UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ESCUELA DE ECONOMIA
FACTORES QUE INCIDEN EN EL GASTO EN EDUCACIÓN EN LAS FAMILIAS
SALVADOREÑAS EN EL AÑO 2020
MATERIA: ECONOMETRÍA
DOCENTE: CARLOS ADEMIR PÉREZ ALAS
INTEGRANTES:
| Aguirre Sarmiento |
Edwin Fabricio |
AS19011 |
\(0\%\) |
| Castro Martínez |
Luis David |
CM16011 |
\(100\%\) |
| García Ramírez |
Carlos Roberto |
GR16051 |
\(100\%\) |
| Martínez Martínez |
Ernesto Antonio |
MM20002 |
\(0\%\) |
| Paniagua Muñoz |
Karla Regina |
PM18112 |
\(100\%\) |
CICLO: I-2022
FECHA: 11 DE MAYO DE 2022
CIUDAD UNIVERSITARIA, SAN SALVADOR, EL SALVADOR,
CENTROAMERICA
Introduccion
Este estudio tiene como objetivo determinar los factores que inciden
en el gasto en educacion en las familias de El Salvador en el año 2020
donde se tiene las siguientes variables, gasto en matricula, gasto en
utiles escolares, el ingreso de las familias en general ya contando al
jefe del hogar entre otras. En parte de la especificación nos basaremos
en el planteamiento y desarrollo de las variables a considerar aplicando
la teoria economica para asi sustentar las bases en el modelo.
Luego de eso a partir de los planteamientos de especificación a base
de la teoria economica aplicaremos las revisiones del modelo propuesto a
traves de las puebas de normalidad para saber si este sigue los
supuestos planteados.
Planteamiento del problema
Con respecto a la encuesta de Hogares de propositos multiples (EHPM)
determinaremos el modelo el cual estime este gasto en educacion en las
familias y si existen factores que inciden o no en este y dar una
estimación puntual y en intervalos en la cual se diga cuanto las
familias destinan como gasto en educacion.
Objetivos
Objetivo general
- Determinar si los factores seleccionados para el gasto en educacion
tiene relacion directa o indirecta o si no tiene relacion alguna ante la
variable endogena
Objetivos
especificos
Interpretar de la investigacion resultante los datos obtenidos
del gasto en educacion de las familias salvadoreñas en el año
2020
Observar el efecto que determinan estas variables seleccionadas
para el rechazo o no rechazo de las hipotesis
Justificacion
La presente investigacion tiene como proposito el analisis y el uso
de las herramientas econometricas aprendidas y practicadas en clase para
la formacion de modelos que ayuden a la comunidad salvadoreña para el
destino de recursos en educacion sabiendo que es una de las bases
fundamentales del desarrollo economico, ademas de que se llevara un
estudio de descripcion en el cual se tomara uso de la Encuesta de
Hogares de Propositos Multiples del año 2020 para estimular el modelo
entre sus factores,
Marco Teorico
La educacion en El
Salvador
El sistema de educación es el mecanismo mediante el cual los
gobiernos de cada país desarrollan los conocimientos, habilidades y
capacidades de la población en general, mediante una metodología de
seguimiento progresivo de grados de aprendizaje, durante el cual se
trata de fomentar las distintas bases de las ciencias sociales, ciencias
naturas, ciencias matemáticas, literatura y cualquier otro aspecto que
permita ampliar o complementar los conocimiento adquiridos a lo largo de
la formación del ente llamado estudiante; partiendo desde un aprendizaje
a temprana edad para los miembros mas pequeños de la población en la
cual se parte de desarrollar sus distintas habilidades cognitivas, de
razonamiento, la interpretación y la memoria, permitiendo ir adquiriendo
conocimientos que irán siendo utilizados en grados superiores;
prosiguiendo con distintos grados de educación básica y superior donde
se van alentando al estudiante en la búsqueda de un conocimiento mayor,
siendo una practica de autodescubrimiento por el cual puede permitirse
detectar cuales son las ramas de estudio de interés y acceder a ellas
mediante posibles estudios técnicos, de grado universitario o
superior.
El sistema de educación es la base de creación de las capacidades
productivas de la población, partiendo desde este punto pueden
determinarse como el mecanismo que preparación al trabajador para
diferentes puestos del proceso productivo, que partiendo del grado de
educación del obrero así será su grado de calificación y nivel de
producción, permitiendo que a niveles superiores de estudios básicos,
técnicos o de especialización, así mismo, adquiera grados superiores en
el proceso de producción; y es que es vital en las economías de cada
país el desarrollo de su población, permitirles ser mas productivos y
aportar un grado superior de sus capacidades, que irán concluyendo en
mejoras de los procesos productivos, crecimiento económico y la
oportunidad de preservar un grado de razonamiento y conocimientos
mayores que serán fuentes en la toma de decisiones de bienestar para el
país, su población y todos los medios de uso que permiten la
subsistencia y crecimiento de la economía misma.
