvalor é maior que alpha=0.05")
## [1] "Não rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância, pois pvalor é maior que alpha=0.05"
  1. Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade de seus trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e contou o número de peças produzidas durante uma semana sem intervalo e uma semana com intervalo. Os resultados sugerem se há ou não melhora na produtividade? Caso haja melhora, qual deve ser o acréscimo médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica?
Operário 1 2 3 4 5 6
Sem intervalo 23 35 29 33 43 32
Com intervalo 28 38 29 37 42 30 
#HO: mu = 0
#H1: mu > 0
x <- c(23,35,29,33,43,32)
u <- c(28,38,29,37,42,30)
mu <- 0
n <- 6
d <- x-y
## Warning in x - y: longer object length is not a multiple of shorter object
## length
xbarra <- mean(d)
s <- sd(d)
alpha <- 0.05
Tcal <- (xbarra - mu)/(s/sqrt(n))
Tcal
## [1] 9.165882
Ttab <- qt(alpha, n-1)
Ttab
## [1] -2.015048
ConclusãoT <- ifelse(Tcal>Ttab,paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita- se H0 ao nível de", (alpha), "de significância"),paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", (alpha),"de significância"))
ConclusãoT
## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita- se H0 ao nível de 0.05 de significância"
  1. Num levantamento feito com os operários da indústria mecânica, chegou-se aos seguintes números: salário médio = 3,64 salários mínimos e desvio padrão = 0,85 salário mínimo. Suspeita-se que os salários de subclasse formada pelos torneiros mecânicos são diferentes dos salários do conjunto todo, tanto na média como na variância. Que conclusões você obteria se uma amostra de 25 torneiros apresentasse salário médio igual a 4,22 salários mínimos e desvio padrão igual a 1,25 salário mínimo?
mu <- 3.64
sigma <- 0.85 #(Desvio-padrao populacional dos operarios)
n <- 25
xbarra <- 4.22
s <- 1.25
alpha <- 0.05
#H0:Sigma^2=0.85
#H1:Sigma^2!=0.85 (Teste qui-quadrado bilateral)

(X2Cal <- ((n-1)*s^2)/(sigma^2))
## [1] 51.90311
(X2Tab <- qchisq((alpha/2), df = n-1, lower.tail = TRUE))
## [1] 12.40115
ConclusaoQui <- "Como X2Cal>X2tab rejeita-se H0 ao nível de alpha=0.05 de significância"

#Observamos que a variancia populacional dos torneiros mecanicos nao eh conhecida!

#H0:mu =3.64 SM
#H1:mu!=3.64 SM (Teste-t bilateral)

gl <- n-1
#Estatística do Teste
Tcal <- (xbarra-mu)/(s/sqrt(n))
Tcal
## [1] 2.32
Ttab <- qt((alpha/2), df=gl, lower.tail = FALSE)
Ttab
## [1] 2.063899
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste(
"Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
), paste(
"Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,
"de significância"
))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
(pvalor <- 2*pt(Tcal, df = gl, lower.tail = FALSE))
## [1] 0.02916553
ConclusaoT <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"
), paste(
"Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0")
)
ConclusaoT
## [1] "Como p-valor< 0.05  Rejeita-se H0"
  1. Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, preparam-se dois tipos de montagem: cruzado (A), onde a cola é posta em forma de X, e quadrado (B), onde a cola é posta apenas nas quatro bordas. Os resultados da resistência para as duas amostras de 10 cada estão abaixo. Que tipo de conclusão poderia ser tirada?
Método A 16 14 19 18 19 20 15 18 17 18
Método B 13 19 14 17 21 24 10 14 13 15 
A <- c(16  , 14  , 19  , 18  , 19  , 20  , 15  , 18, 17, 18)
B <- c(13  , 19  , 14  , 17  , 21  , 24  , 10  , 14, 13, 15)
nA <- length(A)
nB <- length(B)
Abarra <- mean(A)
sA <- sd(A)
Bbarra <- mean(B)
sB <- sd(B)

