Relatório de teste de hipóteses

Relatorio para a disciplina MAF 160 (Teste de hipoteses)

1 - Trace uma curva normal e sombreie a área desejada obtendo então a informação

Área à direita de \(Z = 1\)

1-pnorm(q=1, mean = 0, sd=1)

## [1] 0.1586553

pnormGC(1, region = "above", mean = 0, sd=1, graph = T)

## [1] 0.1586553

Área à esquerda de \(Z = 1\)

pnorm(q=1, mean = 0, sd=1)

## [1] 0.8413447

pnormGC(c(0,1.5), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.4331928

Área entre \(Z = 0, 5\) e \(Z = 0, 5\)

pnormGC(c(0.5,0.5), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0

pnorm(q=1.5, mean = 0, sd=1)-0.5

## [1] 0.4331928

Área entre \(Z = 0\) e \(Z = −2, 5\)

pnormGC(c(0,-2.5), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.4937903

pnorm(q=0, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=-2.5, mean = 0, sd=1)

## [1] 0.4937903

Usando a tabela da distribuição normal, determine os valores de \(Z\) que correspondem às seguintes áreas.

Área de 0,0228 à esquerda de Z

qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1, lower.tail = TRUE)

## [1] -1.999077

pnormGC(qnorm(0.0228, mean = 0, sd=1), region="below", mean=0,
        sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.0228

0,4772 entre 0 e z

qnorm(0.9772)

## [1] 1.999077

pnormGC(c(0,2), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.4772499

Consultando a tabela, determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre \(Z_0 = −1, 20\) e \(Z_1 = 2, 00.\) Desenhe o gráfico

pnorm(q=-1.20, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=2.0, mean = 0, sd=1)

## [1] -0.8621802

pnormGC(c(-1.20,2.0), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8621802

Dado uma variável X com distribuição normal de média 25 e desvio-padrão 2, determine os valores de Z para os seguintes valores (x) :

23,5

x <- 23.5
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z

## [1] -0.75

x <- 24
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z

## [1] -0.5

25,2

x <- 25.2
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z

## [1] 0.1

25,5

x <- 25.5
mu <- 25
sigma <- 2

z <- (x-mu)/sigma
z

## [1] 0.25

Determine a probabilidade de certo valor padronizado de Z estar entre \(Z_0 = −1, 30\) e \(Z_1 = 1.5.\) Desenhe o gráfico.

pnorm(q=-1.30, mean = 0, sd=1)-pnorm(q=1.5, mean = 0, sd=1)

## [1] -0.8363923

pnormGC(c(-1.30,1.5), region="between", mean=0, sd=1, graph=TRUE)

## [1] 0.8363923

Uma população normal tem média 40 e desvio-padrão 3. Determine os valores da população correspondentes aos seguintes de Z:

2,00

z <- 2.0
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z

## [1] 2

0,75

z <- 0.75
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z

## [1] 0.75

-3,00

z <- -3.0
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z

## [1] -3

-2,53

z <- -2.53
mu <- 40
sigma <- 3

x <- mu+sigma*z
z

## [1] -2.53

Explique com suas palavras, exemplificando, o significado de:

teste de hipótese;

Uma das melhores formas de analisar se algo é verdadeiro ou não.

Hipótese nula e alternativa;

Hipótese nula é quando não há relação entre as variáveis analisadas, já alternativa é quando há a relação entre elas

erros do tipo I e II;

Tipo I quando a hipótese nula é verdadeira e é rejeitada, erro tipo II é quando a hipótese é falsa e nao a rejeita.

nível de significância

É o que determina estatisticamente se o resultado pode ser considerado significante ou não.

Enuncie a hipótese nula e a hipótese alternativa em cada um dos casos a seguir.

Um sindicato de empregados de certa categoria deseja verificar se a taxa de desemprego em certo município é maior que a taxa de 12% observada seis meses antes.

\(H0\):μ=12% taxa de desemprego \(H1\):μ>12% taxa de desemprego

#H0:mu=12
#H1:mu>12

O controle de qualidade das peças produzidas por certa fábrica exige que o diâmetro médio das mesmas seja 57 mm. Para verificar se o processo de produção está sob controle, observam-se os diâmetros de 10 peças, constatando-se os seguintes valores em mm: \(56,5; 56,6; 57,3; 56,9; 57,1; 56,7; 57,1; 56,8; 57,1; 57,0.\) Admitindo-se um nível de significância de \(5\%\), pode-se concluir que o processo de produção está sob controle?