Origen de la
educación en El Salvador
El sistema educativo en El Salvador tiene su origen al constituirse
la República. En 1832, con el Primer Reglamento de Enseñanza Primaria se
decreta la Instrucción Pública, la que establece la creación de escuelas
primarias en cada municipio del país, que serán financiadas por la
municipalidad o en caso de que ésta no estuviera en la posibilidad
serían los padres de familia quienes aportarían una contribución de “4
reales”. se celebró el Primer Congreso Centroamericano de Educación en
Guatemala en diciembre de 1893. Aunque se revalora la enseñanza de las
ciencias no se eliminó las ciencias del espíritu. “El modelo
positivista, completado por algunas materias prácticas como el dibujo,
la caligrafía, el trabajo manual, la agricultura y el canto, dominó el
Plan de Estudios oficial hasta 1940.” Hasta la década del 40 no existía
el Ministerio de Educación. La “instrucción elemental” era administrada
por la Subsecretaría de Instrucción Pública dependiente del Ministerio
de Relaciones Exteriores y Justicia. Esta Subsecretaría contaba con la
inspección escolar y con la sección técnica. La primera se encargaba de
contratar y supervisar al personal, la segunda se dedicaba a la
planificación de los niveles de educación, elaboración de los programas
y asesoramiento al Magisterio. Con la creación de la Universidad en
Salvador en 1841 se constituye también el sistema educativo en tres
niveles: educación primaria, media y superior. Con el Decreto Ejecutivo
publicado el 15 de febrero de 1841 bajo el mandato de Don Juan Lindo se
crea la educación media (Colegio La Asunción). (Galindo, 2002) La
educación en El Salvador es un derecho básico constitucional y el Estado
es el encargado de satisfacer la demanda educativa a sus ciudadanos. De
acuerdo a la Ley General de Educación de 1990, en el Título III,
capítulo I, Artículo 12 establece que, en El Salvador, “la educación
Parvularia y Básica serán obligatorias para todos y juntamente con la
educación especial serán gratuitas, cuando las imparta el Estado”. El
sistema se divide en Educación Formal y Educación Informal y se imparte
de forma pública o privada. Los programas son elaborados por el
Ministerio de Educación y las escuelas privadas se rigen por los
reglamentos del Ministerio. (Cornejo, 2017)
Importancia
del gasto publico en educacion
El gasto público es la intervención por parte del sector público de
la economía en los aspectos de inversiones y gastos en proyectos
sociales o públicos, permitiendo el desarrollo de mecanismos que
fortalezcan la economía misma y permitan su crecimiento; con la
inversión por parte del gasto publico pueden financiarse proyectos
destinados a mejorar la infraestructura, desarrollo vial, proyectos de
reforma de los distintos componentes de la economía y en parte de el
gasto en educación; el punto central del gasto en educación es un
aspecto dedicado a prevalecer las necesidades del estudiante,
permitiéndole cumplir los aspectos básicos o necesarios para que tenga
las herramientas necesarias para desarrollar con alto grado de
oportunidad todos sus aspectos intelectuales y así ir consignando una
base sustancial de trabajadores mas preparados y con mejores
capacidades. El aspecto del gasto publico logra fortalecer la generación
de nuevos recursos productivos, en el caso del gasto en educación,
permite la aplicación de fondos públicos destinados a la capacitación y
orientación de los trabajadores, mejorando sus bases o creando nuevas
bases, esto conllevara a oportunidades de acceso a un mayor nivel de
bienestar que permita mejorar la calidad de los recursos humanos en El
Salvador.
Al reflejar los aspectos del Gasto Publico en educación puede
determinarse una tendencia hacia niveles relativamente bajos de recursos
públicos destinados a la educación, en donde se determina un incremento
superior al 4% durante los años de 2009 y 2010, esto como llegada del
gobierno del FMLN al poder, que determinaron entre sus principales
promesas de campaña la implementación de proyectos destinados hacia un
sector muy descuidado como es la educación, que en conjunto con
políticas publicas y reformas a la educación dictaminaron mejoras,
aunque durante un periodo relativamente corto pero que marcaron las
riendas a futuras discusiones sobre el manejo de recursos públicos
destinados a la educación. (PAULINE MARTIN, 2016)
Situación
actual de la educación en El Salvador
La situación de la educación a sido un problema latente en El
Salvador desde hace varias décadas, y es que en un largo periodo de
tiempo a sido una de las áreas mas deficientes y descuidadas por los
gobiernos, con la falta de mejoras e innovaciones que no permiten
adaptar el sistema educativo a las necesidades actuales, negando
recursos y conocimientos a futuras generaciones por no poder cumplir con
los planes presentes de estudio.
Desde la finalización de la guerra han pasado cinco gobiernos que se
han encargado de crear planes de estudio y trabajo para el MINEDECYT, no
obstante, el Secretario General del Sindicato de Maestras y Maestros de
la Educación Pública de El Salvador (SIMEDUCO), expreso que siempre se
encuentran problemas porque lo que les interesa a los ministros que han
estado en turno es solo anunciar o tomarse la foto que van a hacer una
cosa u otra; al final no cumpliendo con ninguno de esos proyectos y
retrasando cada vez mas el avance al sistema educativo. ( Aracely
Quezada & César Valencia, 2021)
Muchos centros educativos se encuentran en pésimas condiciones,
manteniendo problemas desde hace varios años en su infraestructura
causado por el deterioro o mal cuido de las instalaciones, y la falta de
recursos en muchos centros educativos desde recursos básicos como
energía eléctrica o agua potable, hasta falta de presupuesto para
material didáctico o compensación al profesorado, que determinan en
salarios bajos y pueden afectar el nivel de enseñanza que se
imparte.
Algunas escuelas son excepciones a la situación precaria, más que
todo institutos de renombre o con historial académico que los beneficia
con mayores recursos, otros casos son las escuelas que han logrado
cambios significativos en sus instalaciones debido a programas
ejecutados por los directores en busca de donaciones y recolecciones de
fondos; no obstante la falta de presupuesto para las instituciones es un
problema que se suma al sistema educativo, que detiene el avance
educativo, pues al no existir las instalaciones adecuadas para la
enseñanza y los insumos suficientes, el tratar de implementar una
reforma educativa mediante un modelo de educación mas actualizado seria
una tarea sin posibilidad de ser completada por las deficiencias
mencionadas anteriormente.
Otro aspecto muy importante en la educación salvadoreña, que no es
dentro del sistema educativo pero si afecta directamente a los
estudiantes, es el tema de la seguridad nacional, y es que es cada vez
mayor el numero de familias que no optan por mandar a sus hijos a
estudiar debido a que viven en zonas cercanas a las pandillas o que les
imposibilita transportarse a otros lugares por temas de territorios
controlados por estructuras criminales, de igual forma el tema de las
pandillas es un componente alimentado de la misma falta de educación,
puesto que son muchos los jóvenes que por diversos motivos abandonan la
educación para unirse a estos grupos delictivos, con el fin de tener ya
sea compensaciones monetarias o el simple hecho de querer formar parte
de ellas, aun así es claro que son muchos los estudiantes que no
pudieron optar por educación y terminan ingresando a estas pandillas al
no tener mejores opciones para permitirse ingresos hacia ellos o sus
familias; la realidad salvadoreña no permite un sistema eficiente de
educación, no se cuenta con los recursos suficientes y las familias cada
vez se encuentran mas indecisas sobre el panorama presente en el
país.
