Resumo

Nesta lição iremos entender como funcionam os números complexos. Este números foram criados para resolver problemas clássicos, impossíveis dentro dos reais, tais como \(\sqrt{-1}\), vamos conhecer a sua unidade imaginária \(i\) e compreender o seu valor \(i^2=-1\), bem como ele pode ser útil nas nossas aplicações.

Introdução

Quando o conjunto real foi criado, achávamos que poderíamos operar todos os valores que nossas pesquisas e atividades comerciais necessitavam. Foi com o advento da eletricidade e operações mais complexas que percebemos que não tínhamos soluções para raízes de índice para números negativos. O conjunto dos números complexos foi criado para resolver este tipo de problema, avançando mais uma vez a fronteira numérica.

O conjunto dos número complexos C pode ser definido como o conjunto de pares ordenados de números reais \((x,y)\) em que estão definidas certas operações:

\[z \in \mathtt{C}, \Leftrightarrow z = (x,y), \quad com \quad x \in \mathtt{R} \quad e \quad y \in \mathtt{R}\]

Representação algébrica de um número complexo

Um número complexo \(z\) pode ser representado da seguinte forma: \[z=x+yi\], com \(x \in \mathtt{R}\), \(y \in \mathtt{R}\) e \(i^2=-1\), em que \(i\) é chamada unidade imaginária.

Você pode ver mais sobre este conteúdo nos seguintes vídeo: Números Complexos: Introdução e forma algébrica: https://youtu.be/vmxQKeqwDds e https://youtu.be/gd7mRJVXImk

Representação de um complexo no R

O software R também trabalha com números complexos de forma nativa. deve-se apenas expressá-los corretamente. Assim o número \(z_1 = 2+3i\) no R deve ser excrito como: z1 <- 2+3i

z1 <- 2+3i
z1
## [1] 2+3i

Neste caso, você pode até extrair a parte real e ou imaginária de um número complexo, dependendo da necessidade da operação.

  • Parte real, utilize o comando Re(z)
Re(z1)
## [1] 2
  • Parte imaginária, utilize o comando Im(z)
Im(z1)
## [1] 3

Assim, poderá utilizar partes de um número inteiro conforme a necessidade.

Representação Geométrica de um número complexo:

Iremos compreender a representação geométrica do número complexo no plano de Argand-Gauss ou plano cartesiano. Também veremos exemplos práticos desta aplicação:

Representão Geométrica de Complexox
Representão Geométrica de Complexox

No vídeo: Números Complexos: Forma Geométrica https://youtu.be/LCnjJNJE42I poderá apender sobre este plano, conforme ele é apresentado.

Operações com Números Complexos

Neste capítulo iremos entender como podemos adicionar, subtrair e multiplicar dois números complexos. Para finalidade de exemplso, considere os seguintes complexos: \(z_1 = a+bi\), \(z_2 = c+di\), com \(a,b,c\) e \(d\), reais.

  • Adição

\(z_1 + z_2 = (a+bi)+(c+di) \Rightarrow (a+c)+(b+d)i\)

  • Subtração

\(z_1 - z_2 = (a+bi)-(c+di) \Rightarrow (a-c)+(b-d)i\)

  • Multiplicação

\(z_1 \cdot z_2 = (a+bi)\cdot(c+di) \Rightarrow (ac+bd)+(ad+bc)i\)

Se tiver dúvidas sobre essas operações, reveja os seguintes vídeos disponíveis. Operações com Números Complexos: Adição, Subtração e Multiplicação: https://youtu.be/ZHDEmYxP6-Q e Operações com Números Complexos: Exemplos. https://youtu.be/rA3TinHqZAk

Operações no R

Vamos fazer exemplos de operações de Adição, Subtração e Multiplicação dos números \(z_1 = 2+3i\) e \(z_2=-5+i\)

Primeiramente iremos fazer a declaração dos dois números para que o R os armazene na memória

library(glue)
z1 = 2+3i
z2 = -5+1i
glue("
     z1 = {z1}
     z2 = {z2}
     ")
## z1 = 2+3i
## z2 = -5+1i

*Vamos somar os dois números:

z3 <- z1+z2
z3
## [1] -3+4i

*Vamos subtrair os dois números:

z3 <- z1-z2
z3
## [1] 7+2i

*Vamos multiplicar os dois números:

z3 <- z1*z2
z3
## [1] -13-13i

Essa é uma ótima maneira de conferir se seus resultados nos exercícios abaixo estarão corretos. Bons estudos!

