Funções

Introdução

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas. O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de “fórmula matemática”. Por exemplo: O perímetro de um quadrado é o quádruplo do lado, então o perímetro \(P\) está em função do lado \(L\) através da fórmula \(P=4 L\).

Conjuntos, relações e funções

Exemplo 1: Dados os conjutos \(A\) e \(B\), represente as relações no diagrama de flechas e verifique se cada uma destas relações de \(A\) em \(B\) são funções de \(A\) em \(B\).

  1. Sejam \(A = \{0,5,15\} \text{ e } B = \{0,5,10,15,20,25\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x+5, \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que:
  • todos os elementos de A estão associados a elementos de B;
  • cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
  • Logo, esta relação de \(A\) em \(B\) é uma função de \(A\) em \(B\).
  1. Sejam \(A = \{-2,0,2,5\} \text{ e } B = \{0,2,5,10,20\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que:
  • nem todos os elementos de \(A\) estão associados aos elementos de \(B\) (o elemento \(-2\) não possui correspondente em \(B\)).
  • Logo, esta relação de \(A\) em \(B\) não é uma função de \(A\) em \(B\).
  1. Sejam \(A = \{-3,-1,1,3\} \text{ e } B = \{1,3,6,9\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x^2 , \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que:
  • todos os elementos de \(A\) estão associados a elementos de \(B\);
  • cada elemento de \(A\) está associado a um único elemento de \(B\).
  • Logo, esta relação de \(A\) em \(B\) é uma função de \(A\) em \(B\).
  1. Sejam \(A = \{-2,2,-3,3\} \text{ e } B = \{16,81\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x^4, \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que ( completar! ).

Definição de função

Sendo \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios e uma relação \(f\) de \(A\) em \(B\). Esta relação \(f: A \rightarrow B\) é uma função de \(A\) em \(B\) se a cada elemento \(x\) do conjunto \(A\) está associado um único elemento \(y\) de \(B\). E utilizamos a notação \(y = f(x)\), como por exemplo: \[ y=f(x)=x+5, \] significa que cada elemento \(x\) de \(A\) está relacionado a um único elemento \(y\) de \(B\) através da fórmula \(y=f(x)=x+5\).

Componentes de uma função

  • Domínio da função, representado pela letra \(D\), é o conjunto onde a função é definida, ou seja, ele contém todos os elementos \(x\) para os quais a função deve ser definida (de onde sai as flechas);

  • Contradomínio da função, representado pela letra \(CD\), é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outras palavras, é o conjunto onde a função toma valores;

  • Imagem da função, representado pela letra \(IM\), é o conjunto de valores que efetivamente \(f(x)\) assume (onde chegam as flechas). O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio: \(IM \subset CD\).

Veja representação do diagrama de flechas em sala.

Exercícios

  1. \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=x^2\). Especifique os conjuntos domínio, contradomínio e imagem da função.

  2. Sejam \(A=\{-1,0,1\} \text{ e }, B = \{-2,-1,1,2,3,4\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x) = 2x+1\).

  1. Especifique os conjuntos domínio, contradomínio e imagem da função;
  2. Represente no diagrama de flechas.
  1. Para as funções abaixo, especifique os conjuntos domínio e imagem, e construa o gráfico da função.
  1. \(f(x)=\frac{x^2}{2}\);
  2. \(f(x)=x^3\).

Classificação das funções

Função injetora, sobrejetora ou bijetora

  • Função injetora
    Uma função é injetora se cada elemento da imagem está associado a apenas um único elemento do domínio, isto é, \(x \neq y\) no domínio implica que \(f(x) \neq f(y)\) no contradomínio. Então temos que
  • O número de elementos do contradomínio é sempre maior que ou igual ao número de elementos do domínio.

Exemplo 2: Sejam \(A=\{-1,0,1,2\}, B=\{0,1,2,3,4,5\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x) = x+1\). Esta função é injetora.

  • Função sobrejetora
    Uma função é sobrejetora se todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Então temos que
  • O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.