#Dados:
mu = 57 #média do diâmetro
n = 10 #quantidade de amostras
alpha = 0.05 #nível de significância
xbarra = mean(c(56.5, 56.6, 57.3, 56.9, 57.1, 56.7, 57.1, 56.8, 57.1, 57.0))#média da amostra em estudo
xbarra

## [1] 56.91

dp = sd(c(56.5, 56.6, 57.3, 56.9, 57.1, 56.7, 57.1, 56.8, 57.1, 57.0)) #desvio-padrão
dp

## [1] 0.2558211

#Estatística do Teste T
Tcal = (xbarra-mu)/(dp/sqrt(n))
Tcal

## [1] -1.112516

#Encontrando o valor tabelado:
Ttab = qt(0.05, n - 1)
Ttab

## [1] -1.833113

ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de
 alpha ="
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph
a =", alpha
,"de significância"))
ConclusaoT

## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph\na = 0.05 de significância"

#O processo de produção está sob controle.

Numa localidade, 32% dos consumidores consomem determinado produto. Foi lançado no mercado da localidade um produto concorrente. Uma pesquisa realizada com 500 consumidores escolhidos ao acaso revelou que 145 dentre estes consomem o antigo produto. Pode-se concluir, num nível de significância de 2%, que a preferência pelo produto antigo diminuiu com a entrada do concorrente no mercado? Calcule o valor da prova para esta amostra.
Sabe-se que 6% das unidades de certo produto são substituídas gratuitamente por apresentar defeitos de fabricação. Para reduzir este percentual, o fabricante investiu na melhoria da qualidade do produto. Constase que 12 dentre 400 unidades vendidas tiveram que ser substituídas gratuitamente por apresentar defeitos de fabricação. Pode-se concluir, num nível de significância de 3%, que a qualidade do produto melhorou?
Suponha que o tempo necessário para que estudantes completem uma prova tenha distribuição normal com média 90 minutos e desvio padrão 15 minutos.

Entre 75 e 85 minutos?

#P(75 < Z < 85)
valor1 = 75
valor2 = 80
x1 = (valor1 - mu)/dp
x1

## [1] 70.36167

x2 = (valor2 - mu)/dp
x2

## [1] 89.90657

#P(-1 < Z < -0.6666667) = P(Z < -0.6666667) - P(Z < -1) = P(z >0.6666667) - P(z > 1) = P(z >0.6666667) - [1-P(z <= 1)]
x1 = x1*(-1)
x2 = x2*(-1)
resultado = pnorm(x2) - (1-pnorm(x1))
Resposta <- (paste("Portanto, a probabilidade de que o estudante dure entre 75 e 85 minutos é", resultado, "%"))

## [1] A probabilidade de que o estudante dure entre 75 e 85 minutos\n é 0.58885220852162 %

Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, \(H_0,\) aquela que para você leva a um erro tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso.

O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipotéses:

está começando um ataque;
tudo bem, apenas uma leve interferência.

\(H0:\) está começando um ataque

Rejeitar H0 e ela ser verdadeira, significa que, estamos afirmando que é apenas uma interferência. Acredito que é mais importante ter certeza que uma coisa estranha no radar será considerada um ataque do que somente uma leve interferência

Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são:

o acusado é inocente;
o acusado é culpado.

\(H_{0}:\)o acusado é inocente

Rejeitar \(H_{0}\) e ela ser verdadeira, significa que, estamos afirmando ser culpada uma pessoa inocente. Acredito que é mais importante ter certeza que uma pessoa inocente será considerada inocente do que uma pessoa culpada ser considerada inocente.

Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são:

a vacina é eficaz;
a vacina não é eficaz.

Rejeitar H0 e ela ser verdadeira, significa que, estamos afirmando que a vacina não é eficaz. Acredito que é mais importante ter certeza que a vacina é eficaz do que uma vacina não eficaz ser considerada eficaz.

Os dados abaixo referem-se a medidas de determinada variável em 19 pessoas antes e depois de uma cirurgia. Verifique se as medidas pré e pós-operatórias apresentam a mesma média. Que suposições você faria para resolver o problema?