#H0:SigmaA^2 =SigmaB^2
#H1:SigmaA2 !=SigmaB^2

var.test(A, B, alternative = "two.sided")
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  A and B
## F = 0.2, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.02507
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.04967717 0.80519883
## sample estimates:
## ratio of variances 
##                0.2
print("Rejeita-se H0 para todo alpha>pvalor=0.02507")
## [1] "Rejeita-se H0 para todo alpha>pvalor=0.02507"
#Vamos supor que rejeitamos H0. Nesse caso, as variancias populacionais sao distintas.

#H0:muA =muB
#H1:muA!=muB

t.test(A,B,alternative = "two.sided", var.equal = FALSE)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  A and B
## t = 0.95258, df = 12.462, p-value = 0.3589
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.789083  4.589083
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      17.4      16.0
print("Nao rejeitamos H0 para todo alpha < pvalor=0.3589")
## [1] "Nao rejeitamos H0 para todo alpha < pvalor=0.3589"
  1. Em um estudo para comparar os efeitos de duas dietas, A e B, sobre o crescimento, 6 ratos foram submetidos à dieta A, e 9 ratos à dieta B. Após 5 semanas, os ganhos em peso foram:
Dieta A 15 18 12 11 14 15
Dieta B 11 11 12 16 12 13 8 10 13
  1. Admitindo que temos duas amostras independentes de populações normais, teste a hipótese de que não há diferença entre as duas dietas, contra a alternativa que a dieta A é mais eficaz, usando o teste t de Student, no nível de \(\alpha = 0, 01.\) H0 : μA = μB H1 : μA > μB
xBarraA = 14.167
xBarraB = 11.778
sA = 2.483
sB = 2.483

Testa se as varâncias são homogêneas, ou seja, teste F:

H0 : σ2A = σ2B H1 : σ2A ≠ σ2B

alpha = 0.01
sA = 2.483
sB = 2.224
nA = 6
nB = 9
Fcal = (sA^2)/(sB^2)
Fcal
## [1] 1.246476
#Teste une lateral a direita
Ftab <- qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab
## [1] 0.1507881
ConclusaoF <- ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de s
ignificância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significânci
a"))
ConclusaoF
## [1] "Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de s\nignificância"

Realizaremos o teste de igualdade de médias de duas populações normais com mesma variância, desconhecida. A estatística do teste é encontrada pela fórmula:

Teste T:

xBarraA = 14.167
xBarraB = 11.778
Sp = 2.327
nA = 6
nB = 9
Tcal = (xBarraA - xBarraB)/ (Sp*(sqrt(1/nA + 1/nB)))
Tcal
## [1] 1.94792
Ttab = 2.650
Ttab
## [1] 2.65
ConclusaoT <- ifelse(Tcal>Ttab,paste("Como Tcal>Ttab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de s
ignificância"), paste("Como Tcal<Ttab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significânci
a"))
ConclusaoT
## [1] "Como Tcal<Ttab Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significânci\na"

Calculando uma aproximação de alpha da amostra, devemos supor que P(t13 > 1, 9481), encontrando o valor médio entre P(t13 > 1, 771) e P(t13 > 2, 160)), são os valores mais próximos na tabela.

