Aula 02: Conjuntos Numéricos
Inteiros
Gleison Guardia
18 de September, 2024
Resumo
O objetivo deste estudo é revisar os conceitos básicos e fundamentais dos números naturais e proporcionar um aprofundamento em conceitos essenciais ao ensino e aprendizagem. Busca-se apresentar uma visão contextualizada dos conceitos, além de propor novas diretrizes para sua aplicação com a utilização e aplicação do software R.
Conjunto dos Números Inteiros \(\mathtt{Z}\)
Com a criação do comércio entre as tribos foi fundamental aos nossos antepassados ampliar o seu conjunto numérico, já que nas negociações, quantidades devem ser retiradas ou ficarem pendentes para serem pagas em momentos futuros.
Neste contexto surgiu o conjunto dos números inteiros, que tem a característica básica de criar um espelho as número naturais, ou seja, como eles iriam do zero ao infinito, teríamos agora valores anteriores ao zero que também convergem para o infinito. Assim surgiram os números negativos.
Uma particularidade que começa a ser explorada a partir desta criação, todo conjunto numérico que era inventado, deveria suprir uma necessidade não atendida pelo conjunto anterior. Assim, a nova criação traria uma inovação para atender uma demanda que anteriormente não estava sendo atendida.
Sua representação passa então a ser: \(\mathtt{Z} = \{ \cdots, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, \cdots \}\)
Como o conjunto natural, este passa a ter vários subconjuntos de sua representatividade:
- Conjunto dos números inteiros não nulos:
\(\mathtt{Z}^* = \{ \cdots, -4,-3,-2,-1,1,2,3,4, \cdots \}\)
- Conjunto dos números inteiros não negativos:
\(\mathtt{Z}_+ = \{ 0,1,2,3,4, \cdots \}\)
- Conjunto dos números inteiros positivos:
\(\mathtt{Z}^*_+ = \{ 1,2,3,4, \cdots \}\)
- Conjunto dos números inteiros não positivos:
\(\mathtt{Z}_- = \{ \cdots, -4,-3,-2,-1,0 \}\)
- Conjunto dos números inteiros negativos:
\(\mathtt{Z}_-^* = \{ \cdots, -4,-3,-2,-1 \}\)
Passaram a ser representados também como uma reta numérica onde o zero (0) passa a ser o centro da reta que é infinita em dois sentidos, positivo e negativo. A figura abaixo mostra essa representação:
Este conjunto proporcionou um grande avanço às operações diárias das civilizações antigas, e também introduziu um conceito muito importante e adicional a utilização numérica dos símbolos, o conceito de distância.
Tendo o seu uso básico a representação de quantidades, os algoritmos numéricos (símbolos) passaram a ser utilizados para representação de distâncias, como também um novo conceito de operação para validar estas propriedades. Com este conjunto podemos compreender e utilizar o conceito de módulo ou valor absoluto de um número.
Representado por \(|a|\) e denominado como valor absoluto de \(a\) ou simplesmente módulo de \(a\), traz a seguinte compreensão.
- \(|a| = a\) se \(a>0\)
- \(|a| = -a\) se \(a<0\)
Assim, o valor de \(|a|\) sempre terá resultado positivo, não importando o número que a represente. Isso é compreendido devido a distância percorrida por um corpo nunca ser negativa devendo sempre ser considerada como positiva. Negativo ou positivo é o sentido em que o corpo se desloca.
Codificando no R
Para podermos expressar esse valor no R, devemos utilizar o comando
abs() que significa absoluto. Veja os Exemplos abaixo.
- \(|3|\)
abs(3)No terminal teremos a saída:
[1] 3- \(|-3|\)
abs(-3)No terminal teremos a saída:
[1] 3Exercício 01
Faça em seu caderno os casos abaixo e depois confirme utilizando o Software R.
- \(3 + |-3|\)
- \(3 - |-3|\)
- \(|3 + 3|\)
- \(|3-3|\)
- \(3 * |-3|\)
- \(|3 * (-3)|\)
- \(-|-3|\)
Conjunto dos Números Racionais \(\mathtt{Q}\)
Com a criação dos bancos e modernização do comércio as civilizações tiveram a necessidade de representar valores que eram frações do que usualmente tinham. Como exemplo podemos citar que uma pessoa precisa apenas de uma parte de um animal e não dele inteiro para sua alimentação.
Neste momento foi criado o conceito de números não inteiros e o conceito de números racionais, ou seja, oriundos da razão (divisão do todo em partes) passasse a incorporar as atividades diárias da humanidade.