Pre <- c(50.0,50.0,50.0,87.5,32.5,35.0,40.0,45.0,62.5,40.0,50.0,75.0,92.5,38.0,46.5,50.0,30.0,35.0,39.4)
Pos <- c(42.0,42.0,78.0,33.0,96.0,82.0,44.0,31.0,87.0,50.0,48.0,52.0,74.0,47.5,49.0,58.0,42.0,60.0,28.0)
Dif <- Pre-Pos
sd(Dif)

## [1] 26.35174

mean(Dif)

## [1] -4.978947

#H0:muDif=0
#H1:muDif!=0

t.test(Dif, alternative = "two.sided")

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  Dif
## t = -0.82358, df = 18, p-value = 0.421
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -17.680077   7.722183
## sample estimates:
## mean of x 
## -4.978947

print("H0 não é rejeitado à 5% de significância, já que o valor é maior que alpha=0,05")

## [1] "H0 não é rejeitado à 5% de significância, já que o valor é maior que alpha=0,05"

Como a variância da diferença entre os valores Pré e Pós-Operatório do exercício é muito alta, nós não rejeitamos H0, mesmo observando um valor bem diferente de 0. Para corrigir o teste e/ou rejeitarmos H0 com um valor de média tão discrepante de 0, precisamos corrigir a variabilidade da diferente entre o pré e o pós-operatório.

Um partido afirma que a porcentagem de votos masculinos a seu favor será de 10 % a mais do que a porcentagem de votos femininos. Numa pesquisa feita entre 400 homens, 170 votariam no partido, enquanto entre 625 mulheres, 194 lhe seriam favoráveis. A afirmação do partido é verdadeira ou não?

mu <- 3.64
sigma <- 0.85 #(Desvio-padrao populacional dos operarios)
n <- 25
xbarra <- 4.22
s <- 1.25
alpha <- 0.05
#H0:Sigma^2=0.85
#H1:Sigma^2!=0.85 (Teste qui-quadrado bilateral)

(X2Cal <- ((n-1)*s^2)/(sigma^2))

## [1] 51.90311

(X2Tab <- qchisq((alpha/2), df = n-1, lower.tail = TRUE))

## [1] 12.40115

ConclusaoQui <- "Como X2Cal>X2tab rejeita-se H0 ao nível de alpha=0.05 de significância"

#Observamos que a variancia populacional dos torneiros mecanicos nao eh conhecida!

#H0:mu =3.64 SM
#H1:mu!=3.64 SM (Teste-t bilateral)

gl <- n-1
#Estatística do Teste
Tcal <- (xbarra-mu)/(s/sqrt(n))
Tcal

## [1] 2.32

Ttab <- qt((alpha/2), df=gl, lower.tail = FALSE)
Ttab

## [1] 2.063899

ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste(
"Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,
"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoT

## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"

(X2Tab <- qchisq((alpha/2), df = n-1, lower.tail = TRUE))

## [1] 12.40115

ConclusaoQui <- "Como X2Cal>X2tab rejeita-se H0 ao nível de alpha=0.05 de significância"

#Observamos que a variancia populacional dos torneiros mecanicos nao eh conhecida!

#H0:mu =3.64 SM
#H1:mu!=3.64 SM (Teste-t bilateral)

gl <- n-1
#Estatística do Teste
Tcal <- (xbarra-mu)/(s/sqrt(n))
Tcal

## [1] 2.32

Ttab <- qt((alpha/2), df=gl, lower.tail = FALSE)
Ttab

## [1] 2.063899

ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste(
"Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,
"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoT

## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"

(pvalor <- 2*pt(Tcal, df = gl, lower.tail = FALSE))

## [1] 0.02916553

ConclusaoT <- ifelse(pvalor>alpha,paste(
"Como p-valor>", alpha, " Não Rejeita-se H0"), paste("Como p-valor<", alpha, " Rejeita-se H0"))
ConclusaoT

## [1] "Como p-valor< 0.05  Rejeita-se H0"

ConclusaoQui <- "Como X2Cal>X2tab rejeita-se H0 ao nível de alpha=0.05 de significância"

#Observamos que a variancia populacional dos torneiros mecanicos nao eh conhecida!