Aunque los gobiernos pueden garantizar educación gratuita y
materiales escolares y uniformes para los estudiantes e incluso
alimentación, muchas familias no cuentan con recursos suficientes para
solventar un gasto de educación, y es que en muchos hogares la necesidad
es tal que hasta el mas menor de la casa debe ayudar en los gastos del
hogar, esto da origen al trabajo infantil que violenta todo derecho de
la niñez, y ocasiona que muchos niños y jóvenes se pierdan de la
educación, y es que en su mayoría son las familias de zonas rurales que
deben privar a sus hijos del estudio, puesto que no cuentan con recursos
suficientes y deben optar por utilizarlos para el trabajo en el hogar o
la agricultura, comúnmente se emplea que las familias en zonas rurales
ambos padres trabajan y el hijo mayor se queda cuidando de los menores
hasta que este tiene edad suficiente para el trabajo de campo y así
sucesivamente se van precediendo, en el caso de las niñas indica que la
mayoría de casos ella es encargada de los labores del hogar como
alimentación y cuido de la familia aun siendo estas edades muy tempranas
para que una niña emplee esas labores.
A pesar que se detectó una gran conciencia por enviar a las niñas y
niños a la escuela, principalmente en las zonas urbanas del país, lo que
es abalado por los datos derivados de la EHPM, la proporción de niños
que acceden a la enseñanza es muy limitada. La mayoría de las niñas y
niños menores de 6 años no asiste a Parvularia, incluso a pesar de tener
acceso a este servicio, puesto que los padres no consideran adecuado que
sus hijos e hijas sean cuidados fuera de casa a tempranas edades y van
siendo descuidados con la educación de ellos en edades mayores. En este
sentido, pareciera que no solo es necesario aumentar la cobertura y
acceso de educación Parvularia, sino que también se hace necesario
complementar con incentivos adicionales a las familias para que envíen a
las niñas y niños pequeños a la escuelas o centros de atención infantil,
pues no solo se compromete el desarrollo de los más pequeños, sino a su
vez se juega la permanencia de los niños, y en especial de las niñas
mayores en el sistema escolar. (Fundación Salvadoreña para el Desarrollo
Economico y Social (FUSADES), 2015)
El ingreso y sus
teorias
El ingreso es la cantidad de recursos monetarios, dinero, que se
asigna a cada factor por su contribución al proceso productivo. El
ingreso puede tomar la forma de sueldos y salarios, renta, dividendos,
regalías, utilidades, honorarios, dependiendo el factor de producción
que lo reciba: trabajo, capital, tierra, etc. A nivel agregado, el
ingreso total que se genera en la economía en un periodo determinado de
tiempo se le conoce como Producto Interno Bruto (PIB). (Samuelson,
1983)
Tambien se hablara sobre la distribución de este ingreso por lo que
por distribución del ingreso entendemos la manera en como se asigna el
ingreso generado en la economía entre los distintos factores de la
producción, así como entre las familias, entre los distintos sectores de
la economía y entre las distintas regiones. Existe tambien la
concentración del ingreso se comprende como el fenómeno económico
mediante el cual algunos factores productivos (como el capital) o
algunas cuantas familias (los ricos) concentran una mayor proporción del
ingreso que el resto de los factores o de las familias. Lo anterior se
puede deber a que no se retribuye a los distintos factores el ingreso
que generan en función de su productividad o a que una proporción de la
población está marginada del desarrollo.
El ingreso se distribuye a través del pago a los factores de la
producción (trabajo, capital, renta, etc.). Desde un punto de vista
ideal, lo justo sería que cada factor recibiera en pago la parte
proporcional del ingreso que ayudó a generar. Sin embargo, en la
realidad, lo que vemos es que algún factor, generalmente el capital, se
apropia de una mayor proporción del ingreso que el resto de los
factores, debido a que en este sistema es el capital el que juega el
papel de organizador del resto de los factores (“el que parte y comparte
se queda con la mayor parte”, dice el dicho popular). (Ricossa,
1990)
El hogar
El Hogar: Es la persona o conjunto de personas, sean o no
parientes, que residen habitualmente en una misma vivienda particular,
ocupándola total o parcialmente; que se rigen por un presupuesto común y
que comparten en común sus alimentos.
La vivienda: Es todo local formado por un cuarto o conjunto de
cuartos estructuralmente separados e independientes, destinados al
alojamiento de uno o más hogares.
Residente: Es la persona que se aloja en determinada vivienda y
ésta le sirve como domicilio permanente (come y duerme).
Miembros del hogar: Son todas aquellas personas que comen y
duermen habitualmente en el hogar y que han permanecido por lo menos
tres, de los 12 meses precedentes a la encuesta.
Jefe del hogar: Es la persona a quien los demás miembros del
hogar, reconocen como tal.
Conceptos retomados por el Banco Mundial 2002
Determinación de las variables
Endógena
Gasto del hogar en
educación
El gasto del hogar en educación es el monto anual por medio del ambio
de estudio donde se medira en dolares de los Estados Unidos de America,
y tendra relación con el numero de miembros del hago que esten, el
ingreso total del hogar, si existe monto de matricula y si gastan
anualmente en utiles escolares donde esta variable es cuantitativa
continua.
Exógena
Ingreso total del
hogar
En este caso el ingreso se determina como el salario o lo que esta
persona miembro o miembros de hogar reciben y obtienen de los diferentes
medios para su subsistencia donde estos destinaran una parte o no de los
ingresos percibidos. Esta variable es cuantitativa continua y sera
medida en dolares de los Estados Unidos de America.
