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1 Monte Carlo

La fórmula de valuación de riesgo neutral brinda el precio de cualquier derivado europeo con payoff \(X(T)=h(S(T))\) y está dada por \[\begin{equation} \widetilde{\mathbb{E}}(e^{-r(T-t)}X(T)\mid \mathcal{F}_t) \end{equation}\]

donde el subyacente sigue la siguiente dinámica estocástica bajo la medida de riesgo neutral \(\widetilde{\mathbb{P}}\) \[\begin{equation} dS(t)=(r-q)S(t)dt+\sigma S(t)d\widetilde{W}(t), \end{equation}\] y con distribución \(S(T)=S(0)e^Z\) con \(Z\) una distribución normal \[\begin{equation} Z \sim N\left(\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T,\sigma^2T\right) \end{equation}\]

La técnica de Monte Carlo se basa en la ley de los grandes números, la cual establece que la esperanza de una v.a. \(Z\) converge a la media muestral cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito, es decir, \[\begin{equation} \mathbb{E}(f(Z))=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(z_i) \end{equation}\]

Esta técnica suele usarse para valuar opciones donde el cálculo de la esperanza no tiene una fórmula semi-analítica.

Para empezar, ejemplificaremos su uso con una opción call europea \(C(T,K)\). Para esto se utilizará la fórmula de valuación de riesgo neutral con payoff \(X(T)=(S(T)-K)_+\) y \(S(T)\) como se definió anteriormente. Por lo tanto, primero se generará una muestra aleatoria \(\{s_1,\ldots,s_n\}\) de la v.a. \(S=S(T)\) \[\begin{align*} C(T,K) &= \mathbb{E}(e^{-rT}(S(T)-K)_+) \\ &\approx\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n e^{-rT}(s_i-K)_+ \end{align*}\]

# Funcion para precio de una opcion bajo Black-Scholes
BS <- function(s,k,t,r,q,sigma,phi){
  d1 <- (log(s/k)+(r-q+.5*sigma^2)*t)/(sigma*sqrt(t))
  d2 <- d1-sigma*sqrt(t)
  precio <- phi*(s*exp(-q*t)*pnorm(phi*d1)-k*exp(-r*t)*pnorm(phi*d2))
  return(precio)
}

r <- .04125
q <- .00125
mu <- r-q
sigma <- .2
t <- 180/360
s <- 19.85
k <- s*exp((r-q)*t)
phi <- 1

BS(s,k,t,r,q,sigma,phi)
[1] 1.118285
num_sim <- 1000000
media <- (r-q-.5*sigma^2)*t
desv <- sigma*sqrt(t)
z <- rnorm(num_sim,media,desv)
mean(exp(-r*t)*pmax(s*exp(z)-k,0))
[1] 1.11947

2 Opciones Exóticas

Las opciones exóticas son aquellas donde el payoff de la opción depende de la trayectoria recorrida por el subyacente. Estos productos por lo general son más baratos que los derivados vanilla y sirven para para participantes de mercado con una expectativa muy específica del mercado. La variedad de opciones exóticas es muy grande, sin embargo, después de la crisis de los 90 su popularidad cayó.

2.1 Opciones Barrera

Unas de las opciones exóticas más famosas son las opciones barrera, en las cuales se tiene una opción call o put y se establece una barrera, en la cual la opción se desactiva (knock-out) o se activa (knock-in) cuando alcanza toca labarrera. La barrera puede fijarse por debajo (down) o por arriba (up) del precio spot. Por ejemplo, una opción call que se desactiva cuando supera la barrera recibe el nombre de call up-and-out. También es posible incluir dos barreras y hacer combinaciones in y out con ambas.

El payoff de una opción call up-and-out con barrera \(B\) está dado por \((S(T)-K)_+\) si \(S(t)<B\) para toda \(t\in[0,T]\). Definamos \(M(T)=\max\{S(t);t\in[0,T]\}\), entonces dicho payoff también puede escribirse como \[\begin{equation} (S(T)-K)_+\textbf{1}_{\{M(T)<B\}} \end{equation}\] y es posible encontrar una distribución para el máximo de la trayectoria del subyacente y la correlación entre este y el subyacente para obtener una fórmula semi-analítica bajo el modelo de Black-Scholes.

El precio de una opción call up-and-out con barrera 24.3011959 es

Indicadora <- Simulaciones %>%
  select(simulacion,valor) %>%
  group_by(simulacion) %>%
  summarize(max=max(valor)) %>%
  mutate(indicadora=ifelse(max>barrera,0,1))

Payoff <- Simulaciones[which(Simulaciones$tiempo==max(Simulaciones$tiempo)),] %>%
  left_join(Indicadora[,c("simulacion","indicadora")],by="simulacion") %>%
  mutate(tiempo=NULL,
         payoff=pmax(valor-k,0)*indicadora)

mean(exp(-r*t)*Payoff$payoff)
[1] 0.4712207

Comparando nuestro resultado con la paquetería fExoticOptions obtenemos

StandardBarrierOption(TypeFlag = "cuo",
                      S = s,
                      X = k,
                      H = barrera,
                      K = 0,
                      Time = t,
                      r = r,
                      b = r-q,
                      sigma = sigma)

