Teoria del Riesgo Tareitas

Tareita 1

Sean \(X_1,X_2~N(1,1)\) \(X_3~N(2,4)\) y \(X_4~N(3,9)\) y v a i realiza 1000 simulaciones de cada una de las variables, calcula las formulas y dibuja un histograma de proba en cada caso encimando la curva de densidad

\[*\left.(X_{1}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{X_{4}-3}{3}\right)^{2}*\]

\[ \begin{aligned} &\text {Proposicion 1}\\ &\text {Sean} X_{i} i=1, \cdot,n v.a,i. X_{i} \sim \mathbb{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right)\\ &a) Z_{i}=\left(\frac{X_{i}-M}{\sigma}\right)^{i} \sim \mathbb{N}(0,1)\\ &b) Y_{i}=Z_{i}^{2}=\left(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2} \sim X_{(1)}^{2} \\ &c) \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \sim \chi_{(n)}^{2}\\ & \\ &\text {Sabemos}\\ &X_{1} \sim \mathbb{N}(1,1) \Rightarrow\left(\frac{X_{1}-1}{1}\right)^{2} \sim \chi_{(1)}^{2}\\ &X_{3} \sim \mathbb{N}(2,4) \Rightarrow\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2} \sim \chi_{(1)}^{2}\\ &X_{4} \sim \mathbb{N}(3,9) \Rightarrow\left(\frac{X_{4}-3}{3}\right)^{2} \sim \chi_{(1)}^{2}\\ &\therefore \left(X_{1}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{X_{4}-3}{3}\right)^{2} \sim X_{(3)}^{2}\\ \end{aligned} \]

\[\frac{\left(X_{-1}-1\right)^{2}}{\frac{\left(X_{2}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2}}{2}}\]

\[ \begin{aligned} &\text {Proposicion_2}\\ &\text {Si } U\sim x_{(p)}^{2}, V \sim x_{(q)}^{2} \text {independientes}\\ &\frac{U / p}{V / q} \sim \mathbb{F}(p, q) \\ &\\ &U =\left(X_{1}-1\right)^{2} \sim \chi{(1)}^{2} \\ &V = Y_{2}+Y_{3} \stackrel{\downarrow}{=}\left(X_{2}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2} \chi_{(2)}^{2}\\ &\\ &\text {Como U y V no tienen v.a.s. las Xi en}\\ &\text {comun entonces U indpendiente de V}\\ &\frac{U / 1}{V/2}=\frac{\frac{\left(X_{1}-1\right)^{2}}{1}}{\frac{\left(X_{2}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2}}{2}} \sim \mathbb{F}(1,2) \\ \end{aligned} \] \[ \frac{U / 1}{V / 2}=\frac{\frac{\left(X_{1}-1\right)^{2}}{1}}{\frac{\left(X_{2}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2}}{2}} \sim \mathbb{F}(1,2) \]

# llamamos las siguientes librerias
library(ggplot2)

n<-1000 # 1000 simulaciones
x1<-rnorm(n,1,1) # N(1,1)
x2<-rnorm(n,1,1) # N(1,1)
x3<-rnorm(n,2,2) # N(2,4)
x4<-rnorm(n,3,3) # N(3,9)

\[\left.(X_{1}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{X_{4}-3}{3}\right)^{2}\sim \chi_{(3)}^{2}\]

\[\frac{\left(X_{-1}-1\right)^{2}}{\frac{\left(X_{2}-1\right)^{2}+\left(\frac{X_{3}-2}{2}\right)^{2}}{2}}\sim \mathbb{F}(1,2)\]

Tareita 2

Ajusta una Pareto a los siguientes datos

# usamos las siguientes librerias
library(ggplot2)
library(actuar)
datos=c(10, 11, 15, 22, 28, 30, 32, 36, 38, 48,
        55, 56, 68, 68, 85, 87, 94, 103, 104, 105,
        109, 119, 121, 137, 178, 181, 226, 287, 310, 106,
        393, 438, 591, 1045, 1210, 1212, 2423, 321, 354, 51)
datos=as.data.frame(datos)
summary(datos)

     datos        
 Min.   :  10.00  
 1st Qu.:  50.25  
 Median : 104.50  
 Mean   : 272.68  
 3rd Qu.: 292.75  
 Max.   :2423.00  

Reconocimiento de la familia.