alphaAmostra = ((0.1 + 0.05)/2)/2
alphaAmostra
## [1] 0.0375
  1. Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.
  1. Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
#P(X<5)
z = (5 - mu)/dp
#P(z<-1,5) = P(z>1,5) = 1 - P(z <= 1,5)
resultado = 1 - pnorm(1.5)
Resposta <- (paste("Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é
de ", resultado,"%"))
Resposta
## [1] "Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é\nde  0.0668072012688581 %"
  1. E mais do que 9,5 minutos?
#P(x > 9,5)
z = (9.5 - mu)/dp
#P(z>0,75)
resultado = 1 - pnorm(0.75)
Resposta <- (paste("Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure mais do que 9,5 minu
tos é de ", resultado,"%"))
Resposta
## [1] "Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure mais do que 9,5 minu\ntos é de  0.226627352376868 %"
  1. E entre 7 e 10 minutos?
#P(7 > x > 10)
z1 = (7 - mu)/dp
z2 = (10 - mu)/dp
z1
## [1] 0.224
z2
## [1] 0.424
#P(-0,5 < z < 1) = P(z < 1) - P(z < -0,5) = P(z<1) - P(z>0,5) =
#P(z<1) - [1 - P(z <= 0,5)]
resultado = pnorm(1) - (1 - pnorm(0.5))
Resposta <- (paste("Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos
é de ", resultado,"%"))
Resposta
## [1] "Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos\né de  0.532807207342556 %"
  1. 7\(5\%\) das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?
#P(X>x) = 0,75
#P(z > [x - mu]/dp ) = 0,75
#Temos que encontrar o X
#x é tal que A(- [x - 8]/2 ) = 0,75
#Então,
resultado = mu - (0.67 *dp)
Resposta <- (paste("Portanto,75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos", resultado,"mi
nutos."))
Resposta
## [1] "Portanto,75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos -6.41 mi\nnutos."
  1. A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição Normal, com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: \(15\%\) dos mais leves como pequenos, os \(50\%\) seguintes como médios, os \(20\%\) seguintes como grandes e os \(15\%\) mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?
mu <- 5
sigma <- 0.9
n <- 5000

pnorm(6, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = F)
## [1] 0.1332603
qnorm(0.9, mean = 5, sd = 0.8, lower.tail = TRUE)
## [1] 6.025241
pnorm(4.06721, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.15
qnorm(0.65, mean = 5, sd = 0.9, lower.tail = TRUE)
## [1] 5.346788
  1. Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de \(1000cm^{3}\) e desvio padrão de \(10cm^{3}.\) Admita que o volume siga uma distribuição normal.
  1. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que \(990cm^{3}?\)
pnorm(990, mean = 1000, sd = 10, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.1586553
  1. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?
#dp -> desvio-padrão
#mu -> volume médio de líquido
#dp = 10 => 2dp = 20
#mu - 2dp = 1000 - 20 = 980
#mu + 2dp = 1000 + 20 = 1020
#P(980 < X < 1020)
valor1 = (980 - 1000)/10
valor2 = (1020 - 1000)/10
valor1
## [1] -2
valor2
## [1] 2
#P(-2< z < 2) = P(z < 2) - P(z < -2) = P(z < 2) - P(z > 2)
#P(z <= 2) - [1 - P(Z <= 2)] = 2*P(z <= 2) - 1
resultado =2*pnorm(2) - 1
resultado = resultado*100
Resposta <- (paste("a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da méd
ia em mais do que dois desvios padrões é de",resultado,"%"))
Resposta
## [1] "a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da méd\nia em mais do que dois desvios padrões é de 95.4499736103642 %"
  1. Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m. Respectivamente.
  1. Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.
#P(A) = P(XA < 6) = P(Z < (6-10)/2) = P(Z<-2,0) = 1 - A(2)
resultado = 1 - pnorm(2)
Resposta <- (paste("as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A:",resultado,"%"))
Resposta
## [1] "as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A: 0.0227501319481792 %"
#P(B) = P(XB < 6) = P(Z < (6-11)/3) = P(Z<-1,67) = 1- A(1,67)
resultado = 1 - pnorm(1.67)
Resposta <- (paste("as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo B:",resultado,"%"))
Resposta
## [1] "as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo B: 0.0474596818029474 %"
  1. Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.
restituicaoA = 0.0228
restituicaoB = 0.0475
#P(não restituição de A) = 1 – P(restituição de A)
naoRestituicaoA = 1 - restituicaoA
#P(não restituição de B) = 1 - P(restituição de B)
naoRestituicaoB = 1 - restituicaoB
LucroA = 1200
PrejuizoA = 2500
LucroB = 2100
PrejuizoB = 7000
lucroMedioA = LucroA * naoRestituicaoA - PrejuizoA * restituicaoA
lucroMedioB = LucroB * naoRestituicaoB - PrejuizoB * restituicaoB
Resposta <- (paste("O lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo
B, respectivamente, são ",lucroMedioA,"u.m e", lucroMedioB,"u.m"))
Resposta
## [1] "O lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo\nB, respectivamente, são  1115.64 u.m e 1667.75 u.m"

Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? Baseando-se nos lucros médios obtidos na questão anterior, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, tendo em vista que o lucro médio de B é maior que o lucro médio de A.

  1. Um estudo comparou dois métodos (A e B) para ensinar matemática a alunos do primeiro grau. Após 10 semanas, o desempenho dos alunos foi avaliado em um teste. Teste a hipótese de que o método A resulta num melhor desempenho médio, ao nível \(\alpha=5\%\), com base nos resultados da tabela a seguir:
Método Número de alunos Média das notas Desvio padrão das notas
A 10 8.15 1.15
B 8 7.31 1.94

Teste Z. Queremos testar a hipótese:

\(H0 : \mu A = μB\) \(H1 : \mu A ≠ μB\)

alpha = 0.05
nA = 10
nB = 8
xBarraA = 8.15
yBarraB = 7.31
sigmaA = 1.15
sigmaB = 1.94
Zcal <- (xBarraA - yBarraB)/ sqrt(((sigmaA^2)/nA )+ ((sigmaB^2)/nB ))
Zcal
## [1] 1.082004
#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha
,"de significância"))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
  1. A lei trabalhista estabelece que o pagamento diário mínimo deve ser de 13, 20 U.M. (unidades monetárias). Assuma distribuição normal com desvio padrão igual a 2,0 U.M. Uma amostra aleatória de 40 trabalhadores de uma firma revelou média diária de 12,20 U.M .Esta firma deve ser acusada de estar infringindo a lei? Conclua a \(1\%\) de probabilidade.

Teste Z. As hipóteses:

H0 : μ = 13, 20 H0 : μ ≠ 13, 20

mu = 13.20
dp = 2
n = 40
xbarra = 12.20
alpha = 0.01
Zcal = (xbarra - mu)/ (2/sqrt(n))
Zcal
## [1] -3.162278
#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(alpha)
ztab
## [1] -2.326348
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, (alpha) ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", (alpha)
,"de significância"))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"
  1. A tabela a seguir mostra a frequência de acidentes automobilísticos por ano, de acordo com a faixa etária (idade) do motorista, para motoristas com idade inferior a 25 anos. Teste a hipótese de que o número de acidentes independe da idade, a \(5\%\) de probabilidade. Isto é, teste a hipótese de que o número anual de acidentes se distribui proporcionalmente nas faixas etárias. A tabela abaixo apresenta o percentual de motoristas em cada faixa etária.
% de motoristas 10 20 20 25 25
idade (anos) 15-16 17-18 19-20 21-22 23-24
número de acidentes 8 15 13 11 8 
alpha <- 0.05
(TotalAcidentes <- 8+15+13+11+8)
## [1] 55
Obs <- c(8,15,13,11,8)
#H0:O percentual de acidentes independe da idade
#H1:Não H0
XiQuad <- chisq.test(Obs, p = c(0.1,0.2,0.2,0.25,0.25))
XiQuad
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  Obs
## X-squared = 5.9091, df = 4, p-value = 0.206
  1. Uma indústria farmacêutica conduziu um estudo para avaliar o tempo médio em dias para recuperação dos efeitos da gripe. O estudo comparou o tempo de indivíduos que tomaram 500 mg diárias de vitamina C, contra indivíduos que não tomaram vitamina C (nenhum suplemento). Com base nos dados a seguir, conclua e interprete a \(5\%\) de probabilidade.
Nenhum suplemento 500mg Vit. C
Tamanho da amostra 12 12
Tempo médio 7,4 5,8
Variâncias 2,9 2,4

