PUNTO 1

Encuentre las coordenadas de los individuos en el eje 1 y las coordenadas de las variables sobre el nuevo eje.

Construir la matriz X(5 x 3)

x1 <- c(463.8, 515.6, 463.3, 456.4, 478.0)
x2 <- c(23.8, 58.5, 34.2, 43.1, 44.2)
x3 <- c(107.3, 102.7, 84.8, 74.2, 76.2 )


X <- matrix(c(x1,x2,x3),nrow = 5, ncol=3)
X
##       [,1] [,2]  [,3]
## [1,] 463.8 23.8 107.3
## [2,] 515.6 58.5 102.7
## [3,] 463.3 34.2  84.8
## [4,] 456.4 43.1  74.2
## [5,] 478.0 44.2  76.2

Determinando la transpuestra de la matriz X (XT) y calculare la nube de individuos U(3x3) para determinar el vector propio

XT <- t(X)
XT
##       [,1]  [,2]  [,3]  [,4]  [,5]
## [1,] 463.8 515.6 463.3 456.4 478.0
## [2,]  23.8  58.5  34.2  43.1  44.2
## [3,] 107.3 102.7  84.8  74.2  76.2
U <- XT%*%X
U
##            [,1]     [,2]      [,3]
## [1,] 1132385.65 97844.34 212294.18
## [2,]   97844.34  8969.58  18027.91
## [3,]  212294.18 18027.91  40563.70
C <- eigen(U)

Entonces los vectores propios Uk asociados al valor propio k de la matriz U donde los vectores de U corresponden a X´X

UK <- C$vectors
UK
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] 0.97933491 -0.1012422  0.1750804
## [2,] 0.08460776 -0.5812006 -0.8093499
## [3,] 0.18369720  0.8074378 -0.5606242
U1 <- UK[,1, drop= FALSE ]
U1
##            [,1]
## [1,] 0.97933491
## [2,] 0.08460776
## [3,] 0.18369720
U2 <- UK[,2, drop= FALSE ]
U2
##            [,1]
## [1,] -0.1012422
## [2,] -0.5812006
## [3,]  0.8074378
U3 <- UK[,3, drop= FALSE ]
U3
##            [,1]
## [1,]  0.1750804
## [2,] -0.8093499
## [3,] -0.5606242

Las comoponentes de los individuos sobre el espacio de las variables corresponde a psi= XU relacionado a cada vector

Psi1 <- X%*%U1
Psi2 <- X%*%U2
Psi3 <- X%*%U3

Para determinar los valores propios (lambda) de cada vector propio se hace uso de la igualdad lambda=U´X´XU=(Psi)´(Psi) donde (Psi)´corresponde a la transpuerta de las componetes de los individuos Psi

lambda1 <- as.numeric(t(Psi1)%*%Psi1)
lambda1
## [1] 1180659
lambda2 <- as.numeric(t(Psi2)%*%Psi2)
lambda2
## [1] 968.1372
lambda3 <- as.numeric(t(Psi3)%*%Psi3)
lambda3
## [1] 291.3229

##PUNTO 2

Encuentre las coordenadas de los individuos en el eje 2 y las componentes de las variables sobre el nuevo eje 2.

Para determinar las coordenas de la nube de variables respecto a los 3 ejes en el espacio de individuos se hace uso de J=X´v=X(Xu/raiz(lambda)) donde XU=Psi

J1 <- XT %*% ((Psi1) / sqrt(lambda1))
J2 <- XT %*% ((Psi2) / sqrt(lambda2))
J3 <- XT %*% ((Psi3) / sqrt(lambda3))

Vectores propios de la nube de variables XX´ donde V=XU/RAIZ(lambda)=Psi/RAIZ(lambda)

V1 <- (Psi1) / sqrt(lambda1)
V1
##           [,1]
## [1,] 0.4380158
## [2,] 0.4866274
## [3,] 0.4345711
## [4,] 0.4272531
## [5,] 0.4471450
V2 <- (Psi2) / sqrt(lambda2)
V2
##             [,1]
## [1,]  0.83077191
## [2,] -0.10531394
## [3,]  0.05425602
## [4,] -0.36460936
## [5,] -0.40353848
V3 <- (Psi3) / sqrt(lambda3)
V3
##            [,1]
## [1,]  0.1045688
## [2,] -0.8584162
## [3,]  0.3453246
## [4,]  0.2006899
## [5,]  0.3044036

##Punto 3

Reconstruye la matriz X a partir de los valores propios, los nuevos ejes paras las variables y la nube de los individuos

Sea Yi= Raiz(lambdai)(Vi)(Ui)

Y1 <- sqrt(lambda1)*V1  %*% t(U1)
Y2 <- sqrt(lambda2)*V2  %*% t(U2)
Y3 <- sqrt(lambda3)*V3  %*% t(U3)

Sea la suma de los Yi la reconstrucción de la matriz X donde Y1+Y2+Y3=Y=X

Y <- Y1+Y2+Y3 
Y
##       [,1] [,2]  [,3]
## [1,] 463.8 23.8 107.3
## [2,] 515.6 58.5 102.7
## [3,] 463.3 34.2  84.8
## [4,] 456.4 43.1  74.2
## [5,] 478.0 44.2  76.2
X
##       [,1] [,2]  [,3]
## [1,] 463.8 23.8 107.3
## [2,] 515.6 58.5 102.7
## [3,] 463.3 34.2  84.8
## [4,] 456.4 43.1  74.2
## [5,] 478.0 44.2  76.2