Exercícios 01

    1. Dados os seguintes números complexos: \(z_1 = 3+2i\), \(z_2=-3+i\), \(z_3=4\) e \(z_4=-3i\), determine:
      1. \(z_1+z_2\)
      1. \(z_2+z_3+z_4\)
      1. \((z_1+z_2)-z_4\)
      1. \(z_1\cdot z_2\)
      1. \(z_1 \cdot z_2 \cdot z_3\)
      1. \((z_1 \cdot z_4)+(z_3+z_2)\)

Conjugado de um número complexo

Determinamos o conjugado do número \(z=a+bi\) como sendo \(\overline{z}=a-bi\).

Exemplo:

\(z_1 = 2+4i\), seu conjugado será \(\overline{z_1} = 2-4i\)

Assista o vídeo Conjugado de um Número Complexo. https://youtu.be/-O43k4mstN8 e aprenda um pouco mais.

Conjugado no R

No software R também é possível encontrarmos o conjugado de um número. Neste Caso apenas temos que colocar a expressão Conj(z1) que ela irá trazer o conjugado no número complexo z1. Veja:

glue("
     z1 = {z1}
     Conj(z1) = {Conj(z1)}
     ")
## z1 = 2+3i
## Conj(z1) = 2-3i

Desta forma, dependendo da necessidade do número ná operação, poderemos trabalhar com o seu conjulgado. Vamos explorar agora e ver o que acontece se multiplicarmos um número pelo seu conjulgado.

z1 * Conj(z1)
## [1] 13+0i

Observe que a parte imaginária se torna nula, deixando o número real puro. Este conceito é muito importante e será a peça fundamental para implementarmos a divisão de dois números complexos.

Divisão de números complexos

Dados dois números complexos \(z_1\) e \(z_2\), ao dividirmos os dois números, teremos uma operação binomial no denominador, o que dificulta muito a divisão. Assim, se o denomidador fosse apenas um núemro real, seria apenas uma fração simples o que tornaria nossas operações bem mais facilitadas. Veja como podemos definir este conceito utilizando o princípio do conjugado, apresentado anteriormente:

\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}}\)

Veja o vídeo abaixo e tire suas dúvidas. Operações com os Números Complexos: Divisão. https://youtu.be/pTD_dnsl8KY

Divisão de Complexos no R

Desta forma, ao fazermos uma divisão entre dois numeros complexos, na verdade iremos fazer um produto do conjugado do denominador, garantindo assim que o denominador será real puro.

z1/z2
## [1] -0.2692308-0.6538462i

Veja que o resultado virá em decinal e não em frações. Vamos agora verificar se o passo-a-passo está correto, conforme o teorema apresentado.

  • 1º Passo: Vamos armazenar em numerador o resultado do produto de z1 com o conjugado de z2:
numerador <- z1 * Conj(z2)
numerador
## [1] -7-17i
  • 2º Passo: Vamos armazenar em denominador o resultado do produto de z2 com o seu conjugado:
denominador <- z2 * Conj(z2)
denominador
## [1] 26+0i
  • 3º Passo: Agora, ao dividirmos numerador pelo denominador devermos ter o mesmo resultado de \(\dfrac{z_1}{z_2}\):

numerador pelo denominador

numerador / denominador
## [1] -0.2692308-0.6538462i

\(\dfrac{z_1}{z_2}\)

z1/z2
## [1] -0.2692308-0.6538462i

Outra maneira de também fazer isso é por mêtodo de comparação. O R compara dois valores, ou informação quando utilizamos o Operador == Observe o código abaixo:

numerador/denominador == z1/z2
## [1] TRUE

Veja que o resultado TRUE que quer dizer Verdadeiro afirma que as duas setenças tem o mesmo valor.