#H0:mu =3.64 SM
#H1:mu!=3.64 SM (Teste-t bilateral)

gl <- n-1
#Estatística do Teste
Tcal <- (xbarra-mu)/(s/sqrt(n))
Tcal

## [1] 2.32

Ttab <- qt((alpha/2), df=gl, lower.tail = FALSE)
Ttab

## [1] 2.063899

ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste(
"Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,
"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"))
ConclusaoT

## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"

(pvalor <- 2*pt(Tcal, df = gl, lower.tail = FALSE))

## [1] 0.02916553

Em um estudo para comparar os efeitos de duas dietas, A e B, sobre o crescimento, 6 ratos foram submetidos à dieta A, e 9 ratos à dieta B. Após 5 semanas, os ganhos em peso foram:

xBarraA = 14.167
xBarraB = 11.778
sA = 2.483
sB = 2.483

alpha = 0.01
sA = 2.483
sB = 2.224
nA = 6
nB = 9
Fcal = (sA^2)/(sB^2)
Fcal

## [1] 1.246476

#Teste une lateral a direita
Ftab <- qf(alpha,nB-1,nA-1)
Ftab

## [1] 0.1507881

ConclusaoF <- ifelse(Fcal>Ftab,paste("Como Fcal>Ftab Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de s
ignificância"), paste("Como Fcal<Ftab Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significânci
a"))

Admitindo que temos duas amostras independentes de populações normais, teste a hipótese de que não há diferença entre as duas dietas, contra a alternativa que a dieta A é mais eficaz, usando o teste t de Student, no nível de \(\alpha = 0, 01.\)
Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.

Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

#P(X<5)
z = (5 - mu)/dp
#P(z<-1,5) = P(z>1,5) = 1 - P(z <= 1,5)
resultado = 1 - pnorm(1.5)
Resposta <- (paste("A probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é de ", resultado,"%"))

E mais do que 9,5 minutos?

#P(x > 9,5)
z = (9.5 - mu)/dp
#P(z>0,75)
resultado = 1 - pnorm(0.75)
Resposta <- (paste("A probabilidade de que um atendimento dure mais do que 9,5 minutos é de ", resultado,"%"))

E entre 7 e 10 minutos?

#P(7 > x > 10)
z1 = (7 - mu)/dp
z2 = (10 - mu)/dp
z1

## [1] 13.13418

z2

## [1] 24.86112

#P(-0,5 < z < 1) = P(z < 1) - P(z < -0,5) = P(z<1) - P(z>0,5) = #P(z<1) - [1 - P(z <= 0,5)]
resultado = pnorm(1) - (1 - pnorm(0.5))
Resposta <- (paste("A probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos é de ", resultado,"%"))

7\(5\%\) das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

#P(X>x) = 0,75
#P(z > [x - mu]/dp ) = 0,75
#Temos que encontrar o X
#x é tal que A(- [x - 8]/2 ) = 0,75
#Então,
resultado = mu - (0.67 *dp)
Resposta <- (paste("75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos", resultado,"minutos."))
Resposta

## [1] "75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos 3.46859985090114 minutos."

Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de \(1000cm^{3}\) e desvio padrão de \(10cm^{3}.\) Admita que o volume siga uma distribuição normal.

Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?

#dp -> desvio-padrão
#mu -> volume médio de líquido
#dp = 10 => 2dp = 20
#mu - 2dp = 1000 - 20 = 980
#mu + 2dp = 1000 + 20 = 1020
#P(980 < X < 1020)
valor1 = (980 - 1000)/10
valor2 = (1020 - 1000)/10
valor1

## [1] -2

valor2

## [1] 2

#P(-2< z < 2) = P(z < 2) - P(z < -2) = P(z < 2) - P(z > 2)
#P(z <= 2) - [1 - P(Z <= 2)] = 2*P(z <= 2) - 1
resultado =2*pnorm(2) - 1
resultado = resultado*100
Resposta <- (paste("a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões é de",resultado,"%"))
Resposta

## [1] "a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões é de 95.4499736103642 %"

Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m. Respectivamente.

Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.