Exemplo 3: Sejam \(A=\{-2,-1,0,1\}, B=\{0,1,4\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x) = x^2\). Esta função é sobrejetora.

  • Função bijetora, ou bijetiva
    Uma função é bijetora se ela for injetora e sobrejetora, isto é, se todos os elementos do domínio estão associados aos elementos do contradomínio sob uma relação um-a-um.

Exemplo 4: Sejam \(A=\{0,2,3\}, B=\{1,5,7\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x)=2x+1\). Esta função é bijetora.

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Exemplo 5: Seja \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=x^2\). Esta função não é injetora nem sobrejetora. Tarefa: Justificar a afirmação acima, construir o gráfico e interpretar.

Tipos de funções

Função par e função ímpar

Para interpretar estas funções, iremos considerar o caso geral de funções \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\).

  • Função par
    Uma função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ é par se } f(x) = f(-x).\)

Exemplo 6: A função quadrática \(f(x)=x^2\) é par. Tarefa: Construir o gráfico da função. Verifique que o gráfico é simétrico com relação ao eixo \(y\);

  • Função ímpar
    Uma função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ é ímpar se } f(x) = -f(-x).\)

Exemplo 7: A função cúbica \(f(x)=x^3\) é ímpar. Tarefa: Construir o gráfico da função.

Exemplo 8: A função exponencial \(f(x)=2^x\) não é par e não é ímpar. Tarefa: Construir o gráfico da função.

Função crescente e função decrescente

  • Função crescente
    Uma função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ é crescente, se e somente se, } \forall x_1 \text{ e } x_2 \in \mathbb{R}, x_1 < x_2 \text{ então } f(x_1) < f(x_2)\);

Exemplo 9: A função afim, ou função de 1º grau \(f(x) = x+5\) é crescente. Tarefa: Construir o gráfico.

  • Função decrescente
    Inversamente, Uma função \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ é decrescente, se e somente se, } \forall x_1 \text{ e } x_2 \in \mathbb{R}, x_1 < x_2 \mbox{ então } f(x_1) > f(x_2)\);

Exemplo 10: A função afim \(f(x) = -2x+1\) é decrescente. Tarefa: Construir o gráfico.

Exercícios - Continuação

  1. Para as funções \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) abaixo, classifique em função par e função ímpar.
  1. \(f(x)=x^2+4\), e observamos que esta função é quadrática, ou função de 2º grau;
  2. \(f(x)=\frac{x}{2}\), e observamos que esta função é afim, ou função de 1º grau;
  3. \(f(x)=x^2+2x+1\), e observamos que esta função é quadrática, ou função de 2º grau;
  1. Para as funções \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) abaixo, classifique em função crescente e função decrescente
  1. \(f(x)=x\),
    e observamos que esta função é a função identidade;
  2. \(f(x)=-\frac{x}{2}\),
    e observamos que esta função é afim, ou função de 1º grau: representada por uma reta que passa pela origem do plano cartesiano;
  3. \(f(x)=2^x\), e observamos que esta função é exponencial, com base igual a \(2\);

Função composta

Quando se calcula uma expressão da forma \(g(f(x))\), em que \(f\) e \(g\) são funções, estamos calculando \(h(x)\), em que \(h\) é a função composta de \(g\) e \(f\). Assim, a função composta \(h=g\circ f\) (lê-se “g bola f”), deve ser entendida como uma função \(h\) em que, primeiro, a função \(f\) é executada, e, em seguida, a função \(g\) é executada: \[ h(x)=(g\circ f)(x) \text{ ou seja } h(x) = g(f(x)). \]

Matematicamente Sejam as funções \(f:X \rightarrow Y \text{ e } g:Y \rightarrow Z, \text{ a função composta } g \circ f \text{ é a função } h: X \rightarrow Z \text{ tal que } h(x)=g(f(x)), \forall x \in X.\)

Exemplo 11: Sejam \(A=\{0,1,2\},B=\{0,1,2,3,4\},C=\{0,1,4,9,16\} \text{ e as funções } f:A\rightarrow B\text{ tal que }f(x)=2x\text{ e }g:B\rightarrow C \text{ tal que }g(x)=x^2.\text{ A função composta } h=g\circ f: A \rightarrow C \text{ é tal que } h(x)=4x^2.\) Representação no diagrama de flechas em aula (pendente)