Title:
 Standard Barrier Option 

Call:
 StandardBarrierOption(TypeFlag = "cuo", S = s, X = k, H = barrera, 
     K = 0, Time = t, r = r, b = r - q, sigma = sigma)

Parameters:
          Value:          
 TypeFlag cuo             
 S        19.85           
 X        20.2509965995311
 H        24.3011959194373
 K        0               
 Time     0.5             
 r        0.04125         
 b        0.04            
 sigma    0.2             

Option Price:
 0.4183413 

Description:
 Thu Jun 30 21:46:12 2022

2.2 Opciones Asiáticas

Las opciones asiáticas promedian la trayectoria recorrida por el subyacente, dicha media puede ser aritmética, geométrica o armónica.

A continuación se muestran los diferentes tipos de payoff, donde \(A(T)\) representa la media de la trayectoria recorrida.

Este tipo de opción tiene una fórmula semi-analítica para el tipo geométrico pero no para el artimético ni armónico.

Payoff <- Simulaciones %>%
  select(simulacion,valor) %>%
  group_by(simulacion) %>%
  summarize(promedio=exp(mean(log(valor)))) %>%
  mutate(payoff=pmax(promedio-k,0))

mean(exp(-r*t)*Payoff$payoff)
[1] 0.5782112

Comparando nuestro resultado con la paquetería fExoticOptions obtenemos

GeometricAverageRateOption(TypeFlag = "c",
                      S = s,
                      X = k,
                      Time = t,
                      r = r,
                      b = r-q,
                      sigma = sigma)

Title:
 Geometric Average Rate Option 

Call:
 GeometricAverageRateOption(TypeFlag = "c", S = s, X = k, Time = t, 
     r = r, b = r - q, sigma = sigma)

Parameters:
          Value:          
 TypeFlag c               
 S        19.85           
 X        20.2509965995311
 Time     0.5             
 r        0.04125         
 b        0.04            
 sigma    0.2             

Option Price:
 0.5337474 

Description:
 Thu Jun 30 21:46:12 2022

2.3 Opciones Lookback

Las opciones lookback se fijan en los valores máximos o mínimos del subyacente durante la vida del contrato.

A continuación se muestran los diferentes tipos de payoff, donde \(M(T)\) representa el máximo de la trayectoria y \(m(T)\) el mínimo de la trayectoria.

  • Floating strike call: \(M(T)-S(T)\)
  • Floating strike put: \(S(T)-m(T)\)
  • Fixed strike call: \((M(T)-K)_+\)
  • Fixed strike put: \((K-m(T))_+\)
  • Lookback Straddle / Range: \(M(T)-m(T)\)

Este tipo de opción cuenta con fórmulas semi-analíticas bajo el modelo de Black-Scholes.

Payoff <- Simulaciones %>%
  select(simulacion,valor) %>%
  group_by(simulacion) %>%
  summarize(min=min(valor)) %>%
  mutate(payoff=pmax(k-min,0))

mean(exp(-r*t)*Payoff$payoff)
[1] 2.17794

Comparando nuestro resultado con la paquetería fExoticOptions obtenemos

FixedStrikeLookbackOption(TypeFlag = "c",
                          S = s,
                          SMinOrMax = min(Simulaciones$valor),
                          X = k,
                          Time = t,
                          r = r,
                          b = r-q,
                          sigma = sigma)

Title:
 Fixed Strike Lookback Option
 

Call:
 FixedStrikeLookbackOption(TypeFlag = "c", S = s, SMinOrMax = min(Simulaciones$valor), 
     X = k, Time = t, r = r, b = r - q, sigma = sigma)

Parameters:
           Value:          
 TypeFlag  c               
 S         19.85           
 SMinOrMax 12.781837031082 
 X         20.2509965995311
 Time      0.5             
 r         0.04125         
 b         0.04            
 sigma     0.2             

Option Price:
 2.147662 

Description:
 Thu Jun 30 21:46:12 2022

3 Ejercicios

Ejercicio (Barrier Option) Agregue la característica de que en una opción barrera, en caso de hacer knock-out, la opción pague un monto fijo \(M\). Modifique el código anterior para valuar una opción put down-and-out con esta modificación y compare sus resultados con la paquetería fExoticOptions.

Ejercicio (Double Barrier Option) Modifique el código anterior para valuar una opción put doble-barrera up-and-out-down-and-out y compare sus resultados con la paquetería fExoticOptions.

Ejercicio (Parisian Option) Una opción parisina es un tipo de opción barrera exótica donde el subyacente debe permanecer por arriba o por debajo de la barrera cierto número de días (en total) para que ocurre el knock-in o el knock-out. Modifique el código anterior para valuar una opción call parisina up-and-out.

Ejercicio (Asian Option) Modifique el código anterior para valuar una opción asiática average price call, con media aritmética.

Ejercicio (Lookback Option) Modifique el código anterior para valuar una opción lookback straddle.

4 Bibliografía

  • Shreve, S. (2004) Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer-Verlag, New York.
  • Wystup, U. (2017) FX Options and Structure Products, Wiley, United Kingdom.