Gasto en matricula
El gasto en matricula es la paga unica que se da en las escuelas para
que la persona inscrita pueda recibir su educacion en este caso depende
si es un lugar privado. La medicion de esta variable sera cuantitativa
continua.
Gasto en utiles
El gasto en utiles puede ser los gastos repentinos en que pueden ser
compra de cuadernos, lapices entre otros utiles que son utilizados para
el estudio en este caso lo que se compro de utiles en el año.
Miembros del hogar
Este sera el numero de miembros que viven en el hogar ya sean hijos e
hijas u otros miembros de la familia. Esta variable sera cuantitativa
discreta.
Hipótesis del modelo
El modelo sera lineal en los parametros es decir que este
cumplira con ser un modelo de regresion lineal multiple
Los parametros son independientes uno de otros es decir que no
existe relaion entre paremetros
Este modelo no incorpora datos de series temporales o variables
con retardo
Especificación del modelo matematico
Restricciones
Las variables Gasto del hogar en educación \(G\), Ingreso Total del hogar \(m\), Miembros del hogar \(Mh\), Monto anual en matricula \(R\) y Monto anual en utiles \(U\) seran numeros o magnitudes que pueden
ser mayores o iguales a \(0\), es
decir;
\(G \ge 0\) esto se dice que el
gasto del hogar en educacion puede ser mayor o igual a cero dolares de
los Estados Unidos de America.
\(m \ge 0\) esto dice que los
ingreso totales de las personas pueden ser mayores o iguales a cero
dolares de los Estados Unidos de America.
\(Mh > 0\) esto dice que los
miembros del hogar que resiendo pueden ser desde una persona a más en
donde estar por unidades discretas.
\(R \ge 0\) esto dice que el
monto anual de la matricula puede ser mayor o igual a cero dolares de
los Estados Unidos de America.
\(U \ge 0\) esto quiere decir
que el monto anual en utiles escolares sera mayor o igual a cero dolares
de los Estados Unidos de America.
Modelo Logico
\[G(m,Mh,R,U)\] \[G(+,+,+,+)\]
Siendo todas las variables del modelo aplicando la teoria económica,
estas tienen relación directa ante el gasto en educación.
Especificación
del modelo estadistico
\[G=\beta_0+\beta_1m+\beta_2Mh+\beta_3R+\beta_4U+\varepsilon\]
Siendo:
\(G\) el gasto en educación de las
familias salvadoreñas en el año 2020.
\(\beta_0\) el intercepto cuando
todas las demas variables son iguales a \(0\).
\(\beta_1\) la variación del gasto
en educación respecto al ingreso total del hogar.
\(\beta_2\) la variación del gasto
en educación respecto a la cantidad de miembros del hogar.
\(\beta_3\) la variación del gasto
en educación respecto al monto anual en matricula.
\(\beta_4\) la variación del gasto
en educación respecto monto anual en utiles.
\(\varepsilon\) el termino de error
que se compone por las demas variables no estudiadas.
Evidencia empírica del fenomeno economico
library(foreign)
library(magrittr)
EHPM_2020 <-
read.spss(file = "~/EMA1182022/Datos/EHPM 2020.sav" , to.data.frame = TRUE)
library(dplyr)
EHPM_2020 %>% dplyr::select("gmed","ingfa","r220a2","r220b2","miemh") %>% head(600)->Gasto_Edu
Gasto_Edu[is.na(Gasto_Edu)] <- 0
c(
"Gasto del hogar en Educacion",
"Ingreso",
"Gasto de matricula",
"Gasto en utiles",
"Miembros del hogar"
) -> names(Gasto_Edu)
library(printr)
head(Gasto_Edu, 10)
| 20.5 |
188.00 |
0 |
0 |
3 |
| 20.5 |
188.00 |
0 |
0 |
3 |
| 20.5 |
188.00 |
0 |
0 |
3 |
| 0.0 |
326.67 |
0 |
0 |
2 |
| 0.0 |
326.67 |
0 |
0 |
2 |
| 48.0 |
572.00 |
0 |
0 |
4 |
| 48.0 |
572.00 |
0 |
0 |
4 |
| 48.0 |
572.00 |
0 |
0 |
4 |
| 48.0 |
572.00 |
0 |
10 |
4 |
| 33.7 |
470.00 |
0 |
0 |
3 |
Estimación del modelo
library(stargazer)
Gasto_Educa <-
lm(formula = gmed ~ ingfa + r220a2 + r220b2 + miemh,
data = EHPM_2020)
stargazer(Gasto_Educa,
title = "Modelo de Estimación del gasto en educación",
type = "html",
digits = 6)
Modelo de Estimación del gasto en educación
|
|
|
|
Dependent variable:
|
|
|
|
|
|
gmed
|
|
|
|
ingfa
|
0.015551***
|
|
|
(0.003806)
|
|
|
|
|
r220a2
|
0.502328***
|
|
|
(0.026014)
|
|
|
|
|
r220b2
|
0.329335***
|
|
|
(0.056575)
|
|
|
|
|
miemh
|
20.974960***
|
|
|
(2.149181)
|
|
|
|
|
Constant
|
-17.549130*
|
|
|
(10.605740)
|
|
|
|
|
|
|
Observations
|
1,460
|
|
R2
|
0.296959
|
|
Adjusted R2
|
0.295026
|
|
Residual Std. Error
|
118.153600 (df = 1455)
|
|
F Statistic
|
153.644800*** (df = 4; 1455)
|
|
|
|
Note:
|
p<0.1; p<0.05;
p<0.01
|
Verificación de los supuestos del MCRLM
Prueba de
normalidad para los residuos
library(fitdistrplus)
library(stargazer)
ajuste <- fitdist(data = Gasto_Educa$residuals, distr = "norm")
plot(ajuste)