Teste Z. Queremos testar a hipótese:

H0 : μA = μB H0 : μA ≠ μB

alpha = 0.05
nA = 12
nB = 12
xBarraA = 7.4
yBarraB = 5.8
sigmaA = 2.9
sigmaB = 2.4
Zcal = (xBarraA - yBarraB)/ sqrt(((sigmaA^2)/nA )+ ((sigmaB^2)/nB ))
Zcal
## [1] 1.4724
#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, (alpha) ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", (alpha)
,"de significância"))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
  1. Um pesquisa de opinião entrevistou 50 pessoas em dois distritos. O objetivo era verificar se a distribuição das opiniões era homogênea nos dois distritos. Com base nos dados da tabela, teste a hipótese de homogeneidade de opiniões usando \(\alpha=5\%\).
Sim Indeciso Não Total
Distrito A 20 9 21 50
Distrito B 26 3 21 50
Total 46 12 42 100 
Fobs <- data.frame(Distrito=c("Distrito A", "Distrito B"), Sim=c(20,26),
                   Indeciso=c(9,3), Nao=c(21,21), row.names = TRUE)

#H0: As opiniões são homogêneas
#H1: Não H0

chisq.test(Fobs, correct = TRUE)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  Fobs
## X-squared = 3.7826, df = 2, p-value = 0.1509
  1. Uma associação comercial afirma que o número médio de dias de trabalho perdidos anualmente, devido a problemas de saúde, é igual a 60. Uma extensa campanha educacional visando a conscientizar os trabalhadores quanto a importância de uma alimentação balanceada, higiene pessoal, prática de esportes etc, foi conduzida com o intuito de melhorar este quadro. Um ano após esta campanha, um estudo com 30 trabalhadores forneceu média igual a 55 dias. Assuma que o número de dias de trabalho perdidos anualmente é normalmente distribuído com variância \(\sigma^{2}=275\). Pede-se:

Teste Z. Abaixo as hipóteses:

H0 : μ = 60 H1 : μ ≠ 60

  1. Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de \(\alpha= 1\%\) de probabilidade?
alpha = 0.01
mu = 60
xbarra = 55
n = 30
dp = 275/n
#Estatística do Teste Z:
zcal <- (xbarra - mu)/(dp/sqrt(n))
zcal
## [1] -2.987578
#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.01)
ztab
## [1] -2.326348
ConclusaoZ <- ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha
,"de significância"))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"
  1. Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha educacional foi eficaz?
Resposta <- (paste("Para um nível de significância maior que 2.987578 podemos afirmar que a c
ampanha educacional foi eficaz."))
Resposta
## [1] "Para um nível de significância maior que 2.987578 podemos afirmar que a c\nampanha educacional foi eficaz."
  1. Um gerente comercial acredita que um número excessivo de horas estejam sendo desperdiçadas em contatos comerciais, via telefone, entre os seus vendedores e os clientes em potencial. Ele deseja no máximo quinze horas por semana por vendedor. Este gerente comercial contratou uma empresa especializada para treinar seus vendedores. Após este treinamento, uma amostra de 36 vendedores revelou média igual a 17h por semana por vendedor. O que pode ser concluído quanto a eficácia do treinamento? Assuma \(\sigma^{2}=9\) e utilize \(\alpha=5\%\).

H0 : μ = 15 H1 : μ ≠ 15

mu = 15
n = 36
xBarra = 17
dp = 9/n
alpha = 0.05
Zcal = (xBarra - mu)/(dp/sqrt(n))
Zcal
## [1] 48
#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha
,"de significância"))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
  1. Com base em dados obtidos de 400 mulheres, apresentados na tabela abaixo, pode-se concluir que o nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes? Conclua a \(5\%\) de probabilidade.
Nível educacional ruim razoável boa muito boa
Universidade 18 29 70 115
2º grau 17 28 30 41
3º grau 11 10 11 20

Teste X2 de Person, utilizando o teste de independência.