Esto se realiza mediante estadística descriptiva: cálculo de medidas descriptivas y gráficos estadísticos

# Histograma con densidad
ggplot(datos, aes(x=datos)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "blue") +
  geom_density() 

`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with
`binwidth`.

ggplot(datos, aes(x=datos)) +
  geom_boxplot() +
  labs(title="datos",
       x="cantidad",
       y="distribucion") +
  theme_grey() +
  theme(legend.position="none")

Tenemos 3 picos, dos datos atipicos 1210, 1212, 2423, Datos sesgados a la derecha

Medidas de tendencia centrales

summary.data.frame(datos)

     datos        
 Min.   :  10.00  
 1st Qu.:  50.25  
 Median : 104.50  
 Mean   : 272.68  
 3rd Qu.: 292.75  
 Max.   :2423.00  

mean(datos$datos)

[1] 272.675

median(datos$datos) 

[1] 104.5

var(datos$datos)

[1] 212649

Tenemos indicios de asimetría

Medidas de dispersión

var(datos$datos)

[1] 212649

sd(datos$datos)

[1] 461.1389

range(datos$datos)

[1]   10 2423

IQR(datos$datos)

[1] 242.5

range(datos$datos)

[1]   10 2423

diff(range(datos$datos))

[1] 2413

Medidas de formas

Usamos libreria moments, para el sesgo y kurtosis

library(moments)
sesgo=skewness(datos)
sesgo

   datos 
3.136381 

como el sesgo > 0: La curva es asimétricamente positiva por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte izquierda que en la derecha de la media

kurtosis_1=kurtosis(datos)
kurtosis_1

   datos 
13.58214 

como kurtosis_1 > 3 la distribución es Leptocúrtica

Estimación de los parámetros de la densidad.

Podemos estimar los parámetros mediante MLE, Momentos, erc. Usamos la siguiente libreria

# llamamos la siguiente libreria
library(fitdistrplus)
library(MASS)
library(survival)
# Graficamos el sesgo vs curtosis
descdist(datos$datos,boot = 800)

summary statistics
------
min:  10   max:  2423 
median:  104.5 
mean:  272.675 
estimated sd:  461.1389 
estimated skewness:  3.259925 
estimated kurtosis:  15.20117 

El gráfico señala que la distribución de los datos experimentales siguen la distribución gamma, una weibull, lognormal,pareto puesto que el conjunto de datos se encuentran cerca a las formas que indican dichas distribuciones.

Ajusta distribuciones univariadas

f1 <- fitdist(datos$datos,"pareto")
plot(f1)

f1

Fitting of the distribution ' pareto ' by maximum likelihood 
Parameters:

Aparentemente el ajuste es bueno para una Pareto (1.83, 247.60)

Verificación del ajuste

Realizado a los datos Mediante pruebas de hipótesis, qqplots, curvas de densidad, etc.

Pruebas de Hipotesis

\(H_0\):Pertenecen a la misma distribución continua Pareto (p value > alfa=.05)) \(H_a\):No Pertenecen a la misma distribución continua Pareto (p value < alfa=.05)

Kolmogorov-Smirnov

test de kolmogorof smirnov

ks.test(datos$datos,ppareto,f1$estimate[1],f1$estimate[2])

Warning in ks.test(datos$datos, ppareto, f1$estimate[1], f1$estimate[2]) :
  ties should not be present for the Kolmogorov-Smirnov test

    One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  datos$datos
D = 0.10741, p-value = 0.7454
alternative hypothesis: two-sided

como p-value = 0.7454 > alfa=.05 Aceptamos \(H_0\)

Anderson Darling

ADGofTest::ad.test(datos$datos,ppareto,f1$estimate[1],f1$estimate[2])

    Anderson-Darling GoF Test

data:  datos$datos  and  ppareto
AD = 0.46132, p-value = 0.7855
alternative hypothesis: NA

Como p-value = 0.7855 > alfa=.05 Aceptamos \(H_0\)

Ajustamos la curva de una Pareto

library(actuar)
ggplot(datos, aes(x=datos)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),colour = 1, fill = "blue") +
  
  stat_function(fun =dpareto, args = list(shape=f1$estimate[1],scale =f1$estimate[2]),colour ="orange")

`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with
`binwidth`.