Exercícios - continuação

  1. Sejam as funções \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ e } g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ abaixo }.\) Determine as funções compostas \(g\circ f, \text{ e } f \circ g\), e represente graficamente.
  1. \(f(x)=x^2+2 \text{ e } g(x)=3x\);
  2. \(f(x)=x+1 \text{ e } g(x)=x^2+x+1\);
  3. \(f(x)=\vert x \vert \text{ e } g(x) = x-2\);
  4. \(f(x)=x^2-4 \text{ e } g(x)=2x+1\);
  5. \(f(x)=2x-1 \text{ e } g(x)=3x+2\).

Tarefa extra Comente caso forem funções injetoras, sobrejetoras ou bijetoras, pares ou ímpares, crescentes ou decrescentes, e quanto a lei de formação afim, quadrática, cúbica, exponencial, identidade, constante.

Função inversa

A função inversa de uma função \(f:X \rightarrow Y \text{ é, quando existe, a função } f^{-1}:Y \rightarrow X\) tal que
\(f \circ f^{-1} = Id(x) \text{ e } f^{-1} \circ f = Id(x), \text{ em que } Id(x)\) é a função identidade.
Importante Uma função \(f\) somente possui inversa se \(f\) for bijetora:

  • Cada elemento do conjunto imagem de \(f\) está relacionado a um, e somente um elemento do conjunto domínio de \(f\);
  • O conjunto contradomínio de \(f\) é igual ao conjunto imagem de \(f\).

Exemplo 12: Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=3x+2\), verificamos que

  • A função \(f\) é bijetora;

  • A inversa da função \(f\) é a função \(f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}\);

  • Passos para encontrar a função inversa: Seja \(y=3x+2\);

    • Passo I): Isolar o \(x\) na equação: \(x=\frac{y-2}{3}\);
    • Passo II): Substituir \(y\) por \(x\), e \(x\) por \(y\) na equação: \(y=\frac{x-2}{3}\).

  • Conclusão: \(f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}\). Representação no diagrama de flechas em aula.

  • A função composta \(f\circ f^{-1}(x)\) é a função identidade pois \(f\left(f^{-1}(x)\right)=3\left(\frac{x-2}{3}\right)+2=x\);

  • A função composta \(f^{-1}\circ f(x)\) é a função identidade pois \(f^{-1}\left(f(x)\right)=\frac{(3x+2)-2}{3}=x\);

  • Graficamente, as funções \(f\) e \(f^{-1}\) são simétricas com relação à reta y=x . Este fato acontece para qualquer função. Matematicamente, dizemos que quando uma função possui inversa, esta inversa é única.

VERIFICAR GRÁFICO EM SALA.

Exemplo 12.b): Seja \(f:\{x \in \mathbb{R}\mid x \neq -\frac{3}{2}\} \rightarrow \{y \in \mathbb{R}\mid y \neq \frac{1}{2}\} \text{ tal que } f(x)=\frac{x+5}{2x+3}\), verificamos que