H0 :o nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes H1 : Não H0

alpha = 0.05
M<-data.frame(tabela = c("universidade","2_grau","3_grau"),ruim=c(18,17,11),razoavel=c(29,28,
10),boa=c(70,30,11),muitoBoa=c(115,41,20),row.names = 1)
M
##              ruim razoavel boa muitoBoa
## universidade   18       29  70      115
## 2_grau         17       28  30       41
## 3_grau         11       10  11       20
#Testando a hipótese que nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes
#Teste Qui-quadrado
Xsq <- chisq.test(M, correct = FALSE)
Xsq
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  M
## X-squared = 19.943, df = 6, p-value = 0.002835
Conclusao<-(paste(" Como p-valor < alpha, o nível educacional e a adaptação à vida conjugal s
ão dependentes"))
Conclusao
## [1] " Como p-valor < alpha, o nível educacional e a adaptação à vida conjugal s\não dependentes"
  1. Uma cooperativa de produtores possui uma máquina de encher vasilhame com um litro de leite. Para assegurar que em média cada vasilhame não terá leite a mais e nem a menos, o responsável pelo controle de qualidade amostra, semanalmente, 75 vasilhames enchidos pela máquina. Se uma amostra fornecer 63, 97 litros e desvio padrão \(s = 0, 25\) litros, deve-se parar a máquina para regulagem ou continuar a produção? Qual deve ser o procedimento adotado a \(\alpha=5\%\) de probabilidade?

Teste T. Hipóteses:

H0 : μ = 1 H1 : μ ≠ 1

mu = 1
n = 75
xBarra = 63.97/n
dp = 0.25
alpha = 0.05
Ttab = qt(alpha, n - 1)
Ttab
## [1] -1.665707
Tcal = (xBarra - mu)/ sqrt((dp^2)/n)
Tcal
## [1] -5.094539
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de
 alpha ="
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph
a =", alpha
,"de significância. Ou seja, deve-se parar a máquina para regulagem."))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de\n alpha = 0.05 de significância"
  1. A renda média de famílias com 4 pessoas na região sudeste do Brasil, no ano de 1975, era de 5 U.M. Economistas acreditam que atualmente a renda média é maior. Pede-se,
  1. Quais seriam as hipóteses estatísticas (H0 e Ha), para se tentar provar que atualmente a renda média é maior do que em 1975? Seja: μ:renda média de famílias com 4 pessoas na região sudeste do Brasil

H0 : μ = 5 H1 : μ > 5

  1. Quais são as informações necessárias para se realizar um teste Z? Três condições necessárias para desempenhar um teste z para a diferença de duas médias populacionais μ1 e μ2.
  1. Quais são as informações necessárias para se realizar um teste t? Três condições são necessárias:
  1. Explique os dois possíveis erros (erro tipo I e erro tipo II) de decisão que podem ocorrer neste exemplo?
  1. Assuma que o consumo mensal per capita de determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão igual a 5 kg. Com a atual crise (do dólar, do apagão, do futebol…várias opções!) o departamento de vendas da fábrica decidiu que irá retirar o produto do mercado, caso o consumo médio \((\mu)\) per capita seja inferior a 10kg. Se uma pesquisa de mercado, com uma amostra de 100 indivíduos, revelar consumo médio mensal per capita de 9 kg, pede-se: Qual deve ser a afirmação, ao nível de significância de \(1, 5\%?\)

Definindo X = consumo mensal per capita(kg) Onde \(X~N(\mu;2^2)\)