Tareita 3

Calcula la densidad, distribución y esperanza para las variables \(Y_P\) y \(Y_L\) si se agrega un deducible \(d=5000\)

\[F(X)=1−0.3e^{−.00001x}, \quad x≥ 0\]

\[ \begin{aligned} &\text {Para simplificar hacemos} \quad \lambda=0.00001=1 \cdot 10^{-5}\\ &\mathbb{F}_{x}(x)=1-0.3 e^{-\lambda x} \quad x \geqslant 0\\ &\mathbb{S}_{x}(x)=0.3 e^{-\lambda x} \quad x \geq 0\\ &f_{x}(x)= \begin{cases} 0.3 \lambda e^{-\lambda x} & x>0 \\ 0.7 & x=0 \end{cases}\\ & \\ &\text {Calculamos} \quad Y^{L} Y^{p} \quad d=5,000\\ &\mathbb{F}_{x}(d)=1-0.3 e^{-\lambda d}=0.714631\\ &f_{x}(y+d)=0.3 \lambda e^{-\lambda(y+d)}=0.3 e^{-\lambda d} \cdot \lambda e^{-\lambda d}=\\ & \\ &{f}_{Y^{L}}=\begin{cases}\mathbb{F}_{x}(d)=0.7144 & , y=0 \\ f_{X}(y+d)=(0.28536)\left(10^{-5}\right) e^{-\left(10^{-5} \cdot 5000\right)} & , y>0\end{cases}\\ & a\\ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &S_{Y^{L}}(y)=S_{x}(y+d)=0.3 e^{-\lambda(y+d)}\quad \mathbb{F}_{Y^{L}}=1-0.3 e^{-\lambda(y+d)}\\ & \\ & \mathbb{E}{[Y^{L}]}=\int_{d}^{\infty} S_{x}(x)dx=\int_{d}^{\infty}0.3e^{-\lambda x}dx=\\ &\frac{0.3}{\lambda} \int_{d}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx=\frac{0.3}{\lambda} \int_{d}^{\infty} f_{u}(u) d u=\frac{0.3}{\lambda} \cdot S_{u}(d)\\ &=\frac{0.3}{\lambda} \cdot e^{-\lambda d}=\frac{0.3}{10^{-5}} e^{-10^{-5}(5,000)}\\ &=28,536.88274\\ & \\ &\therefore \mathbb{E}\left[Y^{L}\right]=28,536.88274\\ & \\ &\text{Calculamos} Y^{P}\\ &f_Y^{p}(y)=\frac{f_{x}(y+d)}{S_{x}(d)}=\frac{0.3 \lambda e^{-\lambda(y+d)}}{0,3 e^{-\lambda d}}=\lambda e^{-\lambda \bar{y}}, y \geqslant 0\\ &\therefore Y^{P} \sim \exp \left(\lambda=10^{-5} = 0.00001\right)\\ & \\ &\mathbb{F}_{Y^{P}}(y)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x}& \quad, x\geqslant 0 \\ 0\quad\quad\quad, e.o.c \end{cases}\\ &\mathbb{S}_{Y^{P}}(y)=\begin{cases}e^{-\lambda x}& , x\geqslant 0 \\ 0\quad\quad\quad, e.o.c \end{cases}\\ &\mathbb{E}[Y^{p}]=(\frac{1}{\lambda})=\frac{1}{10^{-5}}=10^{5}=100,000 \end{aligned} \]