  • A função \(f(x)\) é uma função racional (razão de dois polinômios);
  • \(x \neq -\frac{3}{2}\) para que \(f(x)\) seja função;
  • \(y \neq \frac{1}{2}\) para que o conjunto contradomínio seja igual ao conjunto imagem de f;
  • A função \(f(x)\) é bijetora;
  • A inversa da função \(f\) é a função \(f^{-1}:\{x \in \mathbb{R}\mid x \neq \frac{1}{2}\} \rightarrow \{y \in \mathbb{R}\mid y \neq -\frac{3}{2}\} \text{ tal que } f^{-1}(x)=\frac{5-3x}{2x-1}\).
  • Passos para encontrar a função inversa: Seja \(y=\frac{x+5}{2x+3}\);
    • Passo I): Isolar o \(x\) na equação: \[\begin{eqnarray*} y(2x+3)&=&x+5 \Rightarrow y.2x + 3y &=& x+5 \text{ } \text{ } \text{ } \text{ donde } \Rightarrow: \text{ lê-se "portanto" é o símbolo utilizado} \Rightarrow x(2y-1)&=&5-3y \text{ } \text{ } \text{ } \text{ nos passos de uma demonstração } \Rightarrow x &=& \frac{5-3y}{2y-1}. \end{eqnarray*}\]
    • Passo II): Substituir \(y\) por \(x\), e \(x\) por \(y\) na equação: \(y=\frac{5-3x}{2x-1}\);
  • O conjunto domínio da função \(f\) é igual ao conjunto contradomínio da função \(f^{-1}\); o conjunto contradomínio da função \(f\) é igual ao conjunto domínio da função \(f^{-1}\); ambas funções \(f\) e \(f^{-1}\) possuem conjunto imagem sendo exatamente igual ao conjunto contradomínio;
  • A função composta \(f\circ f^{-1}(x)\) é a função identidade. Tarefa Verificar;
  • A função composta \(f^{-1} \circ f(x)\) é a função identidade. Tarefa Verificar.
  • Tarefa Construa o gráfico da função no excel ou no software R (www.r-project.org). Veja abaixo o código no R (código resumido) para estes gráficos.
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Exercícios

  1. Para cada uma das funções \(f\) abaixo: Determine a função inversa \(f^{-1}\); construa os gráficos de \(f(x)\) e \(f^{-1}(x)\); verifique se \(f\circ f^{-1}(x)\) é a função identidade; verifique se $ f^{-1} f(x)$ é a função identidade.
  1. \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=\frac{x+2}{4}\);
  2. \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=x^3\);
  3. \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=2-x\);
  4. \(f:\{x \in \mathbb{R}\mid x \geq 0\} \rightarrow \{y \in \mathbb{R}\mid y \geq 0\} \text{ tal que } f(x)=x^2\);
  5. \(f:\{x \in \mathbb{R}\mid x \leq 0\} \rightarrow \{y \in \mathbb{R}\mid y \geq 0\} \text{ tal que } f(x)=\vert x \vert\);
  6. Para os itens “d)” e “e)”, justifique o porquê da restrição nos conjuntos domínio e contradomínio da função.
  1. Seja a função afim \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=2x-3\).
  1. Encontre a função inversa de \(f\);
  2. Calcule \(f^{-1}(0)\) e \(f^{-1}(5)\);
  3. Encontre a função composta \(f^{-1} \left(f(x)\right)\), também denotada por \(f^{-1} \circ f(x)\);
  4. Encontre a função composta \(f \left(f^{-1}(x)\right)\), também denotada por \(f \circ f^{-1}(x)\).
  1. Seja a função racional \(f:\{x \in \mathbb{R}\mid x \neq -\frac{3}{4}\} \rightarrow \{x \in \mathbb{R}\mid x \neq \frac{3}{4}\} \text{ tal que } f(x) = \frac{3x-2}{4x+3}\).
  1. Especifique os conjuntos domínio, contradomínio e imagem de \(f\).
  2. O que acontece se não tivermos a restrição no conjunto domínio: \(x \neq -\frac{3}{4}\)?
  3. O que acontece se não tivermos a restrição no conjunto contradomínio: \(x \neq \frac{3}{4}\)?
  4. Encontre a função inversa de \(f\).
  5. Faça o gráfico da função \(f\) e sua inversa (aconselhável fazer no excel ou R). Comente os resultados obtidos.
  1. Seja a função racional \(f(x) = \frac{3x+2}{4x+13}\).
  1. Especifique o conjunto domínio desta função, garantindo a sua existência;
  2. Determine a inversa desta função, denotada por \(f^{-1}\), e especifique o conjunto domínio de \(f^{-1}\);
  3. De acordo com os itens anteriores, especifique os conjuntos domínio, contradomínio e imagem de \(f\), assim como os conjuntos domínio, contradomínio e imagem de \(f^{-1}\). Comente os resultados obtidos.
  1. Seja a função modular \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x) = \vert x \vert\).
  1. Esta função é injetora? E sobrejetora?
  2. Caso \(f\) não seja injetora, qual deveria ser a restrição para que \(f\) fosse injetora? E sobrejetora? Redefina a função \(f\) segundo estas restrições.
  3. Determine a função inversa de \(f\) baseado no item “b)”.