#P(A) = P(XA < 6) = P(Z < (6-10)/2) = P(Z<-2,0) = 1 - A(2)
resultado = 1 - pnorm(2)
Resposta <- (paste("as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A:",resultado,"%"))
Resposta

## [1] "as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A: 0.0227501319481792 %"

#P(B) = P(XB < 6) = P(Z < (6-11)/3) = P(Z<-1,67) = 1- A(1,67)
resultado = 1 - pnorm(1.67)
Resposta <- (paste("as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo B:",resultado,"%"))
Resposta

## [1] "as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo B: 0.0474596818029474 %"

Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.

Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

restituicaoA = 0.0228
restituicaoB = 0.0475
#P(não restituição de A) = 1 – P(restituição de A)
naoRestituicaoA = 1 - restituicaoA
#P(não restituição de B) = 1 - P(restituição de B)
naoRestituicaoB = 1 - restituicaoB
LucroA = 1200
PrejuizoA = 2500
LucroB = 2100
PrejuizoB = 7000
lucroMedioA = LucroA * naoRestituicaoA - PrejuizoA * restituicaoA
lucroMedioB = LucroB * naoRestituicaoB - PrejuizoB * restituicaoB
Resposta <- (paste("O lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo
B, respectivamente, são ",lucroMedioA,"u.m e", lucroMedioB,"u.m"))
Resposta

## [1] "O lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo\nB, respectivamente, são  1115.64 u.m e 1667.75 u.m"

A lei trabalhista estabelece que o pagamento diário mínimo deve ser de 13, 20 U.M. (unidades monetárias). Assuma distribuição normal com desvio padrão igual a 2,0 U.M. Uma amostra aleatória de 40 trabalhadores de uma firma revelou média diária de 12,20 U.M .Esta firma deve ser acusada de estar infringindo a lei? Conclua a \(1\%\) de probabilidade

\(H0 : μ = 13, 20 H0 : μ ≠ 13, 20\)

mu = 13.20
dp = 2
n = 40
xbarra = 12.20
alpha = 0.01
Zcal = (xbarra - mu)/ (2/sqrt(n))
Zcal

## [1] -3.162278

#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(alpha)
ztab

## [1] -2.326348

ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, (alpha) ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", (alpha),"de significância"))
ConclusaoZ

## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.01 de significância"

Uma indústria farmacêutica conduziu um estudo para avaliar o tempo médio em dias para recuperação dos efeitos da gripe. O estudo comparou o tempo de indivíduos que tomaram 500 mg diárias de vitamina C, contra indivíduos que não tomaram vitamina C (nenhum suplemento). Com base nos dados a seguir, conclua e interprete a \(5\%\) de probabilidade.

\(H0 : μA = μB H0 : μA ≠ μB\)

alpha = 0.05
nA = 12
nB = 12
xBarraA = 7.4
yBarraB = 5.8
sigmaA = 2.9
sigmaB = 2.4
Zcal = (xBarraA - yBarraB)/ sqrt(((sigmaA^2)/nA )+ ((sigmaB^2)/nB ))
Zcal

## [1] 1.4724

#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab

## [1] -1.644854

ConclusaoZ <- ifelse(abs(Zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, (alpha) ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", (alpha),"de significância"))
ConclusaoZ

## [1] "Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"

Uma associação comercial afirma que o número médio de dias de trabalho perdidos anualmente, devido a problemas de saúde, é igual a 60. Uma extensa campanha educacional visando a conscientizar os trabalhadores quanto a importância de uma alimentação balanceada, higiene pessoal, prática de esportes etc, foi conduzida com o intuito de melhorar este quadro. Um ano após esta campanha, um estudo com 30 trabalhadores forneceu média igual a 55 dias. Assuma que o número de dias de trabalho perdidos anualmente é normalmente distribuído com variância \(\sigma^{2}=275\). Pede-se:

Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de \(\alpha= 1\%\) de probabilidade?

\(H0 : μ = 60 H1 : μ ≠ 60\)

alpha = 0.01
mu = 60
xbarra = 55
n = 30
dp = 275/n
#Estatística do Teste Z:
zcal <- (xbarra - mu)/(dp/sqrt(n))
zcal

## [1] -2.987578

#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.01)
ztab

## [1] -2.326348

Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha educacional foi eficaz?