## Fitting of the distribution ' norm ' by maximum likelihood
## Parameters :
## estimate Std. Error
## mean -0.000000000000006699977 3.086919
## sd 117.951112908257783828958 2.182784
## Loglikelihood: -9036.245 AIC: 18076.49 BIC: 18087.06
## Correlation matrix:
## mean sd
## mean 1 0
## sd 0 1
Prueba de
normalidad de Jarque-Bera
\(H_0: \varepsilon \sim
N(0,\sigma^2)\) : Los residuos siguen una distribución normal
\(H_A: \varepsilon \nsim
N(0,\sigma^2)\) : Los residuos no siguen una distribución
normal
library(tseries)
jarque.bera.test(Gasto_Educa$residuals)
##
## Jarque Bera Test
##
## data: Gasto_Educa$residuals
## X-squared = 3916.3, df = 2, p-value < 0.00000000000000022
qqnorm(Gasto_Educa$residuals)
qqline(Gasto_Educa$residuals)
hist(
Gasto_Educa$residuals,
main = "Histograma de los residuos",
xlab = "Residuos",
ylab = "frecuencia"
)
A traves de la prueba de normalidad de Jarque-Bera se rechaza la
hipotesis nula y se dice que no existe evidencia de que los residuos
sigan una distribución normal
Prueba
de normalidad de Kolmogorov-Smirnov
\(H_0: \varepsilon \sim
N(0,\sigma^2)\) : Los residuos siguen una distribución normal
\(H_A: \varepsilon \nsim
N(0,\sigma^2)\) : Los residuos no siguen una distribución
normal
library(nortest)
lillie.test(Gasto_Educa$residuals)
##
## Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
##
## data: Gasto_Educa$residuals
## D = 0.1274, p-value < 0.00000000000000022
qqnorm(Gasto_Educa$residuals)
qqline(Gasto_Educa$residuals)
hist(
Gasto_Educa$residuals,
main = "Histograma de los residuos",
xlab = "Residuos",
ylab = "frecuencia"
)
A traves de la prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov se
rechaza la hipotesis nula y se dice que no existe evidencia de que los
residuos sigan una distribución normal
Prueba de
normalidad de Shapiro-Wilk
\(H_0: \varepsilon \sim
N(0,\sigma^2)\) : Los residuos siguen una distribución normal
\(H_A: \varepsilon \nsim
N(0,\sigma^2)\) : Los residuos no siguen una distribución
normal
shapiro.test(Gasto_Educa$residuals)
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: Gasto_Educa$residuals
## W = 0.86808, p-value < 0.00000000000000022
qqnorm(Gasto_Educa$residuals)
qqline(Gasto_Educa$residuals)
hist(
Gasto_Educa$residuals,
main = "Histograma de los residuos",
xlab = "Residuos",
ylab = "frecuencia"
)
A traves de la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk se rechaza la
hipotesis nula y se dice que no existe evidencia de que los residuos
sigan una distribución normal
Pruebas de multicolinealidad
Calculo de matriz \(X^T \cdot X\)
library(printr)
matX <- model.matrix(Gasto_Educa)
head(matX, n = 10)
| 25 |
1 |
260.00 |
60 |
30 |
4 |
| 78 |
1 |
3308.33 |
220 |
50 |
6 |
| 79 |
1 |
3308.33 |
120 |
125 |
6 |
| 87 |
1 |
1009.67 |
300 |
10 |
3 |
| 89 |
1 |
420.83 |
60 |
45 |
2 |
| 104 |
1 |
829.17 |
30 |
90 |
2 |
| 106 |
1 |
450.00 |
110 |
60 |
3 |
| 121 |
1 |
1080.00 |
52 |
40 |
4 |
| 163 |
1 |
626.26 |
32 |
30 |
6 |
| 164 |
1 |
626.26 |
32 |
30 |
6 |
matXX <- t(matX) %*% matX
library(printr)
head(matXX)
| (Intercept) |
1460.0 |
1476304 |
167286.1 |
72512 |
6415.0 |
| ingfa |
1476304.3 |
2565581722 |
200111101.9 |
82439037 |
6875121.0 |
| r220a2 |
167286.1 |
200111102 |
40902980.0 |
9292929 |
727942.1 |
| r220b2 |
72512.0 |
82439037 |
9292929.0 |
8081948 |
314199.0 |
| miemh |
6415.0 |
6875121 |
727942.1 |
314199 |
31377.0 |
Indice de condicion
\(\kappa (x)= \sqrt {\lambda_{max}\over
\lambda_{min}}\)
si \(\kappa (x)<20\) :
Multicolinalidad leve
si \(20\leq\kappa (x)<30\) :
Multicolinalidad moderada
si \(\kappa (x)\geq30\) :
Multicolinalidad severa
Normalizando \(X^t \cdot X\)
Calculo de la matriz de normalizacion \(S_n=\begin{Bmatrix} \frac{1}{\sqrt {X^T \cdot
X_{ij}}} & ; i=j\\ 0 & ; i\neq j\end{Bmatrix}\)
Sn <- solve(diag(sqrt(diag(matXX))))
head(Sn)
| 0.0261712 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
| 0.0000000 |
0.0000197 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
| 0.0000000 |
0.0000000 |
0.0001564 |
0.0000000 |
0.0000000 |
| 0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0003518 |
0.0000000 |
| 0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0000000 |
0.0056454 |
matXXnorm <- (Sn %*% matXX) %*% Sn
head(matXXnorm)
| 1.0000000 |
0.7627927 |
0.6845511 |
0.6675371 |
0.9477952 |
| 0.7627927 |
1.0000000 |
0.6177330 |
0.5725085 |
0.7662698 |
| 0.6845511 |
0.6177330 |
1.0000000 |
0.5111132 |
0.6425600 |
| 0.6675371 |
0.5725085 |
0.5111132 |
1.0000000 |
0.6239375 |
| 0.9477952 |
0.7662698 |
0.6425600 |
0.6239375 |
1.0000000 |