Sea una variable aleatoria N discreta que pertenece a la clase (a, b, 0). Se sabe lo siguiente:

\[ \begin{aligned} &\mathbb{P}(N=0)=\mathbb{P}(N=1)=0.25 \\ &\mathbb{P}[N=2]=0.1875 \\ &\text {Calcular} \quad \mathbb{P}[N=3] \\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\text{N de la forma}\quad (a,b,0) \quad P_{k}=\mathbb{P}[N=k] \\ &P_{0}=P_{0} \\ &P_{K}=\left(a+\frac{b}{k}\right)\cdot P_{k-1} \quad k=1,2,3, \ldots\\ & \\ &\text{Sustituyendo} \\ &0.25=P_{0} \cdots \cdots\cdots\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \text { (0) } \\ &0.25=P_{1}(a+b) \cdot 0.25 \quad \cdots \cdots \cdots \text { (1) } \\ &0.1875=P_{2}=\left(a+\frac{b}{2}\right) \cdot 0.25 \cdots \text {(2)} \\ & \\ &\text {De (1) tenemos}\\ &0.25=(a+b) 0.25\\ &1=a+b \quad \ldots(1)\\ & \\ &\text {De (2) tenemos}\\ & 0.1875=\left(a+\frac{b}{2}\right) 0.25 \\ &1.5=\left(\frac{0.187-5}{0.25}\right)(2)=2 a+b \cdots(2)\\ \end{aligned} \]

\[ \text {Restando (1) a (2)}\\ \begin{aligned} &1.5 &=2 a+b \\ &1 &=a+b \\ &\hline 0.5 &=a \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\text {Por (1)} \quad b=1-a=1-0.5=0.5\\ &\text {Calculamos} \quad P[N=3]=P_{3}\\ &P_{3}=\left(a+\frac{b}{3}\right) P_{2} \\ &=\left(\frac{1}{2}+\frac{1 / 2}{3}\right)(0.1875) \\ &=\frac{1}{8}=0.1251\\ \end{aligned} \]

Tareita 4

Sea \(X\sim\exp(\theta=900)\) y un deucible \(d=500\) el asegrador quiere obtencer la tasa de eliminación de perdida, que se tiene actuolmente. Determina el nuevo deducible. \[ \begin{aligned} f_{x}(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} &\quad \mathbb{E}[x]=\theta \\ \mathbb{F}_{x}(x)=1-e^{-\frac{x}{\theta}} &\quad \mathbb{Var}[x]=\theta^{2}\\ \end{aligned} \]

\[\frac{\mathbb{E}\left[X^{\wedge} d\right]}{\mathbb{E}[X]}\]

tasa de eliminación de perdida.

\[ \mathbb{E}\left[X^{\wedge} d\right]=\int_{0}^{d} e^{-\frac{x}{\theta}} d x=\theta \int_{0}^{d} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} d x=\theta \mathbb{F}(d) \]

Calculamos la tasa de eliminación para alguna \(d\)

\[\frac{\mathbb{E}\left[X^{\wedge} d\right]}{\mathbb{E}[X]}=\frac{\theta \mathbb{F}(d)}{\theta}=\mathbb{F}(d)\]

Buscamos un \(d_2\) tal que la tasa de eliminción sea el doble, que con \(d_{1}=500 , \theta=900\)

\[ \begin{aligned} 2\left[\frac{\mathbb{E}\left[X^{\wedge}d_{1}\right]}{\mathbb{E}[X]}\right]&=\frac{\mathbb{E}\left[X^{\wedge}d_{2}\right]}{\mathbb{E}[X]} \\ 2 \mathbb{F}\left(d_{1}\right) &=\mathbb{F}\left(d_{2}\right) \\ 2 \mathbb{F}\left(d_{1}\right) &=1-e^{-\frac{d_{2}}{\theta}} \\ e^{-\frac{d_{2}}{\theta}}&=1-2 \mathbb{F}\left(d_{1}\right) \\ \frac{-d_{2}}{\theta} &=\ln \left(1-2 \mathbb{F}\left(d_{1}\right)\right) \\ d_{2} &=-\theta\ln \left(1-2\left(1-e^{\frac{d_{1}}{\theta}}\right)\right) \\ &=-900 \cdot \ln \left(1-2\left(1-e^{-\frac{5}{9}}\right)\right) \\ &=1722.492649 \\ & \approx 11722.49 \end{aligned} \]

\(\therefore\) El deducible que duplica la tasa de eliminación es, \(d_{2}=1722.49\)