Resposta <- (paste("Para um nível de significância maior que 2.987578 afirmamos que a campanha educacional foi eficaz."))
Resposta

## [1] "Para um nível de significância maior que 2.987578 afirmamos que a campanha educacional foi eficaz."

Um gerente comercial acredita que um número excessivo de horas estejam sendo desperdiçadas em contatos comerciais, via telefone, entre os seus vendedores e os clientes em potencial. Ele deseja no máximo quinze horas por semana por vendedor. Este gerente comercial contratou uma empresa especializada para treinar seus vendedores. Após este treinamento, uma amostra de 36 vendedores revelou média igual a 17h por semana por vendedor. O que pode ser concluído quanto a eficácia do treinamento? Assuma \(\sigma^{2}=9\) e utilize \(\alpha=5\%\).

\(H0 : μ = 15 H1 : μ ≠ 15\)

mu = 15
n = 36
xBarra = 17
dp = 9/n
alpha = 0.05
Zcal = (xBarra - mu)/(dp/sqrt(n))
Zcal

## [1] 48

#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab

## [1] -1.644854

ConclusaoZ <- ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoZ

## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"

Com base em dados obtidos de 400 mulheres, apresentados na tabela abaixo, pode-se concluir que o nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes? Conclua a \(5\%\) de probabilidade.

alpha = 0.05
M<-data.frame(tabela = c("universidade","2_grau","3_grau"),ruim=c(18,17,11),razoavel=c(29,28,10),boa=c(70,30,11),muitoBoa=c(115,41,20),row.names = 1)
M

##              ruim razoavel boa muitoBoa
## universidade   18       29  70      115
## 2_grau         17       28  30       41
## 3_grau         11       10  11       20

#Testando a hipótese que nível educacional e a adaptação à vida conjugal são independentes
#Teste Qui-quadrado
Xsq <- chisq.test(M, correct = FALSE)
Xsq

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  M
## X-squared = 19.943, df = 6, p-value = 0.002835

Conclusao<-(paste(" Como p-valor < alpha, o nível educacional e a adaptação à vida conjugal são dependentes"))
Conclusao

## [1] " Como p-valor < alpha, o nível educacional e a adaptação à vida conjugal são dependentes"

Uma cooperativa de produtores possui uma máquina de encher vasilhame com um litro de leite. Para assegurar que em média cada vasilhame não terá leite a mais e nem a menos, o responsável pelo controle de qualidade amostra, semanalmente, 75 vasilhames enchidos pela máquina. Se uma amostra fornecer 63, 97 litros e desvio padrão \(s = 0, 25\) litros, deve-se parar a máquina para regulagem ou continuar a produção? Qual deve ser o procedimento adotado a \(\alpha=5\%\) de probabilidade?

\(H0 : μ = 1 H1 : μ ≠ 1\)

mu = 1
n = 75
xBarra = 63.97/n
dp = 0.25
alpha = 0.05
Ttab = qt(alpha, n - 1)
Ttab

## [1] -1.665707

Tcal = (xBarra - mu)/ sqrt((dp^2)/n)
Tcal

## [1] -5.094539

ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de
 alpha =", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alpha =", alpha,"de significância. Ou seja, deve-se parar a máquina para regulagem."))
ConclusaoT

## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de\n alpha = 0.05 de significância"

A renda média de famílias com 4 pessoas na região sudeste do Brasil, no ano de 1975, era de 5 U.M. Economistas acreditam que atualmente a renda média é maior. Pede-se,

Quais seriam as hipóteses estatísticas (H0 e Ha), para se tentar provar que atualmente a renda média é maior do que em 1975?

\(H0 : μ = 5 H1 : μ > 5\)

Quais são as informações necessárias para se realizar um teste Z?

\(As amostras são independentes e selecionadas.\)

Quais são as informações necessárias para se realizar um teste t?