Calculo de indice de
condicion
library(mctest)
eigprop(Gasto_Educa)
##
## Call:
## eigprop(mod = Gasto_Educa)
##
## Eigenvalues CI (Intercept) ingfa r220a2 r220b2 miemh
## 1 3.7412 1.0000 0.0055 0.0201 0.0227 0.0230 0.0060
## 2 0.4957 2.7472 0.0002 0.0198 0.2686 0.7661 0.0010
## 3 0.4230 2.9738 0.0122 0.0967 0.6719 0.1600 0.0322
## 4 0.2914 3.5831 0.0475 0.8562 0.0007 0.0160 0.0542
## 5 0.0486 8.7711 0.9347 0.0073 0.0361 0.0350 0.9067
##
## ===============================
## Row 4==> ingfa, proportion 0.856189 >= 0.50
## Row 3==> r220a2, proportion 0.671894 >= 0.50
## Row 2==> r220b2, proportion 0.766051 >= 0.50
## Row 5==> miemh, proportion 0.906675 >= 0.50
Con un indice de \(\kappa
(x)=8.7711\) se puede decir que nuestro modelo tiene
multicolinealidad leve
Prueba de
Farrar-Glaubar
\(H_0: R \sim I\) \(\chi^2_{FG}<VC\) o \(p>\alpha\) : No hay evidencia de
multicolinealidad
\(H_A: R \nsim I\) \(\chi^2_{FG}\geq VC\) o \(p\leq\alpha\) : Hay evidencia de
multicolinealidad
library(psych)
FG.test<-cortest.bartlett(matX[,-1])
print(FG.test)
## $chisq
## [1] 173.7265
##
## $p.value
## [1] 0.00000000000000000000000000000000007284817
##
## $df
## [1] 6
VC<-qchisq(p = 0.95,df = 6)
print(VC)
## [1] 12.59159
## [1] FALSE
Por medio de la prueba de Farrar Glaubar el valor critico es
menor al valor calculado por lo que se rechaza la hipotesis nula y se
dice que existe evidencia de multicolinealidad
Factores
inflacionarios de la varianza (VIF)
library(car)
VIFs <- vif(Gasto_Educa)
print(VIFs)
## ingfa r220a2 r220b2 miemh
## 1.113314 1.053667 1.027274 1.055642
library(mctest)
mc.plot(Gasto_Educa, vif = 2)
Prueba de Heterocedasticidad de White
\(H_0\) Existe Evidencia de que la
varianza de los residuos es Homocedastica
\(H_1\) Existe Evidencia de que la
varianza de los residuos no es Homocedastica
library(lmtest)
white<-bptest(Gasto_Educa,~I(ingfa^2)+ingfa*r220a2+ingfa*r220b2+ingfa*miemh+I(r220a2^2)+r220a2*r220b2+r220a2*miemh+I(r220b2^2)+r220b2*miemh+I(miemh^2),data = EHPM_2020)
print(white)
##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: Gasto_Educa
## BP = 96.619, df = 14, p-value = 0.00000000000002102
Por medio de la prueba de heterocedasticidad de White siendo
\(P_{value}<0.05\) se rechaza la
hipotesis nula y se dice que la varianza de los residuos no es
homocedastica
Pruebas de autocorrelación
Prueba de
Durbin-Watson
\(u_i=\rho u_{i-1}+v_i\)
\(H_0 : \rho=0\) : No hay
autocorrelación de primer orden en los residuos del modelo
\(H_1 : \rho \neq 0\) : Hay
autocorrelación de primer orden en los residuos del modelo
Primer Orden
library(lmtest)
dwtest(Gasto_Educa,alternative = "two.sided",iterations = 1000)
##
## Durbin-Watson test
##
## data: Gasto_Educa
## DW = 1.0527, p-value < 0.00000000000000022
## alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0
library(car)
durbinWatsonTest(Gasto_Educa,simulate = TRUE,reps = 1000)
## lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
## 1 0.4733998 1.052724 0
## Alternative hypothesis: rho != 0
Por medio de la prueba de Durbin-Watson dado que \(P_{value}<0.05\) se rechaza la hipotesis
nula y se dice que existe evidencia de autocorrelación de primer
orden
Prueba del
multiplicador de Lagrange
\(u_j=\rho_1 u_{i-1}+\rho_2
u_{i-2}+...+\rho_m u_{i-m}+v_i\)
\(H_0 :
\rho_1=\rho_2=...=\rho_m=0\): No hay evidencia de autocorrelación
de orden “m”, en los residuos del modelo
\(H_1 : \rho_1=\rho_2=...=\rho_m \neq
0\): Hay evidencia de autocorrelación de orden “m”, en los
residuos del modelo
Primer Orden
library(lmtest)
bgtest(Gasto_Educa,order = 1)
##
## Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
##
## data: Gasto_Educa
## LM test = 331.28, df = 1, p-value < 0.00000000000000022
Por medio de la prueba del multiplicador de Lagrange dado que
\(P_{value}<0.05\) se rechaza la
hipotesis y existe evidencia de autocorrelación de orden 1 en los
residuos del modelo
Segundo Orden
library(lmtest)
bgtest(Gasto_Educa,order = 2)
##
## Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2
##
## data: Gasto_Educa
## LM test = 331.28, df = 2, p-value < 0.00000000000000022
Por medio de la prueba del multiplicador de Lagrange dado que
\(P_{value}<0.05\) se rechaza la
hipotesis y existe evidencia de autocorrelación de orden 2 en los
residuos del modelo
Correciones al modelo estimado
Dado a que existe en el modelo hay evidencia de
Heterocedasticidad y autocorrelación procedemos a aplicar las
correciones correspondientes
Estimación robusta
Estimación del
modelo sin corregir
library(lmtest)
library(sandwich)
coeftest(Gasto_Educa)
