Seja \(\boldsymbol{S}\) é uma matriz quadrada. Os autovalores são as raízes da equação característica \(det(\boldsymbol{S_{n\times n}}−\lambda I_n) = 0\). Exemplos:
\[ \begin{array}{l} \boldsymbol{S_1}=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 9 & 1 \end{pmatrix}, \mbox{ então } \boldsymbol{S}_1−\lambda I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 9 & 1 \end{pmatrix}-\lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \mbox {Fazendo } \begin{vmatrix} 1-\lambda & 4 \\ 9 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow (1-\lambda)^2-36=0\\ \lambda^2-2\lambda-35 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mbox{ Soma }=2\\ \mbox{ Produto }=-35 \end{array} \right. \Rightarrow \lambda_1=7 \mbox{ e } \lambda_2=-5 \mbox { (autovalores)}\\ \hline \boldsymbol{S_2}=\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \mbox{ então } \boldsymbol{S}_2−\lambda I_2 = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}-\lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ \mbox {Fazendo } \begin{vmatrix} 6-\lambda & 3 \\ 3 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow (6-\lambda)(2-\lambda)-9=0\\ \lambda^2-8\lambda+3 \Rightarrow \Delta =64-12=52 \Rightarrow \lambda=\frac{8\pm 2\sqrt{19}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda_1=4+\sqrt{13}\approx 7.6056\\ \lambda_2=4-\sqrt{13} \approx 0.3944 \end{array} \right. \end{array} \]
S_1=matrix(c(1,4,9,1),ncol=2,byrow=T)
eigen(S_1)$values## [1] 7 -5S_2=matrix(c(6,3,3,2),ncol=2,byrow=T)
eigen(S_2)$values## [1] 7.6055513 0.3944487