\(As amostras devem ser selecionadas aleatoriamente e ser independentes, além de que cada população precisa ter uma distribuição normal\)

Assuma que o consumo mensal per capita de determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão igual a 5 kg. Com a atual crise (do dólar, do apagão, do futebol…várias opções!) o departamento de vendas da fábrica decidiu que irá retirar o produto do mercado, caso o consumo médio \((\mu)\) per capita seja inferior a 10kg. Se uma pesquisa de mercado, com uma amostra de 100 indivíduos, revelar consumo médio mensal per capita de 9 kg, pede-se: Qual deve ser a afirmação, ao nível de significância de \(1, 5\%?\)

\(H0:μ>=10 H1:μ<10\)

alpha = 0.15
mu = 10
dp = 5
n = 100
xBarra = 9/n
Ttab = qt(0.015, n - 1)
Ttab

## [1] -2.201819

Tcal = (xBarra - mu)/ sqrt((dp^2)/n)
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de alpha =", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alph
a =", alpha ,"de significância"))
ConclusaoT

## [1] "Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de alpha = 0.15 de significância"

No quadro abaixo estão as opiniões, com respeito ao desempenho e a potência do motor, de proprietários de veículos de um determinado fabricante. As opiniões foram classificadas pela idade do proprietário. O que pode ser afirmado quanto à seguinte hipótese de nulidade? H0 : Idade e opinião são independentes.

mu = 0
alpha = 0.05
n = 2
xBarra = ((30 - 20) + (20- 30))/ n
di = ((30 - 20)^2 + (20- 30)^2)
dp = (di - ((di)^2)/n) / (n-1)
Ttab = qt(0.05, n - 1)
Ttab

## [1] -6.313752

Tcal = (xBarra - mu)/ sqrt((dp^2)/n)
ConclusaoT <- ifelse(abs(Tcal)>abs(Ttab),paste("Como |Tcal|>|Ttab| Rejeita-se H0 ao nível de alpha =", alpha ,"de significância"), paste("Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alpha =", alpha,"de significância"))
ConclusaoT

## [1] "Como |Tcal|<|Ttab| Não Rejeita-se H0 ao nível de de alpha = 0.05 de significância"

Para comparar duas marcas de pará-choques, montaram-se seis de cada marca em 12 carros compactos, fazendo-se cada carro colidir com um muro de concreto, a uma velocidade de 40 km Registraram-se os seguintes custos de reparo:Teste (\(\alpha=5\%\)) a hipótese de igualdade entre os custos médios de reparo dos pará-choques.

\(HO:μA=μB H1:μA≠μB\)

alpha = 0.05
nA = 6
nB = 6
xBarraA = 339.17
yBarraB = 305.80
sigmaA = 744.17
sigmaB = 434.17
Zcal = (xBarraA - yBarraB)/ sqrt(((sigmaA^2)/nA )+ ((sigmaB^2)/nB ))
Zcal

## [1] 0.09487336

#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab

## [1] -1.644854

ConclusaoZ <- ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de", alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoZ

## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"

Se um dado não é viciado cada uma das seis faces ocorre com igual probabilidade. Um determinado dado foi lançado 720 vezes, obtendo-se: O dado será considerado viciado para qual nível de significância? Explique sua resposta.

n = 720
mu = 1/6
Xcal = (mu)*((129 - mu)^2 + (107 - mu)^2 + (98 - mu)^2 + (132 - mu)^2+ (136 - mu)^2+ (118 - mu)^2)
Xcal

## [1] 14549.69

Resposta <- (paste("Se alpha for maior que o valor do p-valor =", Xcal,"rejeitamos H0 e usamos a hipótese alternativa."))
Resposta

## [1] "Se alpha for maior que o valor do p-valor = 14549.6944444444 rejeitamos H0 e usamos a hipótese alternativa."

O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos. Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada, considerando \(\alpha=5\%\)? Apresente as suposições teóricas usadas para resolver problema.

\(H0:μ=100 H1:μ<100\)

mu = 100
n = 16
xbarra = 85
dp = 12
alpha = 0.05
#Estatística do Teste Z:
zcal <- (xbarra - mu)/(dp/sqrt(n))
zcal

## [1] -5

#Encontrando o valor tabelado através do alpha:
ztab = qnorm(0.05)
ztab

## [1] -1.644854

ConclusaoZ <- ifelse(abs(zcal)>abs(ztab),paste("Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de"
, alpha ,"de significância"), paste("Como |Zcal|<|Ztab| Não Rejeita-se H0 ao nível de", alpha,"de significância"))
ConclusaoZ

## [1] "Como |Zcal|>|Ztab| Rejeita-se H0 ao nível de 0.05 de significância"

Relatório de teste de hipóteses

Rayck Iury Oliveira Gonçalves

2022-08-02

Relatorio para a disciplina MAF 160 (Teste de hipoteses)