\(H0 : \mu >= 10\) \(H1 : \mu < 10\)

alpha = 0.15
mu = 10
dp = 5
n = 100
xBarra = 9/n
Ttab = qt(0.015, n - 1)
Ttab
## [1] -2.201819
Tcal = (xBarra - mu)/ sqrt((dp^2)/n)
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de
 alpha ="
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph
a =", alpha
,"de significância"))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de\n alpha = 0.15 de significância"
  1. No quadro abaixo estão as opiniões, com respeito ao desempenho e a potência do motor, de proprietários de veículos de um determinado fabricante. As opiniões foram classificadas pela idade do proprietário.
Idade Ruim Bom
Jovem 30 20
Experiente 20 30

O que pode ser afirmado quanto à seguinte hipótese de nulidade? H0 : Idade e opinião são independentes. H1 : Não H0 Para decidir entre Rejeitar ou Nao-Rejeitar a hipótese de nulidade, deve-se calcular o valor da estatística T dada por

mu = 0
alpha = 0.05
n = 2
xBarra = ((30 - 20) + (20- 30))/ n
di = ((30 - 20)^2 + (20- 30)^2)
dp = (di - ((di)^2)/n) / (n-1)
Ttab = qt(0.05, n - 1)
Ttab
## [1] -6.313752
Tcal = (xBarra - mu)/ sqrt((dp^2)/n)
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de
 alpha ="
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph
a =", alpha
,"de significância"))
ConclusaoT
## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph\na = 0.05 de significância"
  1. Para comparar duas marcas de pará-choques, montaram-se seis de cada marca em 12 carros compactos, fazendo-se cada carro colidir com um muro de concreto, a uma velocidade de 40 km Registraram-se os seguintes custos de reparo:
Pára-choque Custo (R$) Média Variância
A 320 310 380 360 320 345 339,17 744,17
B 305 290 340 315 280 305 305,80 434,17

Teste (\(\alpha=5\%\)) a hipótese de igualdade entre os custos médios de reparo dos pará-choques. Teste Z. Queremos testar a hipótese:

\(HO :\mu A = \mu B\) \(H1 :\mu A ≠ \mu B\)

alpha = 0.05
nA = 6
nB = 6
xBarraA = 339.17
yBarraB = 305.80
sigmaA = 744.17
sigmaB = 434.17
Zcal = (xBarraA - yBarraB)/ sqrt(((sigmaA^2)/nA )+ ((sigmaB^2)/nB ))
Zcal
## [1] 0.09487336
#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha
,"de significância"))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"
  1. Se um dado não é viciado cada uma das seis faces ocorre com igual probabilidade. Um determinado dado foi lançado 720 vezes, obtendo-se:
Face 1 2 3 4 5 6 Total
Frequência observada 129 107 98 132 136 118 720

O dado será considerado viciado para qual nível de significância? Explique sua resposta. Teste Qui-quadrado.Abaixo segue as hipóteses: \(HO\) : Distribuição igual para as seis faces do dado \(H1\) : Não é uma distribuição igual para as seis faces do dado

n = 720
mu = 1/6
Xcal = (mu)*((129 - mu)^2 + (107 - mu)^2 + (98 - mu)^2 + (132 - mu)^2+ (136 - mu)^2+ (118 - mu)^2)
Xcal
## [1] 14549.69
Resposta <- (paste("Se alpha for maior que o valor do p-valor =", Xcal,"rejeitamos H0 e assu
mimos a hipótese alternativa."))
Resposta
## [1] "Se alpha for maior que o valor do p-valor = 14549.6944444444 rejeitamos H0 e assu\nmimos a hipótese alternativa."
  1. O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos. Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada, considerando \(\alpha=5\%\)? Apresente as suposições teóricas usadas para resolver problema. Iremos utilizar o Teste Z. Abaixo segue as hipóteses: \(H0 : \mu = 100\) \(H1 : \mu < 100\)
mu = 100
n = 16
xbarra = 85
dp = 12
alpha = 0.05
#Estatística do Teste Z:
zcal <- (xbarra - mu)/(dp/sqrt(n))
zcal
## [1] -5
#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab
## [1] -1.644854
ConclusaoZ <- ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha
,"de significância"))
ConclusaoZ
## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"