##
## t test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -17.5491274 10.6057389 -1.6547 0.0982 .
## ingfa 0.0155511 0.0038063 4.0857 0.000046348178 ***
## r220a2 0.5023278 0.0260144 19.3096 < 0.00000000000000022 ***
## r220b2 0.3293348 0.0565748 5.8212 0.000000007175 ***
## miemh 20.9749586 2.1491809 9.7595 < 0.00000000000000022 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Estimación con modelo
corregido
Solo Homocedasticidad
omega<-vcovHC(Gasto_Educa,type = "HC0")
coeftest(Gasto_Educa,vcov. = omega)
##
## t test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -17.5491274 10.2659202 -1.7095 0.087580 .
## ingfa 0.0155511 0.0052115 2.9840 0.002893 **
## r220a2 0.5023278 0.0370417 13.5611 < 0.00000000000000022 ***
## r220b2 0.3293348 0.0642689 5.1243 0.0000003387 ***
## miemh 20.9749586 2.4286506 8.6365 < 0.00000000000000022 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Como tenemos autocorrelación de segundo orden entonces aplicamos esta
corrección
omega<-NeweyWest(Gasto_Educa,lag = 2)
coeftest(Gasto_Educa,vcov. = omega)
##
## t test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -17.549127 14.835236 -1.1829 0.23703
## ingfa 0.015551 0.006547 2.3753 0.01766 *
## r220a2 0.502328 0.048176 10.4270 < 0.00000000000000022 ***
## r220b2 0.329335 0.075614 4.3555 0.00001420695 ***
## miemh 20.974959 3.831088 5.4749 0.00000005148 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Comparativa de
correción
library(robustbase)
Gasto_Educa_robusto<-lmrob(gmed ~ ingfa + r220a2 + r220b2 + miemh,data=EHPM_2020)
print(summary(Gasto_Educa_robusto))
##
## Call:
## lmrob(formula = gmed ~ ingfa + r220a2 + r220b2 + miemh, data = EHPM_2020)
## \--> method = "MM"
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -307.337 -46.726 -4.062 63.352 942.763
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.770869 9.803313 0.589 0.556
## ingfa 0.006250 0.003825 1.634 0.102
## r220a2 0.443133 0.034620 12.800 < 0.0000000000000002 ***
## r220b2 0.317156 0.068186 4.651 0.0000035973038 ***
## miemh 13.304298 1.940218 6.857 0.0000000000104 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Robust residual standard error: 70.78
## (35570 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.3739, Adjusted R-squared: 0.3722
## Convergence in 26 IRWLS iterations
##
## Robustness weights:
## 42 observations c(36,37,85,86,87,88,89,92,174,175,176,177,335,349,350,374,375,376,416,417,479,480,511,512,513,514,517,518,519,520,552,553,748,749,829,859,979,1133,1335,1336,1372,1373)
## are outliers with |weight| = 0 ( < 6.8e-05);
## 104 weights are ~= 1. The remaining 1314 ones are summarized as
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.004156 0.860200 0.947300 0.862500 0.981800 0.999000
## Algorithmic parameters:
## tuning.chi bb tuning.psi refine.tol
## 1.54764000000 0.50000000000 4.68506100000 0.00000010000
## rel.tol scale.tol solve.tol eps.outlier
## 0.00000010000 0.00000000010 0.00000010000 0.00006849315
## eps.x warn.limit.reject warn.limit.meanrw
## 0.00000002188 0.50000000000 0.50000000000
## nResample max.it best.r.s k.fast.s k.max
## 500 50 2 1 200
## maxit.scale trace.lev mts compute.rd fast.s.large.n
## 200 0 1000 0 2000
## psi subsampling cov
## "bisquare" "nonsingular" ".vcov.avar1"
## compute.outlier.stats
## "SM"
## seed : int(0)
Comparativa
stargazer(Gasto_Educa,Gasto_Educa_robusto,type = "html",title = "comparativa")
comparativa
|
|
|
|
Dependent variable:
|
|
|
|
|
|
gmed
|
|
|
OLS
|
MM-type
|
|
|
|
linear
|
|
|
(1)
|
(2)
|
|
|
|
ingfa
|
0.016***
|
0.006
|
|
|
(0.004)
|
(0.004)
|
|
|
|
|
|
r220a2
|
0.502***
|
0.443***
|
|
|
(0.026)
|
(0.035)
|
|
|
|
|
|
r220b2
|
0.329***
|
0.317***
|
|
|
(0.057)
|
(0.068)
|
|
|
|
|
|
miemh
|
20.975***
|
13.304***
|
|
|
(2.149)
|
(1.940)
|
|
|
|
|
|
Constant
|
-17.549*
|
5.771
|
|
|
(10.606)
|
(9.803)
|
|
|
|
|
|
|
|
Observations
|
1,460
|
1,460
|
|
R2
|
0.297
|
0.374
|
|
Adjusted R2
|
0.295
|
0.372
|
|
Residual Std. Error (df = 1455)
|
118.154
|
70.782
|
|
F Statistic
|
153.645*** (df = 4; 1455)
|
|
|
|
|
Note:
|
p<0.1; p<0.05;
p<0.01
|
Pronostico y simulación
Para esta prueba se hara un pronostico si en dado caso
las familias tienen un ingreso total del hogar de 365 dolares, pagan un
monto anual en matricula de 120 dolares, gastan en promedio en utiles
150 dolares anuales , y son 5 miembros del hogar
library(stargazer)
X_m<-data.frame(ingfa=365,r220a2=120,r220b2=150,miemh=5)
confidense<-c(0.90,0.95,0.975,0.99)
predict(object = Gasto_Educa,
newdata = X_m,
interval = "prediction",
level = confidense,
se.fit =TRUE)->predicciones
rownames(predicciones$fit)<-as.character(confidense*100)
colnames(predicciones$fit)<-c("Ym","Li","Ls")
stargazer(predicciones$fit,
title = "Pronósticos e intervalos de confianza",
type = "html")
Pronósticos e intervalos de confianza
|
|
|
|
Ym
|
Li
|
Ls
|
|
|
|
90
|
202.681
|
7.826
|
397.536
|
|
95
|
202.681
|
-29.548
|
434.911
|
|
97.5
|
202.681
|
-62.949
|
468.311
|
|
99
|
202.681
|
-102.666
|
508.029
|
|
|