Potenciação de i

Vamos compreender como as potências de i funcionam:

Potência Resultado
\(i^0\) \(1\)
\(i^1\) \(i\)
\(i^2\) \(-1\)
\(i^3\) \(-i\)
\(i^4\) \(1\)
\(i^5\) \(i\)
\(i^6\) \(-1\)
\(i^7\) \(-i\)
\(i^8\) \(1\)
\(\vdots\) \(\vdots\)

Observe que a cada 4 novas rodadas, o valor de \(i\) se repete, temos aí um padrão importante para sua determinação. Veja o seguinte vídeo para tirar suas dúvidas: Números Complexos: Potências de i. https://youtu.be/uT9kxlRriMU

Módulo de um Número Complexo

Chamamos de módulo de um número complexo a distância entre o ponto geométrico do número e a origem do sistema. Para encontrarmos o módulo de um número complexo, iremos aplicar a seguinte equação:

\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

Isso é devido o módulo de um número complexo representar a hipotenuza do triângulo retângulo determinado por suas posições no plano cartesiano:

Representação Geográfica do Módulo
Representação Geográfica do Módulo

Assim, podemos compreender melhor sua representação.

Módulo de um complexo no R

Para encontrarmos o módulo de um número complexo no R, basta utilizarmos o código Mod(z). Vamos utilizar z1 como exemplo. Sabemos que \(z1 = 2+3i\), logo, seu módulo sera:

Mod(z1)
## [1] 3.605551

Vamos comparar com a equação dada, como fizemos anteriormente. Veja abaixo a código:

Equação <- (Re(z1)^2+Im(z1)^2)**(1/2)
Equação == Mod(z1)
## [1] TRUE

Mais uma vez temos a confirmação. É muito útil quando temos um função pronta na liguagem para resolver nossos problemas matemáticos, mas neste caso, se a linguagem não tiver essa função pronta, devido sua natureza matemática, todas podem ser implementadas as operações necessárias, como fizemos com a variável Equação

O estudo dos números complexos não param aqui, porém nós sim. Se quiser aprofundar sua revisão, sugiro continuar os vídeos disponíveis no youtube, no mesmo canal onde acessaram os anteriores e conhecer de que outras formas podemos nos deparar com os números complexos.

Exercício 02

    1. Dado o número complexo z = 2 + 3i e o número complexo w = 4 - 2i, calcule \(\frac{z}{w}\).
    1. Calcule o módulo do número complexo z = 5 + 12i.
    1. Se z = -3 + 4i e w = 2 - i, determine \(\frac{z}{w}\).
    1. Encontre o módulo do número complexo z = -6 - 8i.
    1. Se z = 1 + 2i e w = -3 - 5i, calcule \(\frac{z}{w}\).
    1. Calcule o módulo do número complexo z = 7i.
    1. Dado z = 2 + 5i e w = -1 - 3i, encontre \(\frac{z}{w}\).
    1. Determine o módulo do número complexo z = -9 - 40i.
    1. Se z = 4 - 3i e w = 1 + i, calcule \(\frac{z}{w}\).
    1. Calcule o módulo do número complexo z = -8 + 15i.

REFERÊNCIAS

ARAUJO, Luciana.M. M.; FERRAZ, Mariana.S. A.; LOYO, Tiago.; STEFANI, Rafael.;

PARENTI, Tatiana.M.da. S. Fundamentos de matemática. [Digite o Local da Editora]: Grupo A, 2018. 9788595027701. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/ books/9788595027701/

SOUZA, Jamir Roberto de. #Contato Matemática. 1ª Edição. São Paulo. FTD. 2016