Função constante

Função constante é qualquer função do tipo \(f(x)=c, \text{ com } c \in \mathbb{R}\).

  • \(c\) é uma constante em \(\mathbb{R}\);
  • O valor da função será sempre o mesmo, para qualquer valor de \(x\) no conjunto domínio;
  • O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo \(x\).

Seja a função \(f(x)=2\).

  • O conjunto domínio é: \(D=\mathbb{R}\) e o conjunto imagem é: \(IM=\{2\}\);
  • A função não é injetora e não é sobrejetora;
  • A função é constante (não é crescente e não é decrescente).

Função Identidade

Função identidade é a função do tipo \(f(x)=x\).

  • O conjunto domínio é: \(D=\mathbb{R}\) e o conjunto imagem é: \(IM=\mathbb{R}\);
  • A função é bijetora;
  • A função é crescente;
  • O gráfico da função \(f(x)=x\), ou equivalentemente \(y=x\) é uma reta que passa pela origem (ponto \((0,0)\)) e pelos 1º e 3º quadrantes formando um ângulo de \(45^{\circ}\) com o eixo \(x\);
par(mfrow=c(1,2))
    x=seq(-10,10,0.1)
    y=rep(2,length(x))
    plot(x,y,type='l',lwd=2,cex.lab=1.5,cex.main=1.5,cex.axis=1.5,axes=FALSE,ylim=c(-2,10),xlab="",ylab="",main="a)")
    abline(h=0)
    abline(v=0)
    text(10,-1/2,"x")
    text(-1/2,10,"y")
    text(-1/2,2.5,"2")
    text(9,2.5,"f(x)=2")

    #FUNÇÃO IDENTIDADE
    plot(x,x,type='l',lwd=2,cex.lab=1.5,cex.main=1.5,cex.axis=1.5,axes=FALSE,ylim=c(-10,10),xlab="",ylab="",main="b)")
    text(10,-1/2,"x")
    text(-1/2,10,"y")
    text(8,10,"f(x)=x")
    abline(h=0)
    abline(v=0)
Gráficos das funções: a) função constante $f(x)=2$; b) função identidade $f(x)=x$

Gráficos das funções: a) função constante \(f(x)=2\); b) função identidade \(f(x)=x\)

Função Afim ou função de 1º grau

Função afim (ou função de 1º grau) é qualquer função do tipo \(f(x) = ax+b\), com \(a,b \in \mathbb{R} \text{ e } a \neq 0\).

  • \(a\) e \(b\) são os coeficientes da função;
  • \(a\) é o coeficiente angular \(\Rightarrow\) o valor de \(a\) determina a inclinação da reta;
  • \(b\) é o coeficiente linear, também chamado de intercepto \(\Rightarrow\) o valor de \(b\) determina o ponto onde a reta intercepta o eixo \(y\);
  • A função é bijetora;
  • A função é crescente quando \(a>0\) ou decrescente quando \(a<0\).

Exemplo 13: Exemplos de função de 1º grau:

    1. \(f(x)=x+5\\ \Rightarrow a=1 \text{ e } b=5\). A função é crescente;
    1. \(f(x)=-\frac{x}{3}+7\\ \Rightarrow \text{ o coeficiente angular é igual a } -\frac{1}{3} \text{ e o coeficiente linear é igual a 7 }\). A função é decrescente;
    1. \(f(x)=\sqrt{5} x - 8\\ \Rightarrow \text{ o coeficiente angular é igual a } \sqrt{5} \text{ e o intercepto é igual a -8 }\). A função é crescente;
    1. \(f(x) = \frac{5}{\sqrt{7}} x - 1\\ \Rightarrow a = \frac{5}{\sqrt{7}} \text{ e a reta intercepta o eixo y no ponto } (0,-1)\). A função é crescente.