Definimos matematicamente os números racionais como toda a fração ou divisão de dois números que possa ser expressa por:
\[ \mathtt{Q} = \{ \dfrac{a}{b} \quad | \quad a \in \mathtt{Z}, \quad b \in \mathtt{Z}^* \} \]
Seguindo o já definido anteriormente, os número naturais, inteiros também são racionais, logo o que tivemos foi uma inovação dos conceitos e representações já existentes. Assim, definimos: \(\mathtt{N} \subset \mathtt{Z} \subset \mathtt{Q}\).
Neste conjunto foram definidos novos conceitos numéricos, que passaremos a apresentar agora como inovações que foram disponibilizadas.
- Racional Inteiro:
É determinado quando a divisão entre dois números racionais resulta um número inteiro:
Ex: \(\dfrac{4}{2} = 2\)
- Decimal Exato:
É determinado quando a divisão entre dois números racionais resulta em um número não inteiro, porém finito.
Ex: \(\dfrac{5}{2} = 2,5\)
- Decimal Infinito:
É determinado quando a divisão entre dois números racionais resulta em um número não inteiro e infinito.
Ex: \(\dfrac{1}{3} = 0,333 \cdots\)
Com este avanço, introduzimos conceitos interessantes como: Dividendo, Divisor, Quociente, Resto, Geratriz de Dízimas periódicas.
- Dízima periódica: Número decimal infinito que tem um período que se repete indefinidamente.
- Geratriz: Fração racional que tem como resultado uma dízima periódica.
Exemplos:
\(\dfrac{1}{3} = 0,333 \cdots\), onde Ex: \(\dfrac{1}{3}\) é a Geratriz e o período da dízima é \(3\)
\(\dfrac{5}{33} = 0,151515 \cdots\), onde Ex: \(\dfrac{5}{33}\) é a Geratriz e o período da dízima é \(15\)
Tipos de Divisões no R
Nas linguagens de programação, as divisões tem muitas aplicabilidades.Aqui veremos algumas divisões interessantes.
Divisão Natural ou Real
Trata-se da divisão normal que acontece na matemática. Nela fazemos a divisão até chegar um resultado final, quando temos um racional inteiro ou decimal exato, ou chegamos a uma dízima nos casos de decinal infinito.
Veja as seguintes exemplos no R:
- \(\dfrac{5}{5}\) Racional Inteiro
5/5No terminal teremos a saída:
[1] 1- \(\dfrac{5}{2}\)
Decimal Exato
5/2No terminal teremos a saída:
[1] 2.5- \(\dfrac{5}{3}\)
Decimal infinito
5/3No terminal teremos a saída:
[1] 1.666667Divisão Inteira
Agora podemos ter dois outros tipos de divisão muito importantes. No caso acima, quando dividimos \(\dfrac{5}{3}\), não obtivemos um valor exato e inteiro, assim, quando queremos só a parte inteira dessa divisão, ou seja, apenas o \(1\) como resultado teremos:
5%/%3No terminal teremos a saída:
[1] 1Veja que neste caso, o resultado foi \(1\), que é a parte inteira da divisão. Veja outro exemplo: \(\dfrac{8}{3}\)
8%/%3No terminal teremos a saída:
[1] 2Neste caso o resultado foi \(2\) já que o quociente inteiro mais próximo de 8 nessa divisão é \(2\) que devira de \(2 \cdot 3 = 6\), sobrando resto 2 na divisão.
Divisão do Resto
Suponhamos que agora eu queira saber quanto sobra de resto na divisão de dois números. Para resolver esse problemas, temos a divisão do resto, que retorna como valor apenas o resto da divisão inteira.
Vejamos o exemplo de \(\dfrac{5}{3}\), sabemos que o quociente é \(1\) e termos resto \(2\), veja como implementamos isso no R.
5%%3No terminal teremos a saída:
[1] 2Viu como é fácil!, vamos praticar agora um pouco.
Exemplo 02:
Encontre a divisão inteira nos seguintes casos:
\(\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{13}{3}\)
\(\dfrac{30}{7}\)
\(\dfrac{42}{11}\)
\(\dfrac{304}{21}\)
\(\dfrac{321}{123}\)
\(\dfrac{34321}{31}\)
Exemplo 03:
Encontre o resto da divisão nos seguintes casos:
\(\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{13}{3}\)
\(\dfrac{30}{7}\)
\(\dfrac{42}{11}\)
\(\dfrac{304}{21}\)
\(\dfrac{321}{123}\)
\(\dfrac{34321}{31}\)
REFERÊNCIAS
ARAUJO, Luciana.M. M.; FERRAZ, Mariana.S. A.; LOYO, Tiago.; STEFANI, Rafael.;
PARENTI, Tatiana.M.da. S. Fundamentos de matemática. [Digite o Local da Editora]: Grupo A, 2018. 9788595027701. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/ books/9788595027701/
SOUZA, Jamir Roberto de. #Contato Matemática. 1ª Edição. São Paulo. FTD. 2016