Estadística

Probabilidades

Probabilidad y experimento aleatorio

Probabilidad: Forma matemática de poder medir la incertidumbre.

Incertidumbre: Algo que no se puede determinar hasta que acontece.

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Experimento aleatorio

Ejemplos de experimento aleatorio

1. Observar a un grupo de estudiantes si van a abandonar el ciclo
2. Lanzamiento de 3 monedas
3. Observar la cantidad de niños que hay por hogar

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Probabilidad frecuentista

Proporción de ocurrencias (frecuencias relativas) de un resultado, en una larga serie de repeticiones de un experimento aleatorio.

La definición que se le atribuye a la probabilidad es debida a Kolmogorov, quien lo define de una manera más real.

Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente Z caiga en el siguiente mes en el segmento de clientes con más de 2 meses de retraso en sus pagos?

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Espacio muestral y eventos

Espacio muestral

\[ \Omega = {Ene18,Feb18,Mar18,...,Dic19} \]

Posibles eventos:

A = {Ene18} A = {Ene18,…,Dic18} A = {Dic18,Dic19}

El conjunto de todos los eventos es el espacio muestral

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Leyes o axiomas que debe cumplir una función de probabilidad

1. La probabilidad solo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1.
2. La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el 100%
3. La probabilidad del suceso imposible debe ser 0.

Intersección

\[ P[A \cap B] \leq P[A] \]

\[ P[A \cap B] \leq P[A] \]

Unión

\[ P[A \cup B] \geq P[A] \]

\[ P[A \cup B] \geq P[A] \]

Complemento

\[ P[\bar{A}] = 1 - P[A] \]

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Probabilidad condicionada

Es aquella probabilidad que depende de que se haya cumplido otro hecho relacionado.

\[ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

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Eventos independientes

Se refiere a aquellos eventos que no se afectan entre sí. Pueden incluir la repetición de una acción o usar dos elementos aleatorios diferentes.

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

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Teorema de Bayes

Es una proposición que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A.

\[ P(A_j | B) = \frac{P(B|A_j) \times P(A_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(B|A_j) \times P(A_j) } \]

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Ejercicio

Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de la capital. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20. Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada.

Se pide:

1. Probabilidad que la compañía construya el centro comercial
2. Dado que el centro comercial fue construido, ¿cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada?

Planteamiento de datos:

# A1: Inflación
# A2: Estabilidad
# A3: Crecimiento
# P(A1) = 0.10
# P(A2) = 0.55
# P(A3) = 0.35
# B: importar los nuevos autos
# P(B/A1) = 0.25
# P(B/A2) = 0.75
# P(B/A3) = 0.85

PA = c(0.10,0.55,0.35)
PBA = c(0.25,0.75,0.85)
PB = sum(PA*PBA)
PB
# a) P(B) = 0.735

# b) P(A3/Bc) = P(A3)P(Bc/A3)/P(Bc)
# = P(A3)(1-P(B/A3))/(1-P(B))

PABc = PA*(1-PBA)/(1-PB)
PABc

Las probabilidades iniciales eran:

# P(A1) = 0.10
# P(A2) = 0.55
# P(A3) = 0.35

Las probabilidades finales son:

# P(A1/Bc) = 0.2830189 
# P(A2/Bc) = 0.5188679 
# P(A3/Bc) = 0.1981132