Exercícios - continuação

  1. Seja a função \(f(x) = 5x-7\), calcule:
  1. \(f(2)\);
  2. \(f(0)\);
  3. \(f\left(-\frac{1}{2}\right)\);
  4. \(f\left(\frac{1}{7}\right)\);
  1. Seja a função \(f(x)=-3x+1\), encontre \(x\) tal que:
  1. \(f(x)=0\);
  2. \(f(x)=5\);
  3. \(f(x)=\frac{2}{3}\);
  4. \(f(x)=-1\).

Exercícios - continuação

  1. Construa o gráfico das seguintes funções lineares:
  1. \(f(x)=3x\);
  2. \(f(x)=-\frac{x}{2}\);
  3. \(f(x)=\sqrt{2}x\);
  4. \(f(x)=\frac{5}{\sqrt{3}}x\);

Zero da função de 1º grau

O zero da função de 1º grau é o valor de \(x\) para o qual a função \(f(x)= ax+b\) é igual a zero. Também é denominado raiz da função.

Exemplo 14: Exemplos de função de 1º grau: A raiz da função \(f(x) = 3x-2\) é igual a \(\frac{2}{3}\).

Método de cálculo Igualar a função a zero e isolar o \(x\): \[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3}. \]

Estudo de sinal da função de 1º grau

Exemplo 15:
Seja a função \(f(x)=2x-5\). Determine os valores de \(x\) tais que:

  1. \(f(x)=0\). Resp \(\{\frac{5}{2}\)
  2. \(f(x)>0\). Resp \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > \frac{5}{2}\}\);
  3. \(f(x)<0\). Resp \(\{x \in \mathbb{R} \mid x < \frac{5}{2}\}\).

Exemplo 16:
Seja a função \(f(x)=-3x+7\). Determine os valores \(x\) tais que:

  1. \(f(x)=0\). Resp \(\{\frac{7}{3}\}\);
  2. \(f(x)>0\). Resp \(\{x \in \mathbb{R} \mid x < \frac{7}{3}\}\);
  3. \(f(x)<0\). Resp \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > \frac{7}{3}\}\).

Os gráficos estão na figura 7

Gráficos das funções: a) $f(x)=2x-5$; b) $f(x)=-3x+7$.

Gráficos das funções: a) \(f(x)=2x-5\); b) \(f(x)=-3x+7\).

Exercícios - continuação

  1. Faça o estudo de sinal das seguintes funções de 1º grau:
  1. \(f(x)=-3x+6\);
  2. \(f(x)=1-5x\);
  3. \(f(x)=-7(x+3)\);
  4. \(f(x)=\frac{x}{3}-1\).

Resolução gráfica de um sistema de equações do 1º grau

Exemplo 17:
Considere o sistema de equações do 1º grau: \[ \left\{ \begin{array}{ll} y=x+2\\ y=3x-4 \end{array} \right. \] A solução do sistema é \(x=3\) e \(y=5\).
Construindo o gráfico das duas funções, nota-se que a solução do sistema é o ponto \((x,y)\) da intersecção das duas retas. Veja a figura 8.

Equação da reta que passa por dois pontos

Exemplo 18: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \((1,2)\) e \((-1,3)\).

Resp. Como a reta é o gráfico de uma função do 1º grau \(f(x)=ax+b\), temos: \[ \left\{ \begin{array}{ll} 2=a.1+b \\ 3=a.(-1)+b \end{array} \right. \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \left\{ \begin{array}{ll} a+b=2\\ -a+b=3 \end{array} \right. \] A solução do sistema é \(a=-\frac{1}{2}\) e \(b=\frac{5}{2} \Rightarrow\) a equação da reta é \(f(x)=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}\), ou equivalentemente, \(y=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}\). O gráfico está na figura

Gráficos das funções a) $f(x)=x+2$ e $f(x)=3x-4$; b) $f(x)=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}$.

Gráficos das funções a) \(f(x)=x+2\) e \(f(x)=3x-4\); b) \(f(x)=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}\).