Script de simulación
library(dplyr)
library(caret)
library(DescTools)
library(stargazer)
set.seed(50)
numero_de_muestras <- 5000
muestras <- Gasto_Edu$`Gasto del hogar en Educacion` %>%
createDataPartition(p = 0.8,
times = numero_de_muestras,
list = TRUE)
Modelos_Entrenamiento <- vector(mode = "list",
length = numero_de_muestras)
Pronostico_Prueba <- vector(mode = "list",
length = numero_de_muestras)
Resultados_Performance_data_entrenamiento <- vector(mode = "list",
length = numero_de_muestras)
Resultados_Performance <- vector(mode = "list",
length = numero_de_muestras)
for (j in 1:numero_de_muestras) {
Datos_Entrenamiento <- Gasto_Edu[muestras[[j]],]
Datos_Prueba <- Gasto_Edu[-muestras[[j]],]
Modelos_Entrenamiento[[j]] <-
lm(formula = `Gasto del hogar en Educacion` ~ ., data = Datos_Entrenamiento)
Pronostico_Prueba[[j]] <-
Modelos_Entrenamiento[[j]] %>% predict(Datos_Prueba)
Resultados_Performance_data_entrenamiento[[j]] <- data.frame(
R2 = R2(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`
),
RMSE = RMSE(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`
),
MAE = MAE(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`
),
MAPE = MAPE(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`
) * 100,
THEIL = TheilU(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`,
type = 1
),
Um = Um(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`
),
Us = Us(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`
),
Uc = Uc(
Modelos_Entrenamiento[[j]]$fitted.values,
Datos_Entrenamiento$`Gasto del hogar en Educacion`
)
)
Resultados_Performance[[j]] <- data.frame(
R2 = R2(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`
),
RMSE = RMSE(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`
),
MAE = MAE(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`
),
MAPE = MAPE(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`
) * 100,
THEIL = TheilU(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`,
type = 1
),
Um = Um(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`
),
Us = Us(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`
),
Uc = Uc(
Pronostico_Prueba[[j]],
Datos_Prueba$`Gasto del hogar en Educacion`
)
)
}
Resultados de la simulación
bind_rows(Resultados_Performance_data_entrenamiento) %>%
stargazer(title = "Medidas de Performance Datos del Modelo",
type = "html",
digits = 3)
Medidas de Performance Datos del Modelo
|
|
|
Statistic
|
N
|
Mean
|
St. Dev.
|
Min
|
Max
|
|
|
|
R2
|
5,000
|
0.234
|
0.033
|
0.098
|
0.352
|
|
RMSE
|
5,000
|
51.388
|
2.084
|
40.762
|
55.743
|
|
MAE
|
5,000
|
30.564
|
1.059
|
26.433
|
33.728
|
|
MAPE
|
5,000
|
Inf.000
|
|
Inf
|
Inf
|
|
THEIL
|
5,000
|
0.474
|
0.015
|
0.419
|
0.529
|
|
Um
|
5,000
|
0.000
|
0.000
|
0
|
0
|
|
Us
|
5,000
|
0.351
|
0.033
|
0.256
|
0.523
|
|
Uc
|
5,000
|
0.651
|
0.033
|
0.479
|
0.746
|
|
|
bind_rows(Resultados_Performance) %>%
stargazer(title = "Medidas de Performance Simulación",
type = "html",
digits = 3)
Medidas de Performance Simulación
|
|
|
Statistic
|
N
|
Mean
|
St. Dev.
|
Min
|
Max
|
|
|
|
R2
|
5,000
|
0.205
|
0.119
|
0.00005
|
0.618
|
|
RMSE
|
5,000
|
52.608
|
8.448
|
29.508
|
117.795
|
|
MAE
|
5,000
|
31.184
|
3.079
|
21.250
|
51.475
|
|
MAPE
|
5,000
|
Inf.000
|
|
Inf
|
Inf
|
|
THEIL
|
5,000
|
0.488
|
0.050
|
0.325
|
0.640
|
|
Um
|
5,000
|
0.008
|
0.012
|
0.000
|
0.140
|
|
Us
|
5,000
|
0.332
|
0.179
|
0.00001
|
0.745
|
|
Uc
|
5,000
|
0.669
|
0.175
|
0.249
|
1.007
|
|
|
Hipotesis de los parametros
Ingresos de las
familias
\(H_0\) Los ingresos de las familias
tienen una relación lineal parcial con la variable gasto en
educación
\(H_A\) Los ingresos de las familias
no tienen una relación lineal parcial con la variable gasto en
educación
Gasto anual en
matricula
\(H_0\) El gasto anual en matricula
tiene una relación lineal parcial con la variable gasto en educación
\(H_A\) El gasto anual en matricula
no tiene una relación lineal parcial con la variable gasto en
educación
Gasto anual en utiles
escolares
\(H_0\) El gasto anual en utiles
escolares tiene una relación lineal parcial con la variable gasto en
educación
\(H_A\) El gasto anual en utiles
escolares no tiene una relación lineal parcial con la variable gasto en
educación
Miembros de la
familia
\(H_0\) Los miembros de la familia
tienen una relación lineal parcial con la variable gasto en
educación
\(H_A\) Los miembros de la familia
no tienen una relación lineal parcial con la variable gasto en
educación
Generación e interpretación de los intervalos de confianza
para los parametros
confint(Gasto_Educa, level = 0.95)
| (Intercept) |
-38.3532998 |
3.2550449 |
| ingfa |
0.0080847 |
0.0230174 |
| r220a2 |
0.4512980 |
0.5533576 |
| r220b2 |
0.2183580 |
0.4403116 |
| miemh |
16.7591344 |
25.1907827 |
Con una confianza del 0.95% para todas las variables no
se rechaza la hipotesis nula y se dice que, el ingreso de las familias,
el gasto en utiles, el gasto en matricula y los miembros de la familia
tienen una relación lineal parcial